2024-2025学年八年级数学上册：矩形的性质与判定 知识梳理与分类讲解

专题L4矩形的性质与判定（知识梳理与考点分类讲解）

第一部分【知识点归纳】

【知识点一】矩形的定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

【要点说明】矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是

一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.

【知识点二】矩形的性质

矩形的性质包括四个方面：

1.矩形具有平行四边形的所有性质；

2.矩形的对角线相等；

3.矩形的四个角都是直角；

4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.

【要点说明】

（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩

（2）形分成完全全等的两部分.

（3）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的

交点就是对角线的交点（即对称中心）.

（4）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质

可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角;

从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.

【知识点三】矩形的判定

矩形的判定有三种方法：

1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

2.对角线相等的平行四边形是矩形.

3.有三个角是直角的四边形是矩形.

【要点说明】

在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩

形.

试卷第1页，共8页

【知识点四】直角三角形斜边上的中线的性质

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

【要点说明】

（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形

对一般三角形不可使用.

（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直

角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30。所对的直角边等于斜边的一半.

（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.

第二部分【题型展示与方法点拨】

【题型1】利用矩形的性质证明与求值

【例1】（23-24八年级下•浙江宁波•期中）

1.如图，在矩形/BCD中，对角线NC、2。相交于点O,CELBD于点、E,4FJL2。于点

F,连接/E与CF.

⑴求证：四边形/FCE是平行四边形；

（2）若AE=CD,ZDCE=35°,求/8CF的度数.

【变式1］（23-24八年级下•云南昭通•阶段练习）

2.两个矩形的位置如图所示，若』=110。，则N2的度数为（）

【变式2】（23-24八年级下•江苏苏州•阶段练习）

3.如图，在矩形A3CD中，48=3,点E在边8c上，且8E=1,若EA平分NBED,则

的长是—.

试卷第2页，共8页

AD

【题型2】利用矩形的性质解决折叠问题

【例2】（23-24八年级下•浙江金华•期中）

4.如图1,在平面直角坐标系中，矩形O48C的顶点4C分别在x轴，〉轴的正半轴上,

且点2的坐标为（4,2）,点。为线段4c上的一个动点，点£为线段/。上一点（不与点/

重合），连结DE.

（1）求对角线"C所在直线的函数表达式.

⑵如图2,将△DEN沿着。E翻折，使点/落在平面内的点尸处.若点。为对角线/C的中

点，当点尸恰好落在矩形。48c的顶点上时，求E尸的长.

【变式11（2024•山东淄博・二模）

5.如图，在平面直角坐标系中，矩形48co的边CO,04分别在x轴，y轴上，点E在边3C

上，将该矩形沿/E折叠，点2恰好落在边上的尸处.若。/=8,CF=4,则点£的坐

标是（）

A.（-10,3）B.（-9,3）C.（-10,2.5）D.（-9,2.5）

【变式2】（2024•广西玉林•一模）

6.如图，把一张矩形纸片/BCD按如下方法进行两次折叠：第一次将DN边折叠到。。边

上得到折痕为DM,连接CM,第二次将AMBC沿着MC折叠，恰好

试卷第3页，共8页

落在边上.

【题型3】直角三角形斜边上的中线问题

【例3】（23-24八年级下•北京•期中）

7.已知：如图所示，在平行四边形/BCD中，对角线/C、相交于点O,BD=2AD,

E、F、G分别是OC、0D、N8的中点.求证:

（1）5F1^C.

Q）EG=EF.

【变式11（2024・浙江绍兴•二模）

8.如图，菱形/BCD的对角线4C,3。相交于点。，过点8作8ELCD于E,尸是边2c

FF

的中点，连接E尸，若NC=16,菱形NBCD的面积96,则工的值是（）

D-11

【变式2】（23-24八年级下•福建福州•期末）

9.如图，菱形/BCD的对角线/C、8。相交于点O,过点。作于点连接

OH,若ZB4D=58。，则的度数为.

试卷第4页，共8页

R

【题型4】矩形判定的理解

【例4】（23-24八年级下•河南商丘•期中）

10.如图，平行四边形N8CD的对角线/C、2D相交于点。，BD=12cm,AC=6cm,E

在线段30上从点2以lcm/s的速度运动，点下在线段OD上从点0以2cm/s的速度运动，

当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为，秒.

