高考数学一轮复习题型与专项训练：二项式定理题型战法

第十章计数原理与概率、随机变量及其分布列

10.2.1二项式定理(题型战法)

知识梳理

一二项式定理的基本概念

nnr

(a+by=C>"+C'na-'b+•••+C[a-b'+…C：b"

(1)二项式展开式有〃+l项(2)二项式系数：C：

nrr

(3)项的系数：包括符号和前面的常数(4)通项：Tr+l=C：a-b

二二项式定理的性质

(1)对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等。即c：=c；f

(2)当左<3时，二项式系数逐渐增大；当上〉四时，二项式系数逐渐减小。

22

(3)二项式系数的最大值

当〃是偶数时，中间一项(第;+1项)的二项式系数最大，最大值片；

当〃是奇数时，中间两项(第七1+1项和第3+1项)的二项式系数相等，且同时取到最大值，

22

n-ln+1

最大值为c3或c/。

(4)各二项式系数的和

(a+by的展开式的各二项式系数的和等于2",即C：+C+C；+…+C：+…+C；；=2"；二项展开式中

奇数项和偶数项的二项系数的和相等，为2"一。

(5)各项系数的问题

2

/(x)=a0+alX+a2x+…a“x”,则各项系数之和为/(I)。奇数项系数之和4+%+%+…=/⑴丁一0；

偶数项系数之和0+6+%+••・=/⑴/f。

题型战法

题型战法一求指定项的二项式系数与系数

典例1.在-£|6的二项展开式中，第4项的二项式系数是

()

A.20B.-20C.15D.-15

变式1-L卜-J的展开式中含项的二项式系数为（）

A.-10B.10C.—5D.5

变式1-2.（x+1）5的展开式中一的系数为（）

A.10B.20C.40D.80

变式1-3.展开式的常数项为（）

A.120B.60C.30D.15

变式1-4.1-亡］的展开式中所有有理项的系数和为（）

A.85B.29C.-27D.-84

题型战法二已知二项式系数与系数求参数

典例2.已知（l+2x）"的展开式中/的系数为60,则正整数〃=（）

A.4B.5C.6D.7

若1mx-2;展开式中X，项的系数是8,则实数机的值是（）

变式2-1.

A.2B.-JlC.±2D.±72

若二项式1办2+2］的展开式中/的系数是一80,则实数。=（）

变式2-2.

A.-80B.80C.-2D.2

^+"2：（aeR）的展开式的常数项为,，则展开式中含/项的系数为（）

变式2-3.

A_5B.1C,■^或gD._?或,

,2

若二项式上+白］（〃eN*）的展开式中第5项与第6项的系数相同，则〃=（）

变式2-4.

