人教版初中八年级数学上册同步讲义-分式的运算（解析版）

第03讲分式的运算

学习目标

课程标准学习目标

1.掌握分式的乘除法运算法则，能够熟练的进行分式的

乘除法计算。

①分式的乘除运算

2.掌握分式的乘方运算法则，能够熟练的进行分式的乘

②分式的乘方运算

方计算。

③分式的加减运算

3.掌握分式的加减法运算法则，能够熟练的进行分式的

加减法计算。

思维导图

分式的就去运算

知识清单

知识点01分式的乘法运算

i.分式的乘法运算法则：

同分数的乘法运算法则，分子乘分子作为积的分子,分母乘分母作为积的分母。

ACAC

n即n：-----=----O

BD~BD~

2.具体步骤：

①对能因式分解的分子分母进行因式分解。

②分子分母有公因式的要先约分,所有的分母可以和所有的分子进行约分。

③再用分子乘分子得到积的分子，分母乘分母得到积的分母=

题型考点：①分式的乘法运算。

【即学即练1】

2_

1.计算）-.曳二L1的结果正确的是（）

a+12x

A.QlB.三包C.4D.a+1

222x2^+2

21

【解答】解：上■-a-----1-

a+12x

_x(a+1)(a-l)

a+12x

a~l

故选：A.

【即学即练2】

2

2.化简二X+4X+4的结果是(

2

x+2x-l

A.9B.上D.x+2

x-2x+1x-l

原式=骋仔焉

【解答】解:

=x+2

x+1

故选：B.

【即学即练3】

3.计算―父二1—的结果为()

a-2a+la+a

A.」B.Ac.2D.3

aaaa

2

【解答】解：a-lrLp

a-2a+la+a

—(a-1)(a+1).-(a-1)

(a-1)2a(a+1)

a

故选：A

知识点02分式的除法运算

1.分式的除法运算法则：

除以一个分式等于乘上这个分式的倒数式。变成乘法运算。

ACADAD

即an：一十一=———=----。

BDB—£一~BC~

题型考点：①分式的除法运算。

【即学即练1】

4.计算一一T1—的结果为（）

a-4a2-2a

AaB2ac2a口2a

a+2a-2a+2a(a+2)

【解答】解:2二_

a-4a-2a

2

a(a-2)

(a+2)(a-2)

_2a

a+2

故选：c.

【即学即练2】

5.已知一区一二1=M,则M等于（）

x2-y2x-y

A.B.立C.2D.王兰

x+y2xx-y2x

【解答】解：2x-=M,

x2-y2x-y

故选：A.

【即学即练3】

6.代数式—小，的值为尸（X取整数），则尸为整数值的个数有（）

x-4x+4x+6

A.0个B.7个C.8个D.无数个

【解答】解:x-2.1

X2-4X+4•X+6

=X/X(尤+6)

(x-2)2

_x+6

x-2

•.•代数式，x-2+士的值为F,

X2-4X+4X+6

.•.F=1+_S_32、-6）.

x-2

当x-2=±l、±2、±4、±8时，

即x=3,1,4、0、6、-2、10、-6时，1+—E-为整数值.

x~2

.•.当x=3,1,4、0、6、-2、10时，尸为整数值.

故选：B.

知识点03分式的乘方运算

1.分式的乘方的运算法则:

AA勺“个)=A2•…(〃个),犬

一般地，当〃为正整数时，一=——no即把分式的分

㈤BB小'85•…87个j~B

子分母分别乘方运算。

题型考点：①分式的乘方运算。

【即学即练1】

7.计算（区）3的正确结果是（)

b

A8a3R8a3C.2aia3

D.------------D.

b3bbb3

O3

【解答】解:,鲁3_8a

b3

故选：A.

【即学即练2】

8.下列计算正确的是（)

,3,62

22^-9b3x)2__9xJ_

A.(i―)=——B.C.

K一222

2a2a24a2‘aX-a

326

【解答】解：A、捍）=上行，本选项错误;

2a4az

B、（二曳二=空，本选项错误;

2a4a2

C、仔「二上二本选项正确;

3（-3）x3-27x3

D、=—---本选项错误.

x-2ax+a

所以计算结果正确的是C.

故选：c.

【即学即练3】

9.计算卢「+a•工的结果为（）

aa

1卜2

A.—B.=C.a2D.b2

/baJ

【解答】解：原式=•工

a2aa

=bi

4

a

故选：B.

