2024-2025学年新教材高中数学 第3章 排列、组合与二项式定理 3.1 排列与组合 3.1.3 第1课时 组合与组合数教案 新人教B版选择性必修第二册

2024-2025学年新教材高中数学第3章排列、组合与二项式定理3.1排列与组合3.1.3第1课时组合与组合数教案新人教B版选择性必修第二册授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教材分析“2024-2025学年新教材高中数学第3章排列、组合与二项式定理3.1排列与组合3.1.3第1课时组合与组合数教案新人教B版选择性必修第二册”的内容主要涉及组合与组合数的定义、性质及其应用。本节课是学生在学习了排列与组合的基本概念之后，进一步深入理解组合数的重要课时。通过本节课的学习，学生将能够掌握组合数的计算方法，理解组合数在实际问题中的应用，为后续的二项式定理的学习打下基础。

本节课的内容与学生的日常生活和实际问题紧密相连，例如在安排活动、分配任务等方面，都需要运用到组合与组合数的知识。因此，在教学过程中，我将注重引导学生通过实际问题来理解和掌握组合与组合数的概念和性质，提高他们运用数学知识解决实际问题的能力。同时，我也会注重培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神，通过小组讨论、合作探究等方式，激发学生的学习兴趣，提高他们的学习积极性。核心素养目标本节课的核心素养目标包括：逻辑推理、数学建模、数学抽象和数学交流。通过学习组合与组合数的概念、性质和应用，学生能够培养逻辑推理能力，从而更好地理解和运用组合数的相关知识。同时，通过解决实际问题，学生能够提升数学建模的能力，将组合与组合数应用到实际生活中。此外，通过小组讨论和合作探究，学生能够提高数学交流能力，与他人分享自己的思考和理解。通过这些活动，学生将能够培养数学抽象的能力，从具体的事例中抽象出组合与组合数的一般规律。重点难点及解决办法重点：

1.组合与组合数的定义及其性质

2.组合数的计算方法

3.组合数在实际问题中的应用

难点：

1.理解组合与组合数的概念，区分排列与组合的区别

2.掌握组合数的计算方法，尤其是组合数的上界和下界

3.将组合与组合数应用到实际问题中，解决具体问题

解决办法：

1.通过具体例题和实际问题引入组合与组合数的概念，引导学生从实际情境中发现问题、提出问题，激发学生的学习兴趣和主动性。

2.通过小组讨论、合作探究等方式，让学生在讨论中理解组合与组合数的性质，引导学生自主探索和发现组合数的计算方法。

3.设计具有层次性的练习题，从简单到复杂，让学生在练习中巩固组合数的计算方法，并及时给予反馈和指导，帮助学生克服困难，提高解题能力。

4.结合生活实际，让学生通过解决实际问题来理解和运用组合与组合数，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。教学资源1.软硬件资源：教室、黑板、多媒体设备、投影仪、计算机、打印机、纸张等。

2.课程平台：学校教学管理系统、数学教学资源库、网络教学平台等。

3.信息化资源：教学课件、视频动画、数学题库、在线学习工具、数学软件等。

4.教学手段：讲解、演示、练习、讨论、合作探究、小组竞赛、案例分析等。

5.教学辅助工具：尺子、圆规、计算器、白板笔、教学卡片等。教学过程1.导入新课（5分钟）

大家好，今天我们要学习的是高中数学第3章排列、组合与二项式定理中的第1课时组合与组合数。在学习这节课之前，请大家回顾一下排列与组合的基本概念，以及我们已经学过的相关知识。好的，现在请大家打开教材，我们来共同探究组合与组合数的相关内容。

2.知识讲解（15分钟）

（1）组合与组合数的定义

请大家翻到教材的第3.1.3节，我们首先来学习组合与组合数的定义。组合是指从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有可能排列的数目，记作C(n,m)。组合数C(n,m)可以用组合公式来计算，即C(n,m)=n!/[m!(n-m)!]。其中，n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×(n-2)×…×2×1。

（2）组合数的性质

（3）组合数的应用

组合数在实际生活中有很多应用，比如在安排活动、分配任务等方面。接下来，我们通过一个具体的例子来学习组合数的应用。假设有一个班级有10名学生，老师想从中选出5名学生参加数学竞赛，请问有多少种选法？我们可以用组合数C(10,5)来表示这个问题，计算得到C(10,5)=252。这意味着有252种不同的选法。

3.课堂练习（10分钟）

现在请大家完成教材上的练习题3.1.3的第1、2、3题。请大家认真思考，尽量独立完成。完成之后，我们可以一起讨论答案，并讲解解题思路。

4.小组讨论与合作探究（10分钟）

（1）请同学们分组，每组选择一个实际问题，运用组合与组合数的相关知识来解决。可以结合我们的生活经验，选择一个感兴趣的问题。

（2）小组成员共同讨论，探讨如何运用组合与组合数来解决问题。在讨论过程中，请大家积极发言，分享自己的观点和思路。

（3）各小组派代表汇报讨论结果。在汇报过程中，大家要简洁明了地阐述问题、解题思路和最终答案。

5.总结与反思（5分钟）

6.布置作业（5分钟）

请大家完成教材上的课后作业第1、2、3题。作业要求：认真思考，独立完成，明天上课时我们将一起讨论答案。知识点梳理1.组合与组合数的定义

-组合：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有可能排列的数目，记作C(n,m)。

-组合数C(n,m)的计算公式：C(n,m)=n!/[m!(n-m)!]，其中n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×(n-2)×…×2×1。

