2024年中考数学必考考点总结+题型专训圆（原卷版+解析）

专题30圆

考点一：垂径定理

知识回顾

1.圆的定义：

定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点。旋转一周，另一个端点A所形成的图形

叫做圆。固定的端点。叫做圆心，线段OA叫做半径.以0点为圆心的圆，记作“。0”，读作“圆0”.

定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。

2.与圆有关的概念：

弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等。

连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半

圆的弧叫做劣弧。

3.垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

4.垂径定理的推论：

推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题。

微专题

L___________________，

1.（2023•青海）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点。为圆心的圆的一部分，如果C是O。中弦

4B的中点，C£）经过圆心。交。。于点。，并且CD=6m,则。。的半径长为m.

2.（2023•牡丹江）O。的直径C£>=10,42是O。的弦，AB1CD,垂足为OM：0c=3：5,则AC的

长为.

3.（2023•长沙）如图，A、B、C是O。上的点，OCLAB,垂足为点D且。为OC的中点，若04=7,

则BC的长为.

第3题第4题

4.（2023•自贡）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦长20厘米，弓形高。为

2厘米，则镜面半径为_____厘米.

5.（2023•黑龙江）如图，在。。中，弦垂直平分半径OC,垂足为。，若。。的半径为2,则弦AB的

长为.

6.（2023•上海）如图所示，小区内有个圆形花坛O,点C在弦上，AC=11,BC=21,OC=13,则这

个花坛的面积为.（结果保留TT）

7.（2023•遵义）数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬28。，求北纬28°纬线的长度.

小组成员查阅相关资料，得到如下信息：

信息一：如图1,在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；

信息二：如图2,赤道半径约为6400千米，弦8C〃0A,以8C为直径的圆的周长就是北纬28°纬

线的长度；

（参考数据：IT心3,sin28°80.47,cos28°心0.88,tan28°七0.53）

根据以上信息，北纬28°纬线的长度约为千米.

8.（2023•黄石）如图，圆中扇子对应的圆心角a（a<180°）与剩余圆心角0的比值为黄金比时，扇子会

显得更加美观，若黄金比取0.6,则0-a的度数是.

考点二：圆周角定理：

知识回顾

X___________________>

1.圆心角、弦以及弧之间的关系：

①定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

②推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应

的其余各组量都分别相等。

说明：同•条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指

同为优弧或劣弧。

2.圆周角的定义：

顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

3.圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

4.圆周角定理的推论：

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

5.圆的内接四边形：

①定义：四个顶点都在圆上的四边形叫做圆的内接四边形。

②性质：I：圆内接四边形的对角互补。

II：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。

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\________________/

9.（2023•襄阳）已知。。的直径48长为2,弦AC长为正，那么弦AC所对的圆周角的度数等于.

10.（2023•日照）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的

测量，测得AB=12aw,BC=5cm,则圆形镜面的半径为.

第10题第”题

1

11.（2023•永州）如图，是O。的直径，点C、。在。。上，Ar-QIBzADC=

30°,则NBOC=度.

12.（2023•苏州）如图，AB是OO的直径，弦CD交AB于点E,连接AC,AD.若/瓦iC=28°,则

13.（2023•湖州）如图，已知AB是。。的弦，ZAOB=120Q,OCLAB,垂足为C,0c的延长线交。。

于点3.若/APO是AB所对的圆周角，则/APO的度数是

C点在圆。上，若NACB=36°,则/A08=

15.（2023•锦州）如图，四边形ABCO内接于（DO,AB为。。的直径，ZADC=130°,连接AC,贝!J/B4C

的度数为

16.（2023•雅安）如图，NDCE是OO内接四边形ABCD的一个外角，若NDCE=72°,那么NBQD的度

数为_________

第16题第17题

17.（2023•甘肃）如图，O。是四边形ABC。的外接圆，若N4BC=110°,则NAOC=°.

