中考数学一轮复习第五讲特殊三角形（解析版）

模块四三角形

第五讲特殊三角形

知识梳理夯实基础

知识点1:等腰三角形的性质与判定

1、等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的性质定理及推论:

定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）

推论1:等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的

顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60。。

（2）等腰三角形的其他性质:

①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45。

②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。

③等腰三角形的三边关系：设腰长为a,底边长为乩则

2

④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为NA,底角为乙8、ZC,则NA=180°—2ZB,Z

B=ZC=18O0-ZA

2

2、等腰三角形的判定

等腰三角形的判定定理及推论:

定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。

这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形

推论2：有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

知识点2:等边三角形的性质与判定

1.定义

三条边都相等的三角形是等边三角形.

2.性质:

60°,面积S="Q2

等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于

4

J3

(a为等边三角形的边长)h=—a

2

3.判定

三个角都相等的三角形是等边三角形;

有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.

知识点3:线段垂直平分线

1.定义

垂直一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.

2.性质

线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等

3.判定

到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

知识点4:直角三角形

1.定义

有一个角是直角的三角形叫作直角三角形

2.性质

(1)直角三角形两锐角互余.

(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边

等于斜边的一半;

(3)在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.

3.判定

(1)两个内角互余的三角形是直角三角形.

(2)三角形.一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

知识点5:勾股定理及逆定理

1.勾股定理:

直角三角形的两条直角边a、6的平方和等于斜边c的平方，即：a+b-=c-,

2.勾股定理的逆定理

如果三角形的三条边以反。有关系：a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.

直击中考胜券在握

1.等腰三角形的一个角是40。，则它的顶角是（）

A.40°B.70°C.100°D.40°或100°

【答案】D

【分析】

分这个角为顶角和底角，结合三角形内角和定理可求得答案.

【详解】

当40。角为顶角时，则顶角为40°,

当40。角为底角时，则两个底角和为80。,求得顶角为180-80=100,

故选:D.

【点睛】

考查等腰三角形的性质，注意分类讨论思想在解题中的应用.

2.若等边三角形的一条高为6,则其边长为（）

A.2B.1C.3D.4

【答案】A

【分析】

根据等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理求解.

【详解】

S\BD=^BC=^AB,

国在直角三角形A3。中，根据勾股定理，^AB2=AD2+BD2,

即452=（可+］；4“

解得AB=2,

故选A.

【点睛】

此题考查了等边三角形的性质和勾股定理.解答此类题目时，要根据题意画出相应的图形，然后熟练运用

性质及定理解题.

3.（2023•新疆中考）如图，在RtABC中，ZACB=90°,ZA=30°,AB=4,CD_LAB于点D,E是AB

的中点，则DE的长为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】

首先根据“斜中半"定理求出CE,然后利用三角形的外角性质求出NCED=60。，从而在RJCED中，利用“30。

角所对的直角边为斜边的一半"求解即可.

【详解】

EIE是RtABC中斜边AB的中点，AB=4,

^AE=BE=CE=-AB=2,

2

0ZA=ZACE=30°,

0ZCED=6O°,0ECD=3O°

在及CEO中，ZECD=30°,

0ED=-C£=1,

2

故选：A.

【点睛】

本题考查直角三角形的基本性质，熟记并灵活运用与直角三角形相关的性质是解题关键.

4.（2023•青海省中考）已知。，b是等腰三角形的两边长，且“，《满足以-36+5+（2。+33-13）2=0,

则此等腰三角形的周长为（).

A.8B.6或8C.7D.7或8

【答案】D

【分析】

先根据非负数的性质列式求出。、b的值，再分a的值是腰长与底边两种情况讨论求解.

【详解】

解:回侬-36+5+（2>+36-13）2=0,

F247—36+5=0

吼

[2a+3^-13=0

fa=2

解得L2，

[b=3

①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、3,能组成三角形，周长=2+2+3=7；

②2是底边时，三角形的三边分别为2、3、3,能组成三角形，周长=2+3+3=8,

所以该等腰三角形的周长为7或8.

故选：D.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，绝对值与算术平方根的非负性，根据几个非负数的和等于0,则每一个算式

都等于0求出。、b的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断.

