2024-2025学年安徽省淮北市部分学校高二（上）开学数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年安徽省淮北市部分学校高二（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O′A′B′C′，且O′A′//B′C′，O′C′=3，则该平面图形的高为(

)A.32

B.3

C.6

2.一平面截某几何体得一三棱台，则该几何体可能是(

)A.三棱柱 B.三棱锥 C.四棱锥 D.圆锥3.cos69°cos24°−cos159°sin24°=(

)A.22 B.2 C.4.已知a，b为单位向量，且a丄(a+2b)，则向量a与bA.30° B.60° C.120° D.150°5.已知z=2+i，则zz+i=(

)A.3−i4 B.1−i4 C.3+i46.已知△ABC是边长为6的等边三角形，点D，E分别是AB，AC上的点，满足AD=DB,2AE=EC，连接CD，BE交于点A.−725 B.365 C.727.如图，四边形ABCD中3AB=2CD，AC∩BD=O，若AC+2DO=4AB，且BA⋅BD=9A.32

B.26

C.8.若向量AB=(3,−1)，n=(2,1)，且n⋅AC=7，则A.0 B.2 C.−2 D.−2或2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题中为假命题的是(

)A.长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体

B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱

C.有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱

D.正四棱柱是平行六面体10.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=8，b=15，c=17，则下列命题成立的是(

)A.sinA：sinB：sinC=8：15：17

B.cosA：cosB：cosC=8：15：17

C.最大内角是最小内角的2倍

D.△ABC为直角三角形11.设向量a=(1,x),b=(x,9)，若a//b，则A.−3 B.0 C.3 D.5三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若复数z=m2−m−2+(m+1)i(i为虚数单位)为纯虚数，则实数m=13.若sinθ=kcosθ，则sinθcosθ=______.(用k表示)14.赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间一个小正方形组成).类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设AD=λAB+μAC(λ,μ∈R)，若DF=2AF，则λ四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=2sin2(π4−x)−3cos2x，

(1)求f(x)的最小正周期和单调减区间；

16.(本小题15分)

已知函数f(x)=sinxcosx+32cos2x+1

(1)求f(x)的最小正周期和最大值，并写出取得最大值时x的集合；

(2)将f(x)的函数图象向左平移φ(φ>0)个单位后得到的函数g(x)是偶函数，求17.(本小题15分)

已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，3bsinC−ccosB=c．

(1)BD是边AC上的中线，BD=2，且a2+c2=10，求AC的长度．

(2)若△ABC18.(本小题17分)

如图，ABCD为空间四边形，点E，F分别是AB，BC的中点，点G，H分别在CD，AD上，且DH=13AD，DG=13CD．

(1)求证：E，F，G，H四点共面；

(2)求证：EH19.(本小题17分)

已知函数f(x)的定义域为R，现有两种对f(x)变换的操作：φ变换：f(x)−f(x−t)；ω变换：|f(x+t)−f(x)|，其中t为大于0的常数．

(1)设f(x)=2x，t=1，g(x)为f(x)做φ变换后的结果，解方程：g(x)=2；

(2)设f(x)=x2，ℎ(x)为f(x)做ω变换后的结果，解不等式：f(x)≥ℎ(x)；

(3)设f(x)在(−∞,0)上单调递增，f(x)先做φ变换后得到u(x)，u(x)再做ω变换后得到ℎ1(x)；f(x)先做ω变换后得到v(x)，v(x)再做φ变换后得到ℎ2(x).若ℎ答案解析1.C

【解析】解：根据题意，直观图是直角梯形O′A′B′C′，其中O′A′在x′轴上，O′C′在y′轴上，

在原图中，OC在y轴上，OA在x轴上，则有OC⊥OA，

OC的长就是该平面图形的高，且OC=2O′C′=6．

故选：C．

2.B

【解析】解：根据棱台的定义可知，由棱锥的底面和平行于底面的一个截面间的部分，叫做棱台，

所以用平行于三棱锥的底面平面截三棱锥，在底面和截面之间的几何体为三棱台．

故选：B．

3.A

【解析】解：cos69°cos24°−cos159°sin24°

=cos69°cos24°−cos(90°+69°)sin24°

=cos69°cos24°+sin69°sin24°

=cos(69°−24°)

=cos45°

=22．

故选：【解析】解：根据题意，设向量a与b的夹角为θ，

a，b为单位向量，则|a|=|b|=1，

若a丄(a+2b)，则a⋅(a+2b)=a2+2a⋅b=1+2cosθ=0，【解析】解：由题意，zz+i=2+i2+i+i=(2+i)(2−2i)(2+2i)(2−2i)=(2+i)(2−2i)8【解析】解：设AB=a，AC=b，由题意有|a|=|b|=6，<a,b>=π3，

