广东省汕头市潮阳区2023-2024学年高三年级下册第二学月质检数学试题

广东省汕头市潮阳区河溪中学2023-2024学年高三下学期第

二学月质检数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合/={0,1,2,3}，5={-1,0,1}JC=,则集合。的子集个数为（）

A.2B.3C.4D.8

2.是=_4%+3〉0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既

不充分也不必要条件

3.已知角a的终边上有一点p,I1）,则+（）

A.--44B.-C.应3D.3-

5555

4.某市高三年级男生的身高X（单位：cm）近似服从正态分布N075,52）.现随机选择一名本

市高三年级男生，则该男生身高不高于170cm的概率是（）参考数据：

P（^-cr<x</z+cr）®0.6827

A.0.6827B.0.34135C.0.3173D.0.15865

5.在中，5=30。,6=2，c=2后，则角4的大小为（）

A.45°B・135。或45。C.15。D.105。或15°

6.已知{〃〃}是等比数列，%%=8%，且。2，4是方程--34x+加=0两根，则加二

（）

A.8B--8C-64D--64

试卷第11页，共33页

7.在正方体48cz>_4耳。］。|中，。为四边形的中心，则下列结论正确的是

（）

A.A0//BCXB.AOLBD

c-平面平面CO。D.若平面平面COZ）=「贝1J///平面

BCQ

8.已知一个圆台内接于球0（圆台的上、下底面的圆周均在球面上）.若该圆台的上、下

底面半径分别为1和2,且其表面积为（5+3J司，则球°的体积为（）

A.—B,571C.20&D.5后

333

二、多选题

9.下列说法正确的是（）

A，z.z=|z|2）zeC

B・-20241

1=—1

C.若目=1，zeCf则|z-2］的最小值为1

D.右一4+3i是关于x的方程Y+川+4=0（p,g£R）的根，则2=8

10.已知函数/（x）=sin（269x+Fj+sin（2Gx-］J+2jJcos269x-JJ（69>0），则下列结论正

确的是（）

试卷第21页，共33页

A.若/（x）相邻两条对称轴的距离为四，则口=2

2

B.当①二1,时，/⑴的值域为[-后2]

C.当①=1时，/（'）的图象向左平移四个单位长度得到函数解析式为

6

y=2cos（21+胃

D.若/（'）在区间],当上有且仅有两个零点，贝/,@<8

「6」

11.已知函数/（x）的定义域为R,Vx,yeRJ（孙）+孙=对。）+W（x），则下列命题正确的

是（）

A.y（X）为偶函数B./⑴为R上减函数

C.若则犷1_L]+%（x）为定值D.若/⑵=2,则之/值）=2046

IxJ%k=\

三、填空题

12.为助力乡村振兴，九江市教科所计划选派5名党员教师前往5个乡村开展“五育”支

教进乡村党建活动，每个乡村有且只有1人，则甲不派往乡村/的选派方法有一种.

13.欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心

和外心共线，这条线称之为三角形的欧拉线.已知/（o,2），5（4,2），C（a,-1），且“8C为

圆/+廿+及+冲=0内接三角形，则.ABC的欧拉线方程为.

14.在“Be中，角4B，。所对的边分别为。，b,c.已知/,B,C成等差数列，

试卷第31页，共33页

/+C2=4,则“BC面积的最大值是—，(4sin/sinC+3)〃=—­

四、解答题

15.己如曲线/(月="2+厂2瓶+”见6€2在》=2处的切线与直线工+2、+1=0垂直.

⑴求.的值；

⑵若/(x^O恒成立，求6的取值范围.

16.如图，二棱锥尸—/BC中，BC平面pacBC=V3AC=3PB=亚，点£满足

AE=2EC,PE=1.

⑴证明：,平面/5C；

rn_L

(2)点。在上，且3ELCD，求直线为与平面PC。所成角的正弦值.

17.据统计，2024年元旦假期，哈尔滨市累计接待游客304.79万人次，实现旅游总收入

59.14亿元，游客接待量与旅游总收入达到历史峰值.现对某一时间段冰雪大世界的部分游

客做问卷调查，其中75%的游客计划只游览冰雪大世界，另外25%的游客计划既游览冰雪

大世界又参观群力音乐公园大雪人.每位游客若只游览冰雪大世界，则得到1份文旅纪念品;

若既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，则获得2份文旅纪念品.假设每位来冰雪

大世界景区游览的游客与是否参观群力音乐公园大雪人是相互独立的，用频率估计概率.