考点三：切线

知识回顾

1.点与圆的位置关系：

点与圆的位置关系有3种.设。。的半径为r,点尸到圆心的距离OP=d,则有：

①点尸在圆外=d>r

②点P在圆上=d=r

①点P在圆内=dVr

2.三角形的外接圆与外心：

经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆。圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫

做三角形的外心。

3.直线与圆的位置关系：

设。。的半径为广，圆心。到直线/的距离为d,直线和圆的三种位置关系：

①相离：一条直线和圆没有公共点。直线/和。。相离

②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的

公共点叫切点。直线/和。。相切=d=r。

③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线。直线/

和。0相交=dVro

4.切线的性质：

①圆的切线垂直于经过切点的半径。

②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或

相似三角形解决问题。

5.切线的判定：

经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作

该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条

件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单

地说成“有交点，作半径，证垂直”。

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18.（2023•常州）如图，AABC是。。的内接三角形.若/ABC=45°,AC=&,则。。的半径是

A

C

第18题第19题

19.（2023•黑龙江）如图，在O。中，A3是。。的弦，。。的半径为3cH.C为。。上一点，ZACB=60°,

则AB的长为cm.

20.（2023•玉林）如图，在5义7网格中，各小正方形边长均为1,点。，A,B,C,D,E均在格点上，点

O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外心也是。的三角形都写出

来_______________________

21.（2023•凉山州）如图，在边长为1的正方形网格中，是△ABC的外接圆，点A,B,。在格点上，

则cosZACB的值是.

第21题第22题

22.（2023•资阳）如图，AABC内接于OO,是直径，过点A作。O的切线AD若NB=35°,贝iJ/D4c

的度数是度.

23.（2023•衢州）如图，A8切于点8,A。的延长线交0。于点C,连结8C.若/A=40°,则/C的

度数为.

A

D

BO9

B

第23题第24题

24.（2023•盐城）如图，AB.AC是。。的弦，过点A的切线交的延长线于点D,若/区4。=35°,则

ZC=0.

25.（2023•上海）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这

个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径

为.

26.（2023•泰州）如图，出与。。相切于点A,PO与。。相交于点8,点C在AmB上，且与点A、8不重

合.若NP=26°,则NC的度数为°.

27.（2023•宁波）如图，在△ABC中，AC=2,BC=4,点。在上，以08为半径的圆与AC相切于点A.D

是8C边上的动点，当△AC。为直角三角形时，的长为.

第27题第28题

28.（2023•金华）如图，木工用角尺的短边紧靠。。于点A,长边与。。相切于点8,角尺的直角顶点为C.已

知AC=6cm,CB=8cm,则。。的半径为cm.

29.（2023•湖北）如图，点尸是O。上一点，是一条弦，点C是APB上一点,

与点。关于AB对称，AD交。。于点E,CE与AB交于点F,且BD//CE.给

出下面四个结论:

①CD平分/BCE；②BE=BD；®AE2=AF-AB；④8。为。。的切线.

其中所有正确结论的序号是.

考点四：三角形的内切圆与内心

知识回顾

1.相交弦定理：

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

几何语言：若弦A3,CD交于点P,则尸4尸8=尸。尸。。

推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

几何语言：若A3是直径，CD垂直于点尸，贝1」尸。2=尸。2=尸4・必。

2.弦切角定理：

（1）弦切角的定义：如图像/ACP这样，顶点在圆上，一边和圆相交，另

一边和圆相切的角叫做弦切角。

（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半。

等于这条弧所对的圆周角。即NPCA=/PBC。

3.切线长定理：

（1）切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线

长。

（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分

两条切线的夹角。

4.切割线定理：

从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

几何语言：

「PT切。。于点T,PBA是。。的割线

：.PT2=PA・PB（切割线定理）。

推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

几何语言：

VPBA,PDC是。。的割线

.\PD-PC=PA*PB

由上可知：PT2=PA・PB=PUPD。

5.三角形的内切圆与内心：

内切圆与内心的概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做

三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点。

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30.（2023•恩施州）如图，在中，ZC=90°，AC=4,BC=3,O。为RtZkABC的内切圆，则图

中阴影部分的面积为（结果保留IT）

31.（2023•泰州）如图，△ABC中，NC=90°,AC=8,BC=6,。为内心，过点。的直线分别与AC、

AB边相交于点。、E.若DE=CD+BE,则线段CD的长为.

