高考数学一轮复习：函数与导数 专项突破卷

函数与导数专项突破-高考数学一轮复习检测卷

一、单选题

1.下列函数中，是偶函数且在区间(。,+e)上单调递增的是()

A.y=e%B.y=x--C.y=|x3|D.y=cosx

2.己知偶函数/(x)与其导函数g(x)定义域均为R,为奇函数，若2是的

极值点，则g(x)=O在区间(0,6)内解的个数最少有()个.

A.7B.8C.9D.11

3.已知/(x)是定义在R上的函数，且/(2x-l)为偶函数，-知为奇函数，当x时,

=则/(")=()

2

1-1

A.—1B.—C.—D.1

22

4.己知函数/(x)=4"+lnx-2的零点为占，g(x)存在零点x2,使人-马|＜；,则g(x)不

能是()

A.g(x)=3x3-2x2—3x+2B.g(x)=cos[x+1^j

C.g(x)=xe*-2-lnx-x+1D.g(x)=4'-1-2-'-1

5.已知定义域为R的函数/'(x)为偶函数，且/(x)在区间[0,y)上单调递减，则下列选项

正确的是()

、

B./^</(log5)</log[4

)4

a</log14</(log45

-41}37I37

/、/、

3

C.flog]4</(log45)</D./(log45)</log]4<f

I3J

37

xlnx,x>0,

6.已知函数T尤=。，若关于X的方程/(x)=依-1有5个不同的实数根,

xln(-x)-2,x<0.

则。的取值范围是()

A.(l,+oo)B.(2,+co)C.(l,e)D.(2,2e)

兀

1-sin—x,0<x<2

7.已知〃尤)是定义在R上的奇函数，当x>0时，〃x)=<若关于1的

^/(x-2),x>2

方程尸(%)-(a+l)〃x)+a=O(a£R)恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为()

A.-4B.8C.T或8D.4

8.已知函数y=/(x)满足/(%+2)=/。-2)且/(4—%)=/(%),当%40,函时,

X€0,—

2

，则函数尸(%)=/(%)-Hgxl在区间Q10]上的零点个数为(

A.0B.1C.5D.10

二、多选题

9.已知定义在实数集R上的函数/(%),其导函数为广(%),且满足

/(x+y)=/(x)+/(y)+孙，/■⑴=。,/”)=；，则下列说法正确的是()

A./(-1)=1

B.f(x)的图像关于点成中心对称

C./(1012)=1011x506

1012

D.£/伏)=1012x506

k=l

10.已知“X)是定义在R上的连续奇函数，其导函数为g(x)J(4元)=/(4-4x).当

时，g'(x)<0,贝I]()

A./(x)的图象关于直线x=l对称B.8是函数f(x)的一个周期

C.g(x)的图象关于点(2,0)对称D.g(x)在x=2028处取得极大值

11.已知函数/(x)=(x-l)lnx,g(x)=x2,下列命题正确的是()

A.若H(x)=/(x)-g(x),则7/(x)有且只有一个零点

B.若H(x)=W，，则H(x)在定义域上单调，且最小值为0

g(x)

C.若8(x)=f(x)-g'(x),则H(x)有且只有两个零点

试卷第2页，共6页

D.若“⑺二品’则“⑴为奇函数

三、填空题

12.已知办“eR,且加+2〃=2,则〃〃2'"+小22用的最小值为.

13.给定函数/(力=卜2+48(司=》+1,用Af(x)表示/(x),g(x)中的较大者，记

M(x)=max{/(x),g(x)}.若函数y=M(x)的图象与y=。有3个不同的交点，则实数〃的

取值范围是.

14.牛顿选代法又称牛顿——拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似

求解方程根的一种方法.具体步骤如下图示：设r是函数y=/(x)的一个零点，任意选取与作

为r的初始近似值，在点(xoJOo))作曲线y=/0)的切线4,设与4轴x交点的横坐标为七，

并称4为厂的1次近似值；在点(的,/(均))作曲线y=/(x)的切线4,设与4轴x交点的横坐

标为X2,称％为r的2次近似值.一般地,在点(无“,/(%))(〃eN)作曲线y=/(切的切线/向，

记1„+1与x轴交点的横坐标为加，并称3为r的力+1次近似直设“X)=丁+x_3(x»0)的

零点为，，取方=。，则厂的1次近似值为;若%为r的"次近似值，设。“=察当,

〃eN*,数列{即}的前〃项积为人若任意〃eN*,(＞几恒成立，则整数4的最大值为.

