人教版初中八年级数学上册同步讲义-分式（解析版）

第01讲分式

学习目标

课程标准学习目标

1.掌握分式的概念并能够根据概念熟练解题。

①分式的概念2.掌握分式有意义的条件，并能够熟练解决相应的题

②分式有意义的条件目。

③分式的性质3.掌握分式的性质，能够熟练的应用分式性质进行约分

和通分。

思维导图

分式有意义的条件

分式的基本性质

知识清单

知识点01分式的概念

1.分式的概念：

A

一般地，若A与8均是整式且3中含有字母，那么式子一叫做分式。其中A叫做分子,

B

B叫做分母。

2.分式满足的三个条件：

A

①式子一定是一的形式；

B

②A与B一定是整式；

③8中一定含有字母。

简单理解：分母中含有字母的式子就是分式。

题型考点：①分式分判断。

【即学即练1】

1.下列各式，层.221x+13，也，属于分式的有（

3n2Dx+12

A.4个B.3个C.2个D.1个

【解答】解:x+13.是分式，共2个.

px+1

故选：C.

【即学即练2】

21

2.代数式2x,12x22_1x+1匚k中,属于分式的有（）

5元X2+4xX-1

A.2个B.3个C.4个D.5个

21

分式有：一一

【解答】解:2X+1

x?+4x7^2X-1

整式有：2尤,

5*

分式有4个,

故选：C.

知识点02分式有意义的条件

1.分式有意义的条件:

A

即要求分式的分母不能为0。即一中，B不为0。若分母能够进行因式分解，现将分母进

B

行因式分解，让每一个因式都不为0。

题型考点：①根据分式有意义的条件求值。

【即学即练1】

式子需有意义（

3.当x取什么值时,)

A.x=—B.尤=-5C.x^—D.尤W-5

22

【解答】解：由题意可得X+5W0,

则xW-5,

故选：D.

【即学即练2】

4.若分式丝且有意义，则实数x的取值范围是xW-7.

x+7

【解答】解：•.•分式虻工有意义,

x+7

.'.x+7^0,

解得xW-7.

故答案为：xW-7.

【即学即练3】

5.当x为一切实数时，下列分式一定有意义的是（）

C.x?+lD.

x3+l1x1-1

【解答】解：A.当x=-l时，该分式没有意义，故本选项不合题意;

B.•.,/》（），

；.?+1>0,

.•.当x为任意实数时，该分式一定有意义，故本选项符合题意；

C.当x=-l时，该分式没有意义，故本选项不合题意；

D.当》=土1时，该分式没有意义，故本选项不合题意；

故选：B.

知识点03分式的值

1.分式的值为。的条件：

分式的值为0的条件为要求分子必须为0,同时要求分母不为—0o

A

即一中，A=0,BW0。

B

对能分解因式的分子分母进行因式分解，让分子里面的所有因式的值等于0,让分母里面所有因式的

值不等于0o

题型考点：①分式值为0的条件。

【即学即练11

2

6.若分式三口的值为0,则无的值是（）

21

x-1

A.0B.1C.1或0D.0或-1

【解答】解：根据题意得/-x=0且1W0,,

解得x=0.

故选：A.

【即学即练2】

7.分式（x+2;（x+3）的值为0,则x的值为（）

x-4

A.2或-2B.2C.-2D.-3

【解答】解：•.,分式（纪的值为0,

x-4

・•・（x+2）（x+3）=0且/-4W0,

解得：x=-3,

经检验，％=-3是方程的解，

故选：D.

【即学即练3】

8.若分式」*的值为0,则x的值为（）

x+3

A.±3B.0C.-3D.3

【解答】解：由题意得（鼠卜3=0,

Ix+ST^O

解得％=3.

故选：D.

2.分式的值：

AA

若分式一的值是正的，则45>0,即A与B同号；若分式一的值是负的，则45V0,即A与5

BB

异号。

题型考点：①根据分式的值求取值范围。②根据式子的值求分式的值

【即学即练1】

9.若使分式工5的值为负数，则x可以取的值为（）

2x-5

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：•；/+：!>0,

.•.当分式史工的值为负数时，

2x-5

2x-5<0,

解得X<$，

2

故选：A.

【即学即练2】

10.若分式6”2的值为整数,则正整数％的个数为()

【解答】解：6汴2

x-x-6

—6(x+2)

(x-3)(x+2)

=6

•.•分式6广12的值为整数,

x-x-6

.•.X-3=±1或±2或±3或±6,且％+2W0,

二.正整数冗=4或2或5或1或6或9,共6个,

故选：B.

【即学即练31

22

11.已知x+y=5,孙=2,则x.的值为(

x2y+xy2

27

10

【解答】解：原式=«皿2

xy(x+y)

把x+y=5,孙=2代入得：

原式=空2=21.

