结构力学基础概念：能量法：结构优化设计中的能量法

结构力学基础概念：能量法：结构优化设计中的能量法1绪论1.1能量法在结构优化设计中的重要性在结构优化设计领域，能量法提供了一种基于能量守恒和最小势能原理的分析方法，它能够帮助工程师和设计师在满足结构性能要求的同时，实现结构材料和成本的最优化。能量法的重要性在于它能够简化复杂的结构分析问题，通过能量的视角来评估和优化结构设计，尤其是在处理非线性问题和多自由度系统时，能量法的优越性更为明显。1.1.1重要性分析简化计算：能量法避免了直接求解复杂的微分方程，而是通过能量的最小化或最大化来找到结构的最优状态，这在计算上更为简便。非线性问题处理：对于非线性结构问题，能量法能够提供有效的解决方案，因为它考虑了结构在不同状态下的能量变化，而不仅仅是线性响应。多自由度系统优化：在处理具有多个自由度的结构系统时，能量法能够通过能量的分布和转换来优化结构的动态性能，如振动控制和稳定性分析。设计迭代：能量法在结构优化设计中可以作为迭代过程的一部分，通过不断调整结构参数，直到达到能量最优状态，从而实现结构的优化设计。1.2能量法的基本原理概述能量法的基本原理是基于能量守恒和最小势能原理。在结构力学中，能量可以分为动能、势能和耗散能。对于静力学问题，主要关注的是势能的最小化；而对于动力学问题，则需要考虑动能和势能的转换。能量法的核心是通过计算结构在不同状态下的能量，来判断结构的稳定性和优化潜力。1.2.1原理详解势能最小化：在静力学问题中，结构的平衡状态对应于势能的最小值。通过调整结构的几何形状、材料属性或约束条件，可以找到使势能达到最小的结构设计，从而实现结构的优化。动能与势能转换：在动力学问题中，结构的运动状态由动能和势能的转换决定。能量法通过分析结构在运动过程中的能量转换，来优化结构的动态性能，如减少振动或提高稳定性。能量守恒：能量法基于能量守恒定律，即在一个封闭系统中，能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，只能从一种形式转换为另一种形式。在结构优化设计中，能量守恒原则帮助确保结构在优化过程中的物理合理性。1.2.2示例：势能最小化在结构优化中的应用假设我们有一个悬臂梁，需要通过调整梁的截面尺寸来优化其在给定载荷下的变形。我们可以使用能量法来找到使梁的势能达到最小的截面尺寸。数据样例悬臂梁长度：L=1.0m材料弹性模量：E=200GPa材料密度：ρ=7850kg/m^3截面宽度：b截面高度：h载荷：P=1000N计算过程计算梁的势能：势能可以通过梁的弯曲变形来计算，公式为：V，其中I是截面惯性矩，w是梁的挠度。计算梁的动能：对于静力学问题，动能可以忽略。优化目标：使势能V最小化。代码示例importnumpyasnp

fromscipy.optimizeimportminimize

#定义参数

L=1.0#梁长度

E=200e9#弹性模量

rho=7850#材料密度

P=1000#载荷

#定义截面尺寸变量

b,h=0.1,0.1#初始截面尺寸

#定义势能计算函数

defpotential_energy(x):

b,h=x

I=b*h**3/12#截面惯性矩

w=P*L**3/(3*E*I)#梁的挠度

V=0.5*E*I*(6*w/L**2)**2*L#势能

returnV

#定义优化函数

res=minimize(potential_energy,[b,h],method='SLSQP',bounds=((0.01,0.5),(0.01,0.5)))

#输出优化结果

b_opt,h_opt=res.x

print(f"Optimizedsectionwidth:{b_opt:.3f}m")