5.（2023•宁波中考）如图，在Rtl3ABe中，EACB=90°,CD为中线，延长CB至点E,使BE=BC,连结DE,

F为DE中点，连结BF.若AC=8,BC=6,则BF的长为（）

【答案】B

【分析】

利用勾股定理求得AB=10；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结合题意知线

段BF是I3CDE的中位线，则BF=^CD.

【详解】

解：13在RtEIABC中，0ACB=9O°,AC=8,BC=6,

回AB=VAC2+BC2=A/82+62=10.

又EICD为中线，

0CD=yAB=5.

团F为DE中点，BE=BC,即点B是EC的中点，

EIBF是I3CDE的中位线，贝ljBF=gCD=2.5.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，此题的突破口是推知线段CD的

长度和线段BF是MDE的中位线.

6.（2023•嘉兴中考）如图，在AABC中，ABAC^90°,AB=AC=5,点。在AC上，且AD=2,点E是AB

上的动点，连结。E,点尸，G分别是BC,DE的中点，连接AG,FG,当AG=FG时，线段DE长为（）

AEB

A.岳B.辿C.—D.4

22

【答案】A

【分析】

连接DF,EF,过点F作F/V0ZIC,FMMB,结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得点A,D,F,E四点

共圆，团DFE=90。，然后根据勾股定理及正方形的判定和性质求得AE的长度，从而求解.

【详解】

解：连接OF,EF,过点F作FA/ELAC,FMSAB

团在AABC中，4AC=90。，点G是OE的中点，

^AG=DG=EG

又EMG=FG

回点A,D,F,E四点共圆，且DE是圆的直径

fflDF£=90°

团在RtEMBC中，AB=AC=5,点尸是8C的中点，

SCF=BF=-BC=^^,FN=FM=-

222

又EJFA/aAC,FIVI^AB,ABAC=90°

团四边形N4WF是正方形

5

MN=AM=FN=—

2

又国ZNFD+ZDFM=90°,ZDFM+ZMFE=90°

®ZNFD=NMFE

EBNFDEEMFE

SME=DN=AN-AD=^

^\AE=AM+ME=3

回在RtBDAE中，DE=^AET+AE1=V13

【点睛】

本题考查直径所对的圆周角是90。，四点共圆及正方形的判定和性质和用勾股定理解直角三角形，掌握相关

性质定理正确推理计算是解题关键.

7.（2023•枣庄中考）如图，三角形纸片ABC,AB=AC,EBAC=90°,点E为AB中点，沿过点E的直线折叠,

3

使点B与点A重合，折痕现交于点F,已知EF=a，则BC的长是（）

【答案】B

【分析】

折叠的性质主要有：L重叠部分全等；2.折痕是对称轴,对称点的连线被对称轴垂直平分.由折叠的性质可知

/3=/E4F=45。,所以可求出回AFB=90。，再直角三角形的性质可知所=gAB,所以AB=AC,的长可求，再

利用勾股定理即可求出BC的长.

【详解】

解:沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，

二/=4AF=45。，

.•./AFB=90。，

.•点E为AB中点，且/AFB=90。，

，EF」AB,

2

〜3

EF=—,

2

3

/.AB=2EF=—x2=3,

2

在ARtABC中，AB=AC,AB=3,

.-.BC=VAB2+AC2=V32+32=3^/2,

故选B.

【点睛】

本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出团AFB=90。是解题的关键.

8.（2023•江苏无锡中考）在RtZkABC中，ZA=90°,AB=69AC=8,点P是ABC所在平面内一点，则

PA2+PB2+PC2取得最小值时，下列结论正确的是（）

A.点P是一ABC三边垂直平分线的交点B.点P是ABC三条内角平分线的交点

C.点P是ABC三条高的交点D.点P是ABC三条中线的交点

【答案】D

【分析】

8?200

以点A为坐标原点，A8所在直线为x轴，建立直角坐标系，则PA2+PB2+PC2=3（x-2）2+3y

3)+~r

o

可得P（2,1）时，PA2+PB2+PC2</JS进而即可得到答案.

