2024-2025学年安徽省合肥市肥东一中高二（上）质检数学试卷（7月份）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年安徽省合肥市肥东一中高二（上）质检数学试卷（7月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.集合A={x|tanx=0}，B={x|cosx=0}，则(

)A.A=B B.A⊆B C.A⊇B D.A∩B=⌀2.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递减的是(

)A.y=−log12x B.y=(123.已知向量AB=(1,a,−2)与AC=(−2,4,b)共线，则a+b=(

)A.−2 B.0 C.2 D.64.如图，在△ABC中，AC=1，AB=2，∠ACB=90°，BC，AB边上的两条中线AD，CE交于点P，则cos∠DPE=(

)A.32114

B.217

5.若z1=(m2+m+1)+(m−4)i，z2=3−3i，则A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件6.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=AB=AA1，∠BAC=120°，D，E，F分别是棱B1C1，BCA.310

B.5110

C.27.一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间Ω={1,2,3,4,5,6,7,8}，设A1={1,2,3,4}，A2={1,2,3,5}，AA.A1与A2互斥 B.A1与A3相互对立

C.A1−8.已知两异面直线a，b所成的角为80°，过空间一点P作直线，使得l与a，b的夹角均为50°，那么这样的直线有(    )条A.1 B.2 C.4 D.3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法中，错误的有(

)A.单位向量都相等B.模相等的两个平行向量相等

C.若|a|>|b|且a，b同向，则a>bD.b10.已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示.则f(x)=(

)

A.2cos(x−π6) B.2cos(2x−π6)11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，P分别是AA1，CCA.存在点Q，使B，N，P，Q四点共面

B.存在点Q，使PQ//平面MBN

C.三棱锥P−MBN的体积为23

D.经过C，M，B，N四点的球的表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=3，a2+b13.在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1,1,0)，B(−1,0,2)，点C满足AC=2AB，则点C的坐标为______．14.有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记m表示前两个球号码的平均数，记n表示前三个球号码的平均数，则m与n差的绝对值不超过12的概率是______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知复数z=m+2i是方程x2−6x+13=0的一个虚根(i是虚数单位，m∈R)．

(1)求|z|；

(2)复数z1=a−i，若zz16.(本小题15分)

《中国制造2025》提出“节能与新能源汽车”作为重点发展领域，这为我国节能与新能源汽车产业发展指明了方向，某新能源汽车生产商为了提升产品质量，对某款汽车的某项指标进行检测后，频率分布直方图如图所示：

(1)求该项指标的第30百分位数；

(2)若利用该指标制定一个标准，需要确定临界值x，将该指标小于x的汽车认为符合节能要求，已知x∈[90,100]，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求该款汽车符合节能要求的概率f(x)．17.(本小题15分)

在三棱锥P−ABC中，AC⊥CB，AB⊥BP，CB=CP=CA，BP=12AP.点C在平面PAB上的射影D恰好在PA上．

(1)若E为线段BP的中点，求证：BP⊥平面CDE；

(2)求二面角C−AB−P18.(本小题17分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b(tanA+tanB)=2ctanB．

(1)求A的值；

(2)若△ABC为锐角三角形，求bc的取值范围．19.(本小题17分)

某校一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍薨”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E，F，G分别是边长为4的正方形的三边AB，CD，AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB，CG就得到了一个“刍薨”(如图2)．

