初中数学复习：角

4.2角

一、课标导航

课标内容课标要求目标层次

会认识角并会表示；认识度、分、秒，并会进行简单换

★

算；会度量角的大小及进行简单的计算

会比较角的大小，能估计一个角的大小；了解角平分线的

★

角概念

会尺规作图：做一个角等于已知角★★

会用角平分线的性质解决简单问题，结合图形认识角与角

★★

之间的数量关系

二、核心纲要

1.角的定义

定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角

的两条边.角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关.这是因为角的边是射线而

不是线段.

定义2：角是由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所形成的图形，处于初始位置的那条射

线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边.

⑴如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角.

(2)如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角.

注：由角的定义可知：

(1)角的组成部分为：两条边和一个顶点.

(2)顶点是这两条边的交点.

(3)角的两条边是射线，是无限延伸的.

⑷射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部.

⑸若没有特殊说明，本章指的角是(0。〜180。之间.

2.角的表示方法

(1)利用三个大写字母来表示，如图所示：ZAOB

注：顶点一定要写在中间.也可记为.NBO4但不能写成NBA。或乙4BO等.

(2)利用一个大写字母来表示，如图所示：ZA

注：用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的

角有目只有一个.

⑶用数字来表示角，如图所示：Z1

3.角的分类、度量及换算

⑴角的分类

角按大小可分为三类：

①锐角——小于直角的角（（0。<a<90°）

②直角——等于90。的角（（a=90°）

③钝角——大于直角而小于平角的角（90°<a<180°）

⑵角的度量单位及其换算

角的度量单位是度、分、秒.把平角分成180等份，每一份就是一度的角，记做H把一度的角60

等份，每一份叫做1分的角，记做「.把一分的角60等份，每一份叫做1秒的角，记做1".

1度=60分（（1。=60，）1分=60秒（（1，=60"）

（3）角的度量

度量角的工具常用量角器

用量角器注意：对中（顶点对中心）、重合（角的一边与量角器上的零刻度重合）、读数（读出角的另

一边所在线的度数）

4.角平分线

定义：从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线.

用尺规做已知角的平分线方法

作法：⑴以。点为圆心，以任意长为半径画弧，交角的两边于A、B两点；

⑵分别以A、B两点为圆心，以大|2AB长为半径画弧，交于C点乂

⑶过C点作射线OC.'

射线OC就是所求作的.

5.余角和补角

如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角.简称“互补”.

如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，简称“互余”.

补角、余角的性质：同角或等角的补（余）角相等.

6.方位角

方位角一般以正北、正南为基准，描述物体运动方向.即“北偏东XX度”、“北偏西XX度”、“南偏东

XX度”、“南偏西xx度”，方位角a的取值范围0°<cz<90。:北偏东45度”为东北方向，“北偏西45度”

为西北方向，“南偏东45度”为东南方向，“南偏西45度”为西南方向.

7钟表问题

钟表问题是指研究时钟的长针（分针）与短针（时针）成直线、成直角与重合等问题.

注：分针每分钟走嘤=6度，时针每分钟走案=0.5度，分针每分钟比时针多走（6-0.5）度.

OU6U

本节重点讲解：一个方法（角的表示方法）,一个性质（余角、补角的性质），四个概念（角、角平分

线、余角和补角）.

三、全能突破

基础演练

1.在下列说法中，正确的是（）

①两条射线组成的图形叫做角；②角的大小与边的长短无关；③角的两边可以一样长，也可以一

长一短；④角的两边是两条射线.

A.①②B.②④C.②③D.③④

2.如图4-3-1中角的表示方法正确的个数有（）个

Q_________ABAOB

ZABCzCCAB直线是平角N/OB是平角

图4-3-1

A.lB.2C.3D.4

3.下列四个图形中，能用Nl,ZAOB,NO—种方法表示同个角的是()

X-

»CD

A.BLC.D.

4.如图4-3-2所示，图中共有()个角D

A.6B.7

C.8D.9

A

m,o-------------------

5.若=20°18；=20。15'30〃/。==20.25。,贝山)

图4-3-2

A.ZA>ZB>ZCB.ZB>ZA>ZC

C.ZA>ZC>ZBD.ZC>ZA>ZB

6.计算(1)0.5°=/.

