2025年湖南省娄底市双峰一中等五校高三下学期4月调研数学试题含解析

2025年湖南省娄底市双峰一中等五校高三下学期4月调研数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，则（）A． B．C． D．2．设，点，，，，设对一切都有不等式成立，则正整数的最小值为（）A． B． C． D．3．已知集合，，则=()A． B． C． D．4．若数列为等差数列，且满足，为数列的前项和，则（）A． B． C． D．5．已知是圆心为坐标原点，半径为1的圆上的任意一点，将射线绕点逆时针旋转到交圆于点，则的最大值为（）A．3 B．2 C． D．6．已知正项等比数列满足，若存在两项，，使得，则的最小值为（）.A．16 B． C．5 D．47．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则,，的大小关系为（）A． B． C． D．8．已知集合A＝{0，1}，B＝{0，1，2}，则满足A∪C＝B的集合C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．19．已知定义在上的可导函数满足，若是奇函数，则不等式的解集是（）A． B． C． D．10．已知单位向量，的夹角为，若向量，，且，则（）A．2 B．2 C．4 D．611．已知平面向量，，，则实数x的值等于（）A．6 B．1 C． D．12．在复平面内，复数（，）对应向量（O为坐标原点），设，以射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：，已知，则（）A． B．4 C． D．16二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件抽到一等品，事件抽到二等品，事件抽到三等品，且已知，，，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为________14．已知，，且，则的最小值是______.15．已知定义在上的函数的图象关于点对称,,若函数图象与函数图象的交点为,则_____．16．抛物线的焦点坐标为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，已知椭圆C:x24+y2=1，F为其右焦点，直线l:y=kx+m(km<0)与椭圆交于P(x1(I)试用x1表示|PF|(II)证明：原点O到直线l的距离为定值.18．（12分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）设的最小值为，正数，满足，证明：.19．（12分）函数，且恒成立.（1）求实数的集合；（2）当时，判断图象与图象的交点个数，并证明.（参考数据：）20．（12分）在直角坐标系中，已知圆，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线平分圆M的周长.（1）求圆M的半径和圆M的极坐标方程；（2）过原点作两条互相垂直的直线，其中与圆M交于O，A两点，与圆M交于O，B两点，求面积的最大值.21．（12分）已知分别是内角的对边，满足（1）求内角的大小（2）已知，设点是外一点，且，求平面四边形面积的最大值.22．（10分）已知中，，，是上一点．（1）若，求的长；（2）若，，求的值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．C【解析】

由题意和交集的运算直接求出.【详解】∵集合，∴.故选:C.本题考查了集合的交集运算.集合进行交并补运算时，常借助数轴求解.注意端点处是实心圆还是空心圆.2．A【解析】

先求得，再求得左边的范围，只需，利用单调性解得t的范围.【详解】由题意知sin，∴，∴，随n的增大而增大，∴,∴，即，又f(t)=在t上单增，f(2)=-1<0，f(3)=2>0，∴正整数的最小值为3.本题考查了数列的通项及求和问题，考查了数列的单调性及不等式的解法，考查了转化思想，属于中档题.3．C【解析】

计算，，再计算交集得到答案.【详解】，，故.故选：.本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.4．B【解析】

利用等差数列性质，若，则求出，再利用等差数列前项和公式得【详解】解：因为，由等差数列性质，若，则得，．为数列的前项和，则．故选：．本题考查等差数列性质与等差数列前项和.(1)如果为等差数列，若，则．(2)要注意等差数列前项和公式的灵活应用，如.5．C【解析】

设射线OA与x轴正向所成的角为，由三角函数的定义得，，，利用辅助角公式计算即可.【详解】设射线OA与x轴正向所成的角为，由已知，，，所以，当时，取得等号.故选：C.本题考查正弦型函数的最值问题，涉及到三角函数的定义、辅助角公式等知识，是一道容易题.6．D【解析】

由，可得，由，可得，再利用“1”的妙用即可求出所求式子的最小值.【详解】设等比数列公比为，由已知，，即，解得或（舍），又，所以，即，故，所以，当且仅当时，等号成立.故选：D.本题考查利用基本不等式求式子和的最小值问题，涉及到等比数列的知识，是一道中档题.7．C【解析】

根据函数的奇偶性得，再比较的大小，根据函数的单调性可得选项.【详解】依题意得，，当时，，因为，所以在上单调递增，又在上单调递增，所以在上单调递增，，即，故选：C.本题考查函数的奇偶性的应用、幂、指、对的大小比较，以及根据函数的单调性比较大小，属于中档题.8．A【解析】

由可确定集合中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案.【详解】由可知集合中一定有元素2，所以符合要求的集合有，共4种情况，所以选A项.考查集合并集运算，属于简单题.9．A【解析】

