2024年5月某中学中学高三数学四模考试卷（附答案解析）

2024年5月荆州中学高三数学四模考试卷

本试卷满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共8小题，每一小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1-函数/(x)=tan(2元+?)的最小正周期为

A.兀B.4C.1D.1

236

22

2.已知椭圆C二、+上=1的一个焦点为(0,2),则k的值为

8k

A.4B.8C.10D.12

2

3.已知集合人={.v|x<={x\x>a}(aGR),若AB=0,则〃的取值范围为

A.(-oo,l]B.(l,+oo)C.(fl)D.[l,+oo)

4.已知(3x-l)2期—UQ+%%++L+〃202412024，则Jq+g+L+%024被3除的余数为

A.3B.2C.1D.0

5.如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数及、6、小、L的图形.图

中四边形A5CD的对角线相交于点0,若DO=2OB，则彳=

A.1B.&C.显D.百

2

6.已知圆C：x2+(y-m)2=l,直线/：(m+l)x+2y+l+m=0,则直线/与圆C有公共点的必要不充分

条件是

A.B.C.-l<m<0D.0<m<—

22

Y=bx+a+e

7.根据变量y和x的成对样本数据，由一元线性回归模型K、n八/、，得到经验回归模型

y^bx+a,求得如右图所示的残差图.模型误差，讣w

八残差

A.满足一元线性回归模型的所有假设・.：..・

■:•:・・；・.

B.不满足一元线性回归模型的E(e)=0的假设・：：：・・・・：?广

C.不满足一元线性回归模型的。(0)=。2假设,：：...••：

D.不满足一元线性回归模型的E(e)=0和D(e)=a2的假设

8.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两

种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角

谷猜想”等).如取正整数加=6,根据上述运算法则得出6-3-10-5-16-8-4-2-1,共需经

1

过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.我们记一个正整数〃（"工1）经过K（"）次上述运算法则后首次

得到1（若“经过有限次上述运算法则均无法得到1,则记K（〃）=E）,以下说法正确的是

A.K（〃）可看作一个定义域和值域均为N*的函数

B.K（〃）在其定义域上不单调，有最小值，有最大值

C.对任意正整数都有K（〃）K⑵=刈2冷-1

D.K（2"-1）VK（2"+1）

二、选择题：本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，若有两个选项正确，选对一个得3分，若有3个选项正确，选对1个得2分，有

选错的得0分.

9.已知复数2=加++则下列命题正确的是

A.若z为纯虚数，则加=±1

B.若z为实数，贝Uz=O

C.若z在复平面内对应的点在直线y=2x上，贝！0〃=一1

D.z在复平面内对应的点不可能在第三象限

10.如图，正八面体E-ASCD-P棱长为2.下列说法正确的是

A.8£7/平面4万

B.当尸为棱EC的中点时，正八面体表面从尸点到尸点的最短距离为近

C.若点尸为棱上的动点，则三棱锥尸一的的体积为定值±

3

D.以正八面体中心为球心，1为半径作球，球被正八面体各个面所截得的交线总长度为"叵

3

11.已知函数的定义域为R,且/（x+y）+/（x—y）=/（x）/（y）,f（l）=l，贝I

A."0）=2B.关于（3,0）中心对称

C.是周期函数D.的解析式可能为=2cos工x

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.

12.已知双曲线C：=1（°＞0）经过点（2,1）,则C的渐近线方程为.

13.若实数0,x,y,6成等差数列，-dC,-工成等比数列，则2M=.

28b

14.设0＜二＜月＜],tana=/ntan〃，cos（a—；0）=]，若满足条件的a与夕存在且唯一,则m=

tancrtany0=

2

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）

已知函数/（x）=Jinx

（1）求曲线y=在点。，/⑴）处的切线方程；

（2）求证：函数y=〃x）的图象位于直线>的下方；

16.（15分）

如图在四面体A—3CD中，/是AD的中点，P是及0的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC.

（1）求证：PQ〃平面BCD；

（2）AB=AD=BC=CD=2,AC=&BD=Z5求直线DQ与平面太

ACP所成角的正弦值./

17.（15分）c

宜昌市是长江三峡起始地，素有“三峡门户”、“川鄂咽喉”之称.为了合理配置旅游资源，管理部门对

首次来宜昌旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中L的人计划只参观三峡大坝，另外3的人计划既

44

参观三峡大坝又游览三峡人家.每位游客若只参观三峡大坝，则记1分；若既参观三峡大坝又游览三峡

人家，则记2分.假设每位首次来宜昌旅游的游客计划是否游览三峡人家相互独立，视频率为概率.

（1）从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X,求X的分布列和数学期望；

（2）从游客中随机抽取〃人（〃eN*）,记这〃人的合计得分恰为”+1分的概率为4,求以；

1=1

（3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为“分的概率为%,随着抽取人数的无限增

加，。，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由.