(2)3060〃=,.

⑶④

(4)32.81°=,.

(5)51°24'36〃=,.

（6）16°51,+38°27,X3-90°=.

（7）34°50,+4°36,x2=.

7.（1）已知Na=50。171,求/a的余角和补角.

（2）已知一个角的补角比它的余角的3倍多10。,求这个角的度数.

8.时钟表面3点45分时，时针和分针所夹角的度数是多少?

能力提升

9.上午九点钟的时候，时针与分针成直角，那么下一次时针与分针成直角的时间是（）

A.9时30分B.10时5分C.10时5V分D.9时32白分

10.张老师出门散步，出门时5点多一点，他看到手表上分针与时针的夹角恰好为110。.回来时接近6

点，他又看了一下手表，发现此时分针与时针再次成110。角.则张老师此次散步的时间是（）

A.40分钟B.30分钟C.50分钟D.以上答案都不对

E

11.如图4-3-3所示,0为直线AB上一点,OC平分NAOE,NDOE=90。,则以下结D\/

论正确的是（）

①NAOD与NBOE互为余角；circ加2N4OD=^NCOE;AOB

2图4-3-3

③NBOE=2NCOD;④若.2BOE=57。50',贝！］乙COE=61°5;

A.①④B.①③④C.③④D.①②③④

12.如图434所示，要将角钢（图434（a））弯成145。（图434（b））的钢架，在角钢上截去的缺口（图4-3-4

（a冲的虚线）应为度

(b)

图4-3-4

13.如图435所示，A、B、C、D是北京奥运会场馆分布图，请结合图形回答问题.

为了方便指明每个场馆的位置，以天安门为中心（即点O的位置）建立了位置指示图，直线CO与

DE相交于点O,乙COD=90。,请按要求完成下列问题：

①若在图上测得。4=20mm,OB=54mm,Z.BOC=AAOE=36。.，则可知场馆B的位置是北偏

西36。,,距中心54mm，可简记为（54mm,北偏西36。）“据此方法，场馆A的位置可简记为（_________

②可求得ABOA=

③在现有的图形中（不增加新的字母），NAOD与—是互补的角.

14.如图4-3-6所示,在锐角.乙40B内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同射线，可得6个锐

角；画3条不同射线，可得10个锐角；……，照此规律，画10条不同射线，可得锐角多少个？

画n条射线，可得锐角多少个？

15画AMAN=60。,,在边AM上取AC=3cm,以点C为顶点,CA为一边，在AN同侧作乙ACP=90。,在边

AN上截取AB=2cm,,以点B为顶点，BA为一边，在AM同侧作^ABQ=90°,BQ与CP交于

点D,请测量CD、BD的长及乙84。的度数.

16.已知a的余角是P的补角的并且6=|a,试求a+0的度数.

17.如图4-3-7所示，若4AOB=乙COD=工44。0,已知乙COB=80。,求42。艮N力。。的度数.

6

图4-3-7

18.按如图438所示方法折纸，然后回答问题：

⑴N2是多少度？为什么？

⑵N1与/3有何关系？

⑶N1与/AEC/3与/BEF分别有何关系?

19.已知如图439所示,OB、OC分别为定角.乙4。。内的两条动射线

(1)当OB、OC运动到如图的位置时，Z.AOC+乙BOD=110。,乙4OB+乙COD=50°,求乙4OD的

度数.

图

(2)在(1)的条件下，射线OM、ON分另为N40B、NCOD的平分线，当NCOB兼4-3-9

着点O旋转时，下列结论：(①乙4OM-WON的值不变；(②NM0N的度数

不变.可以证明，①②只有一个是正确的，请你做出正确的选择并求值.

20.现有一个17。的“模板”（如图4-3-10所示），请你设计一种办法，只用这个“模板”和铅笔在纸上画出

1。的角来.

