东北三省三校2025届高三数学（文）第三次模拟考试试题（含解析）

东北三省三校2025届高三数学第三次模拟考试试题文(含解析)

第I卷(共60分)

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.设集合4={久62|工241},F=则4cB=()

A.{-1,1}B.{0}C.{-1,0,1}D.[-1,1]

【答案】C

【解析】

【分析】

先求出集合4然后再求出4cB即可.

【详解】：4=概62|/41}={—1,0,1},B=[-1,0,1,2},

故选C.

【点睛】解答集合运算的问题时，首先要分清所给的集合是用列举法还是用描述法表示的，

对于用描述法表示的集合，在运算时肯定要把握准集合中元素的特征.

2.z=(l-i)(2+i),则团=()

A.回B.#C.书D.隹

【答案】A

【解析】

【分析】

依据复数的乘法运算法则绽开，再求模即可.

【详解】2=(1-。(2+，)=3-力所以同=回，故答案A

【点睛】本题考查复数的乘法运算和求模，基础题.

3.已知向量港的夹角为60。，向=2,曲=4,则位一五」=()

A.-16B.-13C.-12D.-10

【答案】C

【解析】

【分析】

依据数量积的运算律和数量积的定义求解即可得到答案.

【详解】.向量2万的夹角为60°，向=2,西=4,

.,.at）—|a|'\f>\-cos60°=2x4x；=4,

•♦（a—方）.方=a,b—方2=4—16=—12.

故选C.

【点睛】本题考查数量积的运算，解题时依据运算律和定义求解即可，属于基础题.

xv

4.已知双曲线点一・=l（a>0力>0）的离心率为2,则其渐近线方程为（）

a

A.y=+—%B.y=+—xC.y—+xD.

y=+yj3x

【答案】D

【解析】

【分析】

I2_i2IJ~2>

由离心率为2可得£=上工=l-f=2,于是得-=3，由此可得渐近线的方程.

aaJa

/v?b

【详解】由7-看=0得y=±T,即为双曲线的渐近线方程.

a2b2a

•.•双曲线的离心率为2,

>•—―--------------------1+^=2,解得-=平,

aaaa

；•双曲线的渐近线方程为丫=士®.

故选D

【点睛】解题时留意两点：一是如何依据双曲线的标准方程求出渐近线的方程；二是要依据

离心率得到9=户.考查双曲线的基本性质和转化、计算实力，属于基础题.

a

5.等比数列｛%｝的各项和均为正数，。1=1,%+。2+。3=7,则。3+。4+。5=（）

A.14B.21C.28D.63

【答案】C

【解析】

【分析】

依据题中的条件求出等比数列的公比q,再依据。3+。4+&=（%+«2+。3）/即可得到所求.

【详解】设等比数列的公比为q,

：%=1,+a2+a3=7,

%（1+q+q2）=l+q+q2=7,

即q2+q-6=0，解得q=2或q=-3,

又4>o，

q=2,

2

/.a3+a4+as=q（a1+a2+a3）=4x7=28.

故选C.

【点睛】本题考查等比数列项的运算，解题时留意将问题转化为基本量（首项和公比）的运

算，另外解题时还需留意数列中项之间性质的敏捷应用，以削减计算量、提高解题的效率.

6.^-np^p-.VxeR,X3-X2+1<0>则~1「为（）

A.3%GR,X3-X2+1>0B.VxGR,X3-X2+1>0

C.BxGR,X3-X2+1<0D.VxGR,X3-X2+1>0

【答案】A

【解析】

【分析】

依据含有量词的命题的否定的定义进行求解即可.

【详解】.命题p：VxeR,x3-工2+130,

二中为:3x6R,X3-X2+1>0.

故选A.

【点睛】对含有存在（全称）量词的命题进行否定须要两步操作：①将存在（全称）量词改成全

称（存在）量词；②将结论加以否定.

7.如图，直角梯形4BCD中，乙4BC=90°，AB^AD=1,BC=强在边4。上任取点E,连BE交

AC于点F,贝的概率为（）

【答案】B

【解析】

【分析】

由相像三角形求出AE的长，利用几何概型概率计算公式求解即可.