知识点04分式的加减法运算

1.分式的加减法运算法则：

①同分母的分式相加减：分母不变，分子相加减。

②异分母的分式相加减：先通分，变成同分母的分式的加减运算,在按照同分母的加减运算法

则运算即可。

2.具体步骤：

第一步：通分：将异分母分式转化为同分母分式。

第二步：加减：分母不变，分子相加减。

第三步：合并：分子去括号，然后合并同类项。

第四步：约分：分子分母进行约分，把结果化成最简分式。

分式的加减运算中，若出现有一部分是整式，则通常把整式部分看成一个整体。

题型考点：①分式的加减运算。

【即学即练1】

10.计算3遂的结果为()

aa

A.工B.与C.$D.6

aa2aa

【解答】解：

aa

3+2

a

=9

a

故本题选：C.

【即学即练2】

11.计算一^7」？的结果是()

1-m2m+1

A.B.-C.D.1

m+1m+1in2-11-m

［解答］解：一二一^

l_inm+1

_2_________

(1+m)(1-m)m+1

_______2_______IF___

(1+m)(1-m)(ltm)(1-m)

=_____1+m

(ltm)(l-m)

_1

1-m

故选：D.

【即学即练3】

-2

12.化简备+x-2的结果是_a_.

【解答】解：工一+x-2

X+24

—4*(x-2)(x+2)

x+24x+2

_4X2-4

-------4---------

x+2x+2

4+x^-4

x+2

故答案为:

【即学即练4】

13.计算a-l+—L的结果是()

C.〃+1

【解答】解：a-l+.

=(a+1)(a-1)+1

a+1a+1

_a2-l+l

a+1

a+1

故选：A.

【即学即练5】

14.计算：

a-la-l

【解答】解：(1)

a-la-l

a2-a

=a(a-l)

a-l

x+1

1

x+1

知识点05用科学计数法表示较小的数

1.科学计数法表示较小的数的方法：

用科学记数法表示较小的数，一般形式为—竺竺二其中㈤的取值范围为lWlalClO,

n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定。

题型考点：①用科学计数法法表示较小的数。

【即学即练1】

15.光刻机采用类似照片冲印的技术，把掩膜版上的精细图形通过光线的曝光印制到硅片上，是制造芯片

的核心装备.ArF准分子激光是光刻机常用光源之一，其波长为0.000000193米，该光源波长用科学记数

法表示为（）

A.193X1（）6米B.193X10-9米

C.1.93X104米D.1.93义10一9米

【解答】解：0.000000193米=1.93X10”米.

故选：C.

【即学即练2】

16.2023年9月9日，上海微电子研发的28“机浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出

了坚实的一步.已知28,如为0.000000028米，数据0.000000028用科学记数法表示为（）

A.2.8X1010B.2.8X108C.2.8X106D.2.8X109

【解答】解：0.000000028=2.8X108.

故选：B.

题型精讲

题型01分式的乘除运算

【典例1】

计算.

s、2x-6.x-3

:

'乙)—29•

x-4x+4x-4

【解答】解：(1)g)3.名

物x4

6a2

_x.6xy

3-r~

-o8yx

__3x3.

4y,

0)2x-6.x-3

x-4x+4x-4

—2(x-3).(x+2)(x-2)

(x-2)2

2(x+2)

―2x+4

x-2

【典例2】

计算:

2,a、2a

(1)6ab+

X2-4

(2),x-2

X2+2X+1•X+1

,,2

【解答】解：(1)原式=6/6•*•±=6"；

a24b2

(x+2)(x-2).x+1—x+2

(2)原式=

(x+1)2x-2x+1

【典例3】

计算：

22

⑴(3)3.显c＞；

-2yx4

212

(2)_a=l_+a-a

a2+2a+l'a+1

6A2

【解答】解：(1)原式=-工膂-

c34

8yx

(2)原式=(a+1)(&-1)a+1

(a+1)2a(a-l)

—_—1.

a

【典例4】

计算：

(1)(x-yF-x2-2xy+y2

x+y2x+2y'

(9)其乙一］二久+1

X2-2X+1'x-1'x+1

32

【解答】解：(1)X-2xy+y

x+y2x+2y

=(x-y)3」(x-y)2

x+y2(x+y)

=(x-y)3.2(x+y)

x+y(x-y)2

=2(x-y)

=2x-2y；

(2)〈'-I・x+1.I」「

X2-2X+1'x-1'x+1

=(x+l)(x-l).X-l.-(x-l)