（1）若点£、厂同时运动，当/为何值时，四边形/EC尸是平行四边形；

⑵在（1）的条件下，当43为何值时，四边形/EC尸是菱形？

（3）在（1）的条件下，四边形NEC尸还可能是矩形吗？为什么？

【变式1】（23-24八年级下•重庆九龙坡•期中）

11.下列说法正确的是（）

A.对角线互相垂直的平行四边形是矩形B.有一个角是直角的平行四边形是矩形

C.有一组邻边相等的平行四边形是矩形D.对角线互相垂直且相等的四边形是矩形

【变式2】（23-24八年级下•内蒙古呼和浩特•期中）

12.如图，在四边形/BCD中，AB//CD,ABLAD,4B=5,CD=8,点尸从点C出发

每秒以0.5个单位长度的速度向点。运动，则当运动时间为秒时，四边形是矩

【题型5】利用矩形的性质与判定求值与证明

【例5】（23-24九年级上•江西九江•期末）

试卷第5页，共8页

13.课本再现:

(1)定理直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

已知：如图1,在中，ZACB=90°,CD是48边上的中线.

求证：CD'AB.

2

证明：如图1,延长到点E,使得DE=CD,连接

请把证明过程补充完整.

知识应用：

(2)如图2,在“BC中，4D是3c边上的高，CE是48边上的中线，尸是CE的中点，

连接上并延长交NC于点G,连接GE,AB=2CD.求证：EG=CG.

【变式1](22-23八年级下•湖北十堰•期中)

14.如图，矩形/BCD中，4B=6,点E是4D上一点,且。E=2,CE的垂直平分线交C2

的延长线于点尸，交CD于点、连接EF交4B于点G.若G是48的中点，则2c的长是

()

A.6B.7C.8D.9

【变式2】(23-24九年级上•山东济南•期中)

15.如图，在矩形23CD中，AB=2,4)=4点E在边/。上，点尸在边3c上，且

AE=CF,连接C£,DF,则CE+。尸的最小值为.

试卷第6页，共8页

第三部分【中考链接与拓展延伸】

1、直通中考

[例1](2024•四川广元•中考真题)

(1)尺规作图：作对角线/C的垂直平分线，交于点E,交4B于点F；(不写作法，保留

作图痕迹)

(2)连接/£、CF.求证：四边形NFCE是菱形.

【例2】(2024•云南・中考真题)

17.如图，在四边形N3CD中，点E、F、G、H分别是各边的中点，且/8〃C£»,

AD//BC,四边形EFG8是矩形.

⑴求证：四边形/BCD是菱形；

(2)若矩形EFG8的周长为22,四边形/BCD的面积为10,求N8的长.

2、拓展延伸

【例1】(重庆市秀山土家族苗族自治县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题)

18.如图，平面直角坐标系中，已知直线^=一%上一点”(-2,2),/为了轴正半轴上一点,

连接/M；过点〃■作瓦在EN上截取线段2W,使=过点N作直线

BCLx轴，垂足为8；交直线＞于点C,连接/N,交直线＞=f于点。，

试卷第7页，共8页

⑴求证：OA=OB-

(2)当点A坐标为(0,5)时，求点。的坐标；

(3)当0△OW时，直接写出点A的坐标.

【例2】(23-24八年级下•河南南阳•阶段练习)

19.在学完矩形的判定后，善于钻研的小壮、小刚和小强同学有自己独到的见解：

己知：如图，四边形/BCD中，AD//BC,对角线/C、AD相交于点O,OA=OC.

小壮说：若则四边形48CD为矩形；

小刚说：若/ABC=NBCD,则四边形/BCD为矩形.

小强说：若Zl=2N2,则四边形/BCD为矩形.

请对三人的说法任选其一进行判断并证明.

试卷第8页，共8页

1.(1)见解析

(2)20°

【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质：

(1)证明一。尸/ACOE(AAS),得到/O=E。，根据对角线互相平分的四边形是平行四边

形，即可得证；

(2)矩形，得到/BCD=90。，平行四边形的性质，推出比=C。，ZFAE=ZFCE,再利

用角的和差关系求解即可.

