广东省三校2025届高三8月开学考试数学试卷及答案

广东省三校2025届8月新高三年级摸底考试

数学试题卷

学校：建文外国语学校、广东碧桂园学校、广州亚加达外国语高级中学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写

在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案

信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定

区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅

笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

绝密★启用前

第I卷（选择题）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题

目要求的。

1.安排4名男生和3名女生去参加甲、乙两个不同的社团活动，每个社团至少3人，且社团甲的男生

数不少于社团乙的男生数，则不同的参加方法种数是（）

A.31B.53C.61D.65

2.下列图像中有一个是函数人「二JV-.IV.|（7-:鲍0盘四辞购

3

的导数/'（X）

的图像，贝了，-11-

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A.n2—nB.n2—n—1C.n2—n+1D.n2—2n

4.某校高三年级有班号为1〜9的9个班，从这9个班中任抽5个班级参加一项活动，则抽出班级的班

号的中位数是5的概率等于（）

5524

A5B.-C.-D.-

5.在等差数列（0.）

中，项=3,G=10,「q=（）

A.13B.17C.21D.23

6.在一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为

优秀，120分以下为非优秀,统计成绩后，得到如下2x2列联表：

a0.050.010.0050.001

xa3.8416.6357.87910.828

优秀非优秀合计

甲班人数105060

乙班人数203050

合计3080110

2

附：/="）（、（上）（计了其中…+b+c+d.

根据独立性检验，可以认为数学考试成绩与班级有关系的把握为（）

A.95%B.99.5%C.99.9%D.99%

7.某中学数学组来了5名即将毕业的大学生进行教学实习活动，现将他们分配到高一年级的1,2,

3三个班实习，每班至少一名，最多两名，则不同的分配方案有（）

A.30种B.90种C.150种D.180种

8.若关于％的不等式e*+x+21n：Nni/+]nm恒成立，则实数zn的最大值为（）

N.三B.vC.1D.e2

L4

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.给出下列命题，其中正确的是（）

A.对于独立性检验K2的值越大，说明两事件相关程度越大

B.若随机变量f〜p代<4）=0.75,则P（f<-2）=0.25

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-1

C.若X〜B(9j),则。(2X+1)=8

D.已知样本点(%,%)。=1,2,3,…,10)组成一个样本，得到回归直线方程y=2x-0.4,且1=2,

剔除两个样本点(-3,1)和(3,-1)得到新的回归直线的斜率为3,则新的回归方程为y=3%-3

10.居民消费价格指数(CcmswnerPriceEde无，简称CP/),是度量居民生活消费品和服务价格水

平随着时间变动的相对数，综合反映居民购买的生活消费品和服务价格水平的变动情况.如图为国

家统计局于2020年4月公布的2019年3月至2020年3月CP/数据同比和环比涨跌幅折线图：

本月CPI本月CPI-去年同月CPI

（注:同比=同比涨跌幅=x100%,

去年同月CP1去年同月CP1

环比=9瑞，环比涨跌幅=本月X100%)，则下列说法正确是()

A.2019年12月与2018年12月CP/相等

B.2020年3月比2019年3月GV上涨4.3%

C.2019年7月至2019年11月CP/持续增长

D.2020年1月至2020年3月CP/持续下降

11.将杨辉三角中的每一个数(都换成',得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三

(n♦I|(ti

角形.莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之

和，如果，.，》，，\I,那么下面关于莱布尼茨三角形的结论正确的是()

第。行

第1行

第2行

第3页/共13页

1111

第3行

412124

第几行

("+DC.■"I.11(;

A.当n是偶数时，中间的一项取得最大值;当九是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值

B.第8行第2个数是4

j-1)(：W+1)C；*

I11,八.■))、

nI

•||JE11(,।

第II卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

67

12.已知(1+x)(a—%)=a0+arx+—Fa7x,若%+的+—I-a7=0,则的=.

13.已知X〜N(1.4,0.052),则X落在区间(1.35,1.45)中的概率为一.(参考数据：P^-o<X<

〃+0)=0.683,PQi—2。<X<〃+2cr)=0.954,P(〃—3。<X<〃+3。)=0,997)

14.若曲线/(%)=一靖不存在垂直于y轴的切线，则实数Q的取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

若函数/(%)=sin%—cos%+a%+1,%e[0,2兀]的图象与直线汽=0,x=n,y=0所围成的封闭

图形的面积为2兀2+7r+2.

(1)求a的值；

(2)求函数/(%)单调区间及最值；

(3)求函数g(%)=f(x)-zn在区间％G[0,2TT]上的零点个数.

16.(本小题15分)

1

设函数/(%)=(1+1)%(几€N,且n>1),/'(%)为/(%)的导函数.

(1)当％=5时，求(1+；产展开式二项式系数最大的项；

(2)对任意的实数X,证明：f(2x)；f(2)>/(*)；

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1

(3)是否存在aGN,使得cm<£?=i(l+芳<(a+l)nXtVnGN,且n>1恒成立？若存在，求出

a的值并证明你的结论；若不存在，请说明理由.

