专题22椭圆及其标准方程6种常见考法归类

专题22椭圆及其标准方程6种常见考法归类1、椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．注：（1）当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．(2)只有同时满足两个焦点F1，F2在坐标轴上，线段F1F2的中点是坐标原点．这两个条件时，所得到的方程才是标准方程．2、椭圆的标准方程焦点位置在x轴上在y轴上标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)图形焦点坐标(±c,0)(0，±c)a，b，c的关系a2＝b2＋c2注：依据椭圆的标准方程判断椭圆的焦点在哪条坐标轴上，只需看标准方程中的分母的大小，即椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大．3、在椭圆的定义中必须要注意以下两个问题(1)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．(2)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆．4、椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.(2)涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|·|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求解．(3)一般地，关于椭圆的一些问题我们经常考虑利用其定义，这时候就要关注它的两个焦点，把问题转化为研究椭圆上的点到两个焦点的距离之和的问题.5、椭圆的标准方程的特征(1)几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上．(2)代数特征：方程右边为1，左边是关于eq\f(x,a)与eq\f(y,b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,a)与\f(x,b)))的平方和，并且分母为不相等的正值．6、确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．7、椭圆标准方程的两种应用由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标，或求参数的值或取值范围.（1）求椭圆的焦点坐标时，若方程不为标准方程，应先将其化为标准方程，确定a2，b2的值和焦点所在的坐标轴，再利用关系式a2＝b2＋c2求出c，即可写出焦点坐标.（2）已知方程求参数的值或取值范围时，需注意：对于方程eq\f(x2,m)＋\f(y2,n)＝1，当m>n>0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；当n>m>0时，方程表示焦点在y轴上的椭圆.特别地，当n＝m>0时，方程表示圆心在原点的圆.若已知方程不是标准方程，需先进行转化.8、利用待定系数法求椭圆的标准方程的思路采用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤为：主要步骤可归纳为“先定位，再定量”．需要注意的是：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．9、椭圆的焦点三角形椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1，F2构成的△F1PF2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识．对于求焦点三角形的面积，若已知∠F1PF2，可利用S＝eq\f(1,2)absinC把|PF1|·|PF2|看成一个整体，利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，这样可以减少运算量．焦点三角形的常用公式：(1)焦点三角形的周长L＝2a＋2c.(2)在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2.(3)设P(xP，yP)，焦点三角形的面积S△F1PF2＝c|yP|＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sin∠F1PF2＝b2taneq\f(∠F1PF2,2).10、解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法(1)直接法：直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x，y的形式，即F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0.(2)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．(3)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．考点一椭圆的定义及其应用考点二椭圆标准方程的识别考点三求椭圆的标准方程考点四根据椭圆方程求相关量考点五椭圆中的焦点三角形问题（一）求焦点三角形的内角或边长（二）椭圆中焦点三角形的周长问题（三）椭圆中焦点三角形的面积问题（四）椭圆中焦点三角形的内切圆问题（五）与椭圆焦点三角形有关的最值问题考点六与椭圆有关的轨迹问题考点一椭圆的定义及其应用1．（2023秋·高二课前预习）判断正误，正确的写正确，错误的写错误．（1）已知点，，动点满足，则点的轨迹是椭圆．()（2）已知点，，动点满足，则点的轨迹是椭圆．()（3）已知点，，动点满足，则点的轨迹是椭圆．()（4）椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都满足.()【答案】正确错误错误正确【分析】根据椭圆的定义判断即可.【详解】（1）正确．因为|，所以点的轨迹是椭圆．（2）错误．因为，所以点的轨迹是线段.（3）错误．因为，所以点的轨迹不存在．（4）正确．由椭圆的标准方程中对，，的规定可知，焦点位置的改变不影响这一关系．2．（2023·全国·高三专题练习）已知点，动点满足，则动点的轨迹是（

）A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆【答案】C【分析】根据的大小关系判断动点轨迹即可.【详解】由题设知：，此时动点P必在线段AB上，即动点轨迹为线段.故选：C3．（2023·全国·高三专题练习）若，，点P到，的距离之和为10，则点P的轨迹方程是【答案】【分析】根据椭圆的第一定义，得到，得到，进而计算求解，可得答案.【详解】因为，所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，其中，故点P的轨迹方程为.故答案为：4．（2023秋·高二课时练习）已知动点满足（为大于零的常数）﹐则动点的轨迹是（

