谈谈在全等三角形一章的教学中,如何培养学生的能力

PAGEPAGE1谈谈在“全等三角形”一章的教学中,如何培养学生的能力九曲江中学全才众所周知,三角形在整个平面几何中占有非常重要的位置,不但对三角形的知识链起着承前启后的作用,而且由于三角形知识结构的特点,非常有利于培养学生的能力,这不但是学习平面几何成败的关键,而且对立体几何等学科的学习,都将产生深远的影响一、逻辑思维能力在中学教学大纲中,明确指出了要求学生具备和数学有密切联素的特殊能力,即计算能力、逻辑思维能力和空间思象能力。在这三种能力中,逻辑思维能力是核心,这是由于计算能力和空间思象能力的培养都离不开逻辑思维能力。具备了逻辑思维能力,考虑问题就全面、更有条理,且有根有据。平面几何中的逻辑思维能力,主要指逻辑推理能力。在学习三角形中,三角形全等的内容是平面几何中重要的内容。通过两个三角形全等,可以用来证明两条线段相等和两个角相等,而有关证明两条直线互相垂直、平行,以至证明有关线段和角不等的问题,往往可以转化为证明线段相等或角相等的问题来加以解决。证明两个三角形全等,需要具备三个条件(其中至少有一个条件为边),这样思考问题的目标比较明确,减少盲目性,而且由于在所找的条件中,有关的边等或角等,在图形中可以借助于直观的观察,帮助寻找条件,为证明创造了方便的条件,尤其是本章在安排证题时,有利于由浅入深,循序渐进,由条件比较显露,到条件比较隐蔽,由证明一次全等,到证明两次全等,由不添加辅助线,到添加辅助线,由证明相等的问题,到证明不等的问题等等,都可以统筹进行安排,所以在全等三角形一章教学中,应把培养学生的逻辑推理能力放在很重要的地位,使绝大部分学生通过本意的学习,逻辑推理能力能够“过关”。通过全等三角形的教学,使学生对逻辑推理能力达到什么要求呢?(1)能够分清定理的条件和结论;(2)能够运用所学概念、公理、定理以及所给的条件,正确进行推理证明;(3)书写力求条理、简明、逻辑关系清楚；(4)逐步掌握分析解题思路的方法在全等三角形一章如何培养学生的逻辑推理能力?1、准确地形成和使用概念概念是所研究的对象的本质属性在人的思维中的反映,所以,能否正确掌握和运用有关概念,是进行逻辑推理能力的前提。如果同位角，内错角的概念搞不清楚,那么平行线的性质和判定就不可能学好如果对顶腰三角形它的腰、底、腰上的中点,点到直线的距离等概念不清楚,要证明等腰三角形两腰中点到底边的距离相等是很困难的。因此,在学习中,要真正理解和掌握有关概念。在学习概念时,切忌死记硬背定义,要能够做到抓理解,抓图示抓应用,也就是抓住概念的本质特征,排除非本质属性的干扰,二是要能够正确画出图来加深对概念的理解并检查理解得是否正确。比如,三角形的高这个概念。只记住定义还不算真懂,还必须能画出三角形的高,而且能够从图(1)中判别AD是哪几个三角形的高(应是六个三角形的高),又如,等腰三角形两腰上的高不但能画出等腰锐角三角形中两腰上的高而且能画出等腰钝角三角形和等腰直角三角形中两腰上的高(图2)。三是通过应用来加深理解。(图1)CEDBA(图1)CEDBAED(D)(E)AED(D)(E)AEBDAEBDACBCBCBCBCBCB(图2)2、发展图形的思象能力平面几何虽然是结构严谨,推理严密,逻辑性很强的一门学科,但它却专门研究图形的有关性质,而图形是可以借助于视觉观察到的,这就为研究图形的性质,发展逻辑思维能力创造了有利的条件,这又是几何学优于其他学科的有利条件。观察一个图形,需要借助于思象力才能正确加以认识,而在认识图形的过程中,又可以丰富和发展想象能力,比如,(图3)中的线段AB上有三个点D、E、F,问图中共有多少条线段?缺乏思象能力的学生认为只有四条线段,而具备一些想象力的学生能够数出五条或更多一些线段,但由于没有掌握观察图形的规律,要么就数不全,要么就有重复。而有丰富想象力的学生,却能够按照某一个规律去数先从A点向右数,再从D点向左数,再从E点、F点向右去数,便能做到不重不漏。