“古典概型”的教学设计

教学设计古典概型沈阳市第八十三中学李杰“古典概型”的教学设计一、内容和内容解析本节课是高中数学3（必修）第三章概率的第二节古典概型的第一课时，是在随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下教学的。古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位。学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些简单事件的概率，有利于解释生活中的一些现象与问题。主要内容有：１．基本事件的概念及特点：（１）任何两个基本事件是互斥的；（２）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。２．古典概型的特征：（１）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（２）每个基本事件出现的可能性相等。３．古典概型的概率计算公式，用列举法计算一些随机事件所含的基本事件的个数及事件发生的概率。本节课的重点是理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率。二、目标和目标解析１．通过“掷一枚质地均匀的硬币的试验”和“掷一枚质地均匀的骰子的试验”了解基本事件的概念和特点２．通过实例，理解古典概型及其概率计算公式。根据本节课的内容和学生的实际水平，通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性。观察类比各个试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式。鼓励学生通过观察类比提高发现问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度。同时适当地增加学生合作学习交流的机会，尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例。使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以初步形成实事求是地科学态度和锲而不舍的求学精神。３．会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题。４．会初步应用概率计算公式解决简单的古典概型问题。用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。培养学生掌握“理论来源于实践，并把理论应用于实践”的辨证思想。三、教学问题诊断分析学生已有的知识结构是：已经学习了随机事件的概率，通过实例，已经了解随机事件的不确定性和概率的稳定性。了解了概率的意义，了解互斥事件及有限个互斥事件概率加法公式。学生已学了随机事件的概率，并亲自动手操作了掷硬币、骰子（包括同时掷两个）的试验，由此归纳出古典概型的两个特征不是难点，关键是以下问题：1、学生在解决古典概型的有关概率计算时，往往会忽视古典概型的两个特征，错用古典概型概率计算公式，因此在教学中结合问题6进行深入讨论，让学生真正体会到判断古典概型的重要性，其中可以利用试验、统计、列举等手段来帮助学生解决问题。2、在归纳概率计算公式时，很多学生可能会不重视，想当然地得出结论，教学中应引导学生揭示公式得出的过程，并学会从特殊到一般研究问题的方法。3、学生初步学习概率，较难将实际问题模型（古典概型）化，因此在教学应重视培养学生建模的意识的能力。教学难点：如何判断一个试验是否为古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。在解决概率的计算上，教师鼓励学生尝试列表和画出树状图，让学生感受求基本事件个数的一般方法，让学生直观的感受到对象的总数，而且还能使学生在列举的时候作到不重不漏，从而化解由于没有学习排列组合而学习概率这一教学困惑。在判断一个试验是否是古典概型时，教师可以设置一些问题让学生判断，加深对两个特点缺一不可的理解。在问题6教学中，给出由于忽略等可能的条件而导致的错误解法，引起学生的认知冲突，有利于学生的掌握知识。四、教学支持条件分析为了有效实现教学目标，条件许可准备投影仪、多媒体课件，学生准备硬币、骰子数枚。在教学中利用直观图形、计算机模拟、列表、画树形图来支持对概率古典定义的理解与运用。五、教学过程设计（一）创设情境，引出课题问题１：考察两个试验：（１）抛掷一枚质地均匀的硬币的试验；（２）掷一颗质地均匀的骰子的试验。在这两个试验中，可能的结果分别有哪些？设计意图：通过掷硬币与掷骰子两个接近于生活的试验的设计。先激发学生的学习兴趣，然后引导学生观察试验，分析结果，找出共性。师生活动：学生思考、讨论，教师利用试验给出所有可能出现的结果即基本事件。问题2：例１.（1）从字母A、B、C、D中任意取出一个字母的试验中，有哪些基本事件？（2）任意取出两个不同字母呢？设计意图：由于没有学习排列组合，因此用列举法列举基本事件的个数，不仅能让学生直观的感受到对象的总数，而且还能使学生在列举的时候作到不重不漏。解决了求古典概型中基本事件总数这一难点，并为归纳古典概型提供更多背景。师生活动：教师引导学生列举时做到不重复、不遗漏。学生列举出基本事件。教师指出画树状图是列举法的基本方法（二）通过设疑，引出概念问题3