）A．线段 B．圆 C．椭圆 D．直线【答案】C【分析】根据题意，结合椭圆的定义即可得到结果.【详解】的几何意义为点与点间的距离，同理的几何意义为点与点间的距离，且又由为大于零的常数，可知，当且仅当，即时取等，故，即动点到点与到点的距离之和为定值，且大于，所以动点的轨迹为椭圆，故选：C.5．（2024·全国·高三专题练习）椭圆上的一点到左焦点的距离为是的中点，则等于.【答案】3【分析】设椭圆的右焦点，则根据椭圆有定义可求出，再利用三角形的中位线定理可求得答案.【详解】设椭圆的右焦点，连接，则由，知.又点为的中点，点为的中点，所以.故答案为：3考点二椭圆标准方程的识别6．（2023秋·高二课时练习）以下方程表示椭圆的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据椭圆方程的知识求得正确答案.【详解】A选项，方程，即，表示圆，不是椭圆，A选项错误.B选项，方程，即，方程中间是减号，不是椭圆，B选项错误.C选项，方程，即，表示焦点在轴上的椭圆，C选项正确.D选项，方程右边不是，不是椭圆，D选项错误.故选：C7．（2023·江苏·高二专题练习）已知条件：，条件：表示一个椭圆，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据曲线方程，结合充分、必要性的定义判断题设条件间的关系.【详解】由，若，则表示一个圆，充分性不成立；而表示一个椭圆，则成立，必要性成立.所以是的必要不充分条件.故选：B8．（2023·江苏·高二专题练习）方程表示椭圆的充要条件是．【答案】答案不唯一【分析】两个分母为不相等的正值时，所给方程表示椭圆.【详解】方程表示椭圆,则必有解之得或故答案为：,（答案不唯一，其他等价情况也对）9．【多选】（2024·全国·高三专题练习）如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围可以是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根据椭圆方程特征得出关系式，解不等式即可.【详解】焦点在x轴上，则标准方程中，解得或．又，，得，所以或．故选:BC．10．（2023·全国·高二专题练习）已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据已知曲线的方程和椭圆的方程特点，结合充分条件和必要条件的判定即可【详解】若曲线是椭圆，则有：解得：，且故“”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件故选：C11．（2023秋·陕西渭南·高二渭南市瑞泉中学校考阶段练习）若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据椭圆的标准方程得到方程组，解得答案.【详解】方程表示椭圆，则，解得.故选：B12．（2023秋·黑龙江大庆·高二肇州县第二中学校考开学考试）已知方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意列出含有参数的不等式组求解即可.【详解】根据题意,要使方程表示焦点在轴上的椭圆,需满足,解得.故选:C.13．（2023·江苏·高二专题练习）“”是“方程表示的曲线为椭圆”的条件．【答案】必要不充分【分析】由充分、必要性的定义，结合圆锥曲线的性质判断题设条件的推出关系，即可确定答案.【详解】当时表示圆，当且时表示椭圆，充分性不成立；当为椭圆，则，可得且，必要性成立；综上，“”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件.故答案为：必要不充分14．（2023·全国·高二专题练习）若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（

）A． B．椭圆的焦距为C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则【答案】C【分析】利用椭圆方程与椭圆位置特征逐项分析、计算即可判断作答.【详解】因方程表示椭圆，则有，，且，即，A错误；焦点在轴上时，，解得，D错误，C正确；焦点在轴上时，则，焦点在轴上时，，B错误.故选：C15．【多选】（2023秋·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）若方程所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是（