18.（17分）

从抛物线丁=8x上各点向X轴作垂线段，垂线段中点的轨迹为r.

（1）求r的轨迹方程；

（2）4反。是「上的三点，过三点的三条切线分别两两交于点£>,耳尸,

①若ACHDF,求处的值；

BF

3

②证明：三角形ABC与三角形DEF的面积之比为定值.

19.（17分）

对于数列｛七｝，如果存在一个正整数m，使得对任意n（neN*）,都有x；!+m=%成立，那么就把这样的一

类数列｛七｝称作周期为加的周期数列，加的最小值称作数列｛%｝的最小正周期，简称周期.

2,〃二1

（1）判断数歹U%=sin”兀和为=，3,n=2是否为周期数列.如果是，写出该数列的周期，如

J,i-%-2+g3

果不是，说明理由;

（2）设（1）中数列｛%｝前“项和为S.，试问是否存在p，4,使对任意"wN*,者B有pV（-l）"-Nvq

n

成立，若存在，求出。，4的取值范围，若不存在，说明理由.

b[=1也=〃

（3）若数列｛4｝和也｝满足4=。用界是否存在非零常数°,使得

4,且，b

n+2

｛4“｝是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数。；若不存在，请说明理由.

参考答案

题号1234567891011

答案BDDDBADCBDABDACD

12.y=±—x13.-13.-814.m=-,tancrtan/?=1

29

1.【详解】由周期公式得了=0=，故选：B

co2

2.【详解】由题意得，＜?=4,a2=kJ从=8,所以左=4+8=12.故选：D.

3.【详解】由题意知4=｛尤1-1＜尤＜1｝,又8=｛x|x＞a｝（aeR）且AB=0,故ail,即。的取值范围

为口,口）.故选D.

4.【详解】令尤=0,得/=1,令X=l,得%+4+出+L+。2024=2皿4,

两式相减，«1+a2++°2024=4""~—1.

因为（3+1片=%2/2+c；0y++C：朋3+C雅，人

其中C^^1012+C13i°u+L+，；；3被3整除，所以（3+1）1012被3除的余数为1,

从而q+a2+L+%024能被3整除.故选D.

5.【详解】延长AB、DC交于点E,取CE的中点连接期，

4

易知ABC为等腰直角三角形，则ZABC=ZACD=90,ZACB=45，

所以，ZACE=90,NCBE=90°,ZBCE=ZACE-ZACB=45,

故.BCE为等腰直角三角形，S.BE=BC=AB=1,则CE=&,

因为5、尸分别为AE、CE的中点，则叱〃AC,MCF=-CE=—,

22

所以，器邛=血，故4=拒.故选：B.

(JBCr

6.【详解】由题意可知圆C的圆心坐标为(0,加)，半径为1.

因为直线/与圆C有公共点，所以直线/与圆C相切或相交，

所以圆心C(o,m)到直线/的距离d=j(；+]J+441，解得-IV

其必要不充分条件是把加的取值范围扩大，

所以选项中只有-IV机w1是的必要不充分条件.故选：A

Y=bx+a+e

7.【详解】解：用一元线性回归模型1L,、c八，、2得到经验回归模型9=+6,根据对应的

E(e)=0,D(e)=<y'

残差图，残差的均值E(e)=0不可能成立，且残差图中的点分布在一条抛物线形状的弯曲带状区域上，

说明残差与坐标轴变量有二次关系，。(6)=。2不满足一元线性回归模型，故选D.

8.【详解】依题意，K(w)的定义域是大于1的正整数集，A错误；

由K(4)=2,K(5)=5,K(8)=3,得K(〃)在其定义域上不单调，

而K(2)=l,K(n)eN*,则K(")有最小值1,

由"经过有限次角谷运算均无法得到1,记Ke)=",得K(〃)无最大值，B错误；

对任意正整数K(2〃)=K(〃)+1,而K(2)=l,因此KS)K(2)=K(")=K(2〃)—1,C正确;