CA

第31题第32题第33题

32.（2023•黔东南州）如图，在△ABC中，/A=80°,半径为3cMi的是△ABC的内切圆，连接。2、

OC,则图中阴影部分的面积是a,，.（结果用含口的式子表示）

33.（2023•宜宾）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大

正方形（如图所示）.若直角三角形的内切圆半径为3,小正方形的面积为49,则大正方形的面积

为.

考点五：正多边形与圆

知识回顾

1.正多边形与圆的关系

把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多

边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆。

2.正多边形的有关概念

①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。

②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。

③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。

④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。

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34.（2023•长春）跳棋是一项传统的智力游戏.如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边

三角形ABC和等边三角形。所组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形.若AB=27厘米，则这个正

六边形的周长为________厘米.

第34

35.（2023•营口）如图，在正六边形A8CQEF中,

度.

36.（2023•呼和浩特）如图,从一个边长是。的正五边形纸片上剪出一个扇形，这个扇形的面积为（用

含n的代数式表示）；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆直径为.

37.（2023•绥化）如图，正六边形ABCDE尸和正五边形内接于。。，且有公共顶点A,则NB。”的

度数为度.

38.（2023•梧州）如图，四边形A8C£＞是。。的内接正四边形，分别以点A,。为圆心，取大于;OA的定

长为半径画弧，两弧相交于点N,作直线MN,交O。于点E,F.若0A=1,则BE,AE,AB所围

成的阴影部分面积为.

39.（2023•宿迁）如图，在正六边形4BCDE/中，AB=6,点M在边AF上，且AM=2.若经过点M的直

线/将正六边形面积平分，则直线/被正六边形所截的线段长是.

_____F

B>E

CD

专题30圆

考点一：垂径定理

知识回顾

5.圆的定义：

定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点。旋转一周，另一个端点A

所形成的图形叫做圆。固定的端点。叫做圆心，线段OA叫做半径.以。点为圆心的圆，

记作“。0”,读作“圆0”.

定义②：圆可以看做是所有到定点0的距离等于定长r的点的集合。

6.与圆有关的概念：

弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等。

连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆

弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于

半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。

7.垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

8.垂径定理的推论：

推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等

问题。

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1.（2023•青海）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点。为圆心的圆的一部分，如果

C是。。中弦A8的中点，C。经过圆心。交00于点并且AB=4如C£）=6%则

的半径长为

D

【分析】连接。4如图，设。。的半径为"小根据垂径定理的推论得到CD±AB,在

RtAAOC中利用勾股定理得到22+(6-r)2=a，然后解方程即可.

【解答】解：连接如图，设。。的半径为切2,

是0。中弦的中点，C。过圆心，

ACDLAB,AC=BC=^AB=2m,

2

在RtZXAOC中，'：OA=rm,OC=(6-r)m,

：.22+(6-r)2=J,

解得r=此，

3

即。。的半径长为」且他.

3

故答案为：12.

3

2.(2023•牡丹江)O。的直径8=10,A8是O。的弦，AB1CD,垂足为M,OM-.OC

=3：5,则AC的长为.

【分析】连接。4,由A2_LC。，设OC=5x,0M=3x,则。M=2x,根据C£>=10可得

0C=5,0M=3,根据垂径定理得到40=4,然后分类讨论：当如图1时，CM=8；当

如图2时，CM=2,再利用勾股定理分别计算即可.

【解答】解：连接。4,

o•'/DD[O"M

BB

图1图2

,?0M-.0c=3：5,

设0C=5x,0M=3x,则£>M=2x,

VC£>=10,

：.OM=3,OA=OC=5,

"：AB.LCD,

：.AM=BM=^-AB,

2

在Rt^OAM■中，OA=5,

=2222

AMVOA-OM=VS-3=4，

当如图1时，CM=OC+OM=5+3=S,

22

在RtAACM中，AC=VAM-K；M=^42+82=蛔；

当如图2时，CM=OC-OM=5-3=2,

22

在RtAACM中，AC=VAM+MC=^42+22=275-

综上所述，AC的长为4机或2。年.