四、解答题

15.已知函数/(x)="xTnx-a,若/'(彳)的最小值为0,

(1)求。的值；

⑵若g(x)=犷(幻，证明:g(x)存在唯一的极大值点与,且g(xo)＜；.

16.函数/(x)=e"-4sinx+X-2的图象在尤=0处的切线为，=ax-a-3,aeR.

⑴求力的值；

⑵求/(%)在(0,+8)上零点的个数.

试卷第4页，共6页

17.已知函数/Or)」.■竺+a,其中awR.

e%

⑴当0=1时，求曲线y=y(x)在(OJ(O))处的切线方程;

⑵讨论“X)的极值.

2

18.已知函数/(%)=lnx+——。(％+1)(〃ER).

x

(1)当〃=-1时，讨论了(%)的单调性；

(2)若%,%(%<々)是/(X)的两个极值点，证明：/(X2)-/(X1)<

fl〃—1-y--y

19.给定自然数〃且“22,设44,,•,当均为正数，E%=T（T为常数），2亍J=L

M.=1T一XiT-X,

如果函数〃x）在区间/上恒有/"（x）＞0,则称函数〃x）为凸函数.凸函数〃x）具有性质:

/A小皮3]

⑴判断F（x）=/匚，xe（O,l）是否为凸函数，并证明；

1-X

X.、11,1

（2）设y=U（z，=1，2,，,〃），证明：---------1-----r；

7

T'yni-y„I

⑶求;^的最小值.

T-xn

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.C

【分析】根据题意，结合函数奇偶性的定义和判定方法，结合初等函数的单调性，逐项判定，

即可求解.

【详解】对于A中，由指数函数的性质，可得函数，=/为非奇非偶函数，所以A不符合

题意；

对于B中，函数"%)=尤-工的定义域为(-8,0)一(0,—)关于原点对称，

X

且〃-尤)=-(x-J)=-〃x),所以〃尤)为奇函数，所以B不符合题意；

对于C中，函数的定义域为R关于原点对称，且满足“_句=口3卜用=〃切，

所以“X)为偶函数，

当X6(0,+8)时，〃力=*3,在区间(0,+8)上单调递增，所以C符合题意；

对于D中，函数y=cosx在期间(0,+8)上不是单调递增函数，所以D不符合题意.

故选：C.

2.D

【分析】根据f(x)为偶函数，得到，'(x)=-f(T)ngQ)=-g(-x),g(x)为奇函数，求出

g(0)=0,再根据题目条件得到了[；+xj=/[1-x],进而得到g(x)=g(x+3),g(x)的周

期为3,由函数的极值点得到g(2)=0,且g(x)关于点g，°]对称，结合函数的周期性得到

8(劝=0在(0,6)内解最少有；1,1,匕32,匕53,：7,4,三95,三11,得到答案.

【详解】/(X)为偶函数，所以〃X)=/(T),求导得I，(x)=-r(T)=g(x)=-g(-x),

所以g(x)为奇函数.

g(x)定义域均为R,故g(0)=0,

因为/g-2x)为奇函数，所以-2力=-/匕+2苫)

故/匕一[=一/j+x],即f(x)关于点,0)对称，

两边求导得尤

即g[：+x,g||_x)ng(x)=g1|一x|,①

答案第1页，共21页

所以_g(T)=g-x]=g(T)=一8(T-x],

故g(X)=-g]x+|J,(2)

将X替换为x+1得g(尤+])=-g(x+3),

故g(x)=g(x+3),g(x)的周期为3.

故g(x)为周期为3的奇函数.

故g(0)=g(3)=0.

又2是/(尤)的极值点,得g⑵=0,

因为g(x)为周期为3故g(5)=0,

由g(x)=-g(-x)得g(-2)=-g(2)=。，

因为g(x)为周期为3,故g(D=0,g(4)=0.