2.组合数的性质

-组合数C(n,m)与C(n,n-m)相等，即C(n,m)=C(n,n-m)。

-组合数C(n,m)随着n的增大而增大，随着m的增大而减小。

-组合数C(n,m)的上界为2^n，下界为C(n,n-m)。

3.组合数的应用

-排列问题：确定元素的顺序，使用排列数A(n,m)来表示，计算公式为A(n,m)=n!/(n-m)!。

-分配问题：将n个相同的物品分成m个不同的组，每组至少有一个物品，使用分组数B(n,m)来表示，计算公式为B(n,m)=C(n-1,m-1)。

-覆盖问题：用n个相同的物品覆盖m个不同的位置，至少有一个位置被覆盖，使用覆盖数D(n,m)来表示，计算公式为D(n,m)=C(n+m-1,m)-C(n-1,m)。

4.组合数在日常生活中的应用

-安排活动：从n个人中选出m个人参加某个活动，使用组合数C(n,m)来表示。

-分配任务：将n个任务分配给m个人，每人至少完成一个任务，使用分组数B(n,m)来表示。

-覆盖区域：用n个点覆盖m个区域，每个点至少覆盖一个区域，使用覆盖数D(n,m)来表示。

5.组合数的扩展

-组合数的推广：对于任意正整数k，定义C(n,k)=C(n,n-k)，这样组合数C(n,k)就成为了一个关于k的函数。

-组合数的极限：当n趋向于无穷大时，组合数C(n,m)趋向于2^n。反思改进措施（一）教学特色创新

1.情境教学：通过引入生活实际问题，让学生在解决实际问题的过程中理解和运用组合与组合数知识，提高学生学习兴趣和主动性。

2.小组合作：鼓励学生进行小组讨论、合作探究，培养学生的团队合作能力和数学交流能力。

3.信息技术：利用多媒体教学资源，如动画、视频等，形象直观地展示组合与组合数的概念和性质，提高学生的学习效果。

（二）存在主要问题

1.学生理解困难：部分学生对组合与组合数的概念理解不深，难以运用到实际问题中。

2.练习不足：课堂练习时间有限，学生缺乏足够的练习机会，影响知识的掌握程度。

3.教学评价单一：过于依赖笔试成绩，未能全面评估学生在实际应用组合与组合数方面的能力。

（三）改进措施

1.深化概念理解：通过具体案例、生活情境等方式，帮助学生深入理解组合与组合数的概念，提高知识的运用能力。

2.增加练习机会：合理安排课堂时间，增加练习题量，让学生在练习中巩固知识，提高解题能力。

3.多元化教学评价：结合课堂表现、练习成绩和实际应用能力等多方面，全面评估学生的学习效果，激发学生的学习积极性。

4.加强与生活实际的联系：通过解决实际问题，让学生体验到组合与组合数在生活中的应用，提高学生的学习兴趣和主动性。

5.鼓励学生提问：鼓励学生在课堂上提问，及时解答学生的疑问，帮助学生克服学习困难。

6.课后辅导：针对学习有困难的学生，提供课后辅导机会，帮助他们跟上教学进度，提高学习成绩。课后拓展1.拓展内容：

-阅读材料：《组合数学及其应用》（作者：冯克勤）、《组合数学导论》（作者：J.H.vanLint）等。

-视频资源：组合数学相关讲座、教学视频，如“组合数学的基本概念和应用”、“组合数学之美”等。

2.拓展要求：

-鼓励学生利用课后时间进行自主学习和拓展，加深对组合与组合数知识的理解和应用。

-教师可提供必要的指导和帮助，如推荐阅读材料、解答疑问等。

-学生可结合自身兴趣和实际情况选择拓展内容，不强求一致。

-鼓励学生在拓展学习过程中进行思考和总结，撰写读后感或心得体会，可作为课堂分享或作业提交。

-学生可尝试解决一些与组合与组合数相关的实际问题，如概率问题、优化问题等，提高运用数学知识解决实际问题的能力。

-鼓励学生参与数学竞赛、研究项目等活动，提升数学素养和创新能力。

3.拓展评价：

-学生可根据自身学习情况，进行自我评价，反思拓展学习的效果和收获。

-教师可根据学生的读后感、心得体会、实际问题解决等情况，进行评价和反馈，鼓励学生的学习积极性。

-结合学生的课堂表现和作业完成情况，综合评价学生在组合与组合数方面的掌握程度和应用能力。课堂1.课堂评价：

-通过提问：教师可通过课堂提问的方式了解学生对组合与组合数概念的理解程度，以及学生运用组合数解决实际问题的能力。及时发现问题并进行针对性讲解。

-观察：教师应观察学生在课堂中的参与程度、合作表现以及思维过程，了解学生在组合与组合数方面的掌握情况。

-测试：教师可设计一些组合与组合数的练习题，进行课堂小测，以检验学生对知识的掌握和运用能力。

2.作业评价：

-认真批改：教师应对学生的作业进行认真批改，注意学生的解题思路、方法和书写规范。

-点评反馈：在作业批改过程中，教师应及时给予学生反馈，指出作业中的优点和不足，鼓励学生继续努力。

-鼓励创新：对于学生在作业中展现的创新解题方法，教师应给予肯定和鼓励，激发学生的学习兴趣和创造力。

3.学习报告评价：

-学生应撰写学习报告，总结自己在组合与组合数方面的学习收获和体会。

-教师应对学习报告进行认真阅读和评价，了解学生的学习情况，为学生提供进一步学习的建议。

4.