）A．曲线C可能是圆B．若，则C为椭圆C．若C为椭圆，且焦点在x轴上，则D．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则【答案】AD【分析】根据方程为圆列式求解判断A，排除B，根据椭圆标准方程的特征列不等式求解范围即可判断CD.【详解】当即时，方程为，表示圆心为原点，半径为1的圆，故选项A正确，选项B错误；若C为椭圆，且焦点在x轴上，则，解得，故选项C错误；若C为椭圆，且焦点在y轴上，则，解得，故选项D正确.故选：AD.考点三求椭圆的标准方程16．（2023秋·江苏淮安·高二校考阶段练习）焦点在y轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据椭圆的标准方程，结合题干列出方程，即可.【详解】因为焦点在y轴上，故设椭圆方程为，则，且，解得：，所以椭圆的标准方程为.故选：D17．（2023秋·陕西渭南·高二校考阶段练习）求两焦点分别为，，且经过点的椭圆标准方程.【答案】【分析】设椭圆方程，利用已知条件，列出方程求解即可.【详解】由焦点坐标可知，为轴椭圆，设所求椭圆的标准方程为两焦点分别为，，又椭圆过点，，又，，所以椭圆的标准方程为.18．（2023秋·湖南长沙·高二长沙市明德中学校考阶段练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是，，并且椭圆经过点；(2)经过两点，．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由题设椭圆焦点在y轴上且，设椭圆方程，根据参数关系及点在椭圆上列方程求参数，即得方程；（2）设椭圆方程，由点在椭圆上列方程组求参数，即得方程.【详解】（1）由已知：椭圆焦点在y轴上且，则，且设椭圆方程为，又在椭圆上，所以，故椭圆方程为.（2）设椭圆方程为，且，在椭圆上，所以，则椭圆方程为.19．（2023秋·江西抚州·高二金溪一中校联考阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)经过点和点；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）利用待定系数法代入两点坐标计算即可；（2）分类讨论焦点的位置，结合图形几何性质计算即可.【详解】（1）设椭圆方程为，将点和点代入可知，所以椭圆的标准方程为：；（2）设椭圆长轴长、短轴长、焦距分别为，由已知，有解得，，若焦点在轴上，则，若焦点在轴上，，∴所求椭圆方程为或.20．（2023·全国·高二专题练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为和，且椭圆经过点；(2)焦点在y轴上，且经过两个点和；(3)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点．(4)经过点，两点；(5)与椭圆＋＝1有相同的焦点且经过点.(6)焦点坐标为，过点；(7)经过两点．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)【分析】根据椭圆的标准方程选择合适的方程形式设方程，由已知求参数即可得椭圆标准方程.【详解】（1）由题意知，椭圆的焦点在x轴上，可设它的标准方程为，易知，所以，又，所以，故所求椭圆的标准方程为；（2）∵椭圆的焦点在y轴上，∴可设它的标准方程为，∵椭圆经过点和，∴，解之得，故所求椭圆的标准方程为；（3）根据题意可知，又焦点在y轴上，故可设它的标准方程为，且焦点坐标为，∵椭圆经过点，∴由椭圆的定义可得，即，∴，故椭圆的标准方程为.（4）由题意得P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上，所以，所以椭圆的标准方程为.（5）设椭圆的两个焦点为F1，F2，且焦点在x轴上因为，所以，，故设椭圆方程为由题意得，解得或(舍去)，所以椭圆的标准方程为.（6）设椭圆的长半轴为，短半轴为，因为焦点的坐标为，所以另一个焦点为，且，又椭圆过点，所以，所以，故，所以椭圆的标准方程为；（7）设椭圆方程为，因为椭圆经过两点，所以，解得，所以椭圆的标准方程为.考点四根据椭圆方程求相关量21．（2023秋·宁夏银川·高二校考期中）椭圆的焦点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据椭圆方程求，并结合焦点所在位置分析判断.【详解】由椭圆方程可知：，且焦点在y轴上，可得，所以椭圆的焦点坐标为.故选：B.22．（2023·全国·高二随堂练习）求下列椭圆的焦点坐标，以及椭圆上任一点到两个焦点的距离之和：(1)；(2)；(3).【答案】(1)，6(2)，8(3)，【分析】根据椭圆方程求出的值，确定焦点的位置，结合椭圆定义即可得答案.【详解】（1）由椭圆方程可得长半轴长，短半轴长，椭圆焦点在x轴上，且，故椭圆的焦点坐标为，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为；（2）由椭圆方程可得长半轴长，短半轴长，椭圆焦点在y轴上，且，故椭圆的焦点坐标为，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为；（3）由椭圆方程，即，可得长半轴长，短半轴长，椭圆焦点在y轴上，且，故椭圆的焦点坐标为，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为；23．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：的一个焦点的坐标为，则（

）A．1 B．2 C．5 D．9【答案】A【分析】根据焦点坐标得，根焦点在轴，可以判断，，根据可得.【详解】由题意得，，因焦点在轴，所以，，由得，解得．故选：A24．（2023秋·高二课时练习）已知是椭圆的一个焦点，则实数（