A.9B.10C.11D.12

题型战法三二项式系数与系数的增减性与最值

典例3.在（尤+1「（〃eN*）的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则〃值不可能是（）

A.7B.8C.9D.10

变式3-1.（1+缶J展开式中二项式系数最大的项是（）

A.70缶3B.140/

C.70岳3和140/D.140&/和140尤4

变式3-2.若展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式的常数项是（）

A.160B.60C.-160D.-60

变式3-3.［石+2］的展开式中x的系数等于其二项式系数的最大值，则a的值为（）

A.2B.3C.4D.-2

变式3-4.二项式卜的展开式中，系数最大的项为（）

A.第5项B.第6项C.第7项D.第8项

题型战法四二项式系数之和、各项系数之和

典例4.已知［展开式各项的二项式系数之和为512,则展开式中的常数项是（）

A.84B.-84C.126D.-126

在，2-的展开式中，二项式系数的和是16,则展开式中各项系数的和为（

变式4-1.）

A.16B.32C.1D.-32

变式4-2.若（3%-1）、=%%」+%%+%,则%+牝+4的值是（）

A.-1B.127C.128D.129

变式4-3.若（2x+3）=%+4（%+1）+〃2（%+1）++〃8（%+1），则+。2+。4+。6+。8=（）

A.6562B.3281C.3280D.6560

变式4-4.对任意实数X,有（2%-3）9=%+%（%-1）+〃2（%-1）2+。3（%—1）3++。9（%-1）9，贝U（）

A.4=1B.%=-144

9

C.ax+a2++%=]D.aQ-ax+a2--a9=3

题型战法五三项展开式的系数问题

典例5.在（2+%-炉丫的展开式中，含，的项的系数为（）

A.-120B.-40C.-30D.200

变式5-1.1①T+l）5的展开式中，V的系数为（）

A.51B.50C.-51D.-50

变式5-2.|的展开式中常数项为（）

A.-61B.-59C.-57D.-55

变式5-3.在（/-2x-3）5的展开式中含胪和含/的项的系数之和为（

A.-674B.-675C.-1080D.1485

变式5-4.在、+--11的二项展开式中含/项的系数为（）

A.20B.21C.18D.16

题型战法六两个二项式乘积展开式的系数问题

典例6.（l+x+/）（x-2）5的展开式中/的系数为（）

A.40B.80C.-40D.-80

变式6-1.|展开式中/的系数为（）

A.15B.20C.30D.0

变式6-2.（l+x2）（2+x）4的展开式中/项的系数为

A.30B.35C.20D.25

变式63（2-5}1+今『展开式中x）3项的系数为160,则”（）

A.2B.4C.-2D.-2A/2

（2--1）6展开式中的常数项为（

变式6-4.）

A.11B.19C.23D.-11

题型战法七整除与余数问题、近似值问题

典例7.2424被5除的余数为（）

A.1B.2C.3D.4

变式7-1.已知机＞0,且152侬+机恰能被14整除，则加的取值可以是（）

A.1B.12C.7D.27

变式7-2.设。=49+1・7+或・72++丁.7%贝|Ja除以9所得的余数为（）

A.1B.2C.-1D.8

变式7-3.1.026的近似值（精确到0.01）为（）

A.1.12B.1.13C.1.14D.1.20

变式7.4.估算C；0.998+C；0.9982+C；0.9983+C».9984+C5O.9985的结果，精确到0.01的近似值为（

A.30.84B.31.84C.30.40D.32.16

题型战法八杨辉三角

典例8.下表出现在我国南宋数学家杨辉的著作《详解九章算法》中，称之为“杨辉三角'该表中

第10行第7个数是（）

四

五IIII

/、十五）（二十）（十五

A.120B.210C.84D.36

变式8-1.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据数组中的

数构成的规律，其中的。所表示的数是（）

11

121

1331

14a41

15101051

A.2B.4C.6D.8

变式8-2.杨辉是我国南宋的一位杰出的数学家，在他所著的《详解九章算法》一书中，画的一张

表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称为“开方做法本源”.现在简称为“杨辉三角”.

下面是（a+6）"（〃eN*）,当〃=123,4,5,6时展开式的二项式系数表示形式.

借助上面的表示形式，判断2与〃的值分别是（）

A.5,9B.5,10C.6,9D.6,10

变式8-3.习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动中华优秀传统文化创造性转

化，“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉

1261年所著的《详解九章算法》一书中出现欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要

晚近四百年.“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲

望，如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，第10行中从左至右第5与第6个数的比值为()

第

O行

1

第

1行11

第

2行121

第

行

31331

第

4行

14641

第

5行

15101051

A.-B.—C.1D.1

653

变式8-4.如图所示，在由二项式系数构成的杨辉三角中，第加行中从左至右第14个数与第15个

数的比为2:3,则加二()

斯。行1

«lff11

第2行121

第3ff1331

第41T14641

第S行15101051

A.40B.50C.34D.32

第十章计数原理与概率、随机变量及其分布列

10.2.1二项式定理（题型战法）

知识梳理

一二项式定理的基本概念

（a+by=C°a"+C\anib+-••++…C：b"