由K(22—1)=K(3)=7,K(22+1)=K(5)=5,知K(2"-1)VK(2"+1)不正确，D错误.故选：C

9【详解】复数z=M-l+(a+l)i(机eR)的实部为疗一1,虚部为加+1,

复数z在复平面内对应的点的坐标为(祖2+,

2

fm_1-Q

对于A：若z为纯虚数，则解得机=1,故A错误；

[m+1^0

对于B：若z为实数，贝I]根+1=0,解得利=-1,则z=0,故B正确；

对于C：若z在复平面内对应的点在直线y=2x上，

所以m+1=2(/-1),解得〃?=-1或/力=：,故C错误；

5

fm2-l<0f-l</n<l

对于D：令，八，即,，不等式组无解，

[zn+l<0[m<-1

所以z在复平面内对应的点不可能在第三象限，故D正确.E

10.【详解】A选项，连接班>,跖，由对称性可知，平面ABC。，/4\\

且跖,3。相交于点0,。为和跖的中点，

又BE=DE=BF=DF=2,故四边形为菱形，WBEI/DF,/冬三玉卷二

又。bu平面ADF,BEU平面ADD；'/

所以成〃平面皿LA正确；

对于B,将△E2C和△F2C展开至同一平面，尸

27r

由余弦定理得：FP2=CF2+CP--2CF.CPcosy=7,：.FP=^,B正确；

C选项，VF_ADP=VA_FDP,其中A到平面的距离为AO=0,

设菱形班DE的面积为S,则S=；BD-EF=：x2忘x2&=4,SFDP=^S=1,

若点尸为棱EB上的动点，则三棱锥尸-4)P的体积为定值工5田,、历=2叵，C错误.

33

对于D,易得以。为球心，1为半径的球与各条棱均切于中点处，

故每个侧面的交线即侧面正三角形的内切圆，以2为边长的正三角形的高为G，

可得内切圆半径r=立，L=8x2u=竺叵，D正确.故选ABD

33

11.【详解】由/(x+y)+f(x-y)=/(x)/(y),

令x=l,y=0,</(1)+/(1)=/(1)/(0),可得"0)=2,故A正确；

令x=0,则f(y)+/(--)=/W(y)=20(y),则/(»)=/(-「),

/(1)=1,令>=1,贝旷(x+l)+/(xT)=/(x)〃l)=〃x),

所以+1)=/(x)-/(x-l),则以x)="X—1)—/(%-2),

/(x+1)="(x-1)-f(x-2)]-f(x-1)=-/U-2),

所以/(x)=-/(x-3)=/(x-6),则以工)周期为6,C正确.

由于/(x)为偶函数且周期为6,故"3-x)=/(x-3)=〃3+x),/⑺关于x=3轴对称，B错误，

函数/⑺是偶函数且周期为6,"0)=2,/(1)=1,故D正确.

12.【详解】因为双曲线CW-y2=i(a>o)经过点(2/)，

所以。二形涉=1,渐近线方程为y=±2x=±^^x.

a2

6

13.【详解】实数。，无,％6成等差数列，则丫一彳=m=2,

即丁成等比数歹u,则心

由于等比数列奇数项同号,所以6<°,所以6=则宁=-8.故答案为-8.

sinoiinsinB3

14.【详解】由tana=Mtan〃，得---=-----—,gpsinacosP=mcostzsin/?,由于cos（a-£）=—，

cosacosp'75

4

所以sin（a一,）=sinacos,一cosasin尸=（m—l）cosasin〃=

・c44m

所以―""e所以sinacos/3=mcosasin/3=-

5（m-l）

/c八-4（m+l）

所以sin（a+夕）=sinacosp+cosasinp=­；-----,

因为所以a+〃e（O,7i）,

因为满足条件的a与夕存在且唯一，所以。+?唯一,

,、-4(m+l)11

所以sm(a+?)=可而=1，所以加=“经检验符合题意，所以tanaRta”,

4tana-tan（3tana-9tana解得

则tan（6Z-^）=--tana=g,

1+tanatan01+9tan2a

所以tanatanJ3=9tan2a=1.

15.【详解】(1)尸(同=#+正，则1(1)=1,又/⑴=0,

2\xx

所以曲线在点(11(1))处的切线方程为y=x-i；...................................................5分

(2)因为x>0,所以J^>0,要证明/(x)<x,只需要证明lnx<\/^,即证lux-6<0,

令Mx)=lnr-五，贝1]//(尤)=1一目==^^,..........................8分

当0<x<4时，〃⑺>0,此时八⑺在(0,4)上单调递增;