故答案为：4代或2泥.

3.(2023•长沙)如图，A、B、C是。。上的点，OC_L4B,垂足为点Z),且。为。C的中

【分析】根据已知条件证得△AOD咨△BCD(SAS),则BC=OA=7.

【解答】解：♦..O4=OC=7,且。为0c的中点，

：.OD=CD,

'：OCLAB,

：.ZODA=ZCDB=90°,AD=BD,

在△AO。和△8CO中，

:.△AOD^XBCD(SAS),

：.BC=OA=y.

故答案为：7.

4.（2023•自贡）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦长20厘米,

弓形高为2厘米，则镜面半径为____厘米.

D

【分析】根据题意，弦AB长20厘米，弓形高。为2厘米，根据勾股定理和垂径定理

可以求得圆的半径.

【解答】解：如图，点。是圆形玻璃镜面的圆心，连接OC,则点C,点。，点。三点

共线，

D

由题意可得：OC_LAB,AC=AAB=10（厘米）,

2

设镜面半径为X厘米，

由题意可得：x2=102+（x-2）2,

・・x=26.

镜面半径为26厘米，

故答案为：26.

5.（2023•黑龙江）如图，在O。中，弦42垂直平分半径OC,垂足为。，若O。的半径为

2,则弦A8的长为.

【分析】连接。4由AB垂直平分OC,求出OD的长，再利用垂径定理得到D为AB

的中点，在直角三角形中，利用垂径定理求出AO的长，即可确定出的长.

【解答】解：连接。4,由垂直平分OC,得到。。=工OC=1,

2

OC±AB,

；.D为AB的中点,

22

则AB=2AD=2^QA2,QD2=2^2-1=2近.

故答案为：

6.（2023•上海）如图所示，小区内有个圆形花坛。点C在弦AB上，AC=11,BC=21,

0c=13,则这个花坛的面积为.（结果保留TT）

【分析】根据垂径定理，勾股定理求出。小，再根据圆面积的计算方法进行计算即可.

【解答】解：如图，连接08,过点。作于£）,

'：OD±AB,0。过圆心，是弦，

：.AD=BD=-^AB=^-（AC+BC）=上义（11+21）=16,

222

：.CD=BC-BD=2i-16=5,

在RtZ\C。。中，OD'OC?-CD2=132-52=144,

在RtABOD中,OB1=OD\BD2=144+256=400,

S0O=TT><Og2=400Tt,

故答案为：400n.

7.（2023•遵义）数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬28。，求北纬28°纬

线的长度.

小组成员查阅相关资料，得到如下信息：

信息一：如图1,在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；

信息二：如图2,赤道半径约为6400千米，弦BC"0k,以BC为直径的圆的周长就

是北纬28°纬线的长度；

（参考数据：口弋3,sin28°心0.47,cos28°«=0.88,tan28°20.53）

根据以上信息，北纬28。纬线的长度约为千米.

【分析】根据垂径定理，平行线的性质，锐角三角函数的定义求解.

【解答】解：作OK_LBC,贝|JN3KO=90°,

\'BC//OA,ZAOB=28°,

在RtZkBOK中，08=04=6400.

.*.BK=OBXcosB-6400X0.88=5632,

北纬28°的纬线长C=2irBK

弋2X3X5632

=33792（千米）.

故答案为：33792.

8.（2023•黄石）如图，圆中扇子对应的圆心角a（a<180°）与剩余圆心角0的比值为黄

金比时，扇子会显得更加美观，若黄金比取0.6,则0-a的度数是.

【分析】根据已知，列出关于a,0的方程组，可解得a,0的度数，即可求出答案.

（a

-----=0A

【解答】解：根据题意得：P,

a+B=360°

解得，

.*.p-a=225°-135°=90°,

故答案为：90°.