2X510

故选：D.

【即学即练4】

12

12.已知x工=2，则--------的值是()

X-x4“,+n2.-x2".+1l

1

9

42

【解答］解：Vx+2x+l=x2+2+1.

22

xx

—(x~—)2+2+2

=4+2+2

=8,

2

x的值为工,

X4+2X2+18

故选：c.

知识点04分式的性质

1.分式的性质的基本内容：

分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于o的整式,分式的值.不变

2.式子表达：

AACAA-i-C

（A、B、C均是整式且CWO）

B~BC'B~B+C

3.分式的符号改变法则:

分式的分子，分母以及分式本身均有符号,改变其中任意两个符号分式不会发生改变。

A—A—AA

即13rl：一=---=-----=-----

B-BB-B

题型考点：①分式基本性质的应用。

【即学即练11

13.下列等式从左到右的变形一定正确的是（)

2

A软=g软=acCD.曳=旦_

bb+mbbe,bk-bbb2

【解答】解：A、旦片至私（相#0）,所以A选项不正确;

bb+m

B、若c=0,则且力生，所以2选项不正确;

bbe

c、包£=曳，所以c选项正确；

bkb

D、A=所以£）选项不正确.

bb2

故选：c.

【即学即练2】

14.根据分式的基本性质，分式可变形为（）

2b

A.-A_aQ-2aD.4a

a-b-2ba+2b2a-4b

【解答】解：A.••2a2aa

2a-2b2(a-b)a-b

2a于__a_,故本选项不符合题意;

a-2ba-b

B._匆_/」_,故本选项不符合题意;

a-2b~2b

Q2a_-2a丰-2a故本选项不符合题意；

a~2b~a+2ba+2b

D2a_2aX2_至一，故本选项符合题意;

-a-2b(a-2b)X22a-4b

故选：D.

【即学即练3】

15.若把分式维中，尤、y都扩大到原来的3倍，则分式的值()

x+y

A.不变B.扩大3倍C.扩大9倍D.不确定

【解答】解：3X3X.=9xJ幺，所以分式的值不变.故选人

3x+3y3(x+y)x+y

【即学即练4】

16.把分式立中的尤，y都变为原来的5倍，则分式的值()

x+y

A.变为原来的5倍B,不变

C.缩小到原来工D.变为原来的25倍

5

【解答】解：曳电工学Rq.

5x+5y5(x+y)x+y

.♦•分式的值不变，

故选：B.

题型精讲

题型01分式的判定

【典例1】

2

下列各式：3a+b212R1X二,分式有（）

~Tx5y，5,

ax-lX

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解答】解：1上1，三2-是分式,

ax-1x

故选：C.

【典例2】

a+b2121

下列各式：3x5y，3s,工中，分式有（)

a~7~x-l8m

A.1个B.2个C.3个D.4个

a+b131

【解答】解:下列各式：322,5,其中，分式有:—,—，―,共有3

a~7~x2丫x-l8max-8m

个.

故选：C.

【典例3】

xtx+x*其中分式有（

下列各式：/+5x,)

—2---x-

A.1个B.2个C.3个D.4个

2X

【解答】解:七区是分式，共1个,

x

故选：A.

【典例4】

在式忖券;3abe.59』式中，分式的个数是（

)

4-6+xyx

A.5B.4C.3D.2

【解答】解：在式子工；2xy；3abe5

a兀~4~6+x9吟4

x2

分式有：1;_L_；9x%

a6+xx

即分式有4个.

故选：B.

题型02分式有意义的条件

【典例1】

要使分式一2—有意义，则x应满足（）

l-x

A.x>\B.x<lC.xWlD.x=l

【解答】解：•.•分式/-有意义，

l-x

1-xWO,

解得1.

故选：C.

【典例2】

要使分式互1有意义，则X应满足的条件是（）

x-2

A.%W2B.%W0C.xW-1D.-2

【解答】解：依题意得：x-2W0,

解得xW2.

故选：A.

【典例3】

要使式子乂变支有意义，则m的取值范围是（）

m-1

A.m2-1且小W1B.mW1C.m>1D.m>-1

要使式子强［有意义,

【解答】解:则m-1/0,

m-l

解得mW1,

故选：B.

【典例4】

下列分式中，有意义的条件为％W2的是（)

x-2

A•七C.XD.

B•贵7^x-l

二有意义，

【解答】解：4、・；.•.2x-4#0,解得x丰2,符合题意;

2x-4

;工有意义,

B、.•.x+2#0,解得xW-2,不符合题意;

x+2

C、有意义，.•.X+2W0,解得尤W-2,不符合题意;

x+2

D、•.•三2有意义，1W0,解得xWl,不符合题意.

