莱芜市市级2024年中考数学四模试卷（含解析）

莱芜市市级名校2024年中考数学四模试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.已知反比例函数y=1下列结论正确的是（）

X

A.图像经过点（-1,1）B.图像在第一、三象限

C.y随着x的增大而减小D.当x>l时，y<l

2.如图，已知直线AB//CD,点E,F分别在AB、CD上，ZCFE:ZEFB=3:4,如果NB=40。，那么/3石尸=

A.20°B.40°C.60°D.80°

3.已知A（xi,yi）,B（X2,y2）是反比例函数y=?k#0）图象上的两个点，当xi<X2<0时，yi>y2,那么一次函数y=kx

-k的图象不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.如图，A点是半圆上一个三等分点，5点是弧AN的中点，尸点是直径ATN上一动点，。。的半径为1,则AP+

BP的最小值为

A.1B.C.72D.73-1

2

5.据国家统计局2018年1月18日公布,2017年我国GDP总量为827122亿元,首次登上80万亿元的门槛,数据827122

亿元用科学记数法表示为（）

A.8.27122xl012B.8.27122xl013C.0.827122xl014D.8.27122xl014

6.一、单选题

如图，AABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分另U是NBAC、NABC的平分线，ZBAC=50°,NABC=60。，则

ZEAD+ZACD=()

C

A.75°B.80°C.85°D.90°

x21

7.分式方程;~下一一二=1的解为()

(x+l)X+1

2

A.x=lB.x=0C.x=-----D.x=-1

3

8.方程x2-4x+5=0根的情况是()

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.有一个实数根D.没有实数根

ab2(b>0)

9.定义运算“※”为：aXb=<，如：珠(-2)=-lx(-2)2=-1.则函数y=2^x的图象大致是()

-ab2(b<0)

10.某几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，其主视图与左视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体最少有

()

左视图主视图

A.4个B.5个C.6个D.7个

11.已知抛物线y=ax?+bx+c与x轴交于(xi,0)、(X2,0)两点,且OvxKl,1〈X2<2与y轴交于(0,-2),下列结论:

①2a+b>l；②a+b<2；③3a+b>0；@a<-l,其中正确结论的个数为()

A.1个B.2个C.3个D.4个

12.下列计算，结果等于a”的是()

A.a+3aB.a5-aC.(a2)2D.a8-j-a2

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13.如图所示，某办公大楼正前力有一根高度是15米的旗杆ED,从办公楼顶点A测得族杆顶端E的俯角a是45。，

旗杆底端D到大楼前梯坎底端C的距离DC是20米，梯坎坡长BC是13米，梯坎坡度i=l：2.4,则大楼AB的高度

14.在平面直角坐标系中，智多星做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向上走1个单位，第2步向上

走2个单位，第3步向右走1个单位，第4步向上走1个单位……依此类推，第n步的走法是：当n被3除，余数为

2时，则向上走2个单位；当走完第2018步时，棋子所处位置的坐标是

15.一次函数丫=(k-3)x-k+2的图象经过第一、三、四象限.则k的取值范围是.

16.在平面直角坐标系中，。尸的圆心是(2,a)(a>2),半径为2,函数y=x的图象被。尸截得的弦45的长为26,

则a的值是.

17.如图，当半径为30cm的转动轮转过120。角时，传送带上的物体A平移的距离为<

18.某广场要做一个由若干盆花组成的形如正六边形的花坛，每条边（包括两个顶点）有n（n>l）盆花，设这个花坛

边上的花盆的总数为S,请观察图中的规律：

■——...・•-一

/<,♦♦<♦/、

/\/、*\

\/••'、、▼

\/\.