）A．6 B．C．24 D．【答案】D【分析】把椭圆方程化成标准形式，再利用给定的焦点坐标列式计算作答.【详解】椭圆化为：，显然，有，而椭圆的一个焦点为，因此，所以.故选：D25．（2023·高二课时练习）若椭圆上点P到右焦点的距离为4，则点P的横坐标为．【答案】【分析】由椭圆方程求得右焦点坐标，设，由椭圆方程和距离列方程组求解．【详解】由已知，，右焦点为，设，，则，消去得，，，（舍去），所以点横坐标为．故答案为：．考点五椭圆中的焦点三角形问题求焦点三角形的内角或边长26．（2023秋·陕西延安·高二校考期末）已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为6，则点到另一个焦点的距离为.【答案】【分析】根据题意，结合椭圆的定义，即可求解.【详解】由椭圆的方程，可得，所以，所以椭圆的焦点分别为，则，因为点到椭圆一个焦点的距离为，设，可得，即点到另一个焦点的距离为.故答案为：.27．（2024·全国·高三专题练习）已知点，是椭圆上关于原点对称的两点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】C【分析】先证明四边形是平行四边形，再利用椭圆的定义求出即得解.【详解】因为,所以四边形是平行四边形.所以.由椭圆的定义得.所以.故选：C28．（2023秋·江苏无锡·高二无锡市第一中学校考阶段练习）已知，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，则的最大值是（

）A． B．9 C．16 D．25【答案】D【分析】利用椭圆的定义及基本不等式可求答案.【详解】因为，所以，当且仅当时，取到最大值.故选：D.29．（2023·全国·高二专题练习）设是椭圆的两个焦点，P在椭圆上，已知是一个直角三角形的三个顶点，且，则的值是（

）A．或2 B．或 C．或 D．或2【答案】D【分析】由题设可知轴或，由此进行分类讨论，利用已知条件结合椭圆的定义求出，即可求出的值．【详解】因为为椭圆两个焦点，所以，，则，，因为，则P点位于x轴右侧，则轴或故当轴时，P的横坐标为，其纵坐标为，则，，故；当时，设，，则，由勾股定理可得，即，解得或（舍去），故，综上，的值为或，故选：D30．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，|PF1|－|PF2|＝.【答案】【分析】因为线段的中点在y轴上得的长，进而求得.【详解】因为线段的中点在y轴上，可得轴，所以轴，所以，，所以.故答案为：.31．（2023·江苏·高二假期作业）椭圆的两焦点分别为，点在椭圆上，若，则的大小为．【答案】【分析】根据椭圆的定义和标准方程，可得，，在中，由余弦定理，即可求解.【详解】由椭圆，可得，则，因为，可得，，在中，由余弦定理得，因为，所以.故答案为：32．（2023·江苏·高二专题练习）已知椭圆上的动点到右焦点距离的最大值为，则（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】根据椭圆的性质可得椭圆上的点到右焦点距离最大值为，即可求出，再根据，即可得解；【详解】根据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最大值为，即，又，所以，由，所以；故选：A33．【多选】（2024·全国·高三专题练习）若是椭圆上一点，，为其左右焦点，且不可能为钝角，则实数的值可以是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】CD【分析】根据椭圆的几何性质可判断为椭圆的短轴端点时，此时最大，即可列不等式求解.【详解】由椭圆的性质可得当点为椭圆的短轴端点时，此时最大，若不可能为钝角，当点为椭圆的短轴断点时，则，则，即，又焦点在轴上，解得，所以实数的值可以是4，5，故选：CD椭圆中焦点三角形的周长问题34．（2023秋·陕西渭南·高二校考阶段练习）已知点分别是椭圆的左、右焦点，点在此椭圆上，则的周长等于（

）A．20 B．16 C．18 D．14【答案】C【分析】由椭圆的定义求解．【详解】根据椭圆方程可知，根据椭圆的定义可知，的周长为，故选：C35．（2023秋·江西抚州·高二金溪一中校联考阶段练习）椭圆的两个焦点分别为，，点在椭圆上运动，则的周长为（

）A．6 B． C．8 D．10【答案】D【分析】根据椭圆的定义直接求解即可【详解】由，得，则，所以，因为点在椭圆上运动，所以，所以的周长为，故选：D36．（2023秋·河南许昌·高二统考期末）已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，若，则（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】B【分析】根据椭圆的定义，结合焦点三角形的周长即可求解.【详解】由，即，可得，根据椭圆的定义，所以.故选：B.37．（2023秋·高二课时练习）已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（