又g(x)为奇函数，gCr)=-g(T)=gCr+3),得一g(-无)=g(尤+3),

所以g(x)关于点对称,故g||)=。，且g]|+3)=g]，=0,

由①得g(x)=g[T-x]ng6=g[q-l]=g(；]=0,

又g[]=g"=g0m

由②得g(x)=-g[x+T]ng⑴=-g1+0=_gH=0，

又g0=gC+3]=g'=O,

1357911

故g(x)=0在(0,6)内解最少有;,1,匕2,匕3,：,4,三5,二最少有11个.

222222

故选：D

【点睛】方法点睛：设函数y=f(x)，xeR,a>0,a#b.

（1）若〃x+a）=〃x-a）,则函数的周期为2a；

（2）若“x+4）=-/（x）,则函数的周期为2a；

若/（尤+。）=----二

(3)则函数“X）的周期为2a；

若小+力六,

(4)则函数〃x）的周期为2°；

（5）若〃x+a）=/（x+6）,则函数的周期为,一同；

答案第2页，共21页

(6)若函数的图象关于直线x=a与x=b对称，则函数〃元)的周期为2性-4；

(7)若函数外力的图象既关于点(。,0)对称,又关于点修,0)对称,则函数的周期为

2\b-a\；

3.C

【分析】先根据为偶函数，/(尤-2)为奇函数，求出函数的周期，再根据函数的周

期求解即可.

【详解】因为/(2尤-1)为偶函数，

所以〃2x-l)=/(-2x-l),即“x—=x—l),所以〃x)=/(—x—2),

因为/(x-2)为奇函数，

所以“T-2)—),

所以/(x)=—/。一2),即〃x+2)=—“X),

所以〃x+4)=_〃x+2)"(x),

所以函数/(x)是以4为周期的周期函数，

所以/。1)=/(3),

Xf(x+2)=-f(x),所以〃3)=-”1)=；,

即"11)=3.

故选：C.

【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命

题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合,

并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；

(1)函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数

图象的对称性.

(2)周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，

将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；

(3)周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的

区间，然后利用奇偶性和单调性求解.

答案第3页，共21页

4.C

【分析】求出函数/（%）的零点的取值范围，分别求出函数g（%）的零点，判断不等式

卜-封<:是否成立即可.

【详解】解:函数〃x）=4，+lnx—2定义域为（0,+“），

函数/（彳）在（0,+。）上单调递增，

而/出=4?+山；一2=-1112<0

/（1）=2>0,因此（<玉<1,

对于A,由g（%）=0,得（九+1）（九一1）（3九一2）=。，

2

解得或%=§或x=l，

显然玉或悦故A错误；

对于B,由g（x）=0,得cos[x+1||=0,

贝UJVH-----=kit-\—,kGZ,

122

兀

解得x=E+;，keZ,

取左=0,%此时存在零点/，使瓦—/kg，故B错误；

对于C,g（x）=xeA2—in光-九+1的定义域为（0,+e）,

g'（%）=（X+1）ex-2—g—1=（X+1）・（6"一2-,

令/2（%）=/2—由指数函数和塞函数的单调性可知：

X

/?（%）在（。,+8）上为增函数，

因为一>士，所以「万<4,

23

且彳|]=/3<0,//（2）=1-1>0,

所以玉。.|,2）使得Mx°）=eW一（=0.

答案第4页，共21页

当xe(O,尤o)时，g,(x)<0,g(x)为减函数,

当xe(%+co)时*g,(x)>0,g(尤)为增函数,

xe

g(尤o)=o*_一山龙o―尤。+1=x。+(无o-2)—x0+1=0,

所以g(x)存在零点％=/,

所以不满足值-马|<),故C正确.

Ax1

对于D,由g(x)=。，得^——二=0,

42r.2

则8'-2=0解得x=g,

/^=25+ln|-2>25+ln-^-2=2^-2.5>0,

即；<&—；<[<；，故D错误.

24o5122

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题c选项的关键是利用导数结合隐零点法得到e(l,2)使得

可尤。)=口-2---0,再利用零点存在性定理即可判断.