【详解】

以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图，

则40,0）,8（6,0）,C（0,8）,

设P（X,y）,贝！+尸32+pc2=Y+y2+（x-6）2+y2+x2+（y-8）2

=3x2+3/-12x-16y+100=3（x-2）2+3^-|^|+一,

QQ

团当x=2,V=§时，即：P（2,§）时，PA2+PB2+PC2

Q

回由待定系数法可知：A8边上中线所在直线表达式为：y=-|x+8,

AC边上中线所在直线表达式为：y=-jx+4,

又回P（2,|）满足AB边上中线所在直线表达式和AC边上中线所在直线表达式,

团点P是ABC三条中线的交点，

故选D.

R

【点睛】

本题主要考查三角形中线的交点，两点间的距离公式，建立合适的坐标系，把几何问题化为代数问题，是

解题的关键.

9.（2023•临沂中考）如图，点A,8都在格点上，若3C=半，则AC的长为（）

A.拒B.C.2A/13D.3A/13

3

【答案】B

【分析】

利用勾股定理求出AB,再减去BC可得AC的长.

【详解】

解：由图可知：

AB=46。+4?=，

团BC="

3

^AC=AB-BC=2A/13-,

33

故选B.

【点睛】

本题考查了二次根式的加减，勾股定理与网格问题，解题的关键是利用勾股定理求出线段A8的长.

10.（2023•湖北二模）如图，在3x3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格

点上，若8。是ABC的边AC上的高，则8。的长为（)

B.伊D.—A/13

13

【答案】D

【分析】

根据勾股定理计算AC的长，利用割补法可得回ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论.

【详解】

解：由勾股定理得：AC=722+32=713>

1117

0S[?]ABC—3X3--x1x2--x1x3--x2x3——,

2222

17

团不AC・BD=一,

22

»BD=7,

0BD=—V13.

13

故选：D.

【点睛】

本题考查了勾股定理与三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键.

11.（2023•内蒙古模拟）如图，在ABC中，ZA=90,。是AB的中点，过点。作的平行线，交AC于

点E,作BC的垂线交BC于点/，若AB=CE,且△OEE的面积为1,则BC的长为（）

A.2亚B.5C.475D.10

【答案】A

【分析】

过A作AH团BC于H,根据已知条件得到AE二CE,求得DE=：BC,求得DF二1AH,根据三角形的面积公式得

22

到DE・DF=2,得到AB・AC=8,求得AB=2（负值舍去），根据勾股定理即可得到结论.

【详解】

解：过A作AH回BC于H,

团D是AB的中点，

团AD=BD,

0DE0BC,

团AE=CE,

1

团DE二一BC,

2

团DFR1BC,

回DF团AH,DF0DE,

回BF=HF,

1

团DF二一AH,

2

团团DFE的面积为1,

1

I3-DE»DF=1,

2

团DE・DF=2,

团BC・AH=2DE・2DF=4x2=8,

团AB・AC=8,

0AB=CE,

1

团AB二AE二CE二一AC,

2

回AB・2AB=8,

0AB=2（负值舍去）,

团AC=4,

团BC=VAB2+AC2=722+42=2行•

故选：A.

【点睛】

本题考查了三角形中位线定理，三角形的面积的计算，勾股定理，平行线的判定和性质，正确的识别图形

是解题的关键.

12.（2023•泸州中考）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比"问题:

点G将一线段分为两线段MG,GN,使得其中较长的一段MG是全长与较短的段GN的比例中项，

即满足丝£=空=叵11,后人把1二1这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”

MNMG22

点.如图，在ABC中，已知AB=AC=3,BC=4,若D,E是边3c的两个"黄金分割"点，贝的面

积为（）

BDEC

A.10-4A/5B.3A/5-5C.5~^D.20-8石

【答案】A

【分析】

作AF0BC,根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出BE,CD的长度,得到，ADE

中DE的长，利用三角形面积公式即可解题.

【详解】

解:过点A作AFI3BC,

0AB=AC,

E1BF=；BC=2,

在Rt„ABF,AF=yjAB2-BF2=打-2?=6，

0D是边BC的两个"黄金分割"点,

^CDs/5-1CD41

0------=-----------即Bn----=-------，

BC242

解得CD=2石-2,

同理BE=26-2,

EICE=BC-BE=4-（2君-2）=6-2辨，

EIDE=CD-CE=458,

0S0ABC=1xr>ExAF=^x（4V5-8）x^=lO-4V5,

故选：A.

