高考数学专题讲座 第13讲 高频考点分析之集合探讨

【备战高考数学专题讲座】第13讲：高频考点分析之集合探讨1～2讲，我们对客观性试题解法进行了探讨，3～8讲，对数学思想方法进行了探讨，9～12讲对数学解题方法进行了探讨，从第13讲开始我们对高频考点进行探讨。集合是近代数学的基础，也是高中数学最基本的概念之一。集合的思想、方法和语言使数学命题的表达更加简捷、明了，这注定了它可以渗透到数学的各个方面，也是高考考查的重要内容之一。年各地高考对集合的考查主要集中在3个方面：（1）集合的运算；（2）集合的元素个数；（3）把集合作为解决数学问题的工具，考查集合语言与集合思想的运用。结合年全国各地高考的实例，我们从下面三方面探讨集合知识的考点：（1）集合的运算；（2）集合中的元素和个数；（3）集合思想的运用。一、集合的运算：典型例题：例1.（年全国课标卷理5分）已知集合；,则中所含元素的个数为【】 【答案】。【考点】集合的运算。【解析】由，得：；；；，所以中所含元素的个数为。故选。例2.（年北京市理5分）已知集合A={x∈R｜3x＋2>0﹜，B={x∈R｜(x＋1)(x－3)>0﹜，则A∩B=【】A．（－∞，－1）B.（－1，）C.﹙，3﹚D.（3，＋∝）【答案】D。【考点】集合的交集运算。【解析】∵，，∴A∩B=（3，＋∝）。故选D。例3.（年山东省理5分）已知全集={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3,}，B={2,4}，则（CuA）B为【】A{1，2，4}B{2，3，4}C{0，2，4}D{0，2，3，4}【答案】C。【考点】集合的运算。【解析】∵全集={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3,}，B={2,4}，∴。。故选C。例4.（年广东省理5分）设集合U={1,2,3,4,5,6}，M={1,2,4}则【】A．UB．{1,3,5}C．{3,5,6}D．{2,4,6}【答案】C。【考点】补集的运算。【解析】∵集合U={1,2,3,4,5,6}，M={1,2,4}，∴{3,5,6}。故选C。例5.（年浙江省理5分）设集合，集合，则【】A．B．C．D．【答案】A。【考点】集合的运算。【解析】∵，∴。∴。故选A。例6.（年湖南省理5分）设集合，则∩=【】A.B.C.D.【答案】B。【考点】集合的基本运算。【解析】∵，，∴∩。故选B。例7.（年辽宁省理5分）已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，则为【】(A){5,8}(B){7,9}(C){0,1,3}(D){2,4,6}【答案】B。【考点】集合的交集、补集运算【解析】∵全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，∴。∴为{7,9}。故选B。例8.（年陕西省理5分）集合，，则【】A.B.C.D.【答案】C。【考点】集合交集运算。【解析】∵，，∴。故选C。例9.（年四川省理4分）设全集，集合，，则▲。【答案】【考点】集合的运算。【解析】∵，集合，，∴，。∴。例10.（年江苏省5分）已知集合，，则▲．【答案】。【考点】集合的概念和运算。【分析】由集合的并集意义得。例11.（年全国大纲卷文5分）已知集合={︱是平行四边形}，={︱是矩形}，={︱是正方形}，{︱是菱形}，则【】A.B.C.D.【答案】B。【考点】集合的概念，集合的包含关系。【解析】平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系如图，由图知是大的集合，是最小的集合，因此，选项A、C、、D错误，选项B正确。故选B。例12.（年全国课标卷文5分）已知集合A={x|x2－x－2<0}，B={x|－1<x<1}，则【】（A）AB（B）BA（C）A=B（D）A∩B=【答案】B。【考点】集合的运算。【解析】∵∴BA。故选B。例13.（年安徽省文5分）设集合,集合是函数的定义域；则【】 【答案】。【考点】对数函数的定义域，集合的运算。【解析】∵集合是函数的定义域，∴。又∵，∴。故选。例14.（年山东省文5分）已知全集={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3,}，B={2,4}，则（CuA）B为【】A{1，2，4}B{2，3，4}C{0，2，4}D{0，2，3，4}【答案】C。【考点】集合的运算。【解析】∵全集={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3,}，B={2,4}，∴。。故选C。例15.（年江西省文5分）若全集的补集为【】ABCD【答案】C。【考点】集合的基本运算。【解析】∵，∴。故选C。例16.（年浙江省文5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，设集合P={1，2，3，4}，Q{3，4，5}，则P∩（CUQ）=【】A.{1，2，3，4，6}B.{1，2，3，4，5}C.{1，2，5}D.{1,2}【答案】D。【考点】集合的并集和补集运算。【解析】∵全集U={1，2，3，4，5，6}，Q{3，4，5}，∴CUQ={1，2，6}。∴P∩（CUQ）={1，2}。故选D。例17.（年福建省文5分）已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{－2,2}，下列结论成立的是【】A．N⊂MB．M∪N＝MC．M∩N＝ND．M∩N＝{2}【答案】D。【考点】集合的交集。【解析】因为集合M＝{1,2,3,4}，N＝{－2,2}，所以M∩N＝{2}。故选D。例18.（年上海市文4分）若集合，，则＝▲【答案】。【考点】集合的概念和性质的运用，一元一次不等式和绝对值不等式的解法。【解析】由题意，得，∴。例19.（年重庆市文5分）设函数集合则为【】（A）（B）（0，1）（C）（-1，1）（D）【答案】D。【考点】复合函数的概念，解一元二次不等式和指数不等式，集合及其运算。