(x-1)2x+1x+1

__X-1

-7T

题型02分式的加减运算

【典例1】

计算：

/1x2abb

22

a-b^

(2)至-x+y；

x-ty

b(a-b)

【解答】解:(1)原式=2ab

(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)

_2ab-ab+b。

(a+b)(a-b)

=b(a+b)

(a+b)(a-b)

_b

a-b

(2)原式=2x2-(x-y)(x+y)

x+y

2x2-x2+y2

x+y

x+y

【典例2】

计算:

22

xy

(1)

x+yx+y

14

(2)----+------

x+2

X2_4

2_2

【解答】解：(1)原式二工二y-

x+y

(x+y)(x-y)

x+y

二x-y；

(2)原式=’-4

*(x+2)(x-2)

x+2

x-2+4

(x+2)(x-2)

_x+2

(x+2)(x-2)

=1

x-2

【典例3】

化简:

⑵急

【解答】解:(1)原式=x-36

(x+3)(x-3)(x+3)(x-3)

一x-3+6

(x+3)(x-3)

x+3

(x+3)(x-3)

=1

7T

(2)原式=a(a+"+@l

(a+1)2a+1

a+a+2

a+1a+1

_2a+2

a+1

=2.

【典例4】

计算下列各题：

⑴工J;

x-11+x

/o\a3a+l2a+3

a-1a-11-a

【解答】解：(1)原式一百?一?x-1_2x

2

(x-1)(X+1)(x-1)(x+1)x-

(2)原式="—+警❷-空坦

aTa-1a-1

a+3a+l-2a-3

—2a~2

a2-1T

-2(a-l)

(a-l)(a+1)

_2

a+1

题型03分式的混合运算

【典例1】

计算：

(1)-

a-ba+b

2

(2)一一2,x-4x+4

x-1'x*2-l+x-2

【解答】解：(i)」——L

a-ba+b

=a(a+b)-b(a-b)

(a-b)(a+b)

—a2+ab-ab+b2

(a+b)(a-b)

=a2-+b2.

2,2；

a-b

2

(2)x-2,x-4x+4lr

2+

x-1'x_1x-2

_x-2.(x+1)(x-1)+1-x

x-1(x-2)2x-2

—x+l+1-X

x-2x-2

_x+l+l-x

x-2

=2

x-2

【典例2】

分式计算：

x-2xx-4x+4x

［解答］解：(1)——xT

x-2xx-4x+4x

—(x+2)(x-2)-x(x-1).x

x(x-2)2x-4

=x2_-4r2、+x.x

x(x-2)2x-4

—x-4.x

x(x-2)2x-4

_1

(x-2)2

y-x+y-x

(x+y)(x-y)x+y

_y.x打

(x+y)(x-y)y

:1

x-y

【典例3】

计算：

(1、36x+5

7T7~^~;

AxAX-X

(2)x-y.x2_/2y

x+3y'x2+6xy+9y2x+y-

【解答】解：(i)3二一一空-

Xl-Xx2_x

——3^+--6-------x-+-5---

XX-1X(X-1)

3(xT)+6x_x+5

x(x-1)x(x-1)x(x-1)

_3x-3+6x-x-5

X(x-1)

_8x-8

X(x-1)

-8(x-l)

X(x-1)

=旦

X

⑵x-y.*2_y22y

*22

x+3y'x+6xy+9yx+y

—x-y.(x+3y)._2y

x+3y(x+y)(x-y)x+y

x+3y__2y_

x-+yx+y

x+3y-2y

x+y

x+y

x+y

=1.

【典例4】

计算下列各式：

(1)一三

X-lX-1

x-yx+y

x-y

Xa+1_2x

【解答】解：(1)

X-1X-1

_X2-2X+1

x-l

_(x-1)2

x-1

=X-1；

⑵(―--J，•22

x-yx+yx?-yZ

22

=(x+yx-y)yX-y

x2-y2x2-y2xxvy

_2nyx2-y2

一-「■二

x-yxy

_2

题型04分式的运算应用

【典例1】

11）+4的最终结果为整数，则“△”代表的式子可以是（）

若化简（-x-4+x+4

x-16

A.2xB.x-2C.x+4D.4

x+4x-4乂2-162x.乂2-162x

【解答】解：原式={+■)•

(x-4)(x+4)(x-4)(x+4)AX2-16△△

包=1，结果是整数，故A符合;

A、

2x

包，结果是分式，故B不符合;

B、

x-2

生，结果是分式，故C不符合;

x+4

红=工，结果是整式，故。不符合;

D、

42

故选：A.