【详解】由已知三角形ABC为直角三角形，AB=1,BC=力可得AC=2.

13AEBC丝=坦Q

当=6时，CF='因为&CFB所以启=亍即13,所以4E=上，且点E的活

22AFCF--3

22

10

动区域为线段AD,AD=1.所以的概率为3书

Z—=—

13

故答案为B.

【点睛】本题考查几何概型中的“长度”之比，基础题.

8.运行程序框图，假如输入某个正数n后，输出的s6（20,50）,那么n的值为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】

【分析】

依次运行框图中给出的程序，依据输出结果所在的范围来推断图中兀的值.

【详解】依次运行框图中的程序，可得：

第一次：s=1+3x0=l,k=2；

其次次：s=l+3x1=4,=3；

第三次：s=1+3X4=13,k=4；

第四次：s=l+3xl3=40#=5；

第五次：5=1+3x40=121,k—6；

因为输出的SC(20,50),

所以程序运行完第四次即可满意题意，所以推断框中兀的值为4.

故选B.

【点睛】程序框图的补全及逆向求解问题思路：①先假设参数的推断条件满意或不满意；②

运行循环结构，始终到运行结果与题目要求的输出结果相同为止；③依据此时各个变量的值,

补全程序框图.此类试题要求学生要有比较扎实的算法初步的基本学问，以及综合分析问题

和解决问题的实力，要求较高，属中档题.

9.已知四面体4BCD中，平面ABDI平面BCD,A4BD为边长2的等边三角形，BD=DC,

BDLDC,则四面体4BCD的体积为（）

2J344J3「

A.，B.-C.1D.2J3

333"

【答案】A

【解析】

【分析】

先利用面面垂直求出四面体的高，因为ABCD是等腰直角三角形易求面积,利用三棱锥的体积公

式即得.

【详解】解:取BD中点此因为443。为边长2的等边三角形,所以4时_1.8。,且/1"=力.

又因为平面ABD平面BCD且交线为BD,所以4M±平面BCD,而且ABCD是等腰直角三角形,且

面积为2,所以嗫_88=1x2x的=可,故答案为A.

【点睛】本题考查面面垂直的性质,锥体体积的运算,基础题.

10.一项针对都市熟男（三线以上城市，30〜50岁男性）消费水平的调查显示，对于最近一年

内是否购买过以下七类高价商品，全体被调查者，以及其中包括的1980年及以后诞生（80后）

被调查者，1980年以前诞生（80前）被调查者回答“是”的比例分别如下：

全体被调查者80后被调查者80前被调查者

电子产品56.9%66.0%48.5%

服装23.0%24.9%21.2%

手表14.3%19.4%9.7%

运动、户外用品10.4%11.1%9.7%

珠宝首饰8.6%10.8%6.5%

箱包8.1%11.3%5.1%

个护与化妆品6.6%6.0%7.2%

以上皆无25.3%17.9%32.1%

依据表格中数据推断，以下分析错误是（）

A.都市熟男购买比例最高的高价商品是电子产品

B.从整体上看，80后购买价商品的意愿于80前

C.80前超过3成一年内从未购买过表格中七类高价商品

D.被调查的都市熟男中80后人数与80前人数的比例大约为2:1

【答案】D

【解析】

【分析】

依据表格中给出的信息，对四个选项分别进行分析、推断后可得答案.

【详解】对于选项A,从表中的数据可得都市熟男购买电子产品的比例为56.9%,为最高值，

所以A正确.

对于选项B,从表中后两列的数据可看出，前6项的比例均是80后的意愿高于80前的意愿，

所以B正确.

对于选项C,从表中的最终一列可看出，80前一年内从未购买过表格中七类高价商品的比例

为32.1%,约为3成，所以C正确.

对于选项D,依据表中数据不能得到被调查的都市熟男中80后人数与80前人数的比例，所以

D不正确.

故选D.

【点睛】本题考查统计图表的应用和阅读理解实力，解题的关键是读懂表中数据的意义，然

后结合所求进行分析、推断，属于基础题.