（1）二项式展开式有”+1项（2）二项式系数：C；

nrr

（3）项的系数：包括符号和前面的常数（4）通项：Tr+l=Cnab

二二项式定理的性质

（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等。即c『=c,i

（2）当左〈3时，二项式系数逐渐增大；当左＞但时，二项式系数逐渐减小。

22

（3）二项式系数的最大值

当〃是偶数时，中间一项（第4+1项）的二项式系数最大，最大值d；

2

当〃是奇数时，中间两项（第巴1+1项和第竺1+1项）的二项式系数相等，且同时

22

n-\n+1

取到最大值，最大值为C?或cj□

（4）各二项式系数的和

（。+加”的展开式的各二项式系数的和等于2",即C：+C：+C；+…+C：+…+C：=2"；

二项展开式中奇数项和偶数项的二项系数的和相等，为-

（5）各项系数的问题

2n

f（x）=a0+alx+a2x+---anx,则各项系数之和为了⑴。奇数项系数之和

%+%+%+../⑴7-1）；偶数项系数之和丁+=+%+-=/⑴1（T）。

题型战法

题型战法一求指定项的二项式系数与系数

典例1.在，2-的二项展开式中，第4项的二项式系数是（）

A.20B.-20C.15D.-15

【答案】A

【分析】根据二项式系数的概念直接求解即可.

【详解】解：第4项的二项式系数为烧=等?=20.

3x2x1

故选:A

变式i-i.的展开式中含/项的二项式系数为（）

A.-10B.10C.-5D.5

【答案】D

【分析】求出二项式展开式的通项，令x的指数位置等于3求得%的值，即可求解.

【详解】的展开式的通项为：5T（_1）*R：=C（-1）,53,

令5-2左=3可得％=1,

所以含V项的二项式系数为C；=5,

故选：D.

变式1-2.（尤+2）5的展开式中一的系数为（）

x

A.10B.20C.40D.80

【答案】C

【分析】由二项展开式的通项公式代入即可解决.

【详解】二项式展开式的通式为=或2。产3，,

由5—3r=-l,得r=2,此时C；22=40

即（x+4）5的展开式中一的系数为40

故选：C

变式1-3.-展开式的常数项为（）

A.120B.60C.30D.15

【答案】B

【分析】根据二项式展开公式得配尸C〉(-2)，.x^，令号=0,解出厂的值，代入

计算即可.

【详解】解：因为&=C>(6广•(-，=晨.(-2)工”r=£.(-2)。”，

令丫=0,解得厂=2,

所以常数项为晨.(-2)2=60.

故选：B.

变式1"，卜-七］的展开式中所有有理项的系数和为()

A.85B.29C.-27D.-84

【答案】C

【分析】写出通项后可得有理项，进一步计算可得结果.

【详解】展开式的通项为：

18-匕

rr3

7；+1=C^(-^=)=(-l)C；x,其中r=0,1,2,3,4,5,6,7,8,

当厂=0,3,6时为有理项，故有理项系数和为

(-1)°C®+(-1)3C^+(-1)6C^=1+(-56)+28=-27,

故选：C.

题型战法二已知二项式系数与系数求参数

典例2.已知。+2耳”的展开式中/的系数为60,则正整数〃=()

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】求出展开式的通项，令x的指数等于2,再结合已知即可得出答案.

【详解】解：(1+29”的展开式的通项为M=C"5(2元)*=»《及，

令％=2,

则/的系数为22a=60,

即正0=15,

2

角毕得〃=6(九=一5舍去).

故选：c.

变式2-1.若展开式中/项的系数是8,则实数机的值是（

B.也C.±2D.+y/2

【答案】D

【分析】直接求出含尤6的项，再由f项的系数是8解方程即可求出机.

【详解】由题意知：含小的项为C：（如）6=加^6,又彳6项的系数是8,则/=8,解

得=±A/2.