print(f"Optimizedsectionheight:{h_opt:.3f}m")1.2.3解释上述代码示例中，我们使用了Python的numpy和scipy.optimize库来计算和优化悬臂梁的截面尺寸。通过定义势能计算函数potential_energy，我们能够计算给定截面尺寸下的梁势能。然后，使用minimize函数来寻找使势能达到最小的截面尺寸。这个例子展示了能量法在结构优化设计中的具体应用，通过最小化势能来优化结构的几何参数。通过上述原理和示例的介绍，我们可以看到能量法在结构优化设计中的重要性和实用性。它不仅能够简化计算，还能够处理复杂的非线性问题和多自由度系统，为结构设计提供了一种有效的优化手段。2结构力学基础概念：能量法在结构优化设计中的应用2.1结构的静力学分析2.1.1原理静力学分析是结构力学的基础，它研究结构在静止状态下承受外力时的平衡条件。在能量法中，静力学分析可以通过最小势能原理来实现，该原理指出，当结构处于平衡状态时，其总势能（包括外力势能和内能）达到最小值。这一原理在结构优化设计中尤为重要，因为它提供了一种评估结构在不同设计参数下稳定性的方法。2.1.2内容外力势能：外力对结构做功的能量，通常表示为外力与位移的乘积。内能：结构内部变形产生的能量，与材料的应力应变关系紧密相关。最小势能原理：在给定的边界条件下，结构的平衡状态对应于总势能达到最小值的状态。2.1.3示例假设有一个简支梁，长度为L，承受均布荷载q，材料的弹性模量为E，截面惯性矩为I。我们可以通过能量法来计算梁的挠度。importsympyassp

#定义变量

x,L,q,E,I=sp.symbols('xLqEI')

y=sp.Function('y')(x)

#外力势能

V_ext=q*egrate(y,(x,0,L))

#内能

V_int=(E*I/2)*egrate(sp.diff(y,x,2)**2,(x,0,L))

#总势能

V_total=V_ext+V_int

#应用最小势能原理，求解y(x)

#首先，对y(x)求导，得到其在平衡状态下的微分方程

V_total_diff=sp.diff(V_total,sp.diff(y,x,2))

#解微分方程

y_solution=sp.dsolve(V_total_diff,y)

#应用边界条件：y(0)=0,y(L)=0

y_solution=y_solution.subs({y_solution.args[1]:0,y_solution.args[2]:0})

#打印解

print(y_solution)2.2结构的运动学分析2.2.1原理运动学分析关注结构的位移、速度和加速度，而不考虑力的作用。在能量法中，动能和势能的概念被用来分析结构的动态响应。特别是，拉格朗日方程是运动学分析中常用的方法，它基于动能和势能的差值（拉格朗日函数）来描述系统的运动。2.2.2内容动能：结构运动时由于速度产生的能量。势能：结构由于位置或变形产生的能量。拉格朗日方程：描述系统运动的微分方程，基于动能和势能的差值。2.2.3示例考虑一个质量为m的弹簧-质量系统，弹簧的刚度为k，位移为x(t)。我们可以通过拉格朗日方程来分析系统的运动。importsympyassp

#定义变量

t,m,k=sp.symbols('tmk')

x=sp.Function('x')(t)

#动能

T=m*sp.diff(x,t)**2/2

#势能

V=k*x**2/2

#拉格朗日函数

L=T-V

#拉格朗日方程

lagrange_eq=sp.diff(sp.diff(L,sp.diff(x,t)),t)-sp.diff(L,x)

#解方程

x_solution=sp.dsolve(lagrange_eq,x)

#打印解

print(x_solution)2.3材料力学性质与能量关系2.3.1原理材料的力学性质，如弹性模量、泊松比和屈服强度，直接影响结构的能量吸收和释放。在能量法中，这些性质被用来计算结构的内能，进而评估结构的稳定性和优化设计。2.3.2内容弹性模量：材料抵抗弹性变形的能力。泊松比：材料横向应变与纵向应变的比值。屈服强度：材料开始发生塑性变形的应力值。2.3.3示例假设我们有一个由两种不同材料制成的复合梁，材料1的弹性模量为E1，截面惯性矩为I1，材料2的弹性模量为E2，截面惯性矩为I2。我们可以通过能量法来计算复合梁的挠度。importsympyassp

#定义变量

x,L,E1,E2,I1,I2=sp.symbols('xLE1E2I1I2')

y=sp.Function('y')(x)

#分段定义内能

V_int1=(E1*I1/2)*egrate(sp.diff(y,x,2)**2,(x,0,L/2))

V_int2=(E2*I2/2)*egrate(sp.diff(y,x,2)**2,(x,L/2,L))

#总内能

V_int=V_int1+V_int2

#应用最小势能原理，求解y(x)

#首先，对y(x)求导，得到其在平衡状态下的微分方程

V_int_diff=sp.diff(V_int,sp.diff(y,x,2))

#解微分方程

y_solution=sp.dsolve(V_int_diff,y)