%0

5.A

【分析】先利用偶函数，把自变量为负数的等价到相反数来比较，利用对数运算估计和比较

对数值的大小，再利用函数在区间［。,行)上单调递减，就可以比较各选项.

/\

【详解】因为新14=一题34,所以/iogl4=/(-log34)=/(log34).

3k37

中0IUfln3+ln5Y(InlS?(lnl6Y,2/1

因为In3」n5<1——-——I=1^—1<1^—1=ln4,

ln4ln5,,-

所以丁二〉;~7,BoPn4>

In3ln4

3—

又]=log335=]o8后>log3Vi6=log34,

所以5>logs4>log45,又“X)在区间[0,”)上单调递减,

所以(1]<〃1幅4)<〃1叫5),

答案第5页，共21页

即/⑶</log3<〃啕5).

故选:A.

6.A

xlnx+1,x>0,

【分析】直线k依与函数Mx)=〃x)+1=，0,尤=0,的图象有5个交点，可得h(x)是

xln(-x)-l,x<0

奇函数，可得只需直线y=ax与曲线、=兄皿+1(尤>0)有2个交点即可，即方程a=lnx+4有

X

2个实数根，利用导数即可求解.

xlnx+1,x>0,

【详解】由题意得办=/(x)+l,则直线产依与函数Mx)=/(x)+l=0,x=0,的

xln(-x)-l,x<0

图象有5个交点.

显然，直线,=6与九(%)的图象交于点(o,o).

又当%>0时，一%<0,一x)=—xlnx—1=-h[x)；

当％v0时，-%>0,/z(-力=-xln(-x)+l=-/z(x)；

当x=0时，/z(x)=0,所以h(%)是奇函数，

则必须且只需直线y="与曲线y=%lm+l(x>0)有2个交点即可，

11_i

所以方程a=Inx+(有2个实数根.令《x)=Iru+；,则«x)=r，

当0<x<l时，f'(x)<0,f(x)单调递减;

当尤>1时，，(x)>0,f(x)单调递增,

所以f(x)与(l)=L

.又当x于0时，f(无)=ln无H—=—In—=i/—Inw,w=---->+oo以t(x)->+8；

XXXX

当了~F*+oo日寸，Inx—+8,---->0t(x)=InxH------+oo,

XX

所以必须且只需a>l.

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：直接法；

分离参数法；数形结合法.

答案第6页，共21页

7.C

【分析】先作出函数尤>0时的图象，设/(%)=/,求出f=l或=。，结合图象分类讨论，即

可求得答案.

【详解】/(x)是定义在R上的奇函数，则x=0时，/(0)=0；

TT

由题意知当0<xV2时，f(x)=1-sin—%,

当2Vx<4时，0<工一2<2,则/'(x)=g/(x-2)=；(l-sin](x-2)),

当4Vx<6时，2<犬一2〈4,则/(x)=g/(x-2)=；[l-s呜(x-4)),

依此类推，可作出当x>0时，〃x)=.时的图象

1/(x-2),x>2

设/(x)=t,贝ij/2(x)__(a+i)/(x)+a=o(aeR)即为/_(a+])r+a=o(aeR),

解得f=1或r=。，

当1=1时，f(x)=l有一个根为玉=2,

要使得方程f(x)-(a+l)/(x)+a=0(。eR)恰有4个不相等的实数根，

可分两种情况考虑：

当/="=：时，/(x)=g有3个根，不妨设为马，当，匕，且满足％+忍=2,匕=4,

此时这4个实数根之和为8；

结合函数的奇偶性可知，当一时，y(x)=有3个根，

+X

不妨设为三，苫6,尤7，且满足%6=-2,X7=-4,

此时这4个实数根之和为-4；

故选：C

8.B

【分析】将函数的零点个数问题转化为两个函数图象的交点问题，画出函数图象找交点个数

即可.

答案第7页，共21页

【详解】由题意，知4为函数y=/(x)的一个周期且函数/(》)的图象关于直线x=2对称.

当xe［0,2］时，由函数y=/(x)的解析式，两出函数f(x)的大致图象如图所示.