故选：D.

变式2-2.若二项式的展开式中炉的系数是一80,则实数“=（）

A.-80

【答案】C

【分析】求出二项展开式的通项却一令龙的次数为5求出对应厂的值，再根据V的

系数是-80即可求出。的值.

【详解】（办2+《）5的展开式的通项为&=q（加尸屋丫=c"'喂，

令104=5,解得厂=2.

（加的展开式中炉的系数是_8（）,

二C；/=-80,解得a=-2.

故选：C.

变式2-3.［：+办2：（aeR）的展开式的常数项为，，则展开式中含V项的系数为（）

【答案】C

【分析】首先写出展开式的通项，令--6=0,求出「，即可求出展开式的常数项,

从而求出。，再代入计算可得；

【详解】解：二项式R+办展开式的通项为（办21c•勺/,

令3—6=0,解得Y2,所以展开式的常数项为（=屋，/=?,解得a=±g,

令3—6=3,解得r=3,所以展开式中/项为4=或/03=20八3,

当a=g时V项的系数为：，当°=-；时/项的系数为-永

故选：C

[x+91’（"cN*）的展开式中第5

变式2-4.若二项式项与第6项的系数相同，则〃=

()

A.9B.10C.11D.12

【答案】A

【分析】根据题意可得C=C：,利用组合数的性质，求得〃的值，即得答案.

1+9]（〃eN*）的展开式中第5

【详解】由已知二项式项与第6项的系数相同,

即这两项的二项式系数相同,

可得C：=C：,所以“=4+5=9,

故选：A.

题型战法三二项式系数与系数的增减性与最值

典例3.在（x+1）"（〃eN*）的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则〃值

不可能是（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】D

【分析】由题意，利用二项式系数的性质，求得〃的值.

【详解】当〃=7时，（。+»7的展开式有8项，（a+b）7的展开式中二项式系数C；,C；,

最大，

即第四项和第五项的二项式系数最大；

当〃=8时，团+”的展开式有9项，（。+6）8的展开式中二项式系数C：最大，

即第五项的二项式系数最大；

当〃=9时，（a+6）9的展开式有10项，（“+6）9的展开式中二项式系数C；，cj最大，

即第五项和第六项的二项式系数最大.

当”=10时，5+方严的展开式有11项，（〃+6）1°的展开式中二项式系数最大，

即第六项的二项式系数最大.

故选：D.

变式3-1.(1+缶丫展开式中二项式系数最大的项是()

A.B.140尤4

C.70后无3和140/D.140和14。无4

【答案】C

【分析】利用二项式系数的单调性结合二项式定理可求得结果.

【详解】(1+缶『展开式中二项式系数最大的项为7；=C；.(0x)3=70缶3,

4

T5=C)("c)=140/.

故选：C.

变式3-2.若［6-♦］展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式的常数项

是()

A.160B.60C.-160D.-60

【答案】B

【分析】先求出”的值，可得二项式展开式的通项公式，再令x的幕指数等于0,求

得「的值，即可求得展开式中的常数项的值.

【详解】解:二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，,〃=6,

6_/八厂6-3r

则展开式中的通项公式为&=晨.(-2)。丁,

令W=0,解得r=2,故展开式中的常数项为C3(-2)2=60.

故选：B.

变式3-3.［«+£j的展开式中x的系数等于其二项式系数的最大值,则a的值为()

A.2B.3C.4D.-2

【答案】A

【分析】根据(石+fj可知二项式系数最大值为C；=10,再根据二项展开式的通项

公式赋值即可求出.

【详解】因为(五+4的展开式的通项公式为却1=仁(五厂⑶得”;芳，令

5_Q

Tr=l,即r=1时，x的系数为5a,而二项式系数最大值为C；=10,所以5a=10,

艮|3Q=2.

故选：A.