【分析】利用已知求出集合中的范围，结合集合，求出的范围，然后求解即可：由得，∴或，即或。∴或，即。由得，即，∴，即。∴。故选D。二、集合中的元素和个数：典型例题：例1.（年江西省理5分）若集合，，则集合中的元素的个数为【】A．5B.4C.3D.2【答案】C。【考点】集合的元素，分类讨论。【解析】分类讨论：当时，或2，或1；当时，或2，或3。根据集合的互异性，中的元素的个数为3。故选C。例2.（年全国大纲卷理5分）已知集合，则【】A．0或B．0或3C．1或D．1或3【答案】B。【考点】集合的概念和并集运算，集合的关系的运用，元素与集合的关系的综合运用。【解析】∵，∴。∵，∴。∴或，解得或或。根据集合元素的互异性，∴或。故选B。例3.（年湖北省文5分）已知集合，，则满足条件的集合的个数为【】A1B2C【答案】D。【考点】集合的子集。【解析】求解一元二次方程，得，易知。∵，∴根据子集的定义，集合必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4。∴原题转换为求集合的子集个数，即有个。故选D。三、集合思想的运用：典型例题：例1.（年江苏省10分）设集合，．记为同时满足下列条件的集合的个数：①；②若，则；③若，则。（1）求；（2）求的解析式（用表示）．【答案】解：（1）当时，符合条件的集合为：，∴=4。(2）任取偶数，将除以2，若商仍为偶数．再除以2，···经过次以后．商必为奇数．此时记商为。于是，其中为奇数。由条件知．若则为偶数；若，则为奇数。于是是否属于，由是否属于确定。设是中所有奇数的集合．因此等于的子集个数。当为偶数〔或奇数）时，中奇数的个数是（）。∴。【考点】集合的概念和运算，计数原理。【解析】（1）找出时，符合条件的集合个数即可。（2）由题设，根据计数原理进行求解。例2.（年上海市理18分）对于数集，其中，，定义向量集.若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P.例如具有性质P.（1）若＞2，且，求的值；（4分）（2）若X具有性质P，求证：1X，且当n＞1时，1=1；（6分）（3）若X具有性质P，且1=1，（为常数），求有穷数列的通项公式.（8分）【答案】解：（1）选取，则Y中与垂直的元素必有形式。∴，从而=4。（2）证明：取，设满足。由得，∴、异号。∵－1是X中唯一的负数，所以、中之一为－1，另一为1。故1X。假设，其中，则。选取，并设满足，即。则、异号，从而、之中恰有一个为－1。若=－1，则，矛盾；若=－1，则，矛盾.∴=1。（3）猜测，i=1,2,…,。记，=2,3,…,。先证明：若具有性质P，则也具有性质P。任取，、.当、中出现－1时，显然有满足。当且时，、≥1。∵具有性质P，∴有，、，使得。从而和中有一个是－1，不妨设=－1，假设且，则。由，得，与矛盾。∴，从而也具有性质P。现用数学归纳法证明：，i=1,2,…,。当=2时，结论显然成立。假设时，有性质P，则，i=1,2,…,；则当时，若有性质P，则也有性质P，所以。取，并设满足，即。由此可得与中有且只有一个为－1。若，则，所以，这不可能；∴，，又，所以。综上所述，，i=1,2,…,。【考点】数集、集合的基本性质、元素与集合的关系，数学归纳法和反证法的应用。【解析】（1）根据题设直接求解。（2）用反证法给予证明。（3）根据题设，先用反证法证明：若具有性质P，则也具有性质P，再用数学归纳法证明猜测，i=1,2,…,。例3.（年北京市理13分）设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s(m，n)为所有这样的数表构成的集合。对于A∈S(m，n)，记Ri(A)为A的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），Cj(A)为A的第j列各数之和（1≤j≤n）；记K(A)为∣R1(A)∣,∣R2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C1(A)∣,∣C2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。（1）对如下数表A，求的值；11－0.80.1－0.3－1（2）设数表A∈S（2,3）形如11cab－1求的最大值；（3）给定正整数t，对于所有的A∈S（2，2t+1），求的最大值。【答案】解：（1）由题意可知，∴。（2）先用反证法证明：若，则，∴（无解）。同理可知。∴。由题设所有数和为0，即，∴，解得，与题设矛盾。∴。易知当时，存在。∴的最大值为1。（3）的最大值为。首先构造满足的：，。经计算知，中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且，，。下面证明是最大值。若不然，则存在一个数表A∈S（2，2t+1），使得。由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故的每一列两个数之和的绝对值都在区间中.由于，故的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于。设中有列的列和为正，有列的列和为负，由对称性不妨设，则。另外，由对称性不妨设的第一行行和为正，第二行行和为负。考虑的第一行，由前面结论知的第一行有不超过个正数和不少于个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于（即每个负数均不超过）。因此，故的第一行行和的绝对值小于，与假设矛盾。因此的最大值为。【考点】逻辑推理，反证法的应用。【解析】（1）根据ri（A）为A的第i行各数之和（i=1，2），cj（A）为A的第j列各数之和（j=1，2，3）；求出|r1（A）|，|r2（A）|，|c1（A）|，|c2（A）|，|c3（A）|中的最小值可即为所求。（2）用反证法证明。（3）先构造满足的，用反证法证明是最大值。例4.（年广东省文14分）设，集合，，．（1）求集合（用区间