当xe(O,l)时，函数y=/(尤)的图象与函数y=|lgx|的图象有且仅有一个交点；

当龙€［1,10］时，总有/(元)21.而函数y=|lgx|在区间口［0］上单调递增且|lgl0|=l,

〃10)=〃2)=|>1,

所以函数y=/(尤)的图象与函数y=|igx|的图象在区间CM。］上没有交点.

综上，函数/(%)=/(尤)-Hgxl在区间9,10］上的零点个数为1.

故选：B.

【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做

到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维.使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确

的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的

相关结论求解.

9.ACD

【分析】对A、B,利用赋值法进行计算即可得；对C、D,利用赋值法后结合数列的性质

进行相应的累加及等差数列公式法求和即可得.

【详解】对A：令x=l,y=-l,则有〃0)=〃1)+〃一1)-1,故〃-1)=1,故A正确;

对B：令尤=y=l,则有〃2)=/(1)+〃1)+1,又“1)=0,故"2)=1,f(-l)=l^-/(2),

故B错误；

对C：令)=1,贝!］有/(x+l)=/(x)+/(l)+x,即/(x+l)_/(x)=x,

则/(1012)=/(1012)_/(1011)+/(1011)_/(1010)+-/(1)+/(1)

(1011+1)x1011MCTTN

=1011+1010++1+0=^-------------------=1011x506,故C正确；

2

对D：/(x+l)=/(x)+x,

则f'(x+1)=f'(x)+1,即f'(x+1)-⑺=1,

答案第8页，共21页

又［(l)=g,故-优)=3+左一1=4一),

cI-+1012--|xl012皿一

川Zf'(k)=—................------=1012x506;故口正确.

k=l2

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：本题C、D选项关键在于利用赋值法，结合数列的性质进行相应的累

加及等差数列公式法求和.

10.BCD

【分析】由已知可得/(力=/(4-力，可得函数的对称轴判断A；进而可得/(x+8)=

-〃4+x)=/(x),可得周期判断B；对/(—%)=—〃>)两边求导，得出g(x)为偶函数,对

/(力=〃4-力两边求导，从而得函数g(x)的周期性与图象的对称性判断C；g(x)在

［Y,-2］上单调递减，结合对称性与周期性可判断D.

【详解】由〃4x)=〃4-4力，得〃x)=〃4-x),所以/⑺的图象关于直线尤=2对称,

故A错误.

因为/(x)为奇函数，所以一/(x)=/(-x)=/(4+x),

则〃x+8)=—〃4+x)=〃x),所以8是函数的一个周期，B正确.

将f(-%)=—(%)两边同时求导,得_/'(_力=_小),即r(_x)=r(x).

又g(x)=f'(x)，所以g(—x)=g(x),所以g(x)为偶函数.

由/(x)=/(4—x),得/。)=一/'(4-x),即g(x)=-g(4-久)，

即g(x)+g(4—x)=0,所以g(x)的图象关于点(2,0)对称，C正确.

因为g(8+x)=-g(-4—x),g(x)为偶函数，所以g(8+x)=—g(4+x).

又g(x)=—g(4-久)，所以g(4+x)=-g(-x),所以g(8+x)=g(—x)=g(x),

所以8为g(x)的一个周期.

当2］时，g,x)<0,所以g(x)在［T,-2］上单调递减.

由g(x)为偶函数可知，g(x)的图象关于点(-2,0)对称，

答案第9页，共21页

所以g(x)在(-2,0］上单调递减，所以g(x)在［<0］上单调递减，

则g(x)在(0,4］上单调递增.根据g(x)的周期性可知，g(x)在(4,8］上单调递减，

所以g(x)在x=4处取得极大值.又g(2028)=g(253x8+4)=g(4),

所以g(x)在尤=2028处取得极大值，D正确.

故选：BCD.

11.ACD

【分析】对于A,根据零点存在性定理，利用导数要求其单调性，可得其正误；对于B,根

据单调性的定义，取几个点比较大小，可得其正误；对于C,利用导数研究其单调性，求得

其最小值，在其左右两边利用零点存在性定理，可得其正误；对于D,利用奇函数的定义,

可得答案.