【典例2】

若旦+T—运算的结果为整式，则“口”中的式子可能是（

)

XDy2-x2

A.y-xB.y+xC.1D.3x

X

【解答】解：旦+Y—口x(y-x)(y+x)

22

XPy-xx+y

..•运算的结果为整式，

・・・口中式子一定含有x的单项式,

故只有。项符合.

故选：D.

【典例3】

2x+7

对于任意的尤值都有7———————则N值为()

(x+2)(x-1)x+2X-1

A.M=l,N=3B.M=N=3C.M=2,N=4D.M=l,N=4

M(x-1)+N(x+2)(M+N)x+(-M+2N)

【解答］解：v-—2x—+7—

(x+2)(x-1)(x+2)(x-1)(x+2)(x-1)

.JM+N=2

''i-M+2N=7

M=-l

解得:

N=3

故选：B.

【典例4】

若-泞7=上+上,则A,8的值为()

x-4x-5x+1x-5

A.A=3,B=-2B.A=2,8=3C.A=3,B=2D.A=-2,B=3

【解答】解：由于上+旦=A(x-5)+外x;l)=夕+B?x；5A+§,

x+1x-5(x+1)(x-5)(x+1)(x-5)

5x-7-5x-7

J_4X-5(X+1)(X-5)

5x-7=(A+B)x-5A+B,

・・・［A+B=5,

I-5A+B=-7

解得：俨2,

lB=3

故选：B.

【典例5】

对于任意的X值都有_§+7=JL+JL，则M,N值为()

X2+X-2X+2X-1

A.M=l,N=3B.M=-1,N=3C.M=2,N=4D.M=\,N=4

［解答］解・儿+N_M(x-1)+N(x+2)_(M+N)x+(-M+2N)

x+2x-1(x+2)(x-1)X2+X-2

・JM+N=2,

*l-M+2N=7，

解得：0=-i,

|N=3

故选：B.

题型05分式的化简求值

【典例1】

22

x

(1)先化简，再求值：-l_+-4x+4_^x_-2xt其中工=-2.

x-1*2-1x+1

2

(2)先化简，再求值：(2-2+a)—±2贮1_,从-2WaWl中选出合适的最大整数值代入求值.

a+2a+2

22

【解答】解：(1)-J-+x~4x+44-X~2x

X-1x2-lx+1

—1+(x-2)2.x+1

x-1(x+1)(x-1)x(x-2)

1十x-2

x-1x(x-1)

-x+x-2

X(x-1)

_2x-2

X(x-1)

_2(x-1)

X(x-1)

_2

——，

X

当x=-2时，原式=一匕=-1；

-2

(2)(^--2+a).a2+2a+l

a+2a+2

=[2+(°-2)]•a+2

a+2(a+1)*2

=3+Q-2)(a+2).a+2

a+2(a+1)2

一3+a2-4.a+2

a+2(a+1)2

a?.a+2

a+2(a+1)2

(a+l)(a-1).a+2

a+2(a+1)2

_a-l

a+1

•.•〃+2W0,〃+l/0,

••—2,Cl^~~1,

・・・-2WaWl,且〃取最大整数，

当a=l时，原式=J1=0.

1+1

【典例2】

2

先化简，再求值：(]o^-卜:,其中％为小于3的非负整数.

%一1x-6x+9

o2

【解答】解：(I^-Aj-

又一1x-6x+9

x-l-2.x(x-1)

I(x-3)2

x-3,x(x-l)

x-1(x-3)2

x-3

・/X为小于3的非负整数，X-1W0,X-3W0,

.•・x=0或x=2,

当x=0时，原式=-0-=0.

0-3

【典例3】

2

先化简，再求值：(^^-1)+a+2a+l,其中a=&-l.

aa

2

【解答】解：原式=2a+『a+_（生）_

=a+1.a

a(a+1)2

=1

a+1

当a=V2-1时，

原式一=返

V2-1+12

【典例4】

先化简，再求代数式-----丁二）的值，其中X=V2-1-

X2+2X+12X+24X+4

、.

【解答】解:X_]X-1

X2+2X+12X+2-4x+4

—r___X____]___i___1

(x+i)22(x+1),4(x+l)

_2x-x-lr4(x+1)

2(x+l)2x-l

_x-l.4(x+l)

2(x+l)2x-l

=2

x+1'

当x=V2-1时,

原式=2

V2-1+1

=瓜

【典例5】

2

有这样一道题“求与—土贮！的值，其中a=2018”.“小马虎”不小心把。=2018错抄成a

02-1a2+2a+la+1

=2008,但他的计算结果却是正确的，请说明原因.