17.(本小题15分)

十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记

数只需数字。和1,对于整数可理解为逢二进一，例如：自然数1在二进制中就表示为(1)2,2表示

为(10)2，3表示为(11)2，5表示为(101)2，发现若n6N,可表示为二进制表达式

aa,1

(cloa!a2-k-ik)2则njQjj,2卜+a1•2"T+—Fak_r-2+an,其中a。=1,%=0或l(i=

1,2・・・,Zc)•

(1)记S(TI)=a。+%H------Fak_r+ak,求证：S(16n+3)=S(4n+3)；

(2)记/(九)为整数九的二进制表达式中的0的个数，如/(2)=1,7(3)=0.

(I)求/(80)；

(II)求2混2,⑺(用数字作答).

18.(本小题17分)

2023年10月11日，中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机”九章

三号”，求解高斯玻色取样数学问题比目前全球最快的超级计算机快一亿亿倍.相较传统计算机的

经典比特只能处于0态或1态，量子计算机的量子比特(qabit)可同时处于0与1的叠加态，故每个量

子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为量

子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间的

自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可

能的变为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有p的概率发生改变，记通过第二

道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为X.

(1)若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2,且p=主求两个粒子通过第一道逻

辑门后上旋粒子个数为2的概率；

(2)若一条信息有n(n>l,n€N*)种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为

Pl，p2>pn,则称H=f(P1)+f(P2)+…+/(Pn)(其中f(久)=一%/。。2%)为这条信息的信息嫡•

试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为X的信息熠H；

(3)将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入

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第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为“丫

1,2,3，…,小…).证明：当联无限增大时，y的数学期望趋近于一个常数.

19.(本小题17分)

已知函数/'(x)=x\nx+1,g(x)=sinx.

(1)求曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程；

(2)证明：函数/i(x)=/(x)-g(x)在区间(0,1)内有且只有一个极值点;

(3)证明:/(x)>g(x).

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1.解：以社团甲中的人数为分类标准，则可分为两类：第一类是社团甲有3人，第二类是社团甲有

4人.

当社团甲有3人时，可以分为2男1女和3男0女两种情况，

所以此时不同的参加方法有以废+盘=18+4=22(种)；

当社团甲有4人时，可以分为2男2女、3男1女和4男0女三种情况，

所以此时不同的参加方法有盘废+盘废+C^=18+12+1=31(种).

由分类加法计数原理可得，满足条件的不同的参加方法种数是22+31=53.

故选：B.

分社团甲有3人和4人讨论即可.

本题主要考查组合及简单的计数问题，考查运算求解能力，属于基础题.

2.试题分析：因为，-：—，；•一l)x+L所以，/'(x)--_rv+a'-l，而

3

八、1-+1

ax0,所以，a--1=o,a=-1./(-1)=-(-]/+(-1)x(-1)*+[(-1)*-1X1)1=—，

33

故选Bo

考点：导数计算，二次函数的图象和性质。

点评：简单题，通过求函数的导数，并研究导函数的图象，确定得到a的取值，从而进一步确定得

到「

3.解：根据题意，对于数列1,3,7,13,21,...

有1=12-1+1,3=22—2+1,7=32—3+1,13=42—4+1,21=42-4+1,

归纳可得：九+1.

故选：C.

根据题意，归纳数列各项与n的关系，分析可得答案.

本题考查数列的表示方法，涉及数列的通项公式，属于基础题.

4.解：某校高三年级有班号为1〜9的9个班，

从这9个班中任抽5个班级参加一项活动，

基本事件总数71=瑞=126,

抽出班级的班号的中位数是5包含的基本事件个数巾=ClCl=36

・•・抽出班级的班号的中位数是5的概率p=?=聋=,.

故选：C.

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先求出基本事件总数几=瑞，再求出抽出班级的班号的中位数是5包含的基本事件个数爪=ClCl，

由此能求出抽出班级的班号的中位数是5的概率.

本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运

用.

5.

本题考查等差数列的性质及前n项和公式的应用，属于基础题目.

解：由等差数列的性质可知，

在等差数列中Sf,凡—Sm为等差数列，

所以2（鼠一甑）=&+必一必，

所以限=21.

故选C.

6.

本题考查独立性检验，属于较易题.

根据独立性检验思想可解.

解：根据题意，由公式可得*2=吗黑篇券普。7.486>6.635,

OUXJUX,JUXOU

且7.486<7.879.

・••有99%的把握认为数学考试成绩与班级有关.

故选：D.

7.

根据题意，先把5名大学生分成三组，一组1人，另两组都是2人，计算其分组的方法种数，进而将

三个组分到3个班，即进行全排列，计算可得答案.

本题考查排列、组合的运用，注意先要根据题意要求，进行分类讨论，其次要正确运用分组公

式.

解：将5名大学生分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，

则将5名大学生分成三组，一组1人，另两组都是2人，有呼=15种方法，

再将3组分到3个班，共有15•题=90种不同的分配方案，

故选：B.

8.

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本题主要考查利用导数研究恒成立问题，属于中档题.