【详解】对于选项A,由题意得H(x)=/(x)-g(x)=(x-l)lnx-x2,xe(0,+oo),

显然〃⑴=-1,故H。)存在零点，为判断其唯一性，对“(X)求导，

得H'(x)=lnx-：-2x+l,尤e(0,+co).由于不便于判断H'(x)的正负性，令"x)="'(x),

2rX+1

再对F(幻求导，^F(x)=-+4-2=~-t>xe(0,+8),令尸(x)=0,得尤=1,

XXX

易知在xw(0,1)中，F(x)>0,在xe(l,+co)中，F(x)<0,

所以H\x)在xe(0,1)上单调递增,在尤e(1,+8)上单调递减，

牙(x)的最大值为⑴=-2,故W)<-2<0,

即〃(尤)=/(x)-g(尤)=(x-1)Inx-尤2在%©(0,+co)上单调递减，

因此H(x)有且只有一个零点，故A正确.

对于选项B,80)=券^=@I?"%,xe(0,+oo),

g(x)x

由H(；］=241n2,H(；1=21n2,"(1)=0,H(2)=1ln2,

由241n2>21n2>1n2>0,则判断出H(x)在定义域上并不单调，故B错误.

2

对于选项c,H(X)=/(x)-g\x)=(x-l)lnx-2x,XG(0,+OO),

对"(x)求导，得H'(x)=lnx-工一1,%£(0,+8),

x

由于不便于判断“'(X)的正负性，令"x)=H'(x),得尸(x)=:+5>0,无€(0,y),

答案第10页，共21页

所以H'Q)在xe(O,+s)上单调递增，又因为0<e<e2,H,(e)=--<0,=2-4>0,

且H'(x)在xe(0,+oo)上连续，

所以，由函数的零点存在性定理，存在X。6(0,+8),使得“'(%)=0,

故所以H(x)在久e(0,久°)上单调递减，在x6(汽,+8)上单调递增，

XH(e)=(e-l)lne-2e=-l-e<0,//(e2)=(e2-l)lne2-2e2=-2<0,

所以7/(x)的最小值为H(^)=(x0-l)lnx0-2x0<0.

因为7/(x)在xe(0,+oo)上连续，所以在xe(0,而)中取

唱卜营小：一2：=2一1>0,

JJeee

在xe(%,+(»)中取//(e)=(e?_l)lne3—2/=1—3>0,

则存在4«0,%)中使得"(％)=0,存在%e(%,+8)中使得〃(马)=0,

故H(x)有且只有两个零点，故C正确.

对于选项D,“(加瑞2x

(|x|-l)ln|x|

由"(一"=-"(力，则得出〃(X)为奇函数，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】本题的解题关键在于利用导数研究函数的单调性，对于导数的处理方法一般有：法

一是对其分解因式，直接判断其与零的大小关系；法二是若函数为分式函数，取分子部分构

造函数再求导研究其单调性求最值,判断其与零答大小关系；法三是再次求导研究其单调性,

并求其最值，判断其与零的大小关系.

12.4

【分析】先根据等式将〃消去,构造函数/(m)=，〃""+小223=7〃.2恒+(2-m)"？然后

讨论机，研究函数的单调性求出最小值即可.

【详解】因为加+2〃=2,

所以f(m)=m-2m+n-22n+1=m-2m+(2-m)-22-m,

因为J(2-租)=(2-〃z)•22-m+[2-(2-ni)]-22-(2"n,=(2-m)-22f+m-2m=f{m)

所以f('n)关于m=1对称.

当N1时，

答案第n页，共21页

=r1+m-2"In2+42"T8-4〃?)2"hi2

J(2咛

cmcmic—4—(8-4/TZ)In2

=2m+rn-2mIn2+----------------——

2m

_2为+%•22"'In2-4一(8-4相)In2

一T

(4'"-4)+In2(m-4m+4m-8)

一T

因为m21,所以4"-420,

令g(ni)=m-4"(jn>1),所以g'(ni)=4m+m-4m-In4>0

所以g(m)=rn-4m在［l,+«>)单调递增，

所以〃?.4a+4〃L8在口,+s)单调递增，

即(4"-4)+In2(m-4m+4/n-8)>0,故f'(rri)20在口,+◎成立,

所以“⑺在口,+8）单调递增，同理，/（⑶在（Y,U单调递减,

所以当机=1时，/O）取的最小值,

故当机=1,〃=3时，犷2"'+小22用的最小值为4.