当x>4时，"(x)<0,此时/2(%)在(4,+向上单调递减，.........................11分

故h(x)在x=4取极大值也是最大值，故/?(%)</i(4)=ln4-2<0,

所以Inx-石<0恒成立，即原不等式成立，

所以函数y=〃x)的图象位于直线〉=%的下方;13分

7

16.【详解】(1)过点尸作PE〃A。交BD于点E,过点。作。尸〃交CD于点八则PE〃。品因为

〃是AD的中点，叫神的中点，所以金小，因为AQ=3QC,由平行线分线段成比例定理得：

QF=^AD,所以PE=QF,所以四边形PEPQ为平行四边形，所以

PQ//EF,又P0O平面BCDEFu平面8C。，所以P。〃平面BCD；

.........................6分

(2)因为BD=273,所以AE=CE=T,又AC=6,所以

ZAEC=120,

因为A8=AD,E为中点，所以皮)，同理CELBD,又因为

AE\CE=E,所以5。_L平面ACE,又因为5Du平面6C。，所以平面BCD，平面ACM,

作AH_LCE交CE延长线于点H,则AH_L平面5c。且AH=当,

如图，以仍为X轴，EC为y轴，Z轴//AH建立空间直角坐标系8分

MT当、,4S),Q(0,，,

,B

1ooo

(

、9.、、

AC=,CP=

'一中可8

777

设面ACP的一个法向量为n二

n-AC=03y-y/3z=0厂r-

nl厂=x=6,则y=1,z=A/3所

n-CP=02。3尤-9y+j3z=0

以〃=(Q,1,百)13分

设直线DQ与平面ACP所成角为仇sing=|cos<DQ,n>\=今等

所以直线A3与平面AC。取成线面角的正弦值为典儆5

15分

385

17.【详解】(1)X的可能取值为2,3,4,

P(X=2)=(">P(X=3)=C；x，|$P(X=4)=(2.

所以X的分布列如下表所示:

X234

8

169

P

161616

16Q7

所以£(X)=2x—+3x—+4x—=.5分

1616162

⑵因为这〃人的合计得分为〃+1分，则其中只有1人计划既参观三峡大坝又游览三峡人家，所以

3nJ33x23x33n

—，/P：=—I----I----F...H--则

4"442434"

1己「33x23x33n

不学*+丁+4+…+正

3Sn33333n3n

由两式相减得,A3n

4々.44243…4〃4〃+i-414n+]

1=11—

4

所以T«q=?4(i—1_L)_n2...............................................io分

£‘34"4"

⑶在随机抽取的若干人的合计得分为〃-1分的基础上再抽取1人，则这些人的合计得分可能为〃分或

〃+1分，记“合计得〃分”为事件A,“合计得〃+1分”为事件B,A与3是对立事件.

33

因为尸(4)=与，P(B)=p],所以与+z%=l(〃22)，

434

即an~~=~-2)•

747

因为%=；1,则数列｛“〃-；4｝是首项为《Q，公比为的3等比数列，所以为—＞4一去Q(_；3严5力

4Q3

所以。“=亍-云(〃21)

所以随着抽取人数的无限增加，。“趋近于常数3.........15分

7

18.【详解】(1)设垂线段中点坐标为(x,y),抛物线上点坐标为(x,2y),代入抛物线方程,则(2y)2=8x,

即/=2x...............3分

(2)①如图，A,8,C是：T上的三点，过三点的三条切线分别两两交于点3E,尸,

设

A，y，B

[2'°,D(x„y^,E(x5,y5\F(x6,y6)

......4分

2

则抛物线＞2=2》上过点人的切线方程为》-5=]y-%)，

9

将切线方程与抛物线方程联立，得：

一,2

联立产一号"=,消去尤，整理得丁2-2"+2多-%2=0,

y*2=2x

所以A=(-2/y-4(2,一y：)=4/-8第+4才=4(/-%『=0,从而有」=%,

2

所以抛物线上过点A的切线方程为x=%y-',..........................5分

22

同理可得抛物线上过点用C的切线方程分别为x=冷，尤=-辛，

两两联立，可以求得交点瓦尸的纵坐标分别为

.%+%.-%+%、.一%+%

-^-，为-^-，％-..........................7分

AD

贝。---%一%%一为

DE%一%%+为X+%%一%

22

EF%一%DBM-%ADEFDB

同理可得一-，即.........................9分

FC%一为BF%一%DEFCBF

ADCFEFFC....BDEF

当A。/。尸时,—■,故，BPEF=FC,因此隹==110分

DEFEFCEFDrFC

一一为一2

k♦则直线A3的方程为y-M=」一X-4

②易知钻一g_或_,+%，

%+为12

22

化简得y=2：［多为,即(%+%)、=2x+%%

M+%

且|A理

(2)

点C卷,为到直线A3的距离为

12)

2

%+I%%

222_」（%一%）（%一%）|

4

则三角形ABC的面积S|=1|AB|-4=-x)(%-%)(%-女)|............................14分

2

由(2)①知切线DE的方程为元=%>-5

10

可知\DE\==gJl+y『|y3-J2|>

点尸到直线ED的距离为

2

%%%%+%%IX

：222|(%f)(%f)1，

厂—.2k

则外切三角形DEF的面积邑=!/犯4=-X-%-%•

2o

5

故亍==2.因此三角形ABC与外切三角形DEF的面积之比为定值2................17分

»2

19.【详解】(1)｛七｝、｛%｝均是周期数列，理由如下：

因为%+1=sin(n+l)7t=0=sinnn-xn,

所以数列｛%｝是周期数列，其周期为1.

因为%+3="+2-X+1+1%+2=%+1一%+1，

所以y“+3=-%+2.则yn+6=-yn+3+2,所以y“+6=yn

所以数列｛%｝是周期数列，其周期为6...............................................4分

(2)由(1)可知，｛%｝是周期为6