考点二：圆周角定理:

知识回顾

6.圆心角、弦以及弧之间的关系：

①定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

②推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那

么它们所对应的其余各组量都分别相等。

说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中

的“弧”是指同为优弧或劣弧。

7.圆周角的定义：

顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

8.圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一

半。

9.圆周角定理的推论：

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

10.圆的内接四边形：

①定义：四个顶点都在圆上的四边形叫做圆的内接四边形。

②性质：I：圆内接四边形的对角互补。

II：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。

微专题

9.（2023•襄阳）已知。。的直径A8长为2,弦AC长为亚，那么弦AC所对的圆周角的

度数等于,

【分析】首先利用勾股定理逆定理得NAOC=90°,再根据一条弦对着两种圆周角可得

答案.

【解答】解：如图，

D'

：CM=OC=1,AC=①

.\OA2+(9C2=AC2,

AZAOC=90°,

ZADC=45°,

AZAD'C=135°,

故答案为：45°或135°.

10.（2023•日照）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角

尺作如图所示的测量，测得AB=12c«t,BC=5cm,则圆形镜面的半径为.

【分析】连接AC,根据NABC=90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出

AC即可.

【解答】解：连接AC,

VZABC=90°,且/ABC是圆周角,

；.AC是圆形镜面的直径,

由勾股定理得：AC—(7AB^+BC2=V12^+5^=(cm),

所以圆形镜面的半径为堂C小,

2

故答案为：11cm.

2

11.（2023•永州）如图，是。。的直径，点C、。在O。上，ZADC=30°,贝U/BOC

=________度.

【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆

心角的一半求出NAOC的度数，根据平角的定义即可得到N2OC=180°-NAOC的度

数.

【解答】解：是京所对的圆周角，

.•./AOC=2/AOC=2X30°=60°,

.*.ZBOC=180°-ZAOC=180°-60°=120°.

故答案为：120.

12.（2023•苏州）如图，AB是的直径，弦CD交A8于点E,连接AC,AD.若N8AC

=28°,则/。=°.

【分析】如图，连接BC,证明/ACB=90°,求出/ABC,可得结论.

【解答】解：如图，连接2C.

VAB是直径，

AZACB=90°,

AZABC=90°-ZCAB=62°,

；./£)=NA8C=62°,

故答案为：62.

13.(2023•湖州)如图,已知42是。。的弦，ZAOB=120°,OC±AB,垂足为C,OC

的延长线交。。于点。.若是R所对的圆周角，则/APO的度数是.

【分析】由垂径定理得出，由圆心角、弧、弦的关系定理得出进而得

出/AOD=60°,由圆周角定理得出/AP£>=!NAO£)=30°,得出答案.

2

【解答】解："：OC±AB,

：.ZAOD=ZBOD,

VZAOB=120°,

AZAOD=ZBOD=^-ZAOB=60°,

2

Z.ZAPD=AZA（?D=AX60O=30°,

22

故答案为：30°.

14.（2023•徐州）如图，A、B、C点在圆。上，若NAC8=36°,则NAO8=.

c

【分析】利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可得出结论.

【解答】解：vZACB=^ZAOB,/ACB=36°,

2

:"A0B=2乂/ACB=12°.

故答案为：72°.

15.（2023•锦州）如图，四边形ABC。内接于O。，AB为。。的直径，ZADC=130°,连

接AC,则NR4C的度数为.

【分析】利用圆内接四边形的性质和NADC的度数求得NB的度数，利用直径所对的圆

周角是直角得到/ACB=90°,然后利用直角三角形的两个锐角互余计算即可.

【解答】解：：四边形ABC。内接于。。，ZADC=130°,

.*.ZB=180°-ZADC=180°-130°=50°,

为。。的直径，

AZACB=90°,

：.ZCAB^9Q°-NB=90°-50°=40°,

故答案为：40°.

16.（2023•雅安）如图，NDCE是。。内接四边形ABC。的一个外角，若NDCE=72°,

那么NB。。的度数为.

【分析】根据邻补角的概念求出N2CZ),根据圆内接四边形的性质求出NA,根据圆周角

定理解答即可.