11.椭圆一+/=1上存在两点，4月关于直线轨-2y-3=0对称，若。为坐标原点，^\\OA+OB\=

4

A.1B.V3C.衽D."

【答案】C

【解析】

【分析】

1

由题意设直线ZB的方程为y=-，久+m,与椭圆方程联立后求得到点4B的坐标与参数m的关

系，然后依据4B的中点在直线4久-2y-3=0上求出参数m的值，进而得到点的坐标，进而

得到向量力4+而的坐标，于是可得结果.

【详解】由题意直线与直线4%-2y-3=0垂直，设直线的方程为y=-3+m.

1

ly=—x4-m

由）22消去y整理得+2m2—2=0，

x

—+y7=1

4，

・・,直线AB与椭圆交于两点，

***A=（―2m）2—4（2m2-2）=—4m2+8>0，解得一但<m<隹.

设4（第1必）四第2必），45的中点为“（％%））,

则第1+%2=2m,

.乙+%21m

%0=---=m,y0=--x0+m=­f

771

・••点M的坐标为（犯万）.

由题意得点M在直线4%-2y-3=0上，

m“r

4m—2x—■-3=3m-3=0,解得m=l.

x

/.xx+x2=2,为+y2=-1（工i+2）+2m=1，

：.\OA+OB\=强

故选C.

【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题的关键是得到直线4B的方程.其中题中的对

称是解题的突破口，对于此类问题要留意两对称点的连线与对称轴垂直、两对称点的中点在

对称轴上，解题是要留意这两点的运用，属于中档题.

12.如图，直角梯形ABCD,乙4BC=90°，CD=2,4B=BC=1,E是边CD中点，AADE沿AE翻

折成四棱锥D'-4BCE，则点C到平面4BD'距离的最大值为（）

A.-B.巫C.四D.1

223

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意得在四棱锥。'一4BCE中4E1平面O'CE.作D,MJ.CE于M，作MNJ.4B于N,连D,N,可证

得4B1平面D,MN.然后作MH_Ln,N于“，可得MH即为点C到平面4B。'的距离.在AD,MN中，

依据等面积法求出MH的表达式，再依据基本不等式求解可得结果.

【详解】由翻折过程可得，在如图所示的四棱锥D'-ABCE中，底面4BCE为边长是1的正方形,

侧面D,EA中，DELAE,且D'E=4E=1.

\'AE1DE^E1CE,DEaCE=E,

J.平面D,CE.

作。‘MJ.CE于M,作MNJ.4B于N,连£)'N,

则由4E1平面D'CE,可得£)'M_L4E,

/.D'M±平面4BCE.

又ABu平面ABCE,

DMLAB.

"：MNLAB,DMC\MN=M,

.♦.AB±平面D'MM

在AD,MN中，作MH_LD‘N于H,则MH1平面ZB。'.

又由题意可得CE||平面48。'，

MH即为点C到平面AB。'的距离.

在RtAD’MN中，DM1MN,MN=1，

设D'M=工，则0<X4D'E=1，

2

：.DN=^+x.

由D'M.MN=DN-MH可得X=Jl+x2-MH,

x1业

MH=,==,<—

J1+/I£2,当X=1时等号成立，此时D'E_L平面ABCE,

综上可得点C到平面4BD'距离的最大值为四.

2

故选B.

【点睛】本题综合考查立体几何中的线面关系和点面距的计算，解题的关键是作出表示点面

距的垂线段，另外依据线面平行将所求距离进行转化也是解答本题的关键.在求得点面距的

表达式后再运用基本不等式求解，此时须要留意等号成立的条件，本题难度较大.

第n卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知等差数列｛4｝的前“项和为S”，且54=24,a8=17,则S&=.

【答案】80

【解析】

【分析】

解方程组求出等差数列的首项和公差后再依据前n项和公式求解即可.

【详解】设等差数列｛4｝的公差为d,

由题意得心;2,解得

—4al+ba—Z4|d=2

/.S8—8al+28d=8x3+28x2—80.

故答案为：80.