变式3-4.二项式、2-的展开式中，系数最大的项为（）

A.第5项B.第6项C.第7项D.第8项

【答案】C

【分析】显然二项式在第6或第7项处取得系数最大，再结合对应符号，即

可得解.

【详解】由二项式上2-的特点可知，

系数最大的项在中间项处取得，

第6项的系数为-C0

第7项的系数为资，

故第7项的系数最大.

故选：C

题型战法四二项式系数之和、各项系数之和

典例4.已知（6-曰”展开式各项的二项式系数之和为512,则展开式中的常数项是

（）

A.84B.-84C.126D.-126

【答案】B

【分析】首先根据题意得到〃=9,再利用求解即可.

【详解】由题知：2"=512,解得"=9,

因为m=9一3r

(-l)rC；x-

令等=0,解得「=3.

所以岂=(—1)3C=一84.

故选：B

变式4-1.在、。的展开式中，二项式系数的和是16,则展开式中各项系数的和

为（）

A.16B.32C.1D.-32

【答案】A

【分析】先根据二项式系数和公式得〃=4,再令特殊值x=l即可求得答案.

【详解】解：因为二项式系数的和是16,所以2"=16,解得〃=4,

所以，令x=l得展开式中各项系数的和为（-W=16.

故选：A

变式4-2.若（3x-iy=07尤7+4/+alx+a0,则％+R+。的值是（）

A.-1B.127C.128D.129

【答案】D

【分析】利用赋值法计算可得.

【详解】解：因为（3x-l）7a1x+aQ,

令尤=0,可得%=（—1）7=—1,

令x=l,可得%+线+”]+。0=（3—1）=128,

以%+4+%=128+1=129；

故选：D

变式4-3若（21+3）=%+%（x+l）+a2a+1）+,+/（沼+1），则/+%+。4+R+。8=（）

A.6562B.3281C.3280D.6560

【答案】B

【分析】分别令％=0和％=-2再联立求解即可

【详解】令％=0有38=%+4+%++/=6561,令龙=-2有1=%-％+〃2-+〃8，故

6561+1cccy

%+。2+。4+。6+。8=------——=3281

故选：B

变式4-4.对任意实数x,有（2%-3）9=%+%（尤_1）+%（*_1）2+%（*-1丫++佝（无一叶,

贝U（）

A.《）=1B.a2=-144

C.%+。2++。9=1D.。0—4]+02__。9=3乡

【答案】B

【分析】(2X-3)9=[T+2(X-1)]9,利用二项展开式的通项即可求得出，即可判断B；

令x=l,可得g，即可判断A；

令X=2,可得---，即可判断C,

令x=0,可得旬--+%----%,即可判断D.

9239

【详解】解：对任意实数x,<(2x-3)=tz0+a1(x-l)+tz2(x-l)+a3(x-l)+---+a9(x-l)

=[-1+2(%-I)]9,所以出=-C；X22=T44,故B正确；

令x=l,可得%=T,故A错误；

1

令x=2,可得“0+4+%H----i-ag=1,贝ijoj+a2"---\-a9=2,故C错误；

令元=0,可得----ag=_39,故D错误.

故选：B.

题型战法五三项展开式的系数问题

典例5.在(2+x-f)5的展开式中，含力的项的系数为()

A.-120B.-40C.-30D.200

【答案】C

【分析】将(2+x-x2)5整理为[(2+x)-x4，根据二项展开式j=G(2+x)*(r»分析

可得r=0,1,2,对每种情况再根据二项展开式理解运算.