X-1

故选：A.

题型03分式值为0的条件

【典例1】

2_o

当x______时，分式7~的值为0.()

(x-1)(x-3)

A.x=3B.x=lC.x=±3D.x=-3

f2

【解答】解：由题意得：X-9=0,

L(x-1)(x-3)卢0

解得力=-3.

故选：D.

【典例2】

若分式x（x-l）（X-2）的值为。则X的值为（）

x"-4

A.0或1或2B.0或-2或2C.0或1D.0或-2

【解答】解：•.•工（旦5-2）的值为0,

x-4

.,.x（x-1）（x-2）=0且/-4W0,

解得：x=0或x=l.

故选：C.

【典例3】

如果分式」X1:2的值为零,那么X等于（）

x-2

A.2B.-2C.2或-2D.0

【解答】解：..Jx的值为零,

x-2

/.W-2=0且无-2#0,

解得x=-2.

故选：B.

【典例4】

2

若分式工^的值为0,则X的值为（）

x+8

A.8B.-8C.8或-8D.4

【解答】解：由题意得:

X2-64=0,

x+87t0

解得x=8.

故选：A.

题型04式子的求值问题

【典例1】

若分式与鱼的值为负数，则X的取值范围是（）

x2+l

A.%为任意数B.x<2C.x>-2D.%W2

【解答】解：V?+l>0,

要使分式络生的值为负数，

xJ+l

即2x-4<0,

：.x<2.

故选:B.

【典例2】

若分式红白的值为正，则x的取值范围是（）

X

A.Y〉/B.

22

C.X>-A,且无WOD.x<-X

【解答】解：•♦•/>（）,且xwo,分式笔L的值为正，

x

：.2x+l>0,

..x>」，

X2

X〉」•且无WO.

2

故选：C.

【典例3】

若分式£'-12的值为正整数,则整数x的值为0,1.

x-2x-3

【解答】解：♦餐-124（,3]=_A_值为正整数,且x#3,

X2_2X_3（X-3）（X+1）X+1

整数尤的值为0,1.

故答案为：0,1.

【典例4】

则2x-3xw2y的值为（

若尸）

■l-2xy+xy-x

A.—B.-1c.上D.J-

333

・\y-2xy=x,

・力-x=2xyf

・2x-3xy-2y2x-2y-3xy

y+xy-xy-x+xy

_~7xy

3xy

-—--7，

3

故选：D.

【典例5】

已知?-3x-m=0,则代数式一^——的值是（）

x-x-m

A.3B.2C.—D.—

32

【解答】解：由x2-3x-m=0得冗2-m=3%,

则X=X上二,

2

x_x_m3x_x2x2

故选：D.

题型05分式的性质

【典例1】

下列等式从左到右变形正确的是（）

22口

A.^—=xB.———-=1

X3X2

2

C,且=-1D.工事

x-yxv2

21

【解答】解：A.鼻=工，故本选项不符合题意;

.3V

B.2/=1+二，故本选项不符合题意；

x22x

C.±X.=-（x-y）=7,故本选项符合题意;

x-yx-y

D.工W",故本选项不符合题意.

Xx*x

故选：C.

【典例2】

根据分式的基本性质，把分式上（x卢0,y。0）中的分子、分母的尤,y同时扩大2倍,那么分式的值（

x+y

A.扩大2倍B.缩小2倍C.改变D.不改变

【解答】解：根据题意得：-^—=—在—=工，

2x+2y2（x+y）x+y

即分式的值不改变.

故选：D.

【典例3】

若分式史纥中的x,y都扩大原来的3倍，那么分式的值（）

3x-2y

A.扩大为原来的9倍B.扩大为原来的3倍

C.不变D.缩小到原来的2

3x+2X3y_3(x+2y)_x+2y

【解答】解：分式的都扩大原来的

x,y3f3X3x-2X3y―3(3x-2y)—3x-2y

即x,y都扩大原来的3倍后分式的值不变，

故选：C.

【典例4】

下列分式从左到右的变形中正确的是（）

x二1

x(mtn)m+n

C.三上11_a

yy+1a_2a(a_2)

【解答】解：A、/X=上故A不符合题意;

X（x-l）X-1

B、,X故B符合题意；

x（m+n）m+n

c、故C不符合题意；

yy+1

（〃/0）,故。不符合题意;

a(a-2)

故选：B.

【典例5】

分式变形上=/_中的整式4=2》,变形的依据是分式的分子与分母同乘（或除以）一个不

2

x+2X-4

等于0的整式，分式的值不变.

【解答】解：：/-4=（x+2）（X-2）,

.•.分式变形一—=<—中的整式A=x（x-2）=x2-2x,

2

x+2X-4

依据是分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于。的整式，分式的值不变.