【详解】(1)证明：•.•4F_L3。，AF1BD

ZAFO=ZCEO

•••四边形/BCD是矩形

AO=CO

ZAFO=ZCEO

•・•在A4Qb和△口?£*中｛/4OF=ZCOE

AO=CO

△力O尸也△CO£(AAS)

FO=EO

••・四边形AFCE是平行四边形；

(2)•・•四边形是矩形

••・/BCD=90。

•・•在口4FCE中，AE=CF

又・：AE=CD

；.CF=CD

vCElBD,ZDCE=35°

；.NFCE=NDCE=35。

•・•在口/尸CE中，ZFAE=ZFCE

・•.ZBCF=ZBCD-ZFDC=90-2x35=20°.

2.C

【分析】本题主要考查矩形的性质，余角与补角，由补角的定义可得/3=70。，由题意可得

答案第1页，共18页

Z4+Z3=90°,12+/4=90。，则有N2=/3,即可得解.

【详解】解：如图，

A

•••Zl=110°,

.•.Z3=180°-Zl=70°,

•••Z4+Z3=90°,Z2+Z4=90°,

：./2=N3,

.•.Z2=70°.

故选：C.

3.5

【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，根据矩形的性质，角平分线的性质，得到

AD=DE=BC,设=在RtADCE中，利用勾股定理进行求解即可.

【详解】解：•••矩形/以为中，AB=3,

：.AD11BCfCD=AB=3,AD=BC,Z.C=90°,

・•・AAEB=/DAE,

•・•EA平分/BED,

・•・NAEB=ZDEA,

・•・/DEA=ZDAE,

*'•AD=DE,

设=则：DE=BC=x,CE=BC-BE=x-l,

在RtADCE中，由勾股定理，得：X2=(X-1)2+32,

解得：x=5,

AD=5；

故答案为：5.

4-(1)J=+2

答案第2页，共18页

„5

⑵2或5

【分析】对于(1),先求出点4C的坐标，再根据待定系数法求出一次函数的关系式即可;

对于(2),当点尸与点O重合时，根据中点定义得出答案；当点尸与点C重合时，根据勾

股定理求出答案.

【详解】(1)•••四边形0/8C是矩形，点8的坐标为(4,2),

C(0,2),4(4,0),

设直线/C的解析式为夕=履+2,

4左+2=0,

解得上=-；,

.••直线4C的解析式为〉=-;x+2；

(2)当斤点与。点重合时，DEVOA,

■■D点是/C的中点，

.•・£点是。/的中点，

,-.EF=EA=-OA=2.

2

当下点与C点重合时，DE1AC,

此时=,

在RtZXOEC中，CE2=CO2+OE2,

AE2=42+(4-/E)2,

解得=

「厂

EF=—5.

2

综上所述：E尸的长为2或g.

【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，翻折的性质，勾股定理，矩形的性

质，勾股定理是求线段长的常用方法.

5.A

【分析】本题考查勾股定理的应用，矩形的性质、翻折变化、坐标与图形变化-对称，解题

的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答.根据题意可以得

答案第3页，共18页

到CE、。厂的长度，根据点£在第二象限，从而可以得到点E的坐标.

【详解】解：由题意，BC=0A=8,

设CE=a,则5£=8-〃，

由折叠可得，EF=BE=8-a,

-ZECF=90°,。尸=4,

a2+42=（8-a）2,

解得，。=3,

设AB=b,

AF=OC=b,

/.OF=b-4,

9二90。,

/=伍-4『+82,

解得b=10,

・••点E的坐标为（TO,3）,

故选：A.

6.41

【分析】本题考查了正方形中的翻折，熟练掌握翻折的性质和正方形的性质是解题的关

键.先利用第一次翻折确定四边为正方形，得出。W=亚/。，再利用第二次翻折

得出C£>=£>M=VLW,即可求解.