【详解】(2+X-X2)5=[(2+X)-X2]\其展开式为：&|=仁(2+产，(一行/=0,1,...,5

根据题意可得：厂=0/，2

当r=0时，则4=(2+4,(2+x)5展开式为：兀=C；2"xX=0,l,...,5

：.k=4,则/的项的系数为2c=10

当r=1时，则％=C(2+无)4(*)=-5/(2+劝4,(2+x)4展开式为：兀=C：2"M%=0,L...,4

：.k=2,则/的项的系数为-5x级xC；=T20

当上=2时，则4=(2；(2+沙3(7：2)2=10/(2+4,(2+4展开式为：见[=螳2”之人=0,1,2,3

：.k=0,则/的项的系数为10x2,xC；=80

综上所述：含，的项的系数为10-120+80=-30

故选：C.

变式5-1.(/-X+l)5的展开式中，炉的系数为()

A.51B.50C.-51D.-50

【答案】C

【分析】根据三项的二项式展开的通项C>C(-L)%2",令21=5,即可求出

的值，进而可求解.

【详解】(V-x+)=[1+(V一x)T的展开式通项为：

.(犬——=C；C(x2r(-x)4=C?©(-11x2r~k,且0及4-5,匕reN,

令2r-k=5,贝！J左=5/=5,或者左=3j=4,或者左=1,r=3；

故F的系数为：(_1)5蛭y+(—1)3(2；V+(—l)yC=—1—20-30=—51,

故选：C

变式5-2.1一三+1：的展开式中常数项为()

A.-61B.-59C.—57D.—55

【答案】B

【分析】将原式看成6个相同的因式相乘，按x的选取个数分类，计算得解.

【详解】将原式看成6个相同的因子相乘，按x的选取个数分类，

得展开式中常数项为屋+或C；(-2)+C：C(_2)2=-59.

故选：B.

变式5-3.在(Y-2》-3丫的展开式中含胪和含/的项的系数之和为()

A.-674B.-675C.-1080D.1485

【答案】A

【分析】由已知得(尤2一2X-3)5=(X-3)5(X+1)5,分别利用二项式展开式的通项公式求

得小的系数和含V的项的系数，由此可求得答案.

【详解】解：(炉-2X_3『=(X-3)5(X+1)5,则寸。的系数为1,

x2的系数为C；(-3)依+C；(-3)3+《(-3)5《=-675,

所以在(/-2x-3)5的展开式中含V。和含V的项的系数之和为-675+l=-674.

故选：A.

变式5-4.在[尤+'一1]6的二项展开式中含，项的系数为()

A.20B.21C.18D.16

【答案】B

【分析】把x+g看作一项，写出、+^-1：的展开式的通项，再写出(X+J”的展开

式的通项，由X的指数为4求得r、S的值，即可得出结果.

【详解】卜+JT］的展开式的通项为小=叩+力(-l)r.

,+力6’的展开式的通项为&=C〜=C",产心.

由6—尸一2s=4,得厂+2s=2,

，…N,1fr=M0\3r=2

二在卜+：-1)的展开式中，

含V项的系数为建(-1)。©+晨(-1)2.&=6+15=21.

故选：B.

题型战法六两个二项式乘积展开式的系数问题

典例6.(l+x+/)(x-2)5的展开式中1的系数为()

A.40B.80C.-40D.-80

【答案】A

【分析】结合二项式展开式的通项公式求得正确选项.

【详解】(1+%+冗2)(1_2)5=(1+%+%2)(_2+%)5,

所以展开式中丁的系数为Cl(—2)2+Cl(-2)3+G(—2)4=40-80+80=40.

故选：A

变式6-1.(T11+X)6展开式中/的系数为()

A.15B.20C.30D.0

【答案】D

【分析】从尤2项的生成分两种情况讨论得解.

【详解】+4展开式中,

若[1-土]提供系数1,

则（1+4提供含有一的项，可得展开式中/的系数为C；=15；

若提供-尤-2,

则（1+4提供含有x4的项，可得展开式中一的系数为盘=15；

所以展开式中V的系数为15+（-15）=0.

故选：D

【点睛】方法点睛：求两个二项式的乘积的展开式的某一项的系数，一般可以从这

一项的生成分类讨论，结合二项式展开的通项求解.