#应用边界条件：y(0)=0,y(L)=0

y_solution=y_solution.subs({y_solution.args[1]:0,y_solution.args[2]:0})

#打印解

print(y_solution)以上示例展示了如何使用能量法的基本原理来分析和优化结构设计，通过计算结构的静力学和动态响应，以及考虑材料的力学性质，可以更有效地设计结构，确保其在各种条件下的稳定性和效率。3能量法原理3.1位能与动能的概念在结构力学中，位能和动能是能量法的基石。位能（PotentialEnergy）通常指的是结构在外部力作用下变形时储存的能量，而动能（KineticEnergy）则是结构在运动过程中由于质量而具有的能量。3.1.1位能位能可以分为两种：弹性位能和非弹性位能。弹性位能是结构在弹性范围内变形时储存的能量，可以完全恢复。非弹性位能则是在结构超过弹性范围，发生塑性变形时储存的能量，这部分能量在结构恢复原状时无法完全释放。3.1.2动能动能与结构的质量和速度有关。在结构动力学分析中，动能的计算对于理解结构在动态载荷下的响应至关重要。3.2能量守恒定律能量守恒定律是物理学的基本定律之一，它在结构力学中同样适用。在没有能量输入或输出的封闭系统中，系统的总能量保持不变。这意味着，结构在受力变形过程中，其内部储存的位能与外部施加的功之和保持不变。3.3虚功原理与最小势能原理3.3.1虚功原理虚功原理是能量法中的一个重要概念，它指出在任何虚拟位移下，外力所做的虚功等于结构内部应力所做的虚功。虚拟位移是指在不考虑约束条件的情况下，结构可能发生的任意微小位移。3.3.2最小势能原理最小势能原理是结构优化设计中的关键原理。它指出，在满足所有约束条件的情况下，结构的稳定平衡状态对应于总势能（即位能）的最小值。这一原理在结构优化设计中被广泛应用，通过最小化结构的位能来寻找最优的结构设计。3.3.3示例：使用最小势能原理进行结构优化设计假设我们有一个简单的梁结构，需要在给定的材料和尺寸限制下，通过调整梁的截面尺寸来最小化其在特定载荷下的位能。数据样例材料的弹性模量：E梁的长度：L梁的截面宽度：b=梁的截面高度：h=外部载荷：P计算位能位能可以通过梁的弯曲能来计算，公式为：V其中，I是截面惯性矩，w是梁的挠度。最小化位能通过调整b和h的值，使用数值优化方法（如梯度下降法）来最小化位能V。代码示例importnumpyasnp

fromscipy.optimizeimportminimize

#定义弹性模量、梁的长度、外部载荷

E=200e9#弹性模量，单位：N/m^2

L=10#梁的长度，单位：m

P=1000#外部载荷，单位：N

#定义截面宽度和高度的初始值

b0=0.1#初始宽度，单位：m

h0=0.2#初始高度，单位：m

#定义截面惯性矩的计算函数

defI(b,h):

returnb*h**3/12

#定义挠度的计算函数（简化模型）

defw(x,b,h):

returnP*x**3/(6*E*I(b,h))

#定义位能的计算函数

defV(b,h):

x=np.linspace(0,L,100)

dw_dx=np.gradient(w(x,b,h),x)

d2w_dx2=np.gradient(dw_dx,x)

returnnp.trapz(0.5*E*I(b,h)*d2w_dx2**2,x)

#定义优化目标函数

defobjective(x):

b,h=x

returnV(b,h)

#进行优化

result=minimize(objective,[b0,h0],method='SLSQP',bounds=((0.05,0.2),(0.1,0.3)))

b_opt,h_opt=result.x

#输出优化结果

print(f"Optimizedwidth:{b_opt:.3f}m")

print(f"Optimizedheight:{h_opt:.3f}m")