【详解】解：•••四边形为矩形，

:.NADC=NBAD=90°,AB//CD,ABCD,AD=BC,

由第一次折叠可知，NDA'M=NDAM=90。,DA'=DA,

四边4M4,Z）为正方形，

AM=A'M=AD,

DM=ylAD2+AM2=0AD，

由第二次折叠可知，/BMC=ZB'MC,

■■BM//CD,

ZDCM=NBMC,

ZB'MC=ZDCM,

答案第4页，共18页

CD=DM=42AD，

AB=CD=41AD，

.AB42ADr-

----=--------=72.

ADAD

故答案为：V2.

7.(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线

和平行四边形的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键.

(1)由已知条件易证03=8C,再根据等腰三角形中底边上的高与中线合一的性质知

BELAC.

(2)利用直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半及中位线定理可证斯=GE.

【详解】(1)证明：・••四边形/BCD是平行四边形，

/.AD=BC,OD=OB,

・「BD=2AD,

/.OB=BC,

是等腰三角形，

,・,£是。。的中点，

BEVAC.

(2)证明：由(1)知/8瓦4=90。，

:.^ABE是直角三角形，

••,G是22的中点，

:.GE=-AB,

2

•••£、尸分别是0C,0。的中点，

:.EF^-DC=-AB,

22

.­.EF=GE.

8.D

【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，先

由菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，可计算出=12的长度，根据勾股定理即可求

答案第5页，共18页

得。C=8C=10的长，再根据直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一

半，即可得出答案.

【详解】解：••・四边形/BCD是菱形，

:.BO=-BD,OC=-AC,BC=DC,

22

"AC=16,菱形48CD的面积为96,

BDxACx—=96,

2

解得3D=12,

贝！JDC=BC=\IOC2+BO2=10，

•；BELCD,尸是边3c的中点，

；.EF=LBC=5,

2

_EF_5

故选：D.

9.29。##29度

【分析】本题考查了菱形的性质、等边对等角、直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质,

解题关键是根据菱形和直角三角形的性质得出角之间的关系.

根据菱形的性质、等边对等角，求出NBDA=AABD=61°,求出ZBDH,再根据斜边中线

等于斜边一半、等边对等角，推出=得出答案即可.

【详解】解：••・四边形是菱形，440=58。，

AB=AD,OB=OD,

ABDA=AABD=18。°-58。=61。，

2

vDHVAB,

ZBHD=90°,

OH=OD=OB,ABDH=90°-61°=29°,

："DHO=4BDH=29°,

故答案为：29°.

10.(1)2

(2)/8=3氐11

答案第6页，共18页

（3）不能；理由见解析

【分析】本题综合考查平行四边形的判定和菱形的判定.考查学生综合运用数学知识的能

力.

（1）根据要使四边形NECF为平行四边形时，OE=O尸得出6T=2f,即可求得/值；

（2）若是菱形，则NC垂直于8。，即有4。2+802=/笈，故可求；

（3）若是矩形，EF=AC,则此时£在。上，所以四边形NECb不可以是矩形.

【详解】（1）解：•••四边形43CZ）为平行四边形，

BO=0D=—BD=6cm,AO=CO=—AC=3cm,

22

若四边形/ECF为平行四边形，

AO=OC,EO=OF,

•・•£在线段30上从点8以Icm/s的速度运动，点尸在线段上从点。以2cm/s的速度运动，

■■.EO=6-t,OF=2t,

：.6—t=2t,

•,•%=2,

.•・当£的值为2时，四边形NEC尸是平行四边形.

（2）解：若四边形是菱形，

・•・AC1BD,

-AO2+BO2=AB2,

AB—V62+32=3A/5（cm）；

（3）解：不可以.

若是矩形，EF=AC,

6—/+2%=6,

•••/=0,

则此时E在点3上，厂在。上，

显然四边形/EC尸不是矩形.

11.B

【分析】本题考查了矩形的判定定理，掌握以上定理是解题的关键.根据矩形的判定定理逐

项分析即可.

答案第7页，共18页

【详解】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以A选项不符合题意；

B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以B选项符合题意；

C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以C选项不符合题意；

D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以D选项不符合题意；

故选：B.