在掷一枚质地均匀的硬币或骰子及例1的试验中，基本事件分别有几个，它们之间有什么共同特征？设计意图：培养运用从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点分析问题的能力，充分体现了数学的化归思想。启发诱导的同时，训练了学生观察和概括归纳的能力。通过问题的解决引出古典概型的概念。师生活动：教师引导学生找出共性。具有下列两个特点的概率模型才能运用上述公式，我们称为古典概率模型，简称古典概型。（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）（2）每个基本事件出现的可能性相等。（等可能性）问题4：（1）向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗?为什么？（２）某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环……命中5环和不中环。你认为这是古典概型吗？为什么？设计意图：两个问题的设计是为了让学生更加准确的把握古典概型的两个特点。突破了如何判断一个试验是否是古典概型这一教学难点。师生活动：学生互相交流，回答补充，教师归纳。（１）不是古典概型，因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点，试验的所有可能结果数是无限的；（２）不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、命中9环……命中5环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个条件。（三）归纳公式，例题巩固问题5我们用模拟试验的方法已经得到：抛掷一枚质地均匀的硬币出现正面朝上的概率为，你能否用已学的概率知识加以说明（求某一随机事件的概率都用模拟试验的方法好不好，为什么？）？对于掷一枚质地均匀骰子的试验呢？由此能否得出古典概型中任何事件的概率计算公式？设计意图：使学生从特殊问题入手，归纳出古典概型概率计算公式。师生活动：引导学生从特殊试验中发现任意两个基本事件都是互斥且等可能，任何事件（包括必然事件）都可以表示为基本事件的和，利用概率的加法公式得出结果，并体会从特殊到一般归纳问题的思想。例2.同时掷两个骰子，计算：（1）一共有多少种不同的结果？（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？（3）向上的点数之和是5的概率是多少？设计意图：这节课是在没有学习排列组合的基础上学习如何求概率，所以在教学中引导学生根据古典概型的特征，用列举法解决概率问题。深化巩固对古典概型及其概率计算公式的理解，和用列举法来计算一些随机事件所含基本事件的个数及事件发生的概率。培养学生运用数形结合的思想，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度。通过观察对比，发现两种结果不同的根本原因是——研究的问题是否满足古典概型，从而再次突出了古典概型这一教学重点，体现了学生的主体地位，逐渐养成自主探究能力。师生活动：（１）教师给出问题，学生思考求解。（２）教师将学生的结果汇总展示，学生给出的答案可能会有两种，然后引导学生分析原因，寻找解答中存在的问题。其中这两种答案分别对应了解题中的两种处理方法：把骰子标号进行解题和不标号进行解题，可以提示学生先把这两种方法下的基本事件全部列出来，然后验证是否为古典概型。（３）学生思考、讨论，列出两种方法下的基本事件，发现基本事件的总数不相等。（４）教师通过模拟和分析两种方式中每个基本事件的等可能性，引导学生发现在第二种情况下每个基本事件不是等可能的，不是古典概型，因此不能用古典概型计算公式。（５）师生共同总结解题步骤：①

列举基本事件（验证基本事件是否有限，所有基本事件出现是否等可能）；②

列举目标事件所包含的基本事件；③

利用公式进行计算。（四）循序渐进，变式练习例3

单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案，请大家完成下列问题：（1）抛掷一枚质地均匀的骰子，得到的点数是奇数的概率为（

）(A)

(B)

(C)

(D)（2）Throwstwoqualityofmaterialevencoins,allappearsfrontagetofaceontheprobabilityis（

）(A)

(B)

(C)