•.....♦

n=2,S=6n=3,S=12n=4,S=18

按上规律推断，S与n的关系是.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）爸爸和小芳驾车去郊外登山，欣赏美丽的达子香（兴安杜鹃），到了山下，爸爸让小芳先出发6min,然后

他再追赶，待爸爸出发24min时，妈妈来电话，有急事，要求立即回去.于是爸爸和小芳马上按原路下山返回（中间

接电话所用时间不计），二人返回山下的时间相差4min,假设小芳和爸爸各自上、下山的速度是均匀的，登山过程中

小芳和爸爸之间的距离s（单位：m）关于小芳出发时间t（单位：min）的函数图象如图，请结合图象信息解答下列

问题：

（1）小芳和爸爸上山时的速度各是多少？

（2）求出爸爸下山时CD段的函数解析式；

（3）因山势特点所致，二人相距超过120m就互相看不见，求二人互相看不见的时间有多少分钟？

20.（6分）今年，我国海关总署严厉打击“洋垃圾”违法行动，坚决把“洋垃圾”拒于国门之外.如图，某天我国一艘海

监船巡航到A港口正西方的5处时，发现在3的北偏东60。方向，相距150海里处的C点有一可疑船只正沿C4方向

行驶，C点在A港口的北偏东30。方向上，海监船向4港口发出指令，执法船立即从A港口沿AC方向驶出，在。处

成功拦截可疑船只，此时。点与8点的距离为750海里.

（1）求3点到直线CA的距离；

（2）执法船从A到。航行了多少海里？（结果保留根号）

21.(6分)如图，已知一次函数y=；x+m的图象与x轴交于点A(-4,0),与二次函数y=ax1+bx+c的图象交于y

轴上一点B,该二次函数的顶点C在x轴上，且OC=L

(1)求点B坐标；

(1)求二次函数y=ax1+bx+c的解析式；

(3)设一次函数y=[x+m的图象与二次函数y=ax】+bx+c的图象的另一交点为D,已知P为x轴上的一个动点，且

△PBD是以BD为直角边的直角三角形，求点P的坐标.

22.(8分)如图，四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E,F分另U在OA,OC±.

⑴给出以下条件；①OB=OD,②N1=N2,®OE=OF,请你从中选取两个条件证明△BEOg△DFO；

⑵在⑴条件中你所选条件的前提下，添加AE=CF,求证：四边形ABCD是平行四边形.

23.(8分)先化简，再求值：(1--)vX-+6r+9＞其中x=L

x+1X-1

24.(10分)关于x的一元二次方程ax2+bx+l=L

(1)当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；

(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a,b的值，并求此时方程的根.

25.(10分)如图，在AABC,AB=AC,以AB为直径的。O分别交AC、BC于点D、E,且BF是。O的切线，BF

交AC的延长线于F.

(1)求证：ZCBF=1ZCAB.(2)若AB=5,sinZCBF=—,求BC和BF的长.

25

26.(12分)某商场购进一批30瓦的LED灯泡和普通白炽灯泡进行销售，其进价与标价如下表:

LED灯泡普通白炽灯泡

进价(元)4525

标价(元)6030

(1)该商场购进了LED灯泡与普通白炽灯泡共300个，LED灯泡按标价进行销售，而普通白炽灯泡打九折销售，当

销售完这批灯泡后可获利3200元，求该商场购进LED灯泡与普通白炽灯泡的数量分别为多少个？

(2)由于春节期间热销，很快将两种灯泡销售完，若该商场计划再次购进这两种灯泡120个，在不打折的情况下，请

问如何进货，销售完这批灯泡时获利最多且不超过进货价的30%,并求出此时这批灯泡的总利润为多少元？

27.(12分)如图1,在RtZkABC中，ZC=90°,AC=BC=2,点D、E分别在边AC、AB±,AD=DE=-AB,连接

2

DE.将△ADE绕点A逆时针方向旋转，记旋转角为0.

(1)问题发现

BE

①当0=0。时，—=；

BE

②当8=180。时，—=.

(2)拓展探究

BF

试判断：当0。4)<360。时，布的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；

(3)问题解决

①在旋转过程中，BE的最大值为；

②当AADE旋转至B、D、E三点共线时，线段CD的长为.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、B

【解析】

分析：直接利用反比例函数的性质进而分析得出答案.