12.6

【分析】本题考查矩形的判定，由矩形的判定可得出8-0.5/=5,则可得出答案.确定

=是解题的关键.

【详解】解：•.•点P从点C出发每秒以0.5个单位长度的速度向点。运动，设运动时间为七

PC=0.57,

­•-C£>=8,

；.DP=BC-PC=8-Q5t,

vABLAD,

N4=90°,

•••AB//CD,

当=尸时，四边形/5PD是矩形，

•,*8—0.5/=5,

••t—6,

故答案为：6.

13.(1)见解析；(2)见解析

【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜

边的一半，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定与性质是解(1)的关键，熟练

掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解(2)的关键.

(1)先证明四边形/C2E是平行四边形，再证明四边形/C2E是矩形即可；

(2)由直角三角形斜边中线的性质得。E=进而可证CD=DE,然后证明DG是线段

CE的垂直平分线即可.

【详解】解：(1)是N3边上的中线，

/.BD=AD.

DE=CD,

答案第8页，共18页

四边形NC8E是平行四边形.

■.■ZACB=90°,

，四边形/C8E是矩形.

AB=CE.

；CD=LCE,

2

:.CD^-AB.

2

(2)如图，连接。E.

CE是N8边上的中线,

DE^-AB.

2

AB=2CD,

:.CD=-AB.

2

CD=DE.

•••尸是CE的中点,

DGVCE.

：.DG是线段CE的垂直平分线.

EG=CG.

14.A

【分析】过点E作EP，3c于点尸，证明四边形ABPE和四边形CDE尸为矩形，得出

CD=EP=6,DE=CP=2,根据证明△/EG之AB尸G,得出4E=BF,又TH垂直平分

EC,得出尸C=FE,令BC=x，则BP=4E=BF=x-2,ffiifuBP=AE=BF=2x-2,

FP=2x-4,EF=FC=2x-2,在RtAET7中，EP1+FP2=EF2,进行求解即可.

【详解】解：过点£作EPLBC于点尸，

答案第9页，共18页

NA=ZABC=/BCD=ZD=90°,AB=CD=6,

••・四边形ABPE和四边形CDEP为矩形，

又AB=6,DE=2,

CD=EP=6,DE=CP=2,

•••G是N8的中点，

.-.AG=GB=3,

又•：AD〃BC,

NAEG=ZBFG,

又"GE=NBGF,

AEG^BFG（AAS）,

AE=BF,

・・•77/垂直平分EC,

FC=FE,

令BC=x,则=2,

又。:AE=BF=BP,

BP=AE=BF=x—2,

.-.FP=2x-4fEF=FC=2x-2,

在Rt/\EFP中，EP2+FP2=EF2，

1•162+（2X-4）2=（2x-2）2

解得x=6.

故选：A.

【点睛】本题考查矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理以及全等三角形的判定

和性质，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形求边长.

15.4&

答案第10页，共18页

【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理、将军饮马问题全等三角形的判定与性质等内容,

综合性较强，将CE+DF转化为CE+8E是解题的关键.

先连接BE,将CE+。尸转化为CE+8E,再利用将军饮马解决问题即可.

四边形"BCD是矩形

AB=CD,NBAE=NDCF=90°

AE=CF

ABE为CDF(SAS)

BE=DF

:.CE+DF=CE+BE

如图，作8点关于N点的对称点夕，连接CB'

AB=2,AD=4

BB'=4BC=4

CB'=y/BB2+BC2=472

;.CE+。尸的最小值为4&

故答案为：4也.

16.(1)见解析;

(2)见解析.

【分析】本题主要考查矩形的性质，垂直平分线的画法及性质，三角形全等的判定与性质,

菱形的判定.

(1)根据垂直平分线的画法即可求解；

答案第11页，共18页

(2)由直线E尸是线段/C的垂直平分线.得到E4=£C,FA=FC,

NCOE=ZAOF=90°,OA=OC,根据矩形的性质可证ACOE知AOF(ASA),可得EC=FA,

即可得到E/=EC=E4=PC,即可求证.

【详解】(1)解：如图1所示，直线E尸为所求;

(2)证明：如图2,设E尸与4C的交点为

由(1)可知，直线E尸是线段/C的垂直平分线.

