北师大版八年级数学上册 第二章 实数 知识归纳与题型突破（二十一类题型清单） （原卷版）

第二章实数知识归纳与题型突破（二十一类题型清单）

01思维导图

题型十一整数部分、小数部分问题

鹦一实数的幅与分类

y-题型十二实数的大小比较

题型二平方根与琳平方根

题型十三实数与数轴

题型三平方根立方根解方程问题

题型十四无嬲的估算

题型四算术平方根的非负性

题型十五程序框图

题亚立方根

实数

题型十七二次根式的概念、有意义的条件、求值

题型七平方根与立方根综合问题

/1Vk题型十八二次根式的化简

题型八算术平方根、立方根的实际应用

题型十九最简二次根式等有关概念

题型九小数点移动问题

题型二十二次根式的运算

题型十用计算器开方

题型二十一二次根式的应用

02知识速记

、平方根和立方根

类型

平方根立方根

项目

被开方数非负数任意实数

符号表示±Va\[a

一个正数有两个平方根，且互为一个正数有一个正的立方根；

相反数；一个负数有一个负的立方根；

性质

零的平方根为零；零的立方根是零；

负数没有平方根；

(右)2=a(a>0)(V^)3=a

重要结论行=心上叫=a

[-a(a<0)\l-a=-\[a

二、无理数与实数

有理数和无理数统称为实数.

1.实数的分类

［正有理数'

有理数零有限小数或无限循环小数

实数＜负有理数，

正无理数'

无理数＜＞无限不循环小数

负无理数,

要点：(1)所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数.其中有限小数和无限

循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数.

(2)无理数分成三类：①开方开不尽的数，如石，蚯等；

②有特殊意义的数，如“；

③有特定结构的数，如0.1010010001-

(3)凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.

2.实数与数轴上的点--对应

数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.

4.实数的运算

数。的相反数是一。；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它相反数；0的绝对值是0.

有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，

最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.

5.实数的大小的比较

有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.

法则L实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大;

法则2.正数大于0,0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；

法则3.两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.

三、二次根式的相关概念和性质

1.二次根式

形如、石(a20)的式子叫做二次根式，如百,应，面等式子，都叫做二次根式.

要点：二次根式&有意义的条件是a20,即只有被开方数。20时，式子”■才是二次根式，血才有意

义.

l/_.jrr（a20）

2.二次根式的性质（1）GaQg之6；（2）（忑）=a（a>0）；（3）电2=|。卜1_4（4<0）.

3.最简二次根式

（1）被开方数是整数或整式；

（2）被开方数中不含能开方的因数或因式.

满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如后,而,36,而工庐等都是最简二次根式.

要点：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.

4.同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.

要点：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.

四、二次根式的运算

1.乘除法

（1）乘除法法则：

类型法则逆用法则

___积的算术平方根化简公式：

二次根式的乘法4a^4b=4ab（a>0,Z?>0）r—厂r-.八，小

7ab=7ax7b（a>0,Z?>0）

商的算术平方根化简公式：

二次根式的除法=b>0）旧血,、…八、

4b以‘）T=为""0''>°

要点：

（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如

a4b-c4d=ac4bd■

（2）被开方数a、6一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如J（-4）x（-9）wax".

2.加减法

将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同

类二次根式.

要点：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并

同类二次根式.如亚+3亚-5后=（1+3-5）0=-V2.

03题型归纳

题型一实数的概念与分类

例题

舟。21131

1.在下列各数：3.1415926、—、小、痫中，无理数的个数（）

7111

A.2B.3C.4D.5

巩固训练

2.在实数-收,0.31,-（,-1彳,血?,疯两,0.1010010001…，（每隔一个1增加一个0）中，无理数有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

3.下列说法正确的是（）

A.两个无理数的和一定是无理数B.无限小数都是无理数

C.实数可以用数轴上的点来表示D.分数可能是无理数

4.把下列各数填人相应的集合内：

-7T」,3.1,±0.8080080008…（相邻两个8之间0的个数逐步甲1）,L五,我,后,“T

3942

整数集合｛…｝

负分数集合｛...）

有理数集合｛

无理数集合｛...）

题型二平方根与算术平方根

例题

5.下列说法正确的是（）

A.-8的立方根是±2B.（-4下的算术平方根是-4

C.J记的平方根是±4D.0的平方根与算术平方根都是0

巩固训练

6.下列计算正确的是（）

A.（G）=3B.土&=1C.VT6=±4D.3)2=—3

7.一个正数的两个平方根分别为4〃?-2与-则这个正数为（）

36

A.1B.2C.—D.4

25

8.下列说法中错误的是（）

A.1是0.25的一个平方根B.正数。的两个平方根的和为0

C.J9的3平方根是D.当xwO时，-/有平方根

164

9.J语的算术平方根等于（）

A.4B.±4C.2D.±2

题型三平方根、立方根的解方程问题

例题

10.解方程：

(1)(X-1)2=V36

(2)(X-1)3=-27

巩固训练

11.求出下列x的值.