构造函数，根据已知条件判断出的单调性.根据是奇函数，求得的值，由此化简不等式求得不等式的解集.【详解】构造函数，依题意可知，所以在上递增.由于是奇函数，所以当时，，所以，所以.由得，所以，故不等式的解集为.故选：A本小题主要考查构造函数法解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10．C【解析】

根据列方程，由此求得的值，进而求得.【详解】由于，所以，即，解得.所以所以.故选：C本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，考查向量模的求法，属于基础题.11．A【解析】

根据向量平行的坐标表示即可求解.【详解】，，，，即，故选：A本题主要考查了向量平行的坐标运算，属于容易题.12．D【解析】

根据复数乘方公式：，直接求解即可.【详解】，.故选：D本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法，解题的关键是理解棣莫弗定理，将复数化为棣莫弗定理形式，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．0.35【解析】

根据对立事件的概率和为1，结合题意，即可求出结果来．【详解】解：由题意知本题是一个对立事件的概率，抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，，抽到不是一等品的概率是，故答案为：．本题考查了求互斥事件与对立事件的概率的应用问题，属于基础题．14．1【解析】

先将前两项利用基本不等式去掉，，再处理只含的算式即可．【详解】解：，因为，所以，所以，当且仅当，，时等号成立，故答案为：1．本题主要考查基本不等式的应用，但是由于有3个变量，导致该题不易找到思路，属于中档题．15．4038.【解析】

由函数图象的对称性得：函数图象与函数图象的交点关于点对称，则，,即，得解．【详解】由知：得函数的图象关于点对称又函数的图象关于点对称则函数图象与函数图象的交点关于点对称则故，即本题正确结果：本题考查利用函数图象的对称性来求值的问题，关键是能够根据函数解析式判断出函数的对称中心，属中档题．16．【解析】

变换得到，计算焦点得到答案.【详解】抛物线的标准方程为，，所以焦点坐标为．故答案为：本题考查了抛物线的焦点坐标，属于简单题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．(I)|FP|=2-32x【解析】

(I)直接利用两点间距离公式化简得到答案.(II)设Ax3,y3，Bx4【详解】(I)椭圆C:x24|FP|=x(II)设Ax3,y3，B4k2+1x2OA=OB，故y3PA=PF，故1+k由已知得：x3<x故1+k即1+k2⋅故原点O到直线l的距离为d=m本题考查了椭圆内的线段长度，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18．（1）（2）证明见解析【解析】

（1）将表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.（2）利用绝对值三角不等式求得的最小值，利用分析法，结合基本不等式，证得不等式成立.【详解】（1），不等式，即或或，即有或或，所以所求不等式的解集为.（2），，因为，，所以要证，只需证，即证，因为，所以只要证，即证，即证，因为，所以只需证，因为，所以成立，所以.本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查分析法证明不等式，考查基本不等式的运用，属于中档题.19．（1）；（2）2个，证明见解析【解析】

（1）要恒成立，只要的最小值大于或等于零即可，所以只要讨论求解看是否有最小值；（2）将图像与图像的交点个数转化为方程实数解的个数问题，然后构造函数，再利用导数讨论此函数零点的个数.【详解】（1）的定义域为，因为，1°当时，在上单调递减，时，使得，与条件矛盾；2°当时，由，得；由，得，所以在上单调递减，在上单调递增，即有，由恒成立，所以恒成立，令，若；若；而时，，要使恒成立，故.（2）原问题转化为方程实根个数问题，当时，图象与图象有且仅有2个交点，理由如下：由，即，令，因为，所以是的一根；，1°当时，，所以在上单调递减，，即在上无实根；2°当时，，则在上单调递递增，又，所以在上有唯一实根，且满足，①当时，在上单调递减，此时在上无实根；②当时，在上单调递增，，故在上有唯一实根.3°当时，由（1）知，在上单调递增，所以，故，所以在上无实根.综合1°，2°，3°，故有两个实根，即图象与图象有且仅有2个交点.此题考查不等式恒成立问题、函数与方程的转化思想，考查导数的运用，属于较难题.20．（1），（2）【解析】

先求出，再求圆的半径和极坐标方程；（2）设求出,,再求出得解.【详解】（1）将化成直角坐标方程，得则，故，则圆，即，所以圆M的半径为.将圆M的方程化成极坐标方程，得.即圆M的极坐标方程为.（2）设，则,用代替.可得,本题主要考查直角坐标和极坐标的互化，考查极径的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21．（1）（2）【解析】

（1）首先利用诱导公式及两角和的余弦公式得到，再由同角三角三角的基本关系得到，即可求出角；（2）由（1）知，是正三角形，设，由余弦定理可得：，则，得到，再利用辅助角公式化简，最后由正弦函数的性质求得最大值；【详解】解：（1）由，，，，，，，；（2）由（1）知，是正三角形，设，由余弦定理得：，，，所以当时有最大值本题考查同角三