详解：A.反比例函数产,，图象经过点（-1,-1）,故此选项错误；

X

B.反比例函数产工，图象在第一、三象限，故此选项正确；

X

C.反比例函数产每个象限内，y随着x的增大而减小，故此选项错误；

X

D.反比例函数y=L当Q1时，0<J<1,故此选项错误.

x

故选B.

点睛：本题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键.

2、C

【解析】

根据平行线的性质，可得NCEB的度数，再根据NCFE:NEEB=3:4以及平行线的性质，即可得出々及'的度数.

【详解】

VAB//CD,NAM=40°,

•*.Z.CFB=180°—N3=140°,

,：ZCFE:ZEFB=3:4,

3

:.ZCFE=-ZCFB=60°,

7

AB//CD,

:.ZBEF=ZCFE=60°，

故选C.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补，且内错角相等.

3、B

【解析】

试题分析：当xiVx2Vo时，yi>y2,可判定k>0,所以-kVO,即可判定一次函数y=kx-k的图象经过第一、三、

四象限，所以不经过第二象限，故答案选B.

考点：反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象与系数的关系.

4、C

【解析】

作点A关于拉N的对称点4,连接3,交于点P,贝!J24+PB最小，

连接OA'^A'.

•.•点4与£关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点,

:.ZA'ON=ZAON^60°,PA=PA',

•••点5是弧AN八的中点，

:.NBON=30°,

:.ZA'OB=ZA'ON+ZBON=9Q°,

又•.•OA=Q4，=1,

：.A'B=y/2

:.PA+PB^PA'+PB^A，B=72

故选：C.

5、B

【解析】

由科学记数法的定义可得答案.

【详解】

解：827122亿即82712200000000,用科学记数法表示为8.27122xl013,

故选B.

【点睛】

科学记数法表示数的标准形式为ax10"(1W时＜10且n为整数).

6、A

【解析】

分析：依据AD是BC边上的高，ZABC=60°,即可得到NBAD=30。，依据NBAC=50。，AE平分NBAC,即可得到

ZDAE=5°,再根据△ABC中，ZC=1800-ZABC-ZBAC=70°,可得NEAD+NACD=75。.

详解：；AD是BC边上的高，NABC=60。，

/.ZBAD=30°,

VZBAC=50°,AE平分NBAC,

/.ZBAE=25°,

/.ZDAE=30°-25°=5°,

VAABC中，ZC=180°-ZABC-ZBAC=70°,

:.ZEAD+ZACD=5°+70o=75°,

故选A.

点睛：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180。.解决问题的关键是三角形外角性质以及角平分线的定义

的运用.

7、C

【解析】

首先找出分式的最简公分母，进而去分母，再解分式方程即可.

【详解】

解：去分母得：

x2-x-l=(x+1)2,

整理得：-3x-2=0,

2

解得：x=--,

3

2

检验：当x=--时,(x+1)2#0,

3

2

故*=--是原方程的根.

3

故选C.

【点睛】

此题主要考查了解分式方程的解法，正确掌握解题方法是解题关键.

8,D

【解析】

解：曾可，b=-4,c=5,

/.△=b2-4ac=(-4)2-4x1x5=-4<0,

所以原方程没有实数根.

9、C

【解析】

ab1(b>0)

根据定义运算“※”为:aXb=可得y=2Xx的函数解析式，根据函数解析式，可得函数图象.

-ab2(b<0y

【详解】

2x2(%>0)

解:尸2Xx=«

-2x2(x<0)

当x>0时,图象是y=2V对称轴右侧的部分;

当x<0时,图象是y=-2x2对称轴左侧的部分,

所以C选项是正确的.

【点睛】

ab2(b>0)

本题考查了二次函数的图象，利用定义运算“※”为:aXb=

-ab2(b<0)

得出分段函数是解题关键.

10、B

【解析】

由主视图和左视图确定俯视图的形状，再判断最少的正方体的个数.

【详解】由主视图和左视图可确定所需正方体个数最少时俯视图（数字为该位置小正方体的个数）为:

俯视圜

则搭成这个几何体的小正方体最少有5个,

故选B.