(1)若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：AO//平面GCF；

(2)若二面角A−BC−E的平面角为π6，求平面OAE与平面BAE夹角的余弦值．

答案解析1.D

【解析】解：集合A={x|tanx=0}={x|x=kπ,k∈Z}，

B={x|cosx=0}={x|x=kπ+π2,k∈Z}，

则A∩B=⌀．

故选：D．

化简集合A、B，再判断A、B2.C

【解析】解：y=−log12x=log2x在区间(0,+∞)上单调递增，不符合题意；

y=(12)−x=2x在区间(0,+∞)上单调递增，不符合题意；

根据幂函数的性质可知，y=1x3.C

【解析】解：向量AB=(1,a,−2)与AC=(−2,4,b)共线，

所以1−2=a4=−2b，所以a=−2，b=4，故a+b=24.D

【解析】解：因为AC=1，AB=2，∠ACB=90°，建立如图所示的坐标系，

则有：A(1,0)，B(0,3)，C(0,0)，

因为D，E分别为BC，AB中点，

所以D(0,32)，E(12,32)，

所以AD=(−1,325.C

【解析】解：①当m=1时，z1=3−3i=z2，

②若z1=z2，则(m2+m+1)+(m−4)i=3−3i，

即m2+m+1=3m−4=−3，∴m=16.D

【解析】解：把直三棱柱ABC−A1B1C1补成一个底面为菱形的直四棱柱，如图所示：

因为DM=AE，且DM//AE，

所以四边形ADME为平行四边形，所以AD//ME，

所以异面直线AD与EF所成的角为∠FEM或其补角，

不妨设AC=AB=AA1=a，

因为∠BAC=120°，所以∠ABN=60°，

所以△ABN为等边三角形，所以AN=a，EN=12AN=12a，

所以ME=MN2+EN2=a2+(12a)2=52a，

因为△A7.D

【解析】解：一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间Ω={1,2,3,4,5,6,7,8}，

则A1={1,2,3,4}，则P(A1)=12，P(A1−)=12

A2={1,2,3,5}，则P(A2)=12，P(A2−)=12，

A3={1,6,7,8}，则P(A3)=12，

又A1∩A2={1,2,3}，故A ​1与A2不互斥，故A错，

又A1∪8.D

【解析】解：在空间取一点P，经过点P分别作a//a′，b//b′，

设直线a′、b′确定平面α，

当直线PM满足它的射影PQ在a′、b′所成角的平分线上时，

PM与a′所成的角等于PM与b′所成的角

因为直线a，b所成的角为80°，得a′、b′所成锐角等于80°

所以当PM的射影PQ在a′、b′所成锐角的平分线上时，

PM与a′、b′所成角的范围是[40°,90°)．

这种情况下，过点P有两条直线与a′，b′所成的角都是50°

当PM的射影PQ在a′、b′所成钝角的平分线上时，PM与a′、b′所成角的范围是[50°,90°)．

这种情况下，过点P有且只有一条直线(即PM⊂α时)与a′，b′所成的角都是50°

综上所述，过空间任意一点P可作与a，b所成的角都是50°的直线有3条

故选：D．

在空间取一点P，经过点P分别作a//a′，b//b′，设直线a′、b′确定平面α.由异面直线所成角的定义，得a′、b′所成锐角等于80°，经过P的直线PM的射影P在a′、b′所成锐角的平分线上时，存在两条直线与a′，b′所成的角都是50°，当PM的射影PQ在a′、b′所成钝角的平分线上时，存在1条直线与a′，b′所成的角都是50°，由此可得本题答案．

本题给出两条直线所成角为80°，求过空间一点P可作与a，b所成的角都是50°的直线的条数．着重考查了空间两条异面直线所成角及其求法等知识，属于中档题．9.ABC

【解析】解：单位向量的方向不一定相同，A错误；

模相等的两个平行向量也可能方向相反，B错误；

两向量不能比较大小，C错误；

当b≠0时，若a//b，b//c，则a//c，D正确．

故选：10.BD

【解析】解：根据函数的图象得3T4=13π12−π3=3π4，故T=π，所以ω=2；

所以f(π3)=2cos(2π3+φ)=0，

又由题图可知π311.ABD

【解析】解：对A选项，如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，连接A1B，CD1，

∵N，P分别是CC1，C1D1的中点，∴CD1//PN，

又CD1//A1B，∴A1B//PN，

∴A1，B，N，P四点共面，

即当Q与点A1重合时，B，N，P，Q四点共面，∴A选项正确；

对B选项，连接PQ，A1C1，当Q是D1A1的中点时，

∵PQ//A1C1，A1C1//MN，∴PQ//MN，

又PQ∉平面BMN，MN⊂平面BMN，

∴PQ//平面BMN，∴B选项正确；

对C选项，连接D1M，D1N，D1B，∵D1M//BN，

∴V三棱锥P−MBN=V三棱锥M−PBN=V12.(【解析】解：∵c=3，a2+b2−ab=3，

∴a2+b2−ab=c2，

又∵由余弦定理，可得a2+b2−c2=2ab⋅cosC，

∴2cosC=1，即cosC=12，

∵C∈(0,π)，

∴C=π3，

∴A+B=π−π3=2π3，

∵△ABC为锐角三角形，

∴A∈(π6,π2)，

由正弦定理，可得asinA=13.(−3,−1,4)