【点睛】本题考查等差数列中的基本运算，解题时留意方程思想的运用，同时将问题转化为

等差数列的首项和公差的问题是解题的关键，属于基础题.

14.函数y=sin^a>x+3(3eN*)的一条对称轴x=则3的最小值为.

【答案】2

【解析】

【分析】

依据题意得到?+g=g+/OT,k6Z,进而得3=2+6匕k£Z,最终依据题中的要求得到答案.

662

【详解】•.,函数y=s网3K+GN")的一条对称轴％=

3=2+6k,kEZf

又3£N*,

的最小值为2.

故答案为：2.

【点睛】本题考查函数y=As加⑷无+。的性质，解题时要把3久+@作为一个整体，然后再结

合正弦函数的相关性质求解，同时还应留意43的符号对结果的影响，属于中档题.

15.若函数f(x)=::|g在(-8,+8)上单调递增，则m的取值范围是.

【答案】(0,3]

【解析】

【分析】

由题意依据函数y=mx+m-l在区间(-8,0)上为增函数及分段函数的特征，可求得m的取值范

围.

【详解】•••函数八乃=12：+匕，：/在(_7+8)上单调递增，

(nrx十Tn~~A.、u

函数y=mx+m-l在区间(一8,0)上为增函数，

—=2,解得。<”3,

实数m取值范围是(0,斗

故答案为：(0,3].

【点睛】解答此类问题时要留意两点：一是依据函数八久)在(-8,+8)上单调递增得到在定义域

的每一个区间上函数都要递增；二是要留意在分界点处的函数值的大小，这一点简单忽视，

属于中档题.

16.已知/1（町=万一+b,9（£）=产（均—1，其中a^0,c>0,则下列推断正确是

x+c

.（写出全部正确结论的序号）

①f（x）关于点（01）成中心对称；

②f乃（在（0,+8）上单调递增；

③存在M>0,使|/（幻|WM；

④若g（x）有零点，贝帅=0;

⑤9（©=0的解集可能为{L-L2,-2}.

【答案】①③⑤

【解析】

【分析】

ax

对于①，依据函数y=w—（。工0）为奇函数并结合函数图象的平移可得正确.对于②，分析

x+c

可得当Q>O,C>O时，函数y=f（x）在（血+8）上单调递减，故不正确.对于③，由

_ax_a=\a\<\a\=\a]_。比

777—一c,可得但一二^一丽一藤，从而得1人工）1=1^—+”

x+-\x\+1-|/+c

XX

W/+内，可得结果成立.对于④，依据③中的函数的值域可得6Ko时方程也有解.对于

⑤，分析可得当。=3£=2/=0时满意条件，由此可得⑤正确.

ax

【详解】对于①，令y=w一（a井0）,则该函数的定义域为R,且函数为奇函数，故其图象关

X+C

a%

于原点（0,0）对称.又函数y=的图象是由y=-^—（a*0）的图象向上或向下平移网个单位

X+C

而得到的，所以函数y=f（为图象的对称中心为（06），故①正确.

axa

v=-----=-----c,

对于②，当％>0时，x2+c,若Q>0,C>0,则函数y=%+-在（0,代）上单调递减,

c%+-x

x

所以函数y=f（x）单调递增；函数y=x+：在（a,+8）上单调递增，所以函数了=〃为单调递

减.故②不正确.

axa

CLXv------=-----

对于③，令y=~3——（。工°），则当》工。时，x2+cc,

/+c汽+一

x

心=，'丽寺

X

所以收),百ax十。闫亦ax,八学lai+凡

lai

令M—=+1^1，则|/(x)|WM成立.故③正确.

(2X

对于④，若9(乃有零点，则g(x)=尸(久)—1=0，得f(*)=±1,从而得方---+b=±1,

X+C

故£^=一^±1'结合③可得当9(乃有零点时，只需1-b±l|3之即可，而b不肯定为零.故

④不正确.

axax

对于⑤，由9(町=产(久)一1=0，得/'(%)=三一+b=±1.取6=0,则万一=1,整理得

X+CX+C

ax

x2-ax+c=0-当a=3,c=2时，方程了?一3久+2=0的两根为*=1或x=2.又函数了=方---为

x+c

奇函数，故方程的解集为门厂1,2,-2}.故⑤正确.