由CD，BE交于点G，可设AG=tAD+(1−t)AC=mAB+(1−m)AE，

又AD=DB，27.C

【解析】解：在线段OC上取点E，使得AC=2OE，又AC+2DO=4AB，

则4AB=AC+2DO=2OE−2OD=2DE，故AB/​/DE，DE=2AB，

所以△ABO∽△EDO，则EO=2AO，OD=2OB，

设∠ABO=θ，

则S△ACD=2S△OED=8S△ABO=4BA⋅BO⋅sinθ=43BA⋅BD⋅sinθ=43BA⋅BD⋅tanθ=12tanθ，

由上易知S△AOD=2S△ABO，且S8.B

【解析】解：∵AC=AB+BC，

∴n⋅(AB+BC

)=7，

∴【解析】解：对于选项A，当底面不是矩形的时候，直四棱柱非长方体，A错误；

对于选项B，根据棱柱的定义，显然不成立，如图，

满足要求，但不是棱柱，B错误；

对于选项C，可以是两对称面是矩形的平行六面体，C错误；

D选项，正四棱柱是平行六面体，D正确．

故选：ABC．

A10.AD

【解析】解：A中，由正弦定理可得sinA：sinB：sinC=a：b：c=8：15：17，所以A正确；

B，D中，因为82+152=289=172，所以该三角形为直角三角形，cosC=0，角的余弦值不能比，

所以B不正确，D正确；

C中，由B选项的分析，可得最大内角为90°，最小内角为A，

因为a与b不相等，所以A角不为45°，所以C不正确；

故选：【解析】解：a=(1,x)，b=(x,9)，

由a//b，得1×9−x⋅x=0，解得x=±3．

故选：AC【解析】解：∵z=m2−m−2+(m+1)i为纯虚数，

∴m2−m−2=0m+1≠0，解得：m=2．

故答案为：【解析】解：由sinθ=kcosθ，得tanθ=k，

sinθ⋅cosθ=sinθcosθsin2θ+cos2θ=tanθ【解析】解：不妨设AF=1，则AD=3，建系如图，由题可知∠ADB=2π3．

在△ABD中，AD=3，BD=1，

由余弦定理可得，AB2=AD2+BD2−2AD⋅BDcos∠ADB=9+1−2×3×1×(−12)，

得AB=13，

所以AC=13，所以B(13,0)，C(132,392)，A(0,0)，

在△ABD中，由正弦定理可得BDsin∠BAD=ABsin∠ADB，

即为1sin∠BAD=15.解：(1)f(x)=2sin2(π4−x)−3cos2x

=1−cos(π2−2x)−3cos2x

=1−sin2x−3cos2x

=1−2sin(2x+π3)，

故最小正周期T=2π2=π，

由−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，得−5π12+kπ≤x≤π12+kπ(k∈Z)，

所以函数f(x)【解析】(1)对函数f(x)进行变形，使f(x)=Asin(ωx+φ)+B(ω>0)的形式，可求其最小正周期，再根据复合函数单调性的判断方法可求其减区间；

(2)要使f(x)<m+2在[0,π6]上恒成立，只要x∈[0,π6]时f(x)max<m+2即可．

16.解：(1)f(x)=sinxcosx+32cos2x+1=12sin2x+32cos2x+1=sin(2x+π3)+1，

所以函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π，

当且仅当2x+π3=2kπ+π2，k∈Z时，f(x)【解析】(1)利用三角函数恒等变换的应用可求解析式为f(x)=sin(2x+π3)+1，利用周期公式可求f(x)的最小正周期，利用正弦函数的性质可求其最大值及取得最大值时x的集合．

(2)利用三角函数的平移变换可求g(x)=f(x+φ)=sin(2x+2φ+π317.解：(1)因为3bsinC−ccosB=c，由正弦定理得：3sinBsinC−sinCcosB=sinC，

在△ABC中，sinC>0，

可得3sinB−cosB=1，即sin(B−π6)=12，

由B∈(0,π)，

所以B−π6=π6，

解得B=π3；

因为D为BC的中点，BD=2，且a2+c2=10，

则2BD=BA+BC，

两边平方可得4BD2=BA2+BC2+2BA⋅BC=c2+a2+2cacosB，

即4×4=10+ac，【解析】(1)由正弦定理及两角差的正弦公式可得sin(B−π6)=12，再由角B的范围，可得角B的大小；再由BD为中线，由向量的运算性质可得ac的值，再由余弦定理可得AC的值；

18.证明：(1)连接AC，因为E，F分别是AB，BC的中点，DH=13AD，DG=13CD，

所以EF//AC，HG//AC，

所以EF//HG，所以E，F，G，H四点共面．

(2)易知HG=13AC，又EF=12AC，所以HG≠EF，

结合(1)的结论可知，四边形EFGH是梯形，

因此直线EH，FG不平行，

设它们交点为P，P∈平面ABD，同理P∈FG，所以P∈平面BCD，

又平面ABD∩平面BCD=BD，

因此【解析】(1)根据线段成比例得出直线与直线平行，利用平行直线确定一个平面可证结论；

(2)根据平面的公理进行证明．

19.解：(1)∵f(x)=2x，t=1，g(x)为f(x)做φ变换后的结果，g(x)=2，

∴g(x)=f(x)−f(x−1)=2x−2x−1=2x−1=2，

解得x=2．

(2)∵f(x)=x2，ℎ(x)为f(x)做ω变换后的结果，f(x)≥ℎ(x)，

∴x2≥|(x+t)2−x2|=|2tx+t2|，

当x≤−t2时，f(x)≥ℎ(x)恒成立；

当x>−t2