【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，根据主视图和左视图画出所需正方体个数最少的俯视图是关键.

【详解】

请在此输入详解！

【点睛】

请在此输入点睛！

11、A

【解析】

如图，0<西<1,1<%<2

且图像与y轴交于点(0,-2),

可知该抛物线的开口向下，即a<0,c=-2

①当x=2时，y=4a+2b-2<Q

4Q+2/?<22a+b<l

故①错误.

②由图像可知，当％=1时，y>0

：•cL'\-b—2>0

,a+b>2

故②错误.

③・.・0<XJ<L1<X2<2

工IV玉+X2<3,

又;Xj+x2——，

a

a

:-a<b<-3a,

:.3Q+Z?V0,

故③错误；

(4)V0<再％2<2,x,x=—<2,

2a

又丁c=-29

：・a<—1.

故④正确.

故答案选A.

本题考查二次函数y^ax2+bx+c系数符号的确定由抛物线的开口方向、对称轴和抛物线与坐标轴的交点确定.

12、C

【解析】

根据同底数塞的除法法则：底数不变，指数相减；同底数塞的乘法法则：同底数塞相乘，底数不变，指数相加；塞的

乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算即可.

【详解】

A.a+3a=4a,错误；

B./和。不是同类项，不能合并，故此选项错误；

C.（a2）2=a4,正确；

D.a8-ra2=a6,错误.

故选C.

【点睛】

本题主要考查了同底数幕的乘除法，以及塞的乘方，关键是正确掌握计算法则.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、42

【解析】

延长AB交DC于H,作EG_LAB于G,贝!jGH=DE=15米，EG=DH,设BH=x米，贝！|CH=2.4x米，在RtABCH中,

BC=13米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=5米，CH=12米，得出BG、EG的长度，证明AAEG是等腰直角

三角形，得出AG=EG=12+20=32（米），即可得出大楼AB的高度.

【详解】

延长AB交DC于H,作EGLAB于G,如图所示：

贝！］GH=DE=15米，EG=DH,

•••梯坎坡度i=l：2.4,

ABH：CH=1：2.4,

设BH=x米，则CH=2.4x米，

在R3BCH中，BC=13米，

由勾股定理得：x2+（2.4x）2=132,

解得：x=5,

；.BH=5米，CH=12米，

/.BG=GH-BH=15-5=10（米），EG=DH=CH+CD=12+20=32（米），

,:Za=45°,

.,.ZEAG=90°-45o=45°,

.,.△AEG是等腰直角三角形，

,\AG=EG=32（米），

AAB=AG+BG=32+10=42（米）；

故答案为42

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用-坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出BH,得出EG是解决问题的关键.

14、（672,2019）

【解析】分析：按照题目给定的规则，找到周期，由题意可得每三步是一个循环，所以只需要计算2018被3除，就可

以得到棋子的位置.

详解：

解：由题意得，每3步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右1个单位，向上3个单位，

：2018+3=672…2,

二走完第2018步，为第673个循环组的第2步，

所处位置的横坐标为672,

纵坐标为672x3+3=2019,

二棋子所处位置的坐标是(672,2019).

故答案为：(672,2019).

点睛：周期问题解决问题的核心是要找到最小正周期，然后把给定的数(一般是一个很大的数)除以最小正周期，余

数是几，就是第几步，特别余数是1,就是第一步，余数是0,就是最后一步.

15、k>3

【解析】

%—3>0

分析：根据函数图象所经过的象限列出不等式组1,°八通过解该不等式组可以求得上的取值范围.

—左+2<0,

详解：•••一次函教尸(-3)xi+2的图象经过第一、三、四象限，

%—3>0

*

\-k+2<0,

解得，A>3.

故答案是：k>3.

点睛：此题主要考查了一次函数图象，一次函数y=丘+人的图象有四种情况：

①当%>03>0时，函数>=履+6的图象经过第一、二、三象限；

②当上>03<0时，函数>=履+6的图象经过第一、三、四象限；

③当上<03>0时，函数丫=履+6的图象经过第一、二、四象限；

④当左<0力<0时，函数>=丘+力的图象经过第二、三、四象限.