【解答】解：：NDCE=72°,

；./BC£)=180°-Z£)CE=108°,

,/四边形ABCD内接于。0,

ZA=180°-ZBCD=12°,

由圆周角定理，得/BOO=2NA=144°,

故答案为：144°.

17.(2023•甘肃)如图，OO是四边形ABCD的外接圆，若/A8C=110°,贝U/AOC

B

【分析】根据圆内接四边形的对角互补即可得到结论.

【解答】解：：四边形ABCQ内接于。0,ZABC=110°,

ZADC=180°-ZABC=180°-110°=70°,

故答案为：70.

考点三：切线

知识回顾

\___________________________________/

6.点与圆的位置关系：

点与圆的位置关系有3种.设。。的半径为「，点尸到圆心的距离OP=d,则有：

①点P在圆外=d>r

②点P在圆上od=r

①点P在圆内=dVr

7.三角形的外接圆与外心：

经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆。圆心是三角形三条边垂直平分

线的交点，叫

做三角形的外心。

8.直线与圆的位置关系：

设。。的半径为广，圆心。到直线/的距离为d,直线和圆的三种位置关系：

①相离：一条直线和圆没有公共点。直线/和。。相离

②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的

切线，唯一的公共点叫切点。直线/和。。相切=

③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆

的割线。直线/和。。相交

9.切线的性质：

①圆的切线垂直于经过切点的半径。

②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造

直角三角形或相似三角形解决问题。

10.切线的判定：

经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时,

常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂

线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半

径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”。

微专题

18.（2023•常州）如图，△ABC是O。的内接三角形.若NABC=45°,AC=&,则

的半径是

【分析】连接AO并延长交。。于点。，连接C。，根据直径所对的圆周角是直角可得/

ACD=90°,再利用同弧所对的圆周角相等可得NAQC=45°,然c

后在RtzXAC。中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而求一^V?"

'B

出。。的半径，即可解答.

【解答】解：连接A0并延长交。0于点。，连接C。，

TA。是。。的直径，

AZACD=90°,

VZABC=45°,

AZADC=ZABC=45°,

AC

：.AD=,o.=^-=2,

sin45

~2~

/.OO的半径是1,

故答案为：1.

19.（2023•黑龙江）如图，在。。中，A8是。。的弦，。。的半径为3cm.C为。。上一点,

ZACB=6Q°,则AB的长为cm.

【分析】连接A。并延长交。。于点Q,根据直径所对的圆周角是直角可得/ABO=90°,

再利用同弧所对的圆周角相等可求出/AOB=60°,然后在中，利用锐角三角

函数的定义进行计算即可解答.

【解答】解：连接AO并延长交。。于点。，/-----

是。。的直径，

AZABD=90°,

VZACB=60°,

：.ZADB=ZACB=60°,

C

在RtZ\A5Z）中，AD=6cm,

：.AB=AD^sin60°=6x"=3«（cm）,

2

故答案为：3V

20.（2023•玉林）如图，在5X7网格中,各小正方形边长均为1,点0,A,B,C,D,E

均在格点上，点O>AABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△A8C外把你认

为外心也是。的三角形都写出来_

【分析】由网格利用勾股定理分别求解。4OB,OC,OD,OE,根据三角形的外心到

三角形顶点的距离相等可求解.

【解答】解：由图可知：

22

OA=yl1+2=V5,

OB=y]l2+22=75)

OC^yj12+22=75)

12+22=V5)

0£=712+32=710,

OA=OB=OC=OD手OE,

：./\ABD,△AC。，△BCD的外心都是点0,

故答案为：△AB。，△AC。，ABCD.

21.(2023•凉山州)如图，在边长为1的正方形网格中，。。是AABC的外接圆，点A,B,

。在格点上，则cos/ACB的值是.

【分析】先连接AD，BD,然后根据题意，可以求得COS/ADB的值，再根据圆周角定理

可以得至Ij/ACB=NA£)B,从而可以得到cosZACB的值.