【点睛】

本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求出DE和

AF的长是解题的关键。

13.如图，在MBC中，EC=90°,AD平分EICAB,DE0AB于E,若CD=3,BD=5,贝!）BE的长为

【答案】4

【分析】

根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，得。E=DC=4,再由勾股定理求得BE的长即可.

【详解】

解：加。平分12cAB,

又回。国48,DCSBC,

0DE=DC=3,

0BD=5,

08£=7BD2-£>£2=4,

故答案为4.

【点睛】

本题考查了角平分线的性质.角平分线上的任意一点到角的两边距离相等.比较简单，属于基础题.

14.（2023•江苏盐城中考）如图，在RtABC中，CO为斜边AB上的中线，若CD=2,则AB=

【分析】

根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可解决问题;

【详解】

团是直角三角形，CD是斜边中线，

1

0CD=-/4B,

2

08=2,

EMB=4,

故答案为4.

【点睛】

本题考查直角三角形的性质，解题的关键是记住直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

15.（2023•苏州中考）如图.在RtaABC中，ZC=90°,AF=EF.若NCFE=72。，贝!

【答案】54。

【分析】

首先根据等腰三角形的性质得出EW=MEF，再根据三角形的外角和定理得出附+MEF=EICFE,求出射的度数，

最后根据三角形的内角和定理求出回B的度数即可.

【详解】

EIAF=EF,

0M=MEF,

0EM+EL4EF=0CFE=72",

回幽=36°,

00C=9O°,ELA+0B+0C=18O°,

00B=18OO-EL4-EC=54°.

故答案为:54。.

【点睛】

本题考查了三角形的外角和定理，等腰三角形的性质，掌握相关定理和性质是解题的关键.

16.（2023•湖南娄底中考）如图，ABC中，AB=AC=2,P是BC上任意一点，上，45于点瓦「尸，4^于

点F,若黑.=1,贝!|尸石+所=.

【答案】1

【分析】

将「ABC的面积拆成两个三角形面积之和，即可间接求出PE+尸尸的值.

【详解】

解：连接AP，如下图:

PEYAB于点E,PF±AC于点F,

S.ABC=S"C+SAPB=1

SnAiPVr+nSrDAPR=-ACPF+-ABPE

AB=AC=2,

S.APC+SAPB=PF+PE=1,

:.PE+PF=1,

故答案是：1.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，利用面积法解决两边之和问题，解题的关键是：将的面积拆成两个三

角形面积之和来解答.

17.（2023•苏州中考）如图，在AABC中，已知AB=2,ADVBC,垂足为。，BD=2CD.若E是的

中点，贝（JEC=.

【答案】1

【分析】

根据"两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似”证明回ADB胴EDC,得笆=丝=2,由AB=2则可求出

ECDC

结论.

【详解】

BD=2DC

.•图=2

DC

E为AO的中点,

一.AD=2DE,

AD「

团------=2,

DE

BDADc

--=--=2,

DCDE

ADLBC

,\ZADB=ZEDC=90°

ADBEDC

ABBDc

----=.........-2

ECDC

AB=2

:.EC=1

故答案为：1.

【点睛】

此题主要考查了三角形相似的判定与性质，得出g=2是解答此题的关键.

DCDE

18.如图在RtMBC中，8是斜边AB上的高，若AC=万，DB=4,则45的长为

【答案】1

【分析】

根据射影定理列式计算即可.

【详解】

由射影定理得，AC2^AD»AB,

贝IJ（逐）2=ADx（A0+4）,

解得，ADi=l,AD2=-5（舍去）,

故答案为：L

【点睛】

本题考查的是相似三角形一一射影定理，需要牢记射影定理公式可以帮助快速解决题目.

19.（2023•青海西宁中考）如图，ABC是等边三角形，AB=6,N是AB的中点，AD是3c边上的中线,

M是AD上的一个动点，连接BM,MN,则的最小值是.

【答案】3石

【分析】

根据题意可知要求B/W+MN的最小值，需考虑通过作辅助线转化B/W,MN的值，从而找出其最小值，进而

根据勾股定理求出C/V,即可求出答案.