16、2+^/2

【解析】

试题分析：过P点作PELAB于E,过P点作PC_Lx轴于C,交AB于D,连接PA.

VPE±AB,AB=2四，半径为2,

.,.AE=-AB=V3，PA=2,根据勾股定理得：PE=1,

2

点A在直线y=x上，

.\ZAOC=45°,

VZDCO=90°,

.,.ZODC=45°,

--.△OCD是等腰直角三角形，

.\OC=CD=2,

.,.ZPDE=ZODC=45°,

:.ZDPE=ZPDE=45°,

，DE=PE=1,

.•.PD=0

V（DP的圆心是（2,a）,

，a=PD+DC=2+也.

本题主要考查的就是垂径定理的应用以及直角三角形勾股定理的应用，属于中等难度的题型.解决这个问题的关键就

是在于作出辅助线，将所求的线段放入到直角三角形中.本题还需要注意的一个隐含条件就是：直线y=x或直线y=-x

与x轴所形成的锐角为45。，这一个条件的应用也是很重要的.

17、20n

【解析】

解：120"——=20nc»i.故答案为20ncm.

180

18、S=ln-1

【解析】

观察可得，n=2时，S=l；

n=3时，S=l+(3-2)xl=12；

n=4时，S=l+(4-2)xl=18；

・・・；

所以，S与n的关系是：S=l+(n-2)xl=ln-l.

故答案为S=ln-1.

【点睛】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，

是按照什么规律变化的.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)小芳上山的速度为20m/min,爸爸上山的速度为28m/min；(2)爸爸下山时CD段的函数解析式为y=12x-

288(24<x<40)；(3)二人互相看不见的时间有7.1分钟.

【解析】

分析：(1)根据速度=路程+时间可求出小芳上山的速度；根据速度=路程+时间+小芳的速度可求出爸爸上山的速度；

(2)根据爸爸及小芳的速度结合点C的横坐标(6+24=30),可得出点C的坐标，由点D的横坐标比点E少4可得出

点D的坐标，再根据点C、D的坐标利用待定系数法可求出CD段的函数解析式；

(3)根据点D、E的坐标利用待定系数法可求出DE段的函数解析式，分别求出CD、DE段纵坐标大于120时x的取

值范围，结合两个时间段即可求出结论.

详解：(1)小芳上山的速度为120+6=20(m/min),

爸爸上山的速度为120+(21-6)+20=28(m/min).

答：小芳上山的速度为20m/min,爸爸上山的速度为28m/min.

(2)V(28-20)x(24+6-21)=72(m),

点C的坐标为(30,72)；

,二人返回山下的时间相差4min,44-4=40(min),

.••点D的坐标为(40,192).

设爸爸下山时CD段的函数解析式为y=kx+b,

将C(30,72)、D(40,192)代入y=kx+b,

’30左+匕=72,\左=12

,“c,,解得：\

40k+b=192[b=-228

答：爸爸下山时CD段的函数解析式为y=12x-288(24<x<40).

(3)设DE段的函数解析式为y=mx+n,

将D(40,192)、E(44,0)代入y=mx+n,

40m+n=192[m=-48

\c，解得：1>

44-m+n=0[”=2112

ADE段的函数解析式为y=-48x+2112(40<x<44).

当y=12x-288>120时，34<x<40；

当y=-48x+2112>120时，40<x<41.1.

41.1-34=7.1(min).

答：二人互相看不见的时间有7.1分钟.

点睛：本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：

(1)根据数量关系，列式计算；(2)根据点C、D的坐标，利用待定系数法求出CD段的函数解析式；(3)利用一次

函数图象上点的坐标特征分别求出CD、DE段纵坐标大于120时x的取值范围.

20、（1）3点到直线CA的距离是75海里；（2）执法船从A到O航行了（75-256）海里.