变式6-2.（1+X2）（2+X）4的展开式中一项的系数为

A.30B.35C.20D.25

【答案】D

【解析】根据二项式定理展开计算、化简即可.

【详解】解：展开式中，项为：1XC：.X4+，XC：X22.，=25X2.

故选：D.

变式63Q+展开式中一J项的系数为160,则.=（）

A.2B.4C.-2D.-2A/2

【答案】C

【解析】先求得（1+分『展开式中V的系数，可得0-[[1+分）6展开式中一y3的系

数，从而得答案.

【详解】二项式（1+分『展开式的通项为=晨义尸'（舒y=晨/了，

令r=3可得二项式。+分『展开式中V的系数为c）,

（2-十卜1+e）6展开式中一y3的系数为（T）C"=160,

可得〃3=一8,解得〃=-2,

故选：C.

变式6-4.[2-1+!）口-球展开式中的常数项为（）

A.11B.19C.23D.-11

【答案】C

【分析】把(X-l)6按照二项式定理展开，可得(2二+工)。-球展开式中的常数项.

XX

【详解】(2-----1——)(x—I)6=(2----1——),,x6—C；■.+C；-x"—C：,x'+C：•.—C：•x+C：),

XXXX

,展开式中的常数为2得+(-!).(-或)+lxC：=2+6+15=23,

故选：C.

题型战法七整除与余数问题、近似值问题

典例7.2424被5除的余数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】利用二项式的展开式进行求解.

【详解】由题可知,2424=(25-1产，

则其展开式的通项公式为加=G•25?1)，"=0』,2,…,24),

由通项公式可得，只有厂=24时，即&=《024。.(-1)”=1不能被5整除，其余项均

能被5整除故2424被5除的余数为1.

故选：A.

变式7-1.已知〃>0,且4皿+加恰能被14整除，则机的取值可以是()

A.1B.12C.7D.27

【答案】D

【分析】根据二项式展开式，即可求解.

20222022232022

【详解】15+777=(1+14)+m=l+C^02214'+C|02214+C|02214++C歌14+机，

故若匕E+机恰能被14整除，只需要1+加能14整除即可，所以他的取值可以是：

-1,13,27等

故选：D

变式72设。=喘+就.7+或.72++C”;则。除以9所得的余数为()

A.1B.2C.-1D.8

【答案】D

【分析】利用二项式定理进行求解即可.

【详解】因为a=C；9+C：9-7+C>72++C：〉7%

所以a=(1+7/=(9-1)19,

即a=Cl-叶+-918-(-1)+C：9-917-(-1)2++C；；•S•(-1)18+C：；-(-I)19,

因为19x9-1=18x9+8,所以。除以9所得的余数为8,

故选：D

变式7-3.1.026的近似值(精确到o.oi)为()

A.1.12B.1.13C.1.14D.1.20

【答案】B

【解析】展开(1+0。2)6后按近似要求求解.

【详解】1.026=(1+。。2)6=1+魂*。.02+盘*。,022+**。.023++0.026

»1+0.12+0.006«1.13.

故选：B.

【点睛】本题考查二项式定理的应用，用二项式定理进行近似计算，掌握二项式定

理是解题关键.

变式7-4.估算C；0.998+C；0.9982+C».9983+C；0.9984+C；0.9985的结果,精确到0.01

的近似值为()

A.30.84B.31.84C.30.40D.32.16

【答案】A

【分析】利用二项式定理进行计算.

【详解】原式=(1+0.998)5-1=(2-0.002)5-1

=C°25-C；24x0.002+C123x0.0022++Cfx0.0025-1

«32-0.16-1=30.84.

故选：A.

题型战法八杨辉三角

典例8.下表出现在我国南宋数学家杨辉的著作《详解九章算法》中，称之为“杨辉

三角”，该表中第10行第7个数是()

II11

十五）（二十）（十五

A.120B.210C.84D.36

【