EA=EC,FA=FC,ZCOE=ZAOF=90°,OA=OC,

又•••四边形/BCD是矩形，

CD//AB,

:.NECO=ZFAO,

.-.ACOE^AOF(ASA),

EC=FA,

EA=EC=FA=FC,

••・四边形/FCE是菱形.

17.⑴见解析

⑵VHT

【分析】(1)连接8。，AC,证明四边形N8C。是平行四边形，再利用三角形中位线定理

得到G7〃8D,HG//AC,利用矩形的性质得到8O_L/C,即可证明四边形48CD是菱

形;

答案第12页，共18页

(2)利用三角形中位线定理和菱形性质得到:8D+：/C=CM+O3=ll,利用lx面积公式

22

得到20408=10,再利用完全平方公式结合勾股定理进行变形求解即可得到.

【详解】(1)解：连接8。，AC,

'G•••AB//CD,AD//BC,

四边形/BCD是平行四边形，

•.•四边形N8CD中，点E、F、G、b分别是各边的中点，

GF//BD,HG//AC,

四边形EFGH是矩形，

HG1GF,

BDLAC,

四边形/3CD是菱形；

(2)解：：四边形/BCD中，点E、F、G、a分别是各边的中点，

GF=EH=-BD,HG=EF=-AC,

22

••・矩形EFGH的周长为22,

BD+AC=22,

四边形/BCD是菱形，

即口。+=CM+06=11,

四边形A8CD的面积为10,

:.-BDAC=10,即2cM・08=10,

2

(OA+OB)2=OA2+2OA-OB+OB2,

OA2+OB2=121-10=111,

AB=ylo^+OB2=Vlll.

【点睛】本题考查了平行四边形性质和判定，矩形的性质和判定，三角形中位线定理，菱形

的性质和判定，菱形面积公式，勾股定理，完全平方公式，熟练掌握相关性质是解题的关

键.

答案第13页，共18页

18.⑴见解析

【分析】（1）设点”的坐标为（。,“），则0/=。，过点〃作尸。二丫轴于点0,交3c于点

）

P,则G=2,MQ=2,AQ=a-2,证明"MQ四△A/M（AAS）,得至IJMP=4。=Q—2,

从而PQ=MP+MQ=a,又OB=PQ=a,即可得至Ij/O=BO；

（2）当点A坐标为（0,5）时，AO=5,PB=OQ=2,MQ=2,AQ=3,由△4WQ也△A/7VP

得到酒=M0=2,PM=AQ=3,从而得到点N（-5,4）,运用待定系数法求出直线ZN的

1P二-%

解析式为歹=M'+5,解方程组1〈即可得到点。的坐标；

5y=-x+5

I5

（3）设点/的坐标为（0,。），则C（-a,a）,根据两点间距离公式得到

CM=^（-a+2）2+（o-2）2=V2（a-2）,当△OA£4之△CW时CM=CW,即。=后（。-2）,

求解即可得到点/的坐标.

【详解】（1）解：设点力的坐标为（0,。），则3=。，

过点M作尸。，了轴于点0,交于点尸，

•••"2,2),

/.CQ=2,MQ=2,AQ=a—29

答案第14页，共18页

vBC_Lx轴，

・・.NCBO=90。,

尸011》轴,

.-.ZNPM=ZCBO=90°,

ZPNM+ZPMN=90°,

•・•EM_LAM

・•.ZAMN=9QP,

：,ZNMP+ZAMQ^90°,

/PNM=ZAMQ,

.•.在△4WQ和丛MNP中,

ZAQM=ZMPN

<ZAMQ=/MNP,

AM=MN

.•・△4MQ丝△AWP(AAS),

MP=AQ=Q_2,

PQ=MP+MQ=a—2+2=a,

•・・PQ_Ly轴，3C_Lx轴，ZAOB=9Q0,

四边形。。尸3是矩形，

OB=PQ=a,

/.AO=BO；

(2)解：当点A坐标为(0,5)时，40=5,PB=OQ=2,MQ=2,

AQ=AO-OQ=5-2=3,

•・•AAMQOMNP,

:.NP