(1)从冰雪大世界的游客中随机抽取3人，记这3人获得文旅纪念品的总个数为X,求X的

分布列及数学期望；

试卷第41页，共33页

(2)记”个游客得到文旅纪念品的总个数恰为〃+1个的概率为,求｛%｝的前九项和s“.

18.已知椭圆E：W+’=i(a>6>o)的离心率是过点.(2,0)的动直线/与椭圆相交

于A，B两点，当直线[与x轴垂直时，直线I被F椭圆,截得的线段长为勺A/□

3

(1)求椭圆"的方程;

(2)是否存在与点"不同的定点"，使得网=幽恒成立?若存在，求出点"的坐标；若

|阴\MB\

不存在，请说明理由.

19.定义两个〃维向量了耳=(x〃,X,,2,…,X.J的数重积

kn

=Xixxhl+xi2xj<2+..-+X.„xy.„(z,jeN+)r4.&=£；,记五斤为I的第4个分量(-

且后eN+).如三维向量成=(2,1,5)，其中)的第2分量％,2=1•若由〃维向量组成的集合/

满足以下三个条件：①集合中含有〃个〃维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量

——

►►—*2,----*L►►1

取0或1;③集合中任意两个元素%,%,满足％=%=T(T为常数)且生勺=1.则称

N为「的完美〃维向量集.

⑴求2的完美3维向量集；

(2)判断是否存在完美4维向量集，并说明理由；

(3)若存在/为T的完美〃维向量集，求证：/的所有元素的第4分量和耳=7・

试卷第51页，共33页

参考答案:

1.c

【分析】根据给定条件，求出集合c即可得解.

【详解】集合Z={0,l,2,3}，B={-1,0,1}，则。=4醛={0,1},

所以集合°的子集个数为22=4，

故选：C

2.A

【分析】先解一元二次不等式，然后根据集合的包含关系可得.

【详解】解不等式12一4%+3＞0得了＞3或X＜1，

记4=（一8,1）＜_＞（3,+8）,5=（-8,1），

因为403,所以“工＜1”是“％2_以+3＞0”的充分不必要条件.

故选：A

3.A

【分析】根据三角函数的定义可求得的值，再利用诱导公式，即可求得答案.

【详解】由题意知角a的终边上有一点尸|一|,£|,则

故sina目士，贝!Jcos（史+（z]=-sina=-士，

5bJ5

故选：A

4.D

【分析】由正态分布的对称性及特殊区间的概率求解即可.

【详解】由题意，4=175,0=5,

且尸（从一crWxWN+CF）B0.6827'

答案第11页，共22页

所以尸(X4170)=P(XV〃-b)=^^——=0.15865.

故选：D

5.D

【分析】利用正弦定理求得角C，根据三角形内角和，即可求得答案.

【详解】由题意知△48c中，5=30°/=2，c=2五,

故上=上即_csinS_2^2xsin30°_V2

sinBsinCSm~b~2-V

由于c>6，故C>3=30°，贝1c=45。或135。，

故4的大小为180°-30°-45°=105°或180--30--135°=15°，

故选：D

6.C

【分析】根据等比数列下标和性质计算可得.

【详解】因为｛0“｝是等比数列，所以四牝=。：，a2a6=,又。3%=8%,所以为=8，

又出，&是方程--34x+〃z=0两根，

所以机=a2a$=。：=64•

故选：C

7.B

【分析】根据正方体性质结合图形可知/O,BG异面，可判断A；通过证明8。1平面

ACQA,>可判断B；记N5,CD的中点分别为E,尸，然后证明NEO厂是平面N08和平面

COD的夹角或其补角，由力。尸为等腰三角形可判断C；由/8///,Z8cBeQ=8可判断

D.

答案第21页，共22页

【详解】A选项：由正方体性质易知，AB//CR，所以4民G，R四点共面，

由图知，/。口平面48CQ1=/，直线Bq在平面4sGA内，且不过点a

所以异面，A错误；

B选项：因为A4_L平面NBC。，5Du平面48CD，所以/4_L8D，

又/BCD为正方形，所以5D_L/C，

因为44口/。=/，44],/Cu平面NCG4，所以8。/平面/CG4，

又ZOu平面ZCG4，所以8O_L/。，B正确；

C选项：记平面NOBPI平面COZ)="

因为/8//CD，平面COD，CDu平面COD，所以48//平面COZT

又ABu平面/。夕所以48///，所以CD//厂

记4B,CD的中点分别为E,尸，

由正方体性质可知，=08，所以O£_L/8，所以OE_L/，

同理，OF11'所以NR?尸是平面/O8和平面COD的夹角或其补角，

又对称性可知，尸为等腰三角形，故/EQ尸为锐角，C错误；

D选项：因为AB〃l,ABcBC]D=B，

所以/与平面BCJD相交，D错误.