(1)4/一49=0;

⑵27(x+iy=-64.

题型四算术平方根的非负性

例题

12.已知。、b为实数,且历^+卜-2|=0,则2a-3b的值为（）

9

A.-12B.-5C.—D.13

10

巩固训练

13.已知工，y为实数，且Gl+3（y+2）2=0,则x-y的值为（）

A.3B.-3C.1D.-1

14.已知[2。+可与国正互为相反数.

⑴求。、b的值.

⑵求2a-36的平方根.

15.已知一个正方形的边长为。，面积为S,则()

A.S=y[aB.S的平方根是。

C.。是S的算术平方根D.a=±\/~S

题型五立方根

例题

16.对于琳说法错误的是()

A.表示-8的立方根B.结果等于-2C.与-我的结果相等D.没有意义

巩固训练

17.下列说法正确的是()

A.任意实数都有平方根B.任意实数都有立方根

C.任意实数都有平方根和立方根D.正数的平方根和立方根都只有一个

20.已知机-a=-2,则夜的值是（）

A.±2B.2C.±3D.3

题型六立方根的性质及应用

例题

21.若次+乎7=0,则x和y的关系是（）

A.x=y=0B.x和y互为相反数C.不能确定D.x和y相等

巩固训练

22.已矢口以1一2x与歹3x-7互为相反数，则％=.

23.2a-l的平方根为±3,3a-6+l的立方根为2,则『2a+26+1的值为（）

A.-3B.3C.±3D.不确定

题型七平方根与立方根综合问题

例题

24.若一个数的算术平方根与它的立方根相同，则这个数是（）

A.1B.0或1C.0D.非负数

巩固训练

25.已知2a-1的平方根是±3,6-1的立方根是2,则a=_____,b=______,b-a的算术平方根是________

26.如果A2a+3b为。+3。的算术平方根，B=2a-b^-a2为1-/的立方根，则A+B的平方根为

题型八算术平方根、立方根的实际应用

例题

27.依次连结2x2方格四条边的中点得到一个阴影正方形，设每一方格的边长为1，阴影正方形的边长是

（）

+

A.2B.V2C.V3D.2.5

巩固训练

28.如图在长方形ABC。内，两个小正方形的面积分别为1和2,则图中阴影部分的面积为（）

29.已知一个正方体的体积是lOOOcn?,现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后

余下部分的体积为936cm3,则截去的每个小正方体的棱长是cm.

题型九算术平方根、立方根小数点移动问题

例题

30.如果起方。1.333,^23/7-2.872,那么423700、

巩固训练

31.已知近=°,则%.007+的000的值是（）

A.0.1〃B.aC.1.1aD.10.1a

32.已知Jo.1587~0.3984,6.587-1,260,W1587«0.5414知1.587它1.166聪明的同学你能不用计算器得出（1）

V15.87».（2）以0.001587-

题型十用计算器开方

例题

回国口叵叵国日则计

33.利用教材中的计算器依次按键如下:

算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（）

A.0.5B.0.6C.0.8D.0.9

巩固训练

34.在使用。F570型号的计算器时，小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三

步循环按键：

［始人［7］曰―|2ndF|［71r=T-»0S

第一步第二步第三步

若一开始输入的数据为5,那么第2022步之后，显示的结果是（）

A.5B.-C.—D.25

525

35.若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序为:

则输出结果为（）

A.8B.4C.-D.-

84

题型十一整数部分、小数部分问题

例题

36.若病的整数部分为加，则机的算术平方根的值最接近整数（）

A.2B.3C.4D.5

巩固训练

37.已知4+而的小数部分是4-而的小数部分是则S+6广3=.

38.已知正数x的两个不等的平方根分别是2“-14和。+2,b+1的立方根为-3；c是6的整数部分，若

a+\[3c=m+n,其中机为整数，0</<1,则（"+3）（6—机）=.

39.在学习《实数》内容时，我们通过“逐步逼近”的方法可以计算出行的近似值，得出1.4<逝<1.5.利

用“逐步逼近”法，请回答问题：

（1）J五介于连续的两个整数。和b，且。<b,那么。=_,b=_；

（2）如果若的小数部分为a,屈的整数部分为b,求a+b-逐的值;

（3）已知：10+&=x+y,其中x是整数，且0<y<l,求y-x的值.