【详解】

解：连接CN,与4。交于点M,连接（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），AD是5c边

上的中线即C和B关于AD对称，则BM+MN=CN,则CN就是BM+MN的最小值.

AB=6,N是AB的中点,

EMC=AB=6,AN=；A8=3,CNLAB,

RCNZAC'_AN?=依一寸=，=3层

即BM+MN的最小值为3K.

故答案为：36.

【点睛】

本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，等腰三角形的

性质等知识点的综合运用.

20.（2023•江西中考）如图，在边长为的正六边形ABCDEF中，连接BE,CF,其中点"，N分别为

班和C/上的动点，若以M,N,。为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边

长为______

【答案】9或10或18

【分析】

根据点河，N分别为BE和C尸上的动点，以加，N,。为顶点的三角形是等边三角形，先在脑海中生成

运动的动态图，通过从满足条件的特殊的情况入手，然后再适当左右摆动图形，寻找其它可能存在的解.

【详解】

解：如下图：

(1)当M,N分别与B,F重合时，在二川印中，由题意得:

ZBAF=120°,AB=AF=6y/3,

易算得：BF=2J(6局-(3后=18，根据正多边形的性质得，

BF=BD=DF=18,

尸为等边三角形，即一为等边三角形，边长为18,

此时/BER=60。己为最大张角，故在左上区域不存在其它解；

(2)当M,N分别与DF,DB的中点重合时，由(1)且根据三角形的中位线

得：MN==BF=9,

2

:.MN=DN=DM=9,

，为等边三角形，边长为9,

(3)在(2)的条件下，阴影部分等边三角形会适当的左右摆动，使得存在无数个这样的等边三角

形且边长会在9至U66之间，其中包含边长为9,66,

6石。10.4,且等边三角形的边长为整数，

边长在9到6栏之间只能取9或10,

综上所述：该等边三角形的边长可以为9或10或18.

故答案是：9或10或18.

【点睛】

本题考查了正多边形中动点产生等边三角形问题，解题的关键是：根据等边三角形的边只能取整数为依据,

进行分类讨论，难点在于阴部部分等边三角形向左右适当摆动时如何取边长的整数值.

21.（2023•四川广安中考）如图，将三角形纸片A3C折叠，使点3、C都与点A重合，折痕分别为DE、FG.

已知NACB=15。，AE=EF,DE=6,则的长为.

【答案】4+2月

【分析】

由折叠的性质得出BE=AE,AF=FC,回外C=M=15。，得出蜘FE=30。，由等腰三角形的性质得出回E4F=MFE=30。，

证出财BE是等边三角形，得出国&4£=60°,求出AE=8E=2,证出回用尸=90°,利用勾股定理求出AF,即CF,可

得BC.

【详解】

解：回把三角形纸片折叠，使点8、点C都与点A重合，折痕分别为DE,FG,

^\BE=AE,AF=FC,回必C=I3C=15°,

EIEMFE=30°,又AE=EF,

EBEAF=071FE=3O°,

0EMfB=6O°,

0EbAB£是等边三角形，EMED=EB£D=30",

03&4£=60°,

S\DE=s/3,

DE

EME=8E=A8=---------=2

cos30°

B1BF=BE+EF=4,Eia4F=60°+30°=90°,

B1FC=AF=y/BF2-AB2=273,

鼬C=8F+FC=4+2有，

故答案为：4+273.

【点睛】

此题考查了翻折变换的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质；根据折

叠的性质得出相等的边和角是解题关键.

22.（2023•四川凉山中考）如图，等边三角形ABC的边长为4,C的半径为若，P为AB边上一动点，过

点P作C的切线PQ,切点为Q,则PQ的最小值为.

【答案】3

【分析】

连接0C和PC,禾I」用切线的性质得到CQ回PQ,可得当CP最小时，PQ最小，此时CP射8,再求出CP,利用

勾股定理求出PQ即可.

【详解】

解：连接QC和PC,

0PQ和圆C相切，

0CQ0PQ,即I3CPQ始终为直角三角形，CQ为定值，

回当CP最小时，PQ最小，

0EMBC是等边三角形，

团当CPSAB时，CP最小，此时CPS4B,

EIAB=BC=AC=4,

@AP=BP=2,

团CP=JAC2-AP2=26,

团圆C的半径CQ=JL

0PQ=《CP2-CQ。=3,

故答案为：3.