【解析】

（1）过点8作377,CA交CA的延长线于点77,根据三角函数可求37/的长；

（2）根据勾股定理可求在RtAAB"中，根据三角函数可求进一步得到AO的长.

【详解】

解：（1）过点3作交C4的延长线于点H,

；NM5C=60。，

/.ZCBA=30°,

•.•/MW=30。，

AZBAC=120°,

,*.ZBCA=180°-ZBAC-ZCBA=3Q°,

.*.BH=BCxsinZBCA=150x-=75（海里）.

2

答：B点到直线CA的距离是75海里；

（2）;BD=756海里,88=75海里，

:.DH=《BD?-BH?=75（海里），

•.•/R4H=180。-ZBAC=60°,

BH

在RtAAB”中，tanZBAH^——=石，

AH

:.AH=256,

：.AD=DH-AH=（75-2573）（海里）.

答：执法船从A到。航行了（75-25g）海里.

【点睛】

本题主要考查了勾股定理的应用，解直角三角形的应用-方向角问题.能合理构造直角三角形，并利用方向角求得三角

形内角的大小是解决此题的关键.

21>(1)B(0,1)；(1)y=0.5xJ-lx+1；(3)Pi(1,0)和Pi(7.15,0)；

【解析】

(1)根据y=0.5x+m交x轴于点A,进而得出m的值，再利用与y轴交于点B,即可得出B点坐标；(1)二次函数

y=axi+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C,且OC=1.得出可设二次函数y=ax1+bx+c=a(x-1)1,进而求出即可;

(3)根据当B为直角顶点，当D为直角顶点时，分别利用三角形相似对应边成比例求出即可.

【详解】

(1),.,y=；x+l交x轴于点A(-4,0),

/.0=—x(-4)+m,

2

m=l,

与y轴交于点B,

".'x=0,

•'♦y=l

•\B点坐标为：(0,1),

(1),••二次函数y=ax1+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C,且OC=1

...可设二次函数y=a(x-1)1

把B(0,1)代入得：a=0.5

二次函数的解析式：y=0.5xi-lx+1；

(3)(I)当B为直角顶点时，过B作BPi±AD交x轴于Pi点

由RtAAOBSRSBOPI

,AOBO

••茄—访’

.4_2

-I—访，

得：OPi=l,

APi(1,0),

(II)作PiDJ_BD,连接BPi,

将y=0.5x+l与y=0.5x1-lx+1联立求出两函数交点坐标：

D点坐标为:(5,4.5),

贝!)AD=述，

2

当D为直角顶点时

VZDAPi=ZBAO,ZBOA=ZADPi,

/.△ABO^AAPID,

AB_AO述=^_

,瓦=15，A与W5，

2

解得：APi=11.15,

则OPi=11.15-4=7.15,

故Pi点坐标为(7.15,0)；

.,.点P的坐标为:Pi(1,0)和Pi(7.15,0).

【点睛】

此题主要考查了二次函数综合应用以及求函数与坐标轴交点和相似三角形的与性质等知识，根据已知进行分类讨论得

出所有结果，注意不要漏解.

22、（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

试题分析：（1）选取①②，利用ASA判定△BE。名△£）尸。；也可选取②③，利用AAS判定△BEO丝△。尸。；还可选

取①③，利用SAS判定△BEO会/\DFO；

（2）根据ABE。g△。尸。可得EO=P。，BO=DO,再根据等式的性质可得AO=CO,根据两条对角线互相平分的

四边形是平行四边形可得结论.

试题解析：

证明：（1）选取①②，

Z1=Z2

,在△BEO和4DFO中

ZEOB=ZFOD

：./\BEO^/\DFO(ASA)；

(2)由(1)得：XBEOmADFO,

:.EO=FO,BO=DO,

'：AE=CF,

:.AO=CO,

，四边形ABCD是平行四边形.

点睛：此题主要考查了平行四边形的判定，以及全等三角形的判定，关键是掌握两条对角线互相平分的四边形是平行

四边形.

1

23、一・

5

【解析】

原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把X的值代入

计算即可求出值.