题型十二实数的大小比较

例题

40.在实数1,0,--，-亚中，最小的是.

巩固训练

J-（填写“〉"吏或"="）

41.比较大小：—

2V4

42.比较大小：如二1

-（选填“>"，“<"或，="）

33

题型十三实数与数轴

例题

43.如图，实数一板+1在数轴上的对应点可能是（）

、A、q、q、i?，।»

-2-101234

A.A点B.B点C.C点D.D点、

巩固训练

44.下列说法正确的是（）

A.有理数与数轴上的点---对应

B.也是一个近似值，不是准确值

C.两个整数相除，如果永远都除不尽，那么结果一定是一个无理数

D.任意一个无理数的绝对值都是正数

45.观察下图，每个小正方形的边长均为1.

（1）图中阴影部分（正方形）的面积是，边长是;

（2）作图：在数轴上作出边长的对应点P（要求保留作图痕迹）；

-5-4-3-2-1012345

（3）在（2）题的数轴上表示1的点记为点N也在这条数轴上且MN=MP,直接写出点N表示的数.

题型十四无理数的估算

例题

46.估计22的值应在（）

A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间

巩固训练

47.已知a＜石＜b,a,b是连续的正整数，贝6的值为（）

A.4B.5C.6D.7

48.m.〃是连续的两个整数，若加＜几＜/，则，"+〃的值为.

49.下面是小李同学探索加的近似数的过程：

:面积为107的正方形边长是&而，且io＜VH万＜11,

设Vi而=io+x,其中o＜x＜i,画出如图示意图，

:图中S正方形=U+2X10尤+尤2，S正方形=107.

/.102+2xl0x+x2=107,

当V较小时，省略得20x+100al07,得到x20.35,即a而=10.35.

(1)内的整数部分是.

(2)仿照上述方法，探究旧的近似值.(画出示意图，标明数据，并写出求解过程，精确到0.1)

(3)结合上述具体实例，已知非负整数。、b、m,^a<4m<a+\,且"2=/+/,,请估算而.(用

a、b的代数式表示)

题型十五程序框图

例题

50.在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数Mxl<20)的运算程序如图所示，若输出的y值为行

时，则输入的实数x可取的负整数值是.

⑴当输入的X为36时，输出的y的值是；

（2）若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是；

⑶若输出的V>2,则无的最小整数值是.

题型十六材料信息题

例题

53.观察上表中的数据信息：则下列结论：①J2.2801=1.51；@723409-723104=1；③只有3个正整数a

满足15.2〈右<15.3;@Vl31-1.51<0.其中正确的是.（填写序号）

a1515.115.215.315.4

a2225228.01231.04234.09237.16

巩固训练

54.对于任何实数a,我们规定：用符号⑷表示不超过a的最大整数，例如：[2]=2,=1,卜2.5]=-3.现

对72进行如下操作：

第1次第2次第3次

72-----------►[^72曰-------->1x8J=2-----------►[^2尸1'

这样对72只需进行3次操作后变为1.类似地,只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是.

题型十七二次根式的概念、有意义的条件、求值

例题

55.下列式子属于二次根式的是（）

A.5B.1C.V3D.4

巩固训练

56.若代数式/在实数范围内有意义，则x的取值范围是___.

V4-x

57.已知Ja（q_2）=&,血-2,则。的取值范围是.

58.已知”是正整数，质而是整数，则”的最小值为.

59.已知x、y为实数，且y=VT万-7^7+4,则x、y的值分别为（）

A.9、4B.2、3C.4、9D.3、4

题型十八二次根式的化简

例题

60.化简：/1一向=

巩固训练

61.若xy<0,则曲化简后的结果是()

A.Xy/yB.Xyf-yC.-x-^-yD.-xy/y

62.实数〃，对应的点在数轴上的位置如图，则化简J（〃L2）2+J（〃L7）2的结果为（）

111■1

-i0I24

A.2m-9B.-5C.5D.9-2m

63.如果J(x_3y=3-了，那么x的取值范围是（）

A.x<3B.x<3C.x>3D.x>3

题型十九最简二次根式等有关概念

例题

64.下列二次根式中，是最简二次根式的是()

A。Q

B.也c.VilD.V12

巩固训练

65.下列根式中，是最简二次根式的是（）

A.415bB.J12a-12bC.yjx2-y2D.yl3a3b

66.下列各组二次根式中，能合并的是（）

A.G和0B.也和Mc.通和MD.6和

67.若最简二次根式工也行与衣哆是同类二次根式，则，=_.

68.如果最简二次根式J2尤+1和J4尤-3能合并,则x的值为（）

A.—B.—C.2