）A．12 B． C．16 D．10【答案】C【分析】利用椭圆的定义求解即可.【详解】设椭圆的另外一个焦点为，如图，则的周长为，故选：C.椭圆中焦点三角形的面积问题38．（2023·全国·高二专题练习）已知，为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则的面积为（

）A． B． C．4 D．【答案】B【分析】利用椭圆定义求得的值，判断为等腰三角形，即可求得答案.【详解】由椭圆可知，故，结合，可得，而，故为等腰三角形，其面积为，故选：B39．【多选】（2023·江苏·高二专题练习），是椭圆的两个焦点，A是椭圆上一点，是直角三角形，则的面积为（

）A．9 B．C． D．【答案】AB【分析】对的直角进行分类讨论，结合椭圆的定义以及标准方程求得正确答案.【详解】由得，不妨，，则，当时，则①平方减去②得，∴，当(或者)时，，令，则，解得，则，.故选：AB.40．（2023秋·高二课时练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆的一个交点为，若，则的面积为（

）A． B． C．4 D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用椭圆定义求出，再求出等腰三角形的面积作答.【详解】椭圆中，，由及椭圆定义得，因此为等腰三角形，底边上的高，所以的面积为.故选：D41．（2024·全国·高三专题练习）已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为．【答案】/【分析】由向量的夹角公式可得，利用余弦定理、椭圆定义可得，再由三角形面积公式可得答案.【详解】因为，，所以，若，因为，则可得，由余弦定理可得，所以，则.故答案为：.42．（2023·江苏·高二专题练习）设和为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积是.【答案】/【分析】将椭圆方程化为标准式，即可求出、、，由，可得点为短轴顶点，最后由面积公式计算可得.【详解】椭圆，即，所以，，，因为，所以点为短轴顶点，所以.故答案为：43．（2023·全国·高二随堂练习）已知椭圆的两焦点为，，P为椭圆上一点，且，，求的面积.【答案】【分析】根据给定条件，求出焦距，进而求出长短半轴长，在中由余弦定理求出，再由三角形面积公式计算作答.【详解】依题意，，椭圆长轴长，即长半轴长，短半轴长b，有，所以椭圆的标准方程为.在中由余弦定理得：，有，解得，，所以的面积是.44．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C：的左､右焦点分别是，，为椭圆C上一点，则下列结论不正确的是（

）A．的周长为6 B．的面积为C．的内切圆的半径为 D．的外接圆的直径为【答案】D【分析】根据焦点三角形的性质即可求解AB，根据等面积法即可求解C，根据面积公式以及正弦定理及可求解D.【详解】由题意知，，，，由椭圆的定义知，，，∴的周长为，即A正确；将代入椭圆方程得，解得，∴的面积为，即B正确；设的内切圆的半径为r，则，即，∴，即C正确；不妨取，则，，∴的面积为，即，∴，由正弦定理知，的外接圆的直径，即D错误，故选:D.45．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的焦点在轴上，且过点，焦距为，设为椭圆上的一点，、是该椭圆的两个焦点，若，求：(1)椭圆的标准方程(2)的面积．【答案】(1)(2)【分析】设出椭圆的标准方程，利用待定系数法求出椭圆方程；利用椭圆定义以及余弦定理、面积公式求得结果.【详解】（1）设椭圆的标准方程为，由已知得解得，，，故椭圆的标准方程为．（2）如图，由椭圆的定义可得，由余弦定理可得，整理得，又，所以，故．椭圆中焦点三角形的内切圆问题46．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆C：的左､右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆C上，当△MF1F2的面积最大时，△MF1F2内切圆半径为（

）A．3 B．2 C． D．【答案】D【分析】由面积最大得的位置，从而可求出三角形的三条边，求出内切圆的半径.【详解】因为椭圆为，所以a=5，b=3，，当的面积最大时，点M在椭圆C的短轴顶点，不妨设点M为椭圆C的上顶点，点O为坐标原点，内切圆半径为r，则，，，因为，所以.故选：D.47．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）设椭圆的左右焦点分别为和，离心率为，过左焦点且倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，且线段，则的内切圆半径等于.【答案】【分析】由已知条件表示出直线AB的方程，得到的面积，由内切圆的性质可知，内切圆半径乘以三角形周长的一半等于三角形面积，结合离心率的值可得内切圆半径.【详解】的周长为，∵，∴到直线的距离，设的内切圆半径为，又，∵，，∴，故答案为：48．（2017·北京·高三强基计划）如图，过椭圆的右焦点作一条直线，交椭圆于A，B两点，则的内切圆面积可能是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】利用等积法可求的内切圆面积的范围，从而可得正确的选项.【详解】设，，根据椭圆的定义可得：，，而，所以.设内切圆半径为r，因为，所以，设直线的方程为，由，消去并整理得：..设，则，单调递增，当时，.设的内切圆面积为，则，于是选项A符合题意．故选：A.与椭圆焦点三角形有关的最值问题49．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）已知为椭圆的焦点，P为椭圆上一动点，，则的最小值为（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】先由焦点坐标求出椭圆方程，再根据椭圆定义转化，数形结合可得，得解.【详解】