故答案为：4.

。。（2，+⑹

13.

【分析】在同一坐标系下画出"尤）=卜2+尤|赭（尤）=》+/的图象，求出交点坐标；结合图象

再做出满足条件的直线'=应进而求出〃的取值范围即可.

【详解】

Ix2+x(^x<-l^x>0)

+X=,g(x)=x+-,

一炉—x(—1<%<0)X

因为M(x)=max{〃x),g(x)},

答案第12页，共21页

所以图象变为:

yjk

\\jkM(x)

---------------------->

-1OX

其中(产+NL=*i<x<o),当且仅当^=-1时取最大值；

/(x)=|x2+x|

且设两函数在第一象限的交点为Q，即当X>0,y>0,1,

g(x)=x+-

解得：尸(1,2),

由题意与函数y=M(x)的图象有3个不同的交点，

由数形结合易知：0<a<g,或。>2,

4

故答案为：(0。1口(2,+“).

14.31

【分析】利用给定定义，整理出血包=瓷土1,求值解决第一空即可，利用q=¥普求

3xn+1+3

出工=%，进而得到北，再确定彳的最大值即可.

%+i

【详解】易知尸(x)=3f+l,设切点为(当,石+七一3),

由切线几何意义得斜率为34+1,故切线方程为y=(3%+1)食-%)+尤:+无“-3,

由给定定义知(七+>0)在该直线上，代入直线得x角=一只:m；3+%=*=，

X+13无a+1

当％o=。时，易知玉=3,故厂的1次近似值为3,

而函数“x)=J+x—3(x20)的零点为「，且/'")=3犬+1>0,

答案第13页，共21页

故在(0,+8)上单调递增，且〃1)<0,f(2)>0,

^/(2)./(1)<0,由零点存在性定理得re(1,2),

3333

由题意得；-->/(5,3),故而2是整数，故4"=1,

X

n+l丫乙2

故答案为:3；1

【点睛】关键点点睛：本题考查数列和导数新定义，解题关键是利用给定定义，然后表示出

—=an,求出北，得到所要求的参数最值即可.

Xn+\

15.(1)^=1

(2)证明见解析

【分析】(1)对函数求导后，分和〃>0两种情况讨论求解即可；

⑵令版x)=g'(x)=2x-2_lnx,求导后可得以幻在递减，［；,+4(递增，再结合零

点存在性定理得加x)在存在唯一的x。e使得g))=0,在］，+［存在唯一的

零点x=l,从而得尤=%是g(x)唯一的极大值点.

【详解】(1)f'(x)=a--^^—^(x>0),

当时，frM<0,所以/(X)在(0,+⑹上递减，则/'(X)没有最小值，

当。>0时，由:(x)>0,得了>工，由尸(x)<0,得0<工<!，

aa

所以/(X)在1o,£|上递减，在上递增，

所以x=L时，/(X)取得最小值==得4=1成立，

a\a)a

下面证〃=1为唯一解，

11—Z7

令，⑷=l+ln"Q,则*Q)=——1=---(a>0),

aa

当0vav1时，/(a)>0,当a>1时，，(。)<。,

所以，(。)在@1)上递增，在(1,+8)上递减，

所以《叽ax=«l)=。，

所以方程1+111。-"=0有且只有唯一解〃=1,

综上，a=l；

答案第14页，共21页

(2)证明:由(1)知g(x)=x2一x—xinx,g'(x)=2%-2—lnx,

19r—1

h(x)=2x-2-lnx,“(％)=2——=-------(x>0),

xx

I1

当0<x<—时，hr(x)<0,当％〉一时，h\x)>0,

22

所以Zz(x)在上递减，■，+［上递增，

因为=ln2—1<0,/z^—=—>0,h(y)=0,

所以以x)在［o,£|存在唯一的5jo,［使得刈毛)=0,在存在唯一的零点》=1,

所以当0<x<x()或彳>1时，h(x)>0,gpg'(x)>0,

当尤o<尤<1时，h(x)<0,即g'(x)<0,

所以g（x）在（0,x0）上递增，在（尤。,1）上递减，在（1,+◎上递增,

即％=不是g（x）唯一的极大值点,

gljo—o-xolnxo，

由双飞）=0,得In%=2（毛-1）,

-

所以g（%）=焉-2.x0（x0-1）=-1x0-—j+—,

因为不€„,所以g（x（））＜；.