综上可得①③⑤正确.

故答案为：①③⑤

【点睛】本题考查函数性质的运用及命题真假的判定，解题时要结合函数的性质对函数的零

点状况进行分析，留意干脆推理的应用，同时在推断命题的真假时还要留意举反例的方法的

运用，难度较大.

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.在A4BC中，2.sinA-sinB(l—tanA-tanB)=tanAtanB.

(I)求/C的大小；

(II)求V^sin/l-cosB的取值范围.

【答案】⑴手(II)卜粉

【解析】

【分析】

(I)将切函数化为弦函数，整理后两边约掉sinAsEB,然后逆用两角和的余弦公式得到

Tl27r7T

cos(A+=-,于是4+8=§,从而(II)将B=§-4代入所求值的式子后化简得

^sinA-cosB=sin(A-^\f然后再结合4的范围得到所求.

sinAsinB、sinAsinB

【详解】(I)1--------•---—----,,

cosAcosB,cosAcosB

VsinAsinB00,

2,(cosAcosB—sinAsinB)=2cos(/+=1,

1

cos(/+

・:0<A+BV77,

71

/.4+B=—,

3

27r

・・・C=—,

3

71

(II)由(I)得8=§—4,

+gsinA

/.psinA—cosB=^sinA—cos^—A^=y/3sinA—

1/7T\

=——sinA-cosA=sin[A—U

226,

7T

V0<<-,

3

7171Tl

・—<A—<~,

666

【点睛】本题考查三角形中的三角变换问题，解题时留意三角形内角和定理的运用，同时要

留意三角变换公式的合理应用.对于求范围或最值的问题，一般还是要以三角函数为工具进

行求解，解题时须要确定角的范围.

18.如图四棱锥P-4BCD中，PAJ.底面4BCD,A4CD是边长为2的等边三角形，且4B=8C=亚,

PA=2.

c

(I)求证：平面H4C_L平面PBD;

(ID若点M是棱PC的中点，求直线PD与BM所成角的余弦值.

【答案】(I)证明见解析；(II)匕史.

4

【解析】

【分析】

(I)先证出BDJ■平面P4C,再利用面面垂直的判定定理即可.

(II)取CD中点N,连接MN,BN,则MN//PD,可得/BMN或其补角是异面直线与所成的角.

在ABMN中利用余弦定理求解即可.

【详解】(I)证明："PAL^ABCD,PA±BD

取AC中点。，连接。B,。。，贝IJ4CJ.OB,ACJ.。。，

•••点。方刀共线，即4CJ.BD

y."PActAC-A,.•.BD1平面PAC

•••BOu平面PBD,平面P4CJ,平面PBD

(II)解：取CD中点N,连接MN,BN,则MN〃PD

・•.NBMN或其补角是异面直线与所成的角

RtAPAD中，PA=AD=2,:.PD=2也,即MN=M

RtAMOB中，MO-OB=1,BM=^2.

△BDN中，BD=V3+1,DN=1,4BDN=30°，由余弦定理得

BN2=BD2+DN2-2BD-DN-cos30°=2+#

BM2+MN2-BN22+2—(2+遂)2-J3

△BMN中，COSABMN=-----------------------=---------d_?=—匚

2-BM-MN2x72xV24

所以直线PD与所成角的余弦值为少.

4

【点睛】本题考查线面垂直性质定理，判定定理，面面垂直的判定定理,异面直线所成的角的

作法及运算,基础题.

19.现代社会，“鼠标手”已成为常见病，一次试验中，10名试验对象进行160分钟的连续鼠

标点击嬉戏，每位试验对象完成的嬉戏关卡一样，鼠标点击频率平均为180次/分钟，试验探

讨人员测试了试验对象运用鼠标前后的握力改变，前臂表面肌电频率(sEMG)等指标.