2

【解答】解：

a-1a+2a+l&+1

—a(a+l)_a+1.a+1

(a-1)(a+1)(a+l)2a-1

_a1

a-1a-1

_a-l

a-1

=1,

则原式的值与〃的值无关，

・・・“小马虎”不小心把。=2018错抄成a=2008,但他的计算结果却是正确的.

强化训练

1.生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032w孙用科学记数法表示正确的是（）

A.3.2X1O10B.3.2X10-8C.3.2X10-7D.3.2X10-9

【解答】解：0.00000032=3.2X10-7,

故选：C.

如果!」二那么分式包上的值是（

2.3,)

xyX切

A.6B.3C.2D.12

【解答】解：..』八=3，

xy

.•.x+y=3xy,

.6xy_6xy

••--------乙，

x+y3xy

故选：C.

3.若a+b=2,贝欣数式心;_@)+生电的值为()

aa

A.AB.-Ac.2D.-2

22

【解答】解：4--

aa

,22,

b-aa-b

aa

__(a+b)(a-b).a

aa-b

=-(〃+。),

当〃+。=2时，原式=-2,

故选：D.

2

4.若化简———^的结果为上，则根的值是()

X2-2X+1x-3如x-1

A.-4B.4C.-2D.2

J.xX2.x-3+m

【解答】解:

X2-2X+1(x-1)2x

・・•其结果为上

x-1

.*.x-3+m=x-1,

解得：m=2.

故选：D.

5.一辆汽车以u千米每小时的速度行驶，从A地到5地需要1小时.若该汽车的行驶速度在原来的基础上

增加加千米每小时，那么提速后从A地到5地需要的时间比原来减少（）

VtVtmtrxvt

AA.---nD.t----nC.---D.-----t

m+vm+vm+vm+v

【解答】解：A地到B地的路程=小（千米），

提速后的速度=叶加（千米每小时），

提速后的时间：旦（小时），

v+m

提速后从A地到8地需要的时间比原来减少=L旦，

v+m

故选:B.

22

6.若a=2b,在如图的数轴上标注了四段，则表示曳「匕’二的点落在（）

a2+ab

一①一、一②一、一③一、一④

「、『、『、『、」〉

-2-1012

A.段①B.段②C.段③D.段④

【解答】解：,:a=2b,

a2+ab

：(a+b)(a-b)

a(a+b)

a-b

a

_2b-b

2b

_b

2b

_——1,

2

22

表示且片_的点落在段③，

a+ab

故选：C.

222

7.若M1-xy+y=x-y,则知是()

(x-y)2y

(x+y)2

c.也

y

222

【解答】解：xy+y

(x-y)

x-y.y(x-^y)

了(x-y)2

(x-y)(x+y).y(x切)

(x-y)2

(x+y)2

故选：B.

1+a1+a1+a。1+a

8.已知一列均不为1的数〃…,4〃满足如下关系:〃2=----U1〃3=----na,=------a1=-------

a

l-ail-a24l-a3n+l

若〃l=2,则02023的值是()

C.-3

【解答】解：由题意得,

ci\=2,

G—1+a21+(-3)—_1

1-(-3)2

1-a3l-(-y)3

•••a”的值按照2,-3,-1,1,……4次一个循环周期的规律出现,

V20234-4=505……3,

••472023的值是-

2

故选：A.

9.化简：击_x+l的结果是一^

【解答】解：原式=’-(尤-1)

x+1

1_(x-1)(x+1)

x+1x+1

1_X2-1

x+1x+1

_2r1-x2

x+1

故答案为：式.

x+1

【解答】解：由已知条件可得a-2b=-Sab,

则4ab=4ab=一工

a-2b_8ab2

故答案为：-工.

2

11.定义一种新运算J凯*54乂=@“-匕3例如J:2xdx=k"-m"•则J；-*一2dx=—―一•

【解答】解：由题意得，

-1

Jp24-x-2d,x=44-2^=4---2=--4.

故答案为：

4

12.定义：如果一个分式能化成一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“赋整分

分式"丝1L化为一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式是2+-3_

2x-l2x-l

【解答】解：如L

2x-l

2(2x-l)+3

2x-l

=2+高

故答案为：2+二一

2x-l

2i

13.先化简，再求值：（工-_x+l）+———，再从-1、0、1三个数中选择一个你认为合适的数作为

x+1X2+2X+1

尤的值代入求值.

【解答】解：原式