print(f"Minimumpotentialenergy:{V(b_opt,h_opt):.3f}J")3.3.4解释上述代码示例中，我们首先定义了梁的物理参数和外部载荷。然后，通过定义截面惯性矩、挠度和位能的计算函数，我们能够计算出在不同截面尺寸下的位能。最后，使用scipy.optimize.minimize函数进行优化，找到使位能最小的截面宽度和高度。通过能量法，特别是最小势能原理，我们可以有效地进行结构优化设计，确保结构在满足强度和稳定性要求的同时，使用最少的材料，从而达到经济和效率的双重目标。4能量法在结构分析中的应用4.1结构的稳定性分析4.1.1原理在结构的稳定性分析中，能量法是一种评估结构在特定载荷下是否能保持稳定的有效工具。它基于能量守恒原理，通过比较结构在不同状态下的势能和动能，来判断结构的稳定性。当结构的总势能达到最小值时，结构处于稳定状态。如果在某一状态，结构的总势能可以无限减小，这表明结构可能失去稳定性，即发生屈曲。4.1.2内容能量法在稳定性分析中的应用主要涉及两个方面：能量的计算和能量的比较。首先，需要计算结构在不同状态下的总势能，这包括弹性势能、重力势能等。然后，通过比较不同状态下的总势能，判断结构是否处于稳定状态。例如，对于一个承受轴向压缩的柱子，如果在某一压缩量下，其总势能开始增加，这表明柱子处于稳定状态；反之，如果总势能在某一压缩量下开始减小，这可能意味着柱子即将发生屈曲。4.1.3示例假设有一个简单的弹簧-质量系统，质量为m，弹簧的弹性系数为k，系统在重力作用下。我们可以通过能量法来分析其稳定性。计算势能：弹性势能U=12kx2，重力势能计算总势能：总势能E=分析稳定性：通过求导数dEdx=kx+4.2结构的振动分析4.2.1原理能量法在振动分析中的应用基于能量守恒和能量转换原理。在振动系统中，动能和势能之间不断转换，总能量保持不变。通过建立结构的动能和势能表达式，可以得到结构的振动方程，进而分析结构的振动特性，如固有频率和振型。4.2.2内容在振动分析中，能量法通常用于求解结构的固有频率和振型。首先，需要建立结构的动能和势能表达式，然后通过拉格朗日方程或瑞利-里茨法将这些表达式转换为振动方程。最后，通过求解振动方程，得到结构的固有频率和振型。4.2.3示例考虑一个单自由度振动系统，质量为m，弹簧的弹性系数为k，阻尼系数为c。系统的动能T=12mv2，势能建立动能和势能表达式。应用拉格朗日方程：ddt∂求解振动方程：通过求解上述方程，可以得到系统的固有频率和振型。4.3结构的疲劳分析4.3.1原理能量法在疲劳分析中的应用基于疲劳损伤累积理论。疲劳损伤是由于结构在循环载荷作用下，局部区域的能量累积导致材料性能下降，最终可能引起结构的破坏。通过计算结构在循环载荷作用下的能量累积，可以评估结构的疲劳寿命。4.3.2内容在疲劳分析中，能量法主要用于计算结构在循环载荷作用下的能量累积，进而评估结构的疲劳寿命。首先，需要确定结构在循环载荷作用下的应力-应变循环，然后计算每个循环中的能量消耗。最后，通过累积这些能量消耗，可以得到结构的疲劳损伤累积，从而预测结构的疲劳寿命。4.3.3示例假设一个结构在循环载荷作用下，应力-应变关系遵循线性弹性模型。我们可以通过能量法来分析其疲劳寿命。计算循环能量：对于每个应力-应变循环，计算其能量消耗E=12σϵ累积能量消耗：通过累积多个循环的能量消耗，得到总能量消耗Et评估疲劳寿命：根据总能量消耗和材料的疲劳性能，可以评估结构的疲劳寿命。例如，如果材料的疲劳极限是Elim通过上述分析，能量法在结构的稳定性分析、振动分析和疲劳分析中都发挥着重要作用，它不仅能够提供结构性能的定量评估，还能帮助工程师在设计阶段优化结构，提高结构的安全性和经济性。5结构优化设计基础5.1优化设计的目标与约束在结构优化设计中，目标通常涉及最小化成本、重量或最大化结构的稳定性等。约束则包括材料强度、几何尺寸、制造工艺限制等。例如，设计一座桥梁时，目标可能是最小化其总重量，同时约束条件可能包括桥梁的承载力、安全系数和最大允许的变形量。5.1.1示例：桥梁设计优化假设我们设计一座桥梁，目标是最小化其重量，同时确保桥梁在最大载荷下的变形不超过允许值。桥梁由多个梁组成，每个梁的尺寸（宽度和高度）和材料（强度和密度）可以调整。我们设定以下目标函数和约束条件：目标函数：总重量W=i=1nρiAiLi约束条件：每个梁的承载力Fi≥Fmin5.2优化设计的数学模型优化设计的数学模型通常包括目标函数、约束条件和设计变量。设计变量是可调整的参数，如尺寸、形状或材料属性。数学模型可以是线性的或非线性的，取决于设计变量与目标函数和约束条件之间的关系。5.2.1示例：数学模型构建继续桥梁设计的例子，我们构建一个数学模型来描述优化问题：设计变量：x=w1,h1,ρ1,w2,h2,ρ2,…目标函数：Wx约束条件：Fix≥Fmin5.3优化设计方法概述优化设计方法包括解析法、数值法和智能优化算法。解析法适用于简单问题，可以直接求解最优解。数值法，如梯度下降法或牛顿法，适用于更复杂的问题，通过迭代计算逐步逼近最优解。智能优化算法，如遗传算法或粒子群优化，适用于非线性、多模态或高维问题，通过模拟自然进化过程寻找全局最优解。5.3.1示例：使用遗传算法进行优化遗传算法是一种基于自然选择和遗传学原理的搜索算法，适用于解决结构优化设计中的复杂问题。下面是一个使用Python和deap库实现遗传算法优化桥梁设计的示例：importrandom