故选：B

答案第31页，共22页

8.C

【分析】利用圆台表面积得母线长和圆台的高，由勾股定理求出球的半径，可计算体积.

【详解】设圆台母线长为/,上、下底面半径分别为/和G，

贝1）圆台侧面积为5=哦,+/）/马兀（+）1=/>

上、下底面面积分别为兀和4兀.

由圆台表面积为（5+3码，得/二也，

所以圆台高右=J/?_（芍_耳）二^2-1=1,

设球0半径为火，圆台轴截面为等腰梯形，且/3=4CZ）=2，高为L

作OM±AB于点M'

设（W=x，由外2+炉=2<7彳，则球心0在圆台外部.

R2=4+x2x=1,R=45

则有，

答案第41页，共22页

所以球。的体积为空互.

3

故选：C.

9.ACD

【分析】根据复数的乘法运算结合复数的模的计算，可判断A；根据虚数单位的性质可判

断B;设2=工+同&”0，根据复数的模的计算公式，可得一+丁=1，以及

匕一结合x的范围可判断C；将一4+3i代入方程，结合复数的相等，求出小

即可判断D.

【详解】对于A,zeC，设复数z=a+bi,(a,6eR)，则7=a-6i,(a,6eR),।「=J/十及,

故=(a+bi)(a-bi)=a2+b2=|z|2，'正确；

对于B,由于j2=_],j4=],故[2024=q4)506=],B错误；

对于c,zeC>设2=》+.历,。,了€1<)，由于目=1，则Jf+y?=],“2+了2=1，

故|z-2]二J(x-2)2+/=J(x-2)2+1-X。=J-4x+5,

由尤2+/=i，得一14x41，贝!l-4x+5Nl,

故当x=l时，|z-2|的最小值为1，C正确；

对于D，-4+3i是关于x的方程Y+px+q=0(p,qeR)的根，

故(-4+3i)2+p(-4+3i)+q=0(/7,qeR)，即7—40+q+(3p-24)i=0，

故17一4P+4=O.欠=8,D正确,

[3p-24=0，-[q=25

故选：ACD

答案第51页，共22页

10.BCD

【分析】根据三角恒等变换化简/（x）=2sin[2G%+]J，进而根据周期可判断A,根据整体

法求解函数的值域判断B,根据函数图象的平移可判断C,根据零点个数确定不等式满足

的条件可判断D.

【详解】/（x）=sin1269%+；1+sin一§1+2出cos2cox-y/3

=sin2（2）xcos史翌OS2GXsin—+sin2oxcos——cos2ssin—+V3cos2cox

3333

=sin2（z）x+V3COS2COX=2sin，

对于A,若/（X）相邻两条对称轴的距离为乌，贝吐=2冰故①A错误，

222co

对于B,当①二1当时,兀兀4

/(x)=2sin(2x+1],XE0,—2x+—G

3

则〃x）的值域为16,2],B正确,

对于C,当。I/（x）=2sin（2x+T，

f（x）的图象向左平移火个单位长度得到函数解析式为

6

=2sin2x+—=2cos2x+—,C正确,

336

ry_L—、[，..7Crt_L_兀兀兀T

对于D,当0,—时，2s:+—w-一,2G—十一

63363

答案第61页，共22页

若〃x)在区间「0生I上有且仅有两个零点，则2元&。芦/1,解得5＜。＜\故D正

「6」63

确，

故选：BCD

11.CD

［分析］令x=y=l求出/(I)，令x=y=-l求出再令y=-l即可得到函数的奇偶

性，从而判断A、B,令y=即可判断C,令尸2结合〃2)=2,即可得到

/(2〃)=2〃，从而判断D.

【详解】因为X/x,ywR,/(9)+孙=力(力+0(、)'

令x=y=l，可得/⑴+1=/⑴+/⑴，则/⑴=1，

令X=y=_l，可得/⑴+1=则〃-1)=-1，

令x=y=0，可得/(o)=0,

令＞=-1，可得/(T)T1(T-/(X)，所以〃-X)=-/(X)，所以/(X)为奇函数，故

A错误；

因为_/⑴=1，所以不可能为R上减函数，故B错误；

令W(x*。)可得/⑴+〃x)，所以M［£|+9(X)=2,故C正确；

令y=2可得/(2X)+2X=^(2)+2/(X)，因为〃2)=2，

所以〃2x)=2/(x)，所以/(4)=2〃2)=22,/(8)=2/(4)=23-……，

答案第71页，共22页

所以£/（2"）=2i+22=2（1一叫=2046,故D正确•

+--+210

k=l1-2

故选：CD

【点睛】方法点睛：抽象函数的性质处理方法主要是通过合理的赋值从而达到所需要的性

质，通常可将变量赋为0,1,—1,或工=p户=-了户=工等.