故答案为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.

1.下列式子中是分式的是（

c.m

~2~2a-b

【解答】解：工，纥L,三是整式;

526

故选：C.

2.若分式一不论x取任何数总有意义，则相的取值范围是（）

x-2x-hm

A.m^lB.YYI>1C.D.mW1

【解答】解：・・•不论x取任何数分式总有意义，

Ax2-2x+m7^0,

J方程»-2%+根=0无解，

A=4-4m<0,

解得：m>1,

故选：B.

3.下列关于分式的判断，正确的是（）

A.当x=3时，空!2_的值为0

x-3

B.当x#3时，上乜有意义

X

C.无论X为何值，工不可能是整数

X+1

D.无论x为何值，年一的值总为正数

x2+l

【解答】解；A.当x=3时，空!支无意义，故A不符合题意.

x-3

B.当x#0时，三3有意义，故3不符合题意.

x

C.当x=4、0、-2、-6时，是整数，故C不符合题意.

x+1

。.根据偶次方的非负性，得/+1>0,即无论x为何值，年­的值总为正数，故Z）符合题意.

x2+l

故选：D.

2

4.下列结论：①无论。为何值，力一都有意义；②当。=-1时，分式用L的值为0；③若三二L的值

a+1a-1x-1

为负，则尤的取值范围是无<1;④若包.211有意义，则x的取值范围是xW-2且其中正确

x+2x

的个数是（

A.1B.2C.3D.4

【解答】解:①•.小2,

.,.a2+1^1^0,

不论。为何值"一都有意义，故此结论正确；

a2+l

②•.,当4=-1时，

/.a2-1=1-1=0,此时分式无意义，故此结论错误；

③•.•若的值为负，

X-1

・•・％-1<0,

Ax<l,故此结论正确；

④；包・三包有意义，

x+2x

'x+2户0

x卉0，

x+lKO

解得xW-2,尤#0且x#-1,故此结论错误.

综上所述，其中正确的个数是2.

故选：B.

5.若包萼，则史主的值为（）

b2a

A.—B.—C.—D.—

3552

【解答】解：•.•包=3,

b2

・R2a

3

.a

则a+b__3_=^.1

aa3

故答案为：A.

6.不改变分式的值，使分母的首项系数为正数，下列式子正确的是（）

A.-a+ba+bB.-x+1

-a-ba-b-x-1x+l

-

C.11D.-ba_a+b

-x+yx+y-a-ba-b

【解答】解：不改变分式的值，使分母的首项系数为正数，根据分式的基本性质，分子分母同除以-1,

故选：B.

7.如果将分式空之上中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（）

xy

A.不变B.扩大到原来的9倍

C.缩小到原来的1D.扩大到原来的3倍

3

【解答】解：把龙和y都扩大3倍后，原式=织曳=在①，

9xy3xy

约分后缩小到原来的1,

3

故选：C.

8.已知三个数。、b、c满足二U,冬,则__abc_的值是（）

a+b5b+c6c+a7ab+bc+ca

D-20

【解答】解：•••工』，昆=1,与

a+b5b+c6c+a7

・a+b：b+crc+a

abbeca

abbcac

：.2（1二」■）=18,

abc

.111.Q

abc

•・•--a-b-c------_1-,

ab+bc+ca9

故选：A.

9.下列四个代数式1,mf-1,x+1,请从中任选两个整式，组成一个分式为二一（答案不唯一）（只

-x+1

需写出一个即可）.

【解答】解：分式为‘

X+1

故答案为：_±_（答案不唯一）.

x+1

10.已知a,b互为相反数，c,d互为倒数，|刑=2,则且生_方2+23的值是-2

m

【解答】解：・・・〃，。互为相反数，c,d互为倒数，闭=2,

.•・〃+/?=（）,cd=l,m=4,

.­.AtL_m2+2cd=0-4+2=-2.

故答案为：-2.

11.如果分式」ml二f的值等于0,那么m=-4.

Im-4I

【解答】解：由题意得:|刑-4=0且防-4|#0,

.•.m=±4且

Am的值为-4,

故答案为：-4.

222

12.已知卫二的值为5,若分式3一中的％、y均变为原来的2倍，则工-的值为10

x+yx+yx+y

2

【解答】解：•.•工-=5,

x+y

...（2x）2==^^=2*5=]0,

2x+2y2x+2yx+y

故答案为：10.

13.已知a,b,c均是非零有理数，请完成下面的探索：

（1）试求丁义丁的值；

IaI

（2）试求生+占的值；

lailbI

（3）请直接写出生+占+4T的值.

IaIlbIIcI

【解答】解：（1）当。为正数时，1当=