fromdeapimportbase,creator,tools,algorithms

#定义问题

creator.create("FitnessMin",base.Fitness,weights=(-1.0,))

creator.create("Individual",list,fitness=creator.FitnessMin)

#设计变量范围

IND_SIZE=3*n#n为梁的数量

W_MIN,W_MAX=1,10#宽度范围

H_MIN,H_MAX=1,10#高度范围

R_MIN,R_MAX=1,10#密度范围

#初始化种群

toolbox=base.Toolbox()

toolbox.register("attr_w",random.randint,W_MIN,W_MAX)

toolbox.register("attr_h",random.randint,H_MIN,H_MAX)

toolbox.register("attr_r",random.randint,R_MIN,R_MAX)

toolbox.register("individual",tools.initCycle,creator.Individual,

(toolbox.attr_w,toolbox.attr_h,toolbox.attr_r),n)

toolbox.register("population",tools.initRepeat,list,toolbox.individual)

#定义目标函数

defevaluate(individual):

weight=sum(individual[i]*individual[i+1]*individual[i+2]*Lforiinrange(0,IND_SIZE,3))

#假设承载力和变形量的计算

fitness=weight

returnfitness,

#注册目标函数

toolbox.register("evaluate",evaluate)

#遗传操作

toolbox.register("mate",tools.cxTwoPoint)

toolbox.register("mutate",tools.mutGaussian,mu=0,sigma=1,indpb=0.2)

toolbox.register("select",tools.selTournament,tournsize=3)

#运行遗传算法

pop=toolbox.population(n=50)

hof=tools.HallOfFame(1)

stats=tools.Statistics(lambdaind:ind.fitness.values)

stats.register("avg",numpy.mean)

stats.register("std",numpy.std)

stats.register("min",numpy.min)

stats.register("max",numpy.max)

pop,logbook=algorithms.eaSimple(pop,toolbox,cxpb=0.5,mutpb=0.2,ngen=40,

stats=stats,halloffame=hof,verbose=True)

#输出最优解

print("最优解：",hof[0])在这个示例中，我们定义了设计变量的范围，初始化了种群，并注册了遗传操作。通过遗传算法的迭代，我们寻找满足约束条件下的最小重量设计。通过上述模块，我们深入了解了结构优化设计的基础概念，包括目标与约束、数学模型构建以及优化方法的选择和应用。这为解决实际工程问题提供了理论基础和实践指导。6能量法在结构优化设计中的应用6.1基于能量法的结构尺寸优化6.1.1原理在结构尺寸优化中，能量法通过最小化结构的总势能或最大化结构的总动能来确定最优的结构尺寸。总势能通常包括结构的应变能和外力势能，而总动能则与结构的质量和速度有关。通过调整结构的尺寸参数（如截面面积、厚度等），可以找到使结构在给定载荷下应变能最小或在给定动力条件下动能最大的尺寸配置。6.1.2内容应变能计算：结构在载荷作用下变形，产生应变能。应变能的计算依赖于结构的几何尺寸和材料属性。外力势能计算：外力作用于结构上，其势能与外力的大小和作用点的位置有关。优化目标函数：将应变能和外力势能结合，形成目标函数，通过优化算法寻找最小值。约束条件：结构尺寸优化需考虑材料强度、稳定性、成本等约束条件。6.1.3示例假设有一个简支梁，需要通过能量法优化其截面尺寸以最小化应变能。梁的长度为L，截面宽度为b，高度为h，材料弹性模量为E，载荷为P。importnumpyasnp

fromscipy.optimizeimportminimize

#定义参数

L=1.0#梁的长度

E=200e9#材料弹性模量

P=1000#载荷

#应变能计算函数

defstrain_energy(x):

b,h=x

I=b*h**3/12#截面惯性矩

y_max=P*L**3/(48*E*I)#最大挠度

U=P*y_max#应变能

returnU

#初始尺寸

x0=np.array([0.1,0.1])