(D)设计意图：先统计全班学生选择A、B、C、D的人数（统计思想），再由学生判断该概率模型（只针对选择A、B、C、D）是不是古典概型，并发现：如果掌握了考察的内容，他可以选择唯一正确的答案；如果掌握了考察的部分内容，他可以提高选择的正确率；假设考生不会做，他只能随机选择一个答案，答对的概率最低（此时为古典概型），通过亲身感受使学生进一步体验统计与古典概型的意义，同时让学生充分认识到掌握知识的重要性。引申：现行的高考数学试卷中有10道单选题，如果有一个考生答对了8道题，他是随机选择的可能性大，还是他掌握了一定知识的可能性大？在物理考试中既有单选题又有多选题，多选题是从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案，同学们可能有一种感觉，如果不知道正确答案，多选题更难猜对，这是为什么？设计意图：使学生通过相似问题背景的比较，进一步理解古典概型在解决概率问题中有关的思想方法。师生活动：对于前者，引导学生采用极大似然法进行分析，而后者主要解决基本事件的个数，这里可以结合例1的结果。问题6抛掷一枚质地均匀的骰子，由骰子的点数为奇数还是偶数来决定乒乓球比赛中的发球权，公平吗？同时抛掷两枚质地均匀的骰子，由两枚骰子的点数之和为奇数还是偶数来决定乒乓球比赛中的发球权，公平吗？设计意图：通过动手操作并利用统计手段（统计思想），使学生深入理解在使用古典概型的概率公式时，首先要判断该概率模型是不是古典概型，然后要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。师生活动：向每位学生分发一枚质地均匀的骰子，同桌合作做试验，结合试验中的统计数据，通过交流与讨论，尝试解决此问题，并重点揭示以下错误的根源（由于没有从根本上认识基本事件而造成）。错误一：将两点数之和2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12这11个数看成基本事件，并误认为是等可能，从而得到点数之和为奇数或偶数的概率分别为与。错误二：对类似于（1，2）和（2，1）的结果没有区别，则所有可能的结果是：（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）（4，4）（4，5）（4，6）（5，5）（5，6）（6，6）共有21种,从而得到点数之和为奇数或偶数的概率分别为与。例4

假设储蓄卡的密码由4个数字组成，每个数字可以是0，1，2…，9十个数字中的任意一个。假设一个人完全忘记了密码，问他到自动提款机上随机式一次密码就能取到钱的概率是多少？设计意图：选用具有现实意义的例题，激发学生的学习兴趣，培养其运用数学知识解决实际问题的能力。师生活动：教师要引导学生注意题目的前提是“完全忘记了自己的储蓄卡密码”，在这种前提下才是古典概型问题，才能用古典概型公式解决问题。学生思考、讨论、交流，在教师的指导下各自解题。教师对学生的结果进行评价和完善，同时让学生理解为什么自动取款机不能无限制地让用户试密码，用身份证上的号码作密码不安全等现象。练习

某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，问质检人员随机抽出2听，检测出不合格产品的概率有多大？设计意图：激发学生学习兴趣，进一步培养学生解题能力。师生活动：学生独立练习，必要时可以讨论。教师个别指导。题目中关键是基本事件的表示方法，教师可给出相应的引导与提示。（五）总结概括，自我评价问题7：这节课你有什么收获?学到了哪些知识和方法?设计意图：使学生对本节课的知识有一个系统全面的认识，并把学过的相关知识有机地串联起来，便于记忆和应用，也进一步升华了这节课所要表达的本质思想，让学生的认知更上一层。师生活动：学生小结归纳，不足的地方老师补充说明。1．我们将具有（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）（2）每个基本事件出现的可能性相等。（等可能性）这样两个特点的概率模型称为古典概率概型，简称古典概型。2．古典概型计算任何事件的概率计算公式。3．求某个随机事件A包含的基本事件的个数和实验中基本事件的总数的常用方法是列举法（画树状图和列表），应做到不重不漏。六、目标检测设计1、一枚硬币连掷