(I)10名试验对象试验前、后握力(单位：N)测试结果如下：

试验前：346,357,358,360,362,362,364,372,373,376

试验后：313,321,322,324,330,332,334,343,350,361

完成茎叶图，并计算试验后握力平均值比试验前握力的平均值下降了多少N?

_实验的I一|实验后

31

32

33

34

35

36

-371

(II)试验过程中测得时间t(分)与10名试验对象前臂表面肌电频率(sEMG)的中的位数y

(Hz)的九组对应数据(t,y)为。87),(20,84),(40,86),(60,79%(80,78),

(100,78),(120,76),(140,77),(160,75).建立y关于时间珀勺线性回来方程；

(III)若肌肉肌电水平显著下降，提示肌肉明显进入疲惫状态，依据(II)中9组数据分析，

运用鼠标多少分钟就该进行休息了？

9

参考数据：^(t-t)(y-y)=-1800；

i=l

参考公式：回来方程夕=加+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

n

bA=-i=--1----------,八a=一y—bt

nJ

i=l

【答案】(I)茎叶图见解析，30N；(II)y=-0.075t+86；(III)60分钟.

【解析】

【分析】

(I)结合所给数据可得茎叶图；分别求出试验前、后握力的平均数后比较可得结果.(II)

依据所给公式并结合条件中的数据可得b=-0.075/=86,于是可得线性回来方程.(III)分

析九组数据可得，在40分钟到60分钟y的下降幅度最大，由此可得结论.

【详解】(I)依据题意得到茎叶图如下图所示：

实验前〃卖脸后"

313

32124

330246

6343~

8735OP

422036IP

632.'37

由图中数据可得

_1

x2=—x(346+357+358+360+362+362+364+372+373+376)=363,

11

x2=—x(313+321+322+324+330+332+334+343+350+361)=333,

x1—x2—363—333=30(N),

•••故试验前后握力的平均值下降30M

(II)由题意得亍=1(0+20+40+60+80+100+120+140+160)=80,

y=|(87+84+86+79+78+78+76+77+75)=80,

9

=(0-80)2+(20-80)2+(40-80)2+(60-80)2+(80-80)2

1=1

2

+(100-80)+(120—80)2+(140—80)2+(160—80)2=24000，

9

又2佗-1)(%-歹)=—1800,

1=1

9

占-1800

b=-------------=------=-0.075,

924000

》产)2

1=1

a=y—bt=80—(—0.075)x80=86,

关于时间t的线性回来方程为夕=-0.075t+86.

(Ill)九组数据中40分钟到60分钟y的下降幅度最大，提示60分钟时肌肉已经进入疲惫状

态，

故运用鼠标60分钟就该休息了.

【点睛】本题考查统计的基本问题，即数据的整理、分析和应用，解题时由于涉及到大量的

计算，所以在解题时要留意计算的合理性和精确性，同时要充分利用条件中给出的中间数据,

属于中档题.

20.抛物线工2=句的焦点为F，准线为Z,若4为抛物线上第■象限的■动点，过尸作4F的垂线交

准线2于点B,交抛物线于M,N两点.

(I)求证：直线4B与抛物线相切；

(II)若点4满意AMJ.AN,求此时点4的坐标.

【答案】⑴证明见解析；(II)4(2展).

【解析】

【分析】

(1，设出:^打乂殉〉。,义)>。)，由此可得直线4?的斜率，进而得到直线2尸的斜率，由止匕得到

x0

BF的方程为y=；—X+1,令y=-l可得点B的坐标，于是可得直线4B的斜率.然后再由导数

i-y0

的几何意义得到在点A处的切线的斜率，比较后可得结论.(II)由(I)知4(%%)，直线MN

的方程为"=一支+1,将直线方程与椭圆方程联立消元后得到二次方程，结合根与系数的关

1-y0

系及4MJ.AN可求得点A的坐标.

【详解】(I)由题意得焦点F(0,l).设传Mo)Go>0%>O)，

直线4F的斜率为电

%

%

由已知直线BF斜率存在，且直线的方程为"=一支+1,

i-y0

人.'曰2(70-1)

令y=-L得无=------

2（5）

・••点B的坐标为（」一,-1）,

%

域

%o(丁+1)

即+1%+1q%o

直线AB的斜率为一-——-

2仇—1）2(70-1)7)2

2

%0---X-Q----------------%-2彳T

%0%

即抛物线在点A处的切线的斜率吗,

・•・直线4B与抛物线相切.