#约束条件

cons=({'type':'ineq','fun':lambdax:1-x[0]/0.2},#宽度不超过0.2

{'type':'ineq','fun':lambdax:1-x[1]/0.2})#高度不超过0.2

#优化

res=minimize(strain_energy,x0,method='SLSQP',constraints=cons)

#输出结果

print(f"Optimizeddimensions:b={res.x[0]},h={res.x[1]}")

print(f"Minimumstrainenergy:{res.fun}")6.2基于能量法的结构形状优化6.2.1原理结构形状优化是通过改变结构的几何形状来提高其性能的过程。能量法在此类优化中，通过调整结构的形状参数，以最小化结构的总势能或最大化总动能为目标。形状优化可以显著影响结构的应力分布和变形模式，从而影响结构的性能和效率。6.2.2内容形状参数化：将结构形状用一组参数表示，便于优化算法操作。能量分析：基于参数化后的形状，计算结构的应变能和外力势能。优化算法应用：使用数值优化算法（如遗传算法、粒子群优化等）寻找最优形状参数。6.2.3示例考虑一个悬臂梁，其形状由一个参数α控制，该参数决定了梁的截面形状。目标是最小化在端部载荷作用下的应变能。importnumpyasnp

fromscipy.optimizeimportminimize

#定义参数

L=1.0#梁的长度

E=200e9#材料弹性模量

P=1000#载荷

#应变能计算函数

defstrain_energy(alpha):

b=0.1*(1+alpha)#截面宽度随α变化

h=0.1*(1-alpha)#截面高度随α变化

I=b*h**3/12#截面惯性矩

y_max=P*L**3/(48*E*I)#最大挠度

U=P*y_max#应变能

returnU

#初始形状参数

alpha0=0.0

#约束条件

cons=({'type':'ineq','fun':lambdaalpha:1-alpha},#α不超过1

{'type':'ineq','fun':lambdaalpha:alpha+1})#α不小于-1

#优化

res=minimize(strain_energy,alpha0,method='SLSQP',constraints=cons)

#输出结果

print(f"Optimizedshapeparameter:α={res.x[0]}")

print(f"Minimumstrainenergy:{res.fun}")6.3基于能量法的结构拓扑优化6.3.1原理拓扑优化是结构优化设计中的一种高级形式，它允许结构的材料分布发生变化，从而找到最优的材料布局。能量法在拓扑优化中，通过最小化结构的总势能或最大化总动能，来确定材料在结构中的最优分布。这种方法可以产生创新的结构设计，提高结构的效率和性能。6.3.2内容材料分布参数化：将结构划分为多个单元，每个单元的材料密度作为优化参数。能量分析：基于材料分布参数，计算结构的应变能和外力势能。优化算法应用：使用数值优化算法（如SIMP方法）来调整材料分布参数，以达到优化目标。6.3.3示例假设一个平面结构，由多个单元组成，每个单元的材料密度ρ是优化参数。目标是最小化在给定载荷下的应变能。importnumpyasnp

fromscipy.optimizeimportminimize

#定义参数

L=1.0#结构的长度

W=1.0#结构的宽度

E=200e9#材料弹性模量

P=1000#载荷

#结构划分为10x10的单元

n=10

rho=np.ones((n,n))*0.5#初始材料密度

#应变能计算函数

defstrain_energy(rho):

U=0

foriinrange(n):

forjinrange(n):

b=W/n#单元宽度

h=L/n#单元高度

I=b*h**3/12#单元截面惯性矩

y_max=P*h**3/(48*E*I*rho[i,j])#单元最大挠度

U+=P*y_max#应变能累加

returnU

#优化

res=minimize(strain_energy,rho.flatten(),method='SLSQP')

#输出结果

rho_opt=res.x.reshape((n,n))

print("Optimizedmate