2023-2024学年8上数学期末考点（北师大版）专题01 勾股定理（考点清单）原卷版

专题01讲勾股定理（考点清单）【聚焦考点】题型一：用勾股定理解三角形题型二：勾股数问题题型三：以直角三角形三边为边长的图形面积题型四：勾股定理和网格问题题型五：勾股定理和折叠问题题型六：利用勾股定理求两条线段的平方和题型七：以炫图为背景的计算题题型八：勾股定理的应用题型九：勾股定理的证明题型十：勾股定理的综合问题【题型归纳】题型一：用勾股定理解三角形【典例1】（2022下·广东广州·八年级校考期末）如图，在中，，若，，则的长为（

）A． B． C．1 D．5【专训1-1】（2023下·河南新乡·八年级校考期末）如图，在中，，，，以边为直径作一个半圆，则半圆(阴影部分)的面积为（

）

A． B． C． D．【专训1-2】（2023下·四川宜宾·八年级统考期末）如图，菱形的边长为2，，则点B的坐标是(

)

A． B． C． D．题型二：勾股数问题【典例2】（2023下·河南驻马店·八年级统考期末）在下列四组数中，属于勾股数的是（

）A．0.3，0.4，0.5 B．9，40，41 C．6，7，8 D．1，，【专训2-1】（2023下·安徽合肥·八年级统考期末）下列各组是勾股数的是（）A． B．C．，，c＝ D．【专训2-2】（2023下·贵州铜仁·八年级统考期末）成书于大约公元前1世纪的《周髀算经》是中国现存最早的一部数学典籍，里面记载的勾股定理的公式与证明相传是在西周由商高发现，故又称之为商高定理．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1；古希腊哲学家柏拉图（公元前427年—公元前347年）研究了勾为（，m为正整数），弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为12，则其股为（

）

A．14 B．16 C．35 D．37题型三：以直角三角形三边为边长的图形面积【典例3】2023下·云南红河·八年级统考期末）如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为6和9，则的面积为（

）A．9 B．12 C．15 D．20【专训3-1】（2023下·安徽马鞍山·八年级校考期末）中，，分别以的三边作为边长向形外作正方形，并把各正方形的面积分别记作，，，如图，若，，则的值为（

）

A．13 B．17 C．20 D．35【专训3-2】（2023下·广西柳州·八年级统考期末）如图，在中，，分别以、为边作正方形，若，则正方形和正方形的面积和为（

）A．144 B．120 C．100 D．无法计算题型四：勾股定理和网格问题【典例4】（2023下·河北保定·八年级统考期末）如图，在的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，标记格点A，B，C，D，则下列线段长度为的是（

）

A．线段 B．线段 C．线段 D．线段【专训4-1】（2023下·湖北武汉·八年级统考期中）如图，由单位长度为1的4个小正方形拼成的一个大正方形网格，连接三个小格点，可得，则边上的高是（

）A． B． C． D．【专训4-2】（2022上·山西运城·八年级统考期末）如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则边上的高为（

）A． B． C． D．题型五：勾股定理和折叠问题【典例5】（2023下·湖北荆州·八年级统考期末）如图，在中，，将沿翻折，使点A与边上的点E重合，则的长是（

）

A．5 B．3 C． D．【专训5-1】（2023下·山东济宁·八年级统考期末）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（

）

A．1 B． C． D．【专训5-2】（2023下·天津和平·八年级天津市第五十五中学校考期末）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的长为（

）A． B． C． D．题型六：利用勾股定理求两条线段的平方和【典例6】（2021上·江苏扬州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（

）A．29 B．32 C．36 D．45【专训6-1】（2020上·浙江杭州·八年级统考期末）如图，在中，，以AB，AC，BC为边作等边，等边.等边.设的面积为，的面积为，的面积为，四边形DHCG的面积为，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【专训6-2】（2018上·辽宁沈阳·八年级校考期末）如图OP=1，过P作PP1⊥OP且PP1=1，得OP1=；过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2，依此法继续作下去，得OP2017等于（）A．2015 B． C． D．题型七：以炫图为背景的计算题【典例7】（2023下·安徽·八年级统考期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为625，则小正方形的边长为（

）

A．7 B．24 C．17 D．25【专训7-1】（2023下·青海西宁·八年级统考期末）如图，“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形两直角边为a，b．斜边为c，若，则小正方形的边长为（

）

A．3 B．4 C． D．【专训7-2】（2023下·北京房山·八年级统考期末）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，如果图中勾，弦，则小正方形的面积为（

）

A．1 B．2 C．3 D．4题型八：勾股定理的应用【典例8】（2023下·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在处发现处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（）

A． B．3 C． D．5【专训8-1】（2023下·广东广州·八年级统考期末）如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（

）

A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.8【专训8-2】（2023下·北京怀柔·八年级统考期末）如图，在我军某次海上演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，1号舰沿东偏南方向以9节（1节=1海里/小时）的速度航行，2号舰沿南偏西方向以节的速度航行，离开港口2小时后它们分别到达A，B两点，此时两舰的距离是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里题型九：勾股定理的证明【典例9】（2023下·四川绵阳·八年级统考期末）如图，是年月在北京召开的第届国际数学家大会会标，创作的灵感来源于我国三国时代东吴数学家赵爽所注的著作《周髀算经》中的一个数学知识，这个数学知识是（

）

A．黄金分割 B．完全平方公式 C．平方差公式 D．勾股定理【专训9-1】（2023下·河北廊坊·八年级统考期末）勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题最重要的工具之一．下列图形中可以证明勾股定理的有（

）

A．①③ B．②③ C．②④ D．①④【专训9-2】（2023上·河北保定·八年级统考期末）勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，，点D，E，F，G，H，I都在长方形的边上，则长方形的面积为（

）A．420 B．440 C．430 D．410题型十：勾股定理的综合问题【典例10】（2023下·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地的高度为米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时米），感应门自动打开，为多少米？

【专训10-1】．（2023上·河南周口·八年级校考期末）图1为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．根据该图，赵爽用两种不同的方法计算正方形的面积，通过正方形面积相等，从而证明了勾股定理．现有4个全等的直角三角形（图2中灰色部分），直角边长分别为a，b，斜边长为c，将它们拼合为图2的形状．

(1)小诚同学在图2中加了相应的虚线，从而轻