Xo

（II）由（I）知4（久0，丫0），直线MN的方程为y=-——-.X+1,

1-y0

x2=4y

4々)

由xo,［消去y整理得M------x—4=0,

y=------x+11一%

i-y。

设M(x”当),N(久〃及)，

4久。

贝！|久］+*2=彳--->xlx2=-4.

22

勺%0

由题意得直线AM的斜率为>1-丫0彳彳x1+x0,

,y__-y■y____-yA.

人1人0人1人f)*

22

X2XQ

直线AN的斜率为%-y（）彳-7*2+与，

■y■y-y~yA,

xA

“20”20一

,：AMLAN,

.xi+xo々+xo

-1,

44

2

/.(久1+x0)(x2+%0)=Xt%2+Xo(%1+X2)+x0=-16,

4Ko

-4+XQ•+=-16,

1一%

整理得丫（）2_2%-3=0,

解得y0=3或％=-1.

,•,y0>°，

=3,

又。>0,且而2=12,

存在4(2点,3),使得4M1AN.

【点睛】解答本题时要留意以下几点：(1)题中所须要的点的产生的方法，即由线与线相交

产生点的坐标；(2)留意将问题合理进行转化，如依据线的垂直可得斜率的关系；(3)由于

解题中要涉及到大量的计算，所以在解题中要留意计算的合理性，通过利用抛物线方程进行

曲线上点的坐标间的转化、利用“设而不求”、“整体代换”等方法进行求解.

,,_1+Inxk

21.已知函数/~(x)=x]—-.

(I)当卜=0时，求函数八乃的单调区间；

(II)若/■㈤>0对随意的x6(1,+8)恒成立,求整数k的最大值.

【答案】⑴f(x)的减区间为(0,1),(1,+8),无增区间；(H)3.

【解析】

【分析】

(I)利用二次求导即得.

(II)先分别参数得到k<%(1+lnX\x>1)令h(町=%(1+lnX\通过二次求导和零点存在性定理

x-1、)''x-1

确定零点所在区间及整数k的最大值.

【详解】(I)/(%)的定义域为(0,l)u(l,+8)

1,

---Inx

当k=0时，>x

f(x)=-----r

(xT)

1r1—X

令g(》)=――一"％，gg=^~

X

x6(04),g'(x)>0,g(x)单调递增

XE(1,+oo),g\x)<0，g(x)单调递减

9(无*5=9(1)=_1<0

•••f(X)<0

・・•/(幻的减区间为(0,1),(1,+8),无增区间；

/L、1+Inxkx(l4-Iwc)

(II)f(x)>0=-------->0=k<------——(x>1)

l)x-1xx-1k)

.x(l+Inx)、x—2—lwc

令h(x)=------——，则九(x)=Y~

「x-1(%T)

,x一］

^-(p(x)=x-2-lwc,则@(x)=——>0,二姓乃在(1,+8)上单调递增,

p(3)=l—ln3<0,@(4)=2—2ln2>0

.•.存在唯一/e(3,4),使得奴K0)=0

gpx0—2—Znx0-0,x0—1=1+lnxQ

列表表示：

X(1的)%0(殉,+°O)

*—0+

h(x)单调递减微小值单调递增

x0(l+lnx0)

Kx)min=九(久0)==XO60，4)

久0—1

二整数k的最大值为3.

【点睛】本题考查利用导数探讨函数的单调性,利用零点存在性定理确定零点所在区间，中档

题.

请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.

选修4-4：坐标系与参数方程

22.己知曲线C的参数方程为日；篝，(。为参数)，4(2,0),P为曲线C上的一动点.

TI2

(I)求动点P对应的参数从§变动到y时，线段4P所扫过的图形面积；

(II)若直线4P与曲线C的另一个交点为Q,是否存在点P,使得P为线段A