【解答】解:连接A。，BD,AD和8。相交于点D

・；Ar＞是。。的直径，

.•.480=90°,

"：AB=6,80=4,

•'-AD=VAB2+BD2==2Vl3，

：.cos/ADB=胆=―*=汉亘，

AD2V1313

ZACB=ZADB,

：.cosZACB的值是2后,

13

故答案为：汉亘.

13

22.(2023•资阳)如图，△ABC内接于。。A8是直径，过点A作。。的切线AD若NB

=35°,则/D4c的度数是度.

【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可得/R4c=55°,再根据切线的性质可得/

瓦10=90°,即可求解.

【解答】解：为直径，

AZC=90°,

'：ZB=35°，

：.ZBAC^55°,

•.工。与。。相切，

：.AB±AD,即/BAO=90°,

：.ZCAD=90°-ZBAC=3>5°.

故答案为：35.

23.（2023•衢州）如图，AB切O。于点2,49的延长线交O。于点C,连结BC.若NA=

【分析】连接OB,先根据切线的性质求出NAOB,再根据OB=OC,ZAOB=ZC+Z

OBC即可解决问题.

••,AB是。。切线，

J.OBLAB,

：.ZABO^90°,

VZA=40°,

：./AOB=90°-NA=50°,

OC=OB,

:"C=NOBC,

'：ZAOB=ZC+ZOBC,

：.ZC=25°.

故答案为：25°.

24.（2023•盐城）如图，AB,AC是O。的弦，过点A的切线交CB的延长线于点。，若/

BAD=35°,则/C=°.

【分析】连接AO并延长交。。于点E,连接BE,根据切线的性质可得NOAO=90°,

从而求出/BAE=55°,然后利用直径所对的圆周角是直角可得/ABE=90°,从而利用

直角三角形的两个锐角互余可求出/E的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等，即可

解答.

【解答】解：连接OA并延长交。。于点E,连接BE,

:AZ）与。。相切于点A,

：.ZOAD^9Q°,

VZBAD=35°,

：.ZBAE=ZOAD-ZBAD=55°,

是。。的直径，

ZABE=90°,

；./E=90°-NBAE=35°,

AZC=ZE=35°,

故答案为：35.

25.（2023•上海）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦

相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦

圆最大时，这个圆的半径为.

【分析】根据题意画出相应的图形，利用圆周角定理、直角三角形的边角关系以及三角

形的面积公式进行计算即可.

【解答】解：如图，二•圆与三角形的三条边都有两个交点，截得的三条弦相等，

.•.圆心。就是三角形的内心，

...当。。过点C时,且在等腰直角三角形ABC的三边上截得的弦相等，即CG=CF=DE,

此时。。最大，

过点。分别作弦CG、CF、OE的垂线，垂足分别为尸、N、M,连接OC、04、0B,

CG=CF=DE,

：.OP=OM=ON,

VZC=90°,AB=2,AC=BC,

:.AC=BC=®

X2=M，

2

由SAAOC+SABOC+SAAOB=SAABC,

：.^AC^OP+^BC'ON+^AB'OM=S^ABC=—AC'BC,

2222

设OM=x,则OP=ON=x,

:.V^x+2x=A/2XV2，

解得尤=a-1,

即OP=ON=&-1,

在Rt^CON中，OC=&ON=2-6，

故答案为：2-企.

r-\

26.（2023•泰州）如图，琅与。。相切于点A,PO与。。相交于点8,点C在AmB上，且

与点A、8不重合.若NP=26°,则/C的度数为

【分析】连接AO并延长交。。于点。，连接由切线的性质得出/。4尸=90°,由

NP=26°,求出NAOP=64°,由圆周角定理即可求出NC=NO=32°.

【解答】解：如图，连接AO并延长交。。于点。，连接DB,

与。。相切于点A,

：.ZOAP=90°,

VZP=26°,

ZAOP=90°-ZP=90°-26°=64°，

AZD^-^-ZAOP^—X64°=32°,

22

;点C在端上，且与点A、2不重合,

：.ZC=ZD=32°,