本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，以及勾股定理.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注

意得到当P5AB时，线段PQ最短是关键.

23.（2023•四川达州中考）如图,在边长为6的等边AABC中，点E,尸分别是边AC,8C上的动点，且AE=CF,

连接BE,AF交于点P,连接CP,则CP的最小值为.

【答案】2^3.

【分析】

首先证明NAR8=120。，推出点P的运动轨迹是以。为圆心，OA为半径的弧.连接C。交回。于P,当点P

运动到P时，CP取到最小值.

【详解】

如图所示，回边长为6的等边AA5C,

SAC=AB=6,ZACB=ZCAB=60°

又EIAE=CF

S^ACF^.BAE(SAS)

^ZCAP^ZPBA

0ZEPA=ZPBA+ZPAB=ZCAP+ZPAB=ZCAB=60°

0ZAPS=120°

回点P的运动轨迹是以。为圆心，OA为半径的弧

此时ZAO8=120。

连接CO交回。于P,当点P运动到P，时，CP取到最小值

0C4=CB,CO=CO,OA=OB

0ACO三BCO(SSS)

0ZACO=ZBCO=30°,ZAOC=NBOC=60°

SZCAO=ZCBO=90°

又EIAC=6

百厂0C=^—=4=46

0OP'=OA=ABtan30o=6x^-=2V3,cos30°拒

3T

0CP'=OC-OP'=4A/3-2A/3=273

即

故答案为：

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆、特殊角的三角函数等相关知识.关键是学会

添加辅助线，该题综合性较强.

24.如图，在MBC中，AB=AC,04=36°,BD是她BC的平分线.问在直线BC上是否存在点P,使圄CDP

是以CD为一腰的等腰三角形._（用“存在"或"不存在"填空）.如果存在，请直接写出相应的团CPD的度

数；如果不存在，请说明理由._

【答案】存在72。或36。或54°

【分析】

使IBCDP为等腰三角形，则可能是CD=CP,DP=CD,因为幽CB=I3BDC,所以不可能PC=PD.

【详解】

当以回DCP为顶角，CD为一腰时，存在两点P,

一点在线段8c延长线上，此时回CPD=36。；

1QAO_72。

一点在线段8C上，此时回CPD=——-——=54°.

故答案为：存在；72。或36。或54。.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性

质求得各个角的度数是正确解答本题的关键.

25.（2023•江西中考）如图，在ABC中，ZA=40°,ZABC=80°,BE平分ZABC交AC于点E,ED.LAB

于点。，求证：AD=BD.

B

【答案】见解析

【分析】

先求得国EBA=40。，从而得到EB=EA,利用等腰三角形的性质即可证明AD=8D.

【详解】

证明：鼬£平分勖BC,EL4eC=80o,

00EB/\=-ELABC=4O°,

2

幽4=40°,

fflEB4=EM,

^\EB=EA,

团EDI3A8,

@AD=BD.

【点睛】

本题考查等腰三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

26.（2023•福建省中考）如图，在RtABC中，ZACB=90°.线段所是由线段AB平移得到的，点F在

边8C上，△MD是以斯为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在AC的延长线上.

(1)求证：ZADE=ZDFC；

(2)求证：CD=BF.

【答案】(1)见解析；(2)见解析

【分析】

(1)通过两角和等于90。，然后通过等量代换即可证明；

(2)通过平移的性质，证明三角形全等，得到对应边相等，通过等量代换即可证明.

【详解】

证明：(1)在等腰直角三角形ED尸中，NEDF=90。,

BlZADE+ZADF=90°.

0ZACB=90°,

0ZDFC+ZADF=ZACB=90°,

B1ZADE=ZDFC.

(2)连接AE.

由平移的性质得AE//BF,AE=BF.

^ZEAD=ZACB=90°,

0ZDCF=180°-ZACB=90°,

团NEAD=NDCF.

团一ED户是等腰直角三角形，

回DE=DF.

由(1)得ZADE=/DFC,

团AED-CDF,

团AE=CD,回CD—BF.