12.96

【分析】由特殊元素优先安排，则先安排/地，后安排剩余4个乡村，再结合分步乘法求

解即可.

【详解】第一步，由于甲不派往乡村4则/地有c；种选派方法，

第二步，其他4个乡村有A：种选派方法，所以共有c；A：=96种选派方法.

故答案为：96.

13.j;=l/y—1=0

【分析】首先将点的坐标代入圆的方程，即可求出£、F，从而得到圆心坐标即448c的

外心坐标，再确定“Be的重心坐标，即可得解.

［详解］依题意［2?+2/=0，解得|£=一4,

［42+22+4£,+2F=0［尸=-2

22

所以圆/+/-以-2尸0,HP(X_2)+(J,-1)=5,故圆心坐标为(2,1)，

即“8C的外心坐标为(2,1),又"BC的重心坐标为［9』］,

答案第81页，共22页

又点(2,1)、(—J均在直线k1上，所以一8c的欧拉线方程为了=1

故答案为：-1

yv—1

14.@12

2

【分析】由等差数列性质可得2,结合重要不等式及三角形面积公式即可求得三角形面积

的最大值；运用正弦定理可得sinN=l，sinC=叵，由余弦定理可得〃=4-①，代

2b2b

入求解即可.

【详解】由题意知，2B=A+C'

又4+3+C=\所以8=；,

又片+o2=4，a2+c2>2ac>当且仅当°=°时取等号，

所以这42,当且仅当a=c时取等号，

所以=‘4csin8="%sin—，当且仅当时取等号.

△题22342

故“80面积的最大值为心.

2

因为七:白二白，B=g

sinAsinCsin5$

日后四•/asinB也a.「csinB\j3c

犷।以sin/=--------=------'sinC=---------=------'

b2bb2b

答案第91页，共22页

所以4sin/sinC=4x3^x3^=^^，

2b2bb2

由余弦定理得从=a2+c2-2accosB=4-2tzccos—=4-ac,

3

所以(4sin/sinC+3昉=(整+3)62=3ac+3b。=3ac+3(4-ac)=12.

故答案为：1；I2.

2

15.(l)a=-

2

,3

⑵62-Q

【分析】(1)根据斜率关系，即可求导求解，

(2)求导判断函数的单调性，即可求解函数的最值求解.

【详解】(1)由于x+2y+i=°的斜率为二，所以/‘⑵=2,

2

791

又/，(%)=2办+1—，故/(2)=4Q+1-]=2,解得a=—,

(2)由(1)知a=工，所以〃x)=x+l二=.+x-2=(x+2)(x-l),

2xx尤

故当x>l时，/(x)>OJ(x)单调递增,

当0<x<l时,〃x)<OJ(x)单调递减，

故当”=1时，“X)取最小值/(i)=g+i+6,

答案第101页，共22页

要使/（x"0恒成立，故/（1）=3+1+62（）,解得62-9,

故"的取值范围为

2

16.（1）证明见解析

3

⑵M

【分析】（1）首先由线面垂直的性质得到8CJ.PE,8cl.尸C,即可说明ZC_LPE,,从而

得到尸Ej_平面ABC'即可得证；

（2）建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.

【详解】（1）由5C/平面尸/C,PE,PCu平面尸/C,所以8C_LPE,8C_LPC,

因为4£=2£。,4。=3,所以。£=1,

在Rt^PBC中，pc=4PB--BC2=V2，

在APCE中，PE=CE=1,所以PC2=PE2+CE2，即PEVAC,

5LACC\BC=C,AC,BC^^ABC,

所以PE_L平面45C，

（2）由（1）可知尸E_L平面4gc，PEu平面尸/C，所以平面尸4C_L平面48C，由3CJ.平

面尸NC，所以8C±AC,

建立如图所示空间直角坐标系，则。（。,0,0）*（百,0,0）,工（0,3,0）1（0,1,0）,尸（0,1,1）,

答案第111页，共22页

所以方=（0,2,-1）,益=（逐,一3,0）,9=（0,3,0）,

设15=I刀=(",-3力0)Je[0,1],CD=C4+ZD=(A/3^3-3Z,0),S£=(-A/3,1,0)

因为3£，。,所以3£.“)=0,即-gxGf+lx(3-3/)+0=0,解得:工

所以“是"中点，故

22

\7

、

设平面0°的法向量成=（x/，z）,又丽=v45°，而=（°，i』）'

,Z7

CDm=0

尸°,取得、'

则方•应=0'即'

y+z=0

设直线7M与平面所成的角为。，

则叱3

5

所以直线尸'与平面「四所成的角的正弦值为3.