【详解】

2x+2—x+1(x+l)(x—1)x+3(x+l)(x—1)x-1

22

八x+1(x+3)x+1(x+3)x+3

当x=i时，原式=?--=-.

2+35

【点睛】

本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

24、(2)方程有两个不相等的实数根；(2)b=-2,a=2时，x2=x2=-2.

【解析】

分析：(2)求出根的判别式A=〃-4ac，判断其范围，即可判断方程根的情况.

(2)方程有两个相等的实数根，则△=土纥=0,写出一组满足条件的。，b的值即可.

详解：(2)解：由题意：awO.

2

A=Z?—4-ac=(a+2)一—4a=+4>0,

...原方程有两个不相等的实数根.

(2)答案不唯一，满足A?—4ac=0(a/0)即可，例如：

解：令4=1,b=-2,贝！J原方程为x?—2x+l=0，

解得：X]=%—1•

点睛：考查一元二次方程ax2+bx+c=Q（a^0）根的判别式\=b2-^ac，

当A=〃—4ac>0时，方程有两个不相等的实数根.

当A=〃—4ac=0时，方程有两个相等的实数根.

当/=〃—4ac<0时，方程没有实数根.

on

25、（1）证明略；（2）BC=2五，BF=—.

3

【解析】

试题分析：（1）连结AE.有AB是。O的直径可得NAEB=90。再有BF是。O的切线可得BFLAB,利用同角的余角相

等即可证明；

（2）在RtAABE中有三角函数可以求出BE,又有等腰三角形的三线合一可得BC=2BE,

过点C作CG_LAB于点G.可求出AE,再在RtAABE中，求出sinN2,cosN2.然后再在RtACGB中求出CG,最后

证出AAGC^AABF有相似的性质求出BF即可.

试题解析：

(1)证明：连结AE.YAB是。O的直径，...NAEB=90。，/.Zl+Z2=90°.

YBF是。O的切线，；.BF_LAB,/.ZCBF+Z2=90°..\ZCBF=Z1.

,/AB=AC,NAEB=90。，：.Z1=-ZCAB.

2

/.ZCBF=-ZCAB.

2

(2)解：过点C作CG_LAB于点G.：sinNCBF=g,Z1=ZCBF,.*.sinNl=^^.

5

VZAEB=90°,AB=5..>.BE=ABsinZl=V?.

VAB=AC,ZAEB=90°,.,.BC=2BE=275.

在RtZkABE中，由勾股定理得AE=一3彦=2亚.

..2^5/_V5

..sinZ2=-----,cosZ2=——・

55

在R3CBG中，可求得GC=4,GB=2.AAG=3.

VGC/7BF,.,.△AGC^AABF.—=—,

BFAB

.GCAB20

AG3

考点：切线的性质，相似的性质，勾股定理.

26、(1)LED灯泡与普通白炽灯泡的数量分别为200个和100个；(2)1350元.

【解析】

1)设该商场购进LED灯泡x个，普通白炽灯泡的数量为y个，利用该商场购进了LED灯泡与普通白炽灯泡共300

个和销售完这批灯泡后可以获利3200元列方程组，然后解方程组即可；

(2)设该商场购进LED灯泡a个，则购进普通白炽灯泡(120-a)个，这批灯泡的总利润为W元，利用利润的意义

得到W=(60-45)a+(30-25)(120-a)=10a+l,再根据销售完这批灯泡时获利最多且不超过进货价的30%可确定a

的范围，然后根据一次函数的性质解决问题.

【详解】

x+y=300

(1)设该商场购进LED灯泡x个，普通白炽灯泡的数量为y个.根据题意，得’，八

〔(60-45)x+(0.9X30-25)y=3200

[x=200

解得《

[y=100

答：该商场购进LED灯泡与普通白炽灯泡的数量分别为200个和100个.

(2)设该商场再次购进LED灯泡a个，这批灯泡的总利润为W元.则购进普通白炽灯泡(120-a)个.根据题意得

W=(60-45)a+(30-25)(120-a)=10a+l.

V10a+l<[45a+25(120-a)]x30%