图4-3-10

21.如图4-3-11所示，已知O是直线AB上一点,Nl=4（r,OD平分

NBOC,则N2的度数是（）

A.20°B.25°

C.30°D.70°

22.从3时到6时，钟表的时针旋转角的度数是（）

A.30B.600

C.90°D.120°

巅峰突破

23.图4-3-12所示是一个3x3的正方开为贝UN1+N2+N3+…+N9=

图4-3-12

24口、dy中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算卷（a+£+y）的值时，有三位同学

分别算出了23。、24。、25。这三个不同的结果，其中只有一个是正确的答案，则a+0+尸—.

25.已知NAOB是钝角.OC、OD、OE是三条射线，如果OC±OA,OD平分NAOBQE平分NBOC,那么

NDOE的度数是—.

基础演练

1.B.

【提示】①有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故错误；

②角的大小与边的长短无关，故正确；

③角的两边是两条射线，射线不能度量，所以不能说长或短，故错误；

④角的两边是两条射线，故正确.

②④正确.

2.B;3.B;4.A;5.A

6.(l)30,1800;(2)0.85,51;(3)l,60;(4)32,48,36;(5)51.41;(6)42°12,;(7)44°2,

7.⑴Na的余角=90°-50°17,=39°43',Na的补角=180°-50°17,=129°43；

⑵设这个角为x°,则它的补角为180。-x。,它的余角为90。十。根据题意得180-x=3(90-x)+10,解

得x=50.这个角的度数为50°.

8.整3点时，时针指向3,分针指向12,这时候时针与分针之间的夹角为90。.在3点45分时，

分针指向数字9,此时分针共旋转了卷x360。=270。，而时针的速度只有分针上2，故时针旋转了

270°~=22.5。.故时针与分针的夹角是：22700-90°22.5°=157.5°.

能力提升

9.D

【提示】设再次转成直角的时间间隔为x，则

(6-x=180

•••%=32—.

11

所以下一次时针与分针成直角的时间为9时32总分.

10.A

【提示】设张老师这次散步时间为x分钟，贝［|(6-0.5)x=220.・・・x=40.

11.B

12.35

13.①20mm，北偏东54。;②90。;③NAOE,NBOC.

1

14.66;-(n+1)(n+2)

【提示】先探索其一般规律：

画1条射线，可得3个锐角，其中：3=1+2.

画2条不同射线，可得6个锐角,其中：6=1+2+3.

画3条不同射线，可得10个锐角，其中：10=1+2+3+4.

在锐角NAOB内部，画n条不同射线，可得锐角个数为：

=1+2+34------Fn+(n+l)=j(n+l)(n+2)

因此，在锐角NAOB内部，画10条不同射线，可得锐角个数为：|x(10+1)(10+2)=66

(个).

15.图略

经测量CD=0.58cm,BD=2.3cm,ZBAD=49°,答案是标准答案，测量后会有一定误差.

16根据题意可得：90°-a=ix(180°—0),a—J=3O。，且0=|a,a=6O#=90

°,a+°=150。.

17.：^AOB^^OD=^AOD,

.,.设/AOB=x。,则

ZCOD=x°,ZAOD=6x°,

又「ZAOD=ZAOB+ZBOC+ZCOD,

・•・ZBOC=ZAOD-ZAOB-ZCOD=6x°-x°-%°=4x0.

又・・・/BOC=80。.

4x=80.x=20.

6x=120.

・•・ZAOB=20°,ZAOD=120°.

18.(l)Z2=90°.

由折纸可知

Z1=ZAEG,Z3=ZFEG.

.\Z1+Z3=ZAEG+ZFEG.

VZ1+Z3+ZAEG+ZFEG=180°,

AZl+Z3=ZAEG+ZFEG=180°^2=90°.

即/2=90°.

⑵由⑴可知,N1与/3互为余角，或/1+N3=90°;

(3)Z1与NAEC互补,/3与/BEF互补.

或/l+NAEC=180°,N3+NBEF=180°.

19.(1)VZAOC+ZBOD=ZAOB+ZCOD+2ZBOC,ZAOC+ZBOD=HO°,ZAOB+ZCOD=50°,

•••2Z.BOC+50°=110°,

ZBOC=30°.AZAOD=