(图3)FEDAB(图3)FEDAB对于某些善于思考的学生,他一旦迈进了几何王国的大门,便抓住一切机会去探索几何王国的奥秘,只要教师稍加引导,就能打开学生们智慧上的闸门。比如,让学生考虑,当在一条线段上取一个点时,有三条线段,取两个点时,有六条线段,取三个点时有十条线段,这里面有什么规律呢?可以看到：S1=3=1＋2S2=6=1＋2＋3S3=10=1＋2＋3＋4当总结出其中的规律后,再问在一条线段上取九个点时,只有多少条线段?学生便不是去数线段,而是能够运用它的想象力得出：S9=1＋2＋3＋┅＋8＋9＋10=55。如果你再问在一条线段上取九十九个点呢?学生会得出：S99=1＋2＋3＋┅＋98＋99＋100=5050。具备了想象力,就可以把一个图形在原有的基础上加以发展。比如(图4)中共多少个三角形?学生们便不是数三角形的个数,而是联想到AB边上线段的条数(10条),得出三角形的个数也是十个。CBABFEDACBABFEDA(图4)(图5)有时,还需要借助于图形的联系,使问题能够加以转化,这同样需要借助于想象力。比如延长△ABC的AB、BC、AC三条边,在所得到的三个外角中,最多有几个锐角?缺乏图形想象力的学生,只能从三个外角中去思考,而善于通过观察图形去联想的学生,能通过(图5)想到每一个外角种它相邻的内角是互补的,当外角是锐角时,相邻的内角就是钝角,这样就把这道题转化成“在一个三角形中,最多有几个钝角”的问题去加以解决,问题就化难为易了。当遇到图形比较复杂时,还应把图形加以分解,分成若干个单一的图形,这样在解题过程中就能从比较杂乱的图形中,理出所要的条件。比如(图6),以△ABC的AB、AC为边向外作等边三角形ABD、ACE,求证：DC=BE。图形中的三角形很多,线段和角也很多,但包含DC和BE的三角形只有四个,这样便把证明的范围缩小了。再根据所给的条件和借助于形象观察,分析出只要证明△DAC全等于△BAE就可以了。由于这两个三角重叠在一起,这就需要借助于想象能力,在头脑中把它们分离出来,(图7),就比较容易了。由此看出,发展对图形的想能力,对强化概念,发展思维非常重要的。DECBADECBA(图6)ABECDAABECDA(图7)3、循循善诱启迪思路在平面几何推理过程中,从己知条件出发,根据学过的定义、公理、定理,推出求证的结论。为什么有快有慢,或根本考虑不出来呢?一是不善于联想和发展有关定理和条件,二在教给学生分析问题思路上下功夫不够。己知条件都摆在那里,有关定理也能背下来,但往往用不上,关键是缺乏联想和发展,如善于联想,对寻求解思路很有帮助。己知：如图8,△ABC中,AD是∠A的平分线,过D作AC的平行线交AB于E,过E作AD的垂线交AD于F,交BC的延长线于G。求证；∠F=∠GAC分析；由DE∥AC,得到∠3=∠2.由己知∠1=∠2,得到∠1=∠3,这时应想到△EAD是一个等边三角形,而EF是底边AD上的高联想到EF是AD的垂直平分线,并联想到线段垂直平分线的性质,得出∠GDA=∠GAD,而∠B=∠GAD-∠1,∠GAC=∠GAD-∠2,使问题得证CG321EDBACG321EDBA(图8)在教学中,教师还应该循循善诱,启迪思路,具体地说,就是善于运用分析法和综合法。分折法可以简单概括成“从未知,看需知,逐步靠找已知”,综合法可以简单概括成“从己知,看可知,逐步推向未知”,上面的例题,就是应用了综合法。但往往由于联想到的定理较多,思路不易直接看出。因此,在证题时,除应用综合法外,往往借助于分析法,当两个思路“接通”时,这便是证题的通路,这种分析问题的方法,就是平时常说的“两头堵”的方法。4、循序渐进统筹安排逻辑推理能力的培养需要有一个由浅入深,由简单到复杂的循序渐进的过程,不能操之过急,在教学中要加强计划性,做到统筹安排。从给出三个独立的条件证明两个三角形全等,到证明两个角相等或两条边相等,再安排有某些元素重合的题目,证明两个三角形全等,或证明角等,边等,当有一定基础后,可以证明垂直、平行等,还可给出通过两次三角形全等解决的问题。