【解析】解：设C(x,y,z)，则AC=(x−1,y−1,z)，AB=(−2,−1,2)，

因为AC=2AB，

所以(x−1,y−1,z)=2(−2,−1,2)=(−4,−2,4)，即x−1=−4y−1=−2z=4，得x=−3y=−1z=4，

所以点C的坐标为(−3,−1,4)．14.715【解析】解：记前三个球的号码分别为a、b、c，则共有A63=120种可能，

令|m−n|=|a+b2−a+b+c3|=|a+b−2c6|≤0.5可得：|a+b−2c|≤3，

根据对称性：c=1或6时，均有2种可能；

c=2或5时，均有10种可能；

c=3或4时，均有16种可能；

故满足条件的共有56种可能，

P=56120=715．

15.解：(1)z=m+2i是方程x2−6x+13=0的一个虚根，

则z−=m−2i也是方程x2−6x+13=0的一个虚根，

故m−2i+m+2i=6(m−2i)(m+2i)=13，解得m=3，

z=3+2i，

所以|z|=32+22=13；【解析】(1)根据已知条件，结合韦达定理，以及共轭复数的定义，求出m，再结合复数模公式，即可求解；

(2)根据已知条件，结合复数的四则运算，以及纯虚数的定义，即可求解．

本题主要考查复数的四则运算，以及纯虚数的定义，属于基础题．16.解：(1)∵0.002×5+0.012×5+0.034×5=0.24<0.3，0.002×5+0.012×5+0.034×5+0.036×5=0.42>0.3，

∴第30百分位数落在区间[105,110)内，设其为m，

则0.24+(m−105)×0.036=0.3，

解得m=3203，

即该项指标的第30百分位数为3203；

(2)当x∈[90,95)时，f(x)=(x−90)×0.002=0.002x−0.18，

当x∈[95,100]时，f(x)=0.002×5+(x−95)×0.012=0.012x−1.13，

综上所述，【解析】(1)利用百分位数的定义求解；

(2)分x∈[90,95)和x∈[95,100]，分别求出f(x)，最后写成分段函数的形式即可．

本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了百分位数的定义，属于基础题．17.解：(1)证明：连接CD，DE，

∵CD⊥平面PAB，AP⊂平面PAB，BP⊂平面PAB，

∴CD⊥AP，CD⊥BP，

又CA=CP，∴D为AP中点．

又E为BP中点，∴DE//AB

又AB⊥BP，∴BP⊥DE，

CD∩DE=D，CD，DE⊂平面CDE，∴BP⊥平面CDE．

(2)作DF⊥AB于F，连接CF，

∵CD⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，则CD⊥AB，

又CD∩DF=D，CD，DF⊂平面CDF，

∴AB⊥平面CDF，而CF⊂平面CDF，∴AB⊥CF．

又∵CB=CP=CA，∴D，F为AP，AB的中点，∴DF//PB，

又BP⊥AB，∴DF⊥AB．

则∠CFD即为二面角C−AB−P的平面角．

在Rt△CDF中，cos∠CFD=DFCF．

设CB=CA=a，AC⊥CB，则CF=12AB=22a．

∵BP=12AP，在Rt△ABP【解析】(1)连接CD，DE，由CD⊥平面PAB，得CD⊥BP，再由中位线定理得平行从而得BP⊥DE，从而证得线面垂直；

(2)作DF⊥AB于F，连接CF，证明∠CFD即为二面角C−AB−P的平面角，然后在直角三角形中求解．

本题考查线面垂直的证明，二面角的求解，属中档题．18.解：(1)因为b(tanA+tanB)=2ctanB，

由正弦定理可得：sinB×(sinAcosA+sinBcosB)=2sinC×sinBcosB⇒sinAcosB+cosAsinBcosAcosB=2×sinCcosB，

即sinCcosAcosB=2×sinCcosB，

因为A，B，C为的△ABC内角，sinC>0，

所以cosA=12，

可得【解析】(1)由正弦定理及正切化为正弦与余弦的比化简可得cosA的值，再由角A的范围，可得角A的大小；

(2)由正