【点睛】关键点点睛：此题考查函数的单调性，考零点存在性定理，考查导数的综合应用,

第（2）问解题的关键是二次求导后结合零点存在性定理确定出函数极值点的范围，考查数

学转化思想和计算能力，属于较难题.

16.（1）2=1

（2）/（彳）在（。,+8）上仅有1个零点

【分析】（1）利用导数的几何意义，求得切线的斜率，和切点，然后得到切线方程，利用对

应相等，即可求得4的值；

（2）利用一次求导和二次求导分析原函数和导函数的单调性，分xN兀与。＜彳＜兀两种情况

讨论，结合单调性和零点存在性定理，即得证.

答案第15页，共21页

【详解】(1)因为/'(x)=e""-4sinx+/l-2,/'(x)=zle''-4cosx,

所以八0)="4,所以切线斜率为4-4,即a=X-4,

所切线方程为y=(2-4)x-4+1

又/(0)=2-1,所以切点坐标为(0〃-1),代入得

则X—1=—几+1,解得4=1.

(2)由(1)得/(x)=e*-4sinx-l,/⑺=e*-4cosx,

令g(x)=r(x)=e*-4cosx,贝!]g<x)=e*+4sinx,

当XNTI时，r(x)=e*-4cosx>0恒成立，所以f(x)在[兀,+co)上递增，

所以/(%)>/(兀)=e"-4sin%-l>e71-5>0,

因此f(x)在E,+8)无零点；

当0<x<兀时，g<x)=e"+4sinx>0恒成立，所以(元)单调递增，

又/(OXTvOj'She』〉。，

所以尸(x)在(0,兀)上存在唯一的零点看,

当xe(0,/),尸(x)<0,/(x)单调递减；

当xe(%,兀),/(x)>0"(x)单调递增；

又/(0)=0,〃%)</(0)=0,f(n)=e-l>Q,

因此/'(x)在(0,无)上仅有1个零点；

综上，f(x)在(0,+℃)上仅有1个零点.

17.(l)2%+y-l=0

(2)答案见解析

【分析】(1)利用导数的几何意义求切线方程即可；

(2)求导，分类讨论/''(》)=0的两根大小，利用导数求出极值即可.

■、*HR、/«、、(4x—a)e*'—e*(21x--at+a)—2尤2+(q+4)x_2a

【详解】(1)y(x)=------------------------------------=-------------------------

(e)e

答案第16页，共21页

当。=1时，:(x)=F+，一,/(0)=-2,又•./(0)=1,

eA

故曲线>=〃力在(。,〃。))处的切线方程为>-1=-2"-0),即2x+y-l=0.

(2)/'(X)=一21+m+4)x—2“=(-21+”)(x—2)=0,解得芯=2,

exe无2

①若”4,可得或x>2时，尸⑺<0,当|<x<2时，〃x)>0,

所以在(-co，'|)(2,y)递减，("j"递增，

所以〃x)的极小值为了(泉=4,的极大值为了⑵=".

e2e-

②若4=4,则/'(x)W0,所以函数在R上单调递减，无极值；

③若a>4,当x<2或x>：时，f,(x)<0,当2<x<g时，/'(x)>0,

所以〃力在(-8,2),1,+力递减，(2,今)递增,

所以的极小值为"2)=与，/(x)的极大值为城)=4.

e"e2

综上，当a<4时，””的极小值为吗)==，〃x)的极大值为/(2)=".

e2e-

当a=4时，函数7'(X)无极值.

当a>4时，“X)的极小值为八2)=号，"X)的极大值为吗)=号.

ee2

18.(l)f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+8)上单调递增

(2)证明见解析

【分析】(1)将。=-1代入函数解析式，求出导函数，解导数不等式即可得到/(x)的单调

区间；