当学生对证题的思路和方法基本掌握以后,再作需添加辅助线的题目,且由易到难来进行安排。在教学中,开始阶段可给出图,及己知、求证,以后再结合字母给出己知、求证。让学生自己画图,以后再给出用文字叙述的题目,由学生自己画图,并结合图中的字母,写出己知求证。这样一来安排,可稳步提高学生的逻辑推理能力,减少掉队,防止分化。表面上看起来慢些,但一步一个脚印,防止夹生饭,实际上是是快的。二、创造性的思维能力在平面几何中,添加辅助线所应具备的能力,是创造性的思维能力。添加辅助线的目的,是为了使分散的条件集中,使隐藏的条件显现,使生疏的问题转化。总之,添加辅助线的目的,就是为了“搭桥、铺路”,使问题化难为易。但由于几何题目千变万化,缺乏创造性的思维能力是很难实现的。在教学中,添加辅助线并不是目的,也不要单纯地追求所谓的技巧,而应该弄明白为什么要这么添加?怎么想到要这么添加?不这么添加行不行等等?总之,应该教“法”而不是教“招”。如,三角形的内角和定理的结论学生在小学就己知道,中学讲这个定理的着眼点不是探求三角形三个内角之间有什么关系,而是怎样从理论上去证明它,怎样去思考添加辅助线的方法。采用作平行线。把分散的三个内角集中到一起,使之构成一个平角,从而使问题得到解决。又如,遇到三角形中线的问题,常添加中位线或延长中位线一倍的方法,这样做的目的,仍是通过平行线或全等三角形达到“迁线”、“迁角”的目的,从而使两个三角形中的边角关系转化到同一个三角形中去解决。如图9,已知：△ABC中,AB=AC,延长AB到D,使BD=AB,又E是AB的中点,求证：CE=CD。此题是证明线段倍半问题,现有的定理不能直接应用,可添加辅助线(取CD中点F,连结BF,或延长CE到M,使EM=EC,连结BM,或取AC中点N,连结BN等等),使证明线段倍半问题转化为较熟悉的证明两条线段相等的问题。EAEABBCCDD(图9)三、空间想象能力培养空间想象能力,不仅是立体几何所应承担的任务,在平面几何教学中,同样要注意培养空间想象能力,空间想象能力主要是指对平面图形的形状、结构、大小、位置和关系进行观察、分析和抽象思考的能力。具体地说就是：能根据所给条件,利用尺规等工具画出所需要的图形画图并不是简单的技术操作,它需要对图形的有关性质非常熟悉。如,要过直线外一点画己知直线的平行线这就要在头脑中联想到解决两直线平行的三个判定定理,三角形中位线平行于三角形的第三边,以及平行四边形的对边平行等等。然后借助于尺规,根据有关的几何知识去完成作图。这就需要借助于空间想象能力,反过来又可培养和发展空间想象能力。能由文画图,由图想文不管是用文字叙述的题目,还是由字母叙述的题目,都必须在头脑中想象出它所反映的图形(这些图形可能见过,也可能要自己设计)。反之,有了图形,需要用语言或文字把图形所反映的空间形状和位置表达出来,都需要具备空间想象能力。当然,这种能力的培养是需要经过一定时间有意识的训练才有可能得到培养。为了减少学生画图的困难,采取题题都给出图形的办法,则是后患无穷。能从复杂的图形中分离出所需要的图形,并且能从变换的观点去认识图形有时考虑问题时,还需借助于运动的观点去想象,去思考。比如图10中,已知△ABC中,AB＞AC,求证：∠C＞∠B。此题的证明方法有好几种,其中一种方法就是作∠BAC的平分线交BC于D,在AB上截取AAEEDCBDCB(图10)AE=AC,连结ED。利用△AED≌△ACD,得出∠AED=∠C,而∠AED＞∠B,所以∠C＞∠B。这样添加辅助线是运用了变换中翻折的思想来考虑的,即把短边AC沿某一线翻折到长边AB上去,同时就把∠C翻折到!B所在的三角形中外角的位置上,从而利用三角形外角的性质,使问题得证。而这种运用变换的观点去思考问题,更需要具备空间思象能力。四、作图能力根据己知条件按照要求作出图形,需要具备多种能力,除要求对基础知识熟练掌握,具备一定的空间想象