将题干不等式变形为c"+济靖》mx2+In(mx2),构造函数/(%)=%+In%,利用函数/(%)的单

调性将问题转化为捺》加恒成立问题，令g(x)=§,利用导数研究函数。(久)最值即可求解.

解：由题意得，e%+%>Tn/+仇(租/),

即e*+inex>mx2+In(m/)恒成立，

令/(%)=%+Inx,因为/1%)=1+->0,

所以函数/(%)在(0,+8)上单调递增，

则不等式转化为f(/)>/(mx2),所以e%>mx2,

则黄》血对一切汽G(0,+8)恒成立.

令9。)=*贝叼'⑶=.：］?),

则当0V%<2时，gz(x)<0,g(%)单调递减；

当%>2时，g'(x)>0,g(x)单调递增，

所以当久=2时，g(%)有最小值，

22

即g(x)min=g(2)=T,则6的最大值为7・

故选8

9.解：选项A,对于独立性检验/的值越大，说明这两事件具有相关性的把握越大，错误；

选项3,f〜N(1R2),<4)=0.75,>4)=<-2)=1-0.75=0.25,正确；

选项C,X〜8(9,今，则D(X)=9x/x(l—玄=2,D(2X+1)=22D(X)=8,正确；

选项D,把x=2代入回归直线方程y=2x-0.4,得亍=2X2-0.4=3.6,

剔除两个样本点(—3,1)和(3,—1)后，新的平均数1=智=2.5,亍=驾卫=4.5,

OO

又新的回归直线的斜率为3,即y=3x+a,则4,5=3X2.5+a,解得a=-3,

则新的回归方程为y=3%-3,正确；

故选：BCD.

由独立性检验判断选项A,由正态分布的对称性，判断选项B,由二项分布的方差公式，判断选项

C,由回归直线方程的求法，判断选项。.

本题考查回归直线方程，独立性检验，二项分布的方差，正态曲线的性质，属于基础题.

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10.

本题考查折线图，属于较难题.

根据图中给的折线图，对选项一一进行分析比较即可得到答案.

解：由图可知，2019年12月比2018年12月CP/上涨4.5%,故A不正确；

2020年3月比2019年3月CP/上涨4.3%,故8正确；

2019年7月至2019年11月的环比均为正数，所以CP/持续增长，故C正确；

2020年1月至2020年3月的环比有正有负，所以CP/有升有降，故。不正确.

故选：BC

11.

对于4根据杨辉三角的特点结合不等式性质可判定正确，对于B第九行的第2个数等于第九行的第一

个数和第n-1行的第一个数相乘，所以正确，对于C直接根据每一行距离首位距离相等的两项相

等求解即可，对于。根据每一个数均等于其“脚下”两个数之和判断即可.

本题主要考查了对杨辉三角定义的应用，组合数的性质，考查了逻辑推理能力和运算求解能力，

是中档题.

解：对于4根据杨辉三角的特点，当n为偶数时，中间的一项取得最大值；当n为奇数时，中间的

两项相等，且同时取得最大值，

当每一项取倒数时，再乘以一个常数，可得当n是偶数时，中间的一项取得最小值；当九时奇数

时，中间的两项相等，且同时取得最小值，所以4不正确，

对于B,第8行第2个数是」所以2正确，

(8+1混72

对于C,每一行距离首位距离相等的两项相等，即用尸=E^7(reN,0WrWn),所以

。,所以。正确，

对于。，开始每个数均等于其“脚下”两个数之和，即一二I+7-^7=-4=7(r&N,l<r<

(n+l)C；1(n+1)品nC„_i

n),所以O错误，

所以关于莱布尼茨三角形的性质描述正确的是BC.

故选BC

67

12.解：•••(1+x)(a—x)=a0+a1x+-I-a7x,a0+a1+-I-a7=0,

令x=1,则2(a—1)6=a。+a[+…+的=0,

解得a=1.

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(1+x)(a—x)6=(1+x)(l—x)6.

(1一x)6的通项公式Tr+1=Cg(-x)r,

令r=3或r=2,

则ci3=-Cl+C1=-5.

故答案为：-5.

676

(1+x)(a—%)=a0+aTx+—I-a7x,a0++—I-a7=0,令x=1,可得2(a—l)=a0+

%+-+a7=0,解得a.再利用通项公式即可得出.

本题考查了二项式定理的应用、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

13.解：因为X〜N(1.4,0.052),〃=1.4,0=0.05,

所以P(〃—cr<X<〃+<!)=P(1.4-0.05<x<1.4+0.05)=0.683,

即X落在区间(1.35,1.45)中的概率为0.683.

故答案为：0.683.

根据正态分布的3。原则，计算即可.

本题考查正态分布的运用，属于基础题.

14.

本题考查考查导数的几何意义，导数中的存在性问题，注意运用转化思想，以及构造函数法，考

查运算能力，属于中档题.

求得/(%)的导数，由题意可得尸(%)=ax-靖=0无实数解，即有a=9,设gQ)=?,求得导数

和单调区间，求得极小值，结合图象即可得到a的范围.

解：f(x)=^x2-短的导数为/(%)=ax-ex,

由/(%)不存在垂直于y轴的切线，

可得a%