【点睛】

本小题考查平移的性质、直角三角形和等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是：正

确添加辅助线、熟练掌握平移的性质和全等三角形的判定与性质.

27.(2023•四川模拟)如图，在MBC中，AB=AC,。是BC边上的中点，连结AD,BE平分MBC交AC于

点E,过点E作ER3BC交AB于点F.

(1)若回C=36。，求回BAD的度数.

(2)求证：FB=FE.

【答案】(1)54。，(2)见解析

【分析】

(1)利用等腰三角形的三线合一的性质证明蜘。8=90。,再利用等腰三角形的性质求出蜘BC即可解决问题.

(2)利用角平分线性质和平行线性质证明EIFBE=EIFEB即可.

【详解】

解：(1)蜘―

00C=EL4BC,

00C=36°,

EIEM8C=36°,

EID为BC的中点，

EMD0BC,

EEBAD=90°-回ABC=90°-36°=54°.

(2)OBE平分蜘BC,

[3aABE=0EBC,

又I3E用8C,

00EBC=0BEF,

00EBF=0FEB,

EI8F=EF.

【点睛】

本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质和判定，熟

练运用平行线进行角的推导和证明.

28.(2023•湖南长沙中考)如图，在ABC中，AD，8C,垂足为。，%>=CD,延长3c至E,使得CE=C4,

连接AE.

(2)若AB=5,AD=49求人钻石的周长和面积.

【答案】(1)证明见解析；(2)周长为16+4百，面积为22.

【分析】

(1)先根据垂直的定义可得NADB=NADC=90。，再根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；

(2)先根据全等三角形的性质可得AB=AC=5,从而可得CE=5,再利用勾股定理可得CD=50=3,从

而可得8£=11,。£=8,然后利用勾股定理可得AE=46，最后利用三角形的周长公式和面积公式即可得.

【详解】

(1)证明：AD1BC,

ZADB=ZADC=90°,

AD=AD

在△ABD和AACD中，=

BD=CD

:...ABD^^ACD(SAS),

.\ZB=ZACB；

(2).ABD=AACD,AB=5,

：.AB=AC=5,

CE=CA,

:.CE=5f

AB=5,AD=4,AD±BCf

BD=y/AB2-AD2=3，

BD=CD,

...CD=3,

，BE=BD+CD+CE=11,DE=CD+CE=8,

AE=>JAD2+DE2=4A/5，

则"BE的周长为AB+BE+AE=5+ll+4«=16+4«,

AAfiE的面积为工2£7。=工'1卜4=22.

22

【点睛】

本题考查了三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是

解题关键.

29.(2023•凉山中考)如图，点尸，。分别是等边三角形ABC的边AB,BC上的动点(端点除外)，点尸，

。以相同的速度，同时从点A,8出发.

(1)如图1,连接AQ,CP,PQ.求证：△ABQ国C4P；

(2)如图1,当点P,。分别在A3,3c边上运动时，设A。与C尸相交于点“，则NQMC的大小是否发

生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；

(3)如图2,当点P,。分别在AB,3c的延长线上运动时，直线A。与PC的延长线相交于点M,ZQMC

的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数.

【答案】(1)见解析；(2)当点尸，Q分别在A3,BC边上运动时，NQMC的大小不变，为60。；(3)当

点尸，。分别在A3,3c的延长线上运动时，/QMC的大小不变，为120。.

【分析】

(1)根据等边三角形的性质，利用SAS证明△48。回一。4P即可；

(2)根据(1)可知△AB。回一C4P,根据全等三角形的性质可得NBA。=NACP,从而得到/QMC=60。；

(3)根据(1)可知△ABQ回CAP,根据全等三角形的性质可得/BAQ=NACP,从而得到/QMC=120。；

【详解】

(1)证明：回一ABC是等边三角形，

ZABQ=ZCAP=6Q°,AB^CA.

回点P,Q的运动速度相同，^AP=BQ.

AB=CA

在△A3。与4cAp中，＜NABQ=NC4P,

AP^BQ

回△ABQEIAC4P（SAS）.

（2）解：当点尸，。分别在AB,BC边上运动时，NQMC的大小不变.

由（1）可知，△ABQELC4P,

B