答案第121页，共22页

17.(1)分布列见解析；E(X)=，

(2)s“=4一(”+4)1

【分析】(1)根据独立事件的乘法公式求出分布列，然后结合期望的公式求解即可;

(2)判断出只有1人既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，从而求出

%,然后利用错位相减法求和即可;

【详解】(1)由题意知，冰雪大世界的游客中随机抽取1人获得1份文旅纪念的概率为

75%=?3,获得2份文旅纪念品的概率为25%=上1,

44

故3人获得文旅纪念品的总个数为X的可能值为3,4,5,6.

=9,124015

+5x——+6x——=-----=—

6464644

(2)n个游客得到文旅纪念品的总个数恰为〃+1个,

故只有1人既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人,

答案第131页，共22页

故S"=glx|+2x(1]+3x[l]+…+，x

3sY>2x[l]+3x[j+--+"曰+〃x]j

3

两式相减得：15»=!|+[|]+]1]+…+一”(!

33

1-

43n+13n+1

——z~~--nx几十4)x

-34>二

1--T

4

3

故S,=4-(〃+4)

22

18.⑴土+匕=1

64

⑵存在定点M3，。)，使得喘=.经i恒成立

MB

【分析】(1)由离心率及过点亚I］列方程组求解“',

(2)先讨论直线水平与竖直情况，求出N(3,0)，设点8关于x轴的对称点夕，证得

答案第141页，共22页

N'4”三点共线得到”一网成立.

NB\MB\

【详解】（1）依题意可得点在椭圆上,

44,a2=6

L森=1

〃二4<4-

C皂，解得，=2,所以椭圆的方程为

所以e=—

a3

a2=b2+c2

（2）当/垂直于x轴时，设直线,与椭圆相交于A，B两点，如果存在点"满足条件，

则有除翳匕即W，所以点义在x轴上,设小。）,

当‘与“轴重合时，设直线,与椭圆相交于人，”两点，不妨设"卜"，°）,8（灰,0）,

则由儒喟=1即^=4解得/或2

|x0-V6|76-2

所以若存在不同于点"的定点N满足条件，则点N的坐标为（3,0）；

下面证明：对任意的直线”均有^:赢=1,

当/不平行于x轴且不垂直于x轴时，设直线/方程为了=左（％-2）,/（再,乂），B（x2,y2）>

y=k(x-2)V(3k2+2\x2-Uk2x+nk2-12=0

联立22，消去,得

—+^=1

I64

因为直线/恒过椭圆内定点M（2,0），故A>0恒成立,

答案第151页，共22页

12H12/-12

所以玉+无2=X1X=

3—+223/+2

1+1再+工2—6再+%2—6

所以

x1-3x2-3(xj-3)(X2-3)西了2-3(再+%2)+9

m_k(x「2)t、k-y—-左(％-2)_7k

又心----2------------——K-------=k+上

&-3X]-3X]-3x?一3/一3

所以后Mt=^NB'则N,4”三点共线，所以也_=配1^1_MA

FT一而

综上：存在与点乱不同的定点四3,0),使幽=幽恒成立.

|阴\MB\

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

(1)设直线方程，设交点坐标为(』,必)、自2，%)；

(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x(或了)的一元二次方程，必要时计算小;

(3)列出韦达定理；

(4)将所求问题或题中的关系转化为王+9、再吃的形式；

(5)代入韦达定理求解.

19.(1)^={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}

(2)不存在完美4维向量集，理由见解析

(3)证明见解析

答案第161页，共22页

【分析】(1)利用T的完美〃维向量集定义求解即可.

(2)分别研究7=0，7=1，7=2，7=3，7=4时£，结合新定义及集合中元素的互异

性即可判断.

⑶依题意可得H+S,+…+S,=〃7，运用反证法，假设存在左，使得7+14$上4〃，不

妨设T+14S]4〃，分别从E=〃及7+14S]〈〃两方面证得矛盾即可得其47，进而可证

得结果.

【详解】(1)由题意知，集合A中含有3个元素了(z=1,2,3)-且每个元素中含有三个

分量，

因为；72-2