由为椭圆的焦点，，，，，，设椭圆的左焦点为，由椭圆的定义得，，所以的最小值为.故选：A.50．（2023秋·黑龙江大庆·高二肇州县第二中学校考开学考试）已知定点，点为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值和最小值为（

）A．12， B．，C．12，8 D．9，【答案】C【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义，结合线段和差的三角不等式列式求解即可.【详解】令椭圆的左焦点为，有，由椭圆定义知，显然点在椭圆内，，直线交椭圆于，而，即，当且仅当点共线时取等号，当点与重合时，，则，当点与重合时，，则，所以的最大值和最小值为12，8.故选：C51．（2023·江苏南通·统考三模）已知为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（

）A．5 B．6 C． D．【答案】D【分析】利用椭圆的定义、点和圆的位置关系等知识确定正确答案.【详解】依题意，设椭圆的左焦点为，圆的圆心为，半径为，，当三点共线，且在之间时等号成立.而，所以，当四点共线，且在之间，是的延长线与圆的交点时等号成立.故选：D52．（2024·全国·高三专题练习）椭圆，是左、右焦点，点，点为椭圆上一动点，则的最大值为，最小值为．【答案】//【分析】根据椭圆的定义进行转化，结合图象求得的取值范围，进而确定正确答案.【详解】椭圆，∴，∴.如图所示，点在椭圆内部，∵点为椭圆上的点，则，∴，∵，又，∴，即.故答案为：；53．（2023秋·河南驻马店·高二确山县第一高级中学校考阶段练习）已知､是椭圆内的点，是椭圆上的动点，则的最大值为；最小值为.【答案】//【分析】由题意可得为椭圆右焦点，设左焦点为，在椭圆内，根据椭圆的定义得，由图可知当在直线与椭圆交点上时，取得最值.【详解】由题意可得为椭圆右焦点，设左焦点为，在椭圆内，则由椭圆定义，于是.当不在直线与椭圆交点上时，､､三点构成三角形，于是，而当在直线与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有，在第三象限交点时有.显然当在直线与椭圆第一象限交点时，有最小值，其最小值为；当在直线与椭圆第三象限交点时，有最大值，其最大值为.故答案为：，.54．【多选】（2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知点为椭圆C：的左焦点，点P为C上的任意一点，点的坐标为，则下列正确的是（

）A．的最小值为B．的最大值为7C．的最小值为D．的最大值为1【答案】ABD【分析】根据三点共线、椭圆的定义等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，，所以，的最小值，即是的长，当点在位置时取到，所以的最小值为，故A正确；设椭圆的右焦点为，所以，则当点在位置时取到最大值，所以的最大值为，故B正确；的最小值当在位置时取到，即的最小值为，故C错误；由，则当点在位置时取到最大值，所以的最大值为，故D正确.故选:ABD55．（2023秋·高二课时练习）设实数x，y满足，则的最小值为（

）A． B．C． D．前三个答案都不对【答案】C【分析】转化为动点到两定点之间距离和，再利用焦点三角形的性质可求最小值.【详解】，点是椭圆上的点，设，如图．记题中代数式为M，则，等号当点E，A，P依次共线时取得．因此所求最小值为．故选：C.56．（2023秋·高二课时练习）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上任意一点，则·的取值范围为.【答案】【分析】可设，可求得与的坐标，利用向量的数量积的坐标公式结合椭圆的方程即可求得其答案．【详解】点为椭圆上的任意一点，设，依题意得左焦点，，，，，，，．则．故答案为：．考点六与椭圆有关的轨迹问题57．（2023秋·高二课时练习）古希腊后期的数学家帕普斯在他的《数学汇编》中探讨了