湖南省益阳市沅江市新湾镇中学2024-2025学年九年级上学期开学数学试题

2024年下期新湾镇学校九年级上册开学考试数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题（本大题共10小题，共30分）1．（本题3分）下列方程是一元二次方程的是（

）A． B． C． D．2．（本题3分）关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数k的取值范围是（

）A．且 B． C． D．且3．（本题3分）如图，在一块长为36米，宽为25米的矩形空地上修建三条宽均为x米的笔直小道，其余部分（即图中阴影部分）改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为平方米，求x的值．根据题意，下列方程正确的是（

）

A． B．C． D．4．（本题3分）抛物线的图象上有两点、，则、的大小是（

）A． B． C． D．无法判断5．（本题3分）如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1．其中正确结论的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．26．（本题3分）某茶杯的过最低点的竖直截面如图所示，其中杯体竖直截面呈抛物线形状杯体厚度忽略不计，点，点位于杯口处，且，点是抛物线最低点，当茶杯装满茶水时，茶水的最大深度点到的距离为，将茶水倒出一部分后，茶水的最大深度恰好为点到的距离，求此时的长度（

）A． B．

C． D．7．（本题3分）已知a是方程的根，则的值是（

）A． B． C． D．28．（本题3分）已知二次函数，当时，y有最小值和最大值5，则m的取值范围为（

）A． B． C．1≤m≤2 D．9．（本题3分）已知一元二次方程的两个实数根为，，下列说法：①若a，c异号，则方程一定有实数根；②若，则方程一定有实数根；③若，，，由根与系数的关系可得，其中结论正确的个数有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个10．（本题3分）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，如图所示，下列结论：①；②方程的两个根是；③；④当时，x的取值范围是；⑤当时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数是（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共8小题，共24分）11．（本题3分）方程的一次项系数是．12．（本题3分）如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）直接具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为．

13．（本题3分）如图，在长为33米宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路(阴影部分)，余下的部分为草坪，要使草坪的面积为510平方米，则道路的宽为．14．（本题3分）抛物线的顶点坐标．15．（本题3分）已知二次函数的图象的顶点在x轴上方，则实数k的取值范围是．16．（本题3分）已知抛物线与轴交于点，点是抛物线上的动点，，若是以为底的等腰三角形，则点的坐标为．17．（本题3分）已知二次函数的部分图象如图所示，则．18．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线：绕原点顺时针旋转后得到，向右平移4个单位，向上平移2个单位得到．点为的顶点，作直线．点为平面内一动点，将点向上平移两个单位长度得到点，过点作y轴的垂线交直线于点，以、为边构造矩形．设、、的图象为．当矩形与图象有三个公共点时，的取值范围为．三、解答题（本大题共8小题，共66分）19．（本题7分）解方程：．20．（本题7分）如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，每个矩形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米．（1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边的长；（2）羊圈的总面积能为500平方米吗？若能，请求出边的长；若不能，说明理由．21．（本题8分）在丝绸博览会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条丝绸条带．若丝绸条带的面积为，求丝绸条带的宽度；

22．（本题8分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个实数根．(1)求k的取值范围；(2)若方程有一个根为2，求方程的另一根．23．（本题9分）如图1，抛物线的图象与x轴的交点为A和B，与y轴交点为，与直线交点为A和C，且．(1)求抛物线的解析式和b值；(2)在直线上是否存在一点P，使得是等腰直角三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；(3)将抛物线图象x轴上方的部分沿x轴翻折得一个“M”形状的新图象（如图2），若直线与该新图象恰好有四个公共点，请求出此时n的取值范围．24．（本题9分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）填表：x…01234…y……（2）在平面直角坐标系中画出函数y＝x2﹣4x+3的图象；（3）由图象可知，当y＞0时，x的取值范围是．（直接写出结果）25．（本题9分）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，顶点为D．（1）求此二次函数的解析式．（2）求点D的坐标及△ABD的面积．26．（本题9分）丁丁推铅球的出手高度为1.6m，在如图所示的直角坐标系中，铅球运动轨迹是抛物线，求铅球的落点与丁丁的距离．

参考答案1．【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解．【详解】解∶A、分母含未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B、含2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C、是一元二次方程，故本选项符合题意；D、含2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故此题答案为C2．【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义可得，再根据方程有两个根可得，即可求解．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，∴，且，∴，且，故此题答案为D．3．【答案】D【分析】要求学生能根据题意的数量关系建立等式，同时考查了学生的阅读能力和理解能力．根据题意表示出种草部分的长为，宽为，即可求解．【详解】解：把小路平移后，如图所示，

设小路宽为x，则种草坪部分的长为，宽为，由题意建立等量关系得：故此题答案为D4．【答案】C【分析】根据题意求出、的值比较即可．【详解】解：将、代入抛物线，，，故此题答案为C．5．【答案】C【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系逐一判断即可【详解】解：①由抛物线对称轴为直线，从而，则，故①正确；②抛物线开口向下，与轴相交与正半轴，则，而，因而，故②错误；③方程的解，即是与直线的交点的横坐标，从图象可得，抛物线顶点为，则抛物线与直线有且只有一个交点，故方程有两个相等的实数根，故③正确；④由抛物线对称性，与轴的一个交点，根据对称轴为，可知另一个交点坐标为（−2，0），故④错误；⑤由图象可知，当1＜x＜4时，y1＞y2，故⑤正确；故正确的有①③⑤，共计3个故此题答案为C6．【答案】A【分析】设截面抛物线为，则把代入求出解析式，然后将代入求出液面的宽即可．【详解】解：依题意，建立如图所示的直角坐标系，设截面抛物线．

将代入，得．解得．∴．将代入，得．解得．∴，，∴．故此题答案为A．7．【答案】B【分析】由a是方程的根，可得，再根据分式的混合运算法则化简，然后将整体代入计算即可．【详解】解：∵a是方程的根，∴，即，，，，．故此题答案为B．8．【答案】D【分析】根据抛物线的图象及性质可知函数最小值，然后利用抛物线图象关于对称轴对称的性质判定即可．【详解】解：二次函数对称轴为，由题意得，二次函数经过点，，，结合图象可知：①当0<m≤2时，最小值为时y的值，最大值为5②当时，最小值为，最大值为5；③当时，最小值为，最大值为时y的值；∴m的取值范围是．故此题答案为D．9．【答案】C【分析】当a、c异号时，，则根据根的判别式的意义可对①进行判断；当时，则，则根据根的判别式的意义可对③进行判断；若，，，计算出，则可对④进行判断．【详解】解：，当a、c异号时，，所以，所以此时方程一定有实数根，所以①正确；若时，，则方程一定有两实数根，所以②正确；若，，，，所以方程没有实数根，所以③错误．故此题答案为C．10．【答案】D【分析】利用二次函数的图象和所给的条件解题，通过对称轴直线，可得到a、b的关系，再结合与x轴的一个交点坐标为，可得另一个交点坐标，再结合函数图象解决问题即可．【详解】解：由图象可知，图象与x轴有两个交点，∴，即，故①正确；∵对称轴为直线，∵与x轴的一个交点坐标为，∴与x轴的另一个交点坐标为，∴，故②正确；∴，即，故③正确；由函数图象可得，当时，x的取值范围是；故④正确．由图象可知，当时，y随x增大先增大后减小，故⑤错误．故此题答案为D．11．【答案】-8【分析】根据一元二次方程的一般形式解答．【详解】解：方程的一次项是，其系数是．12．【答案】6【分析】根据关系式，令h=0即可求得t的值为飞行的时间．【详解】依题意，令h=0得0=24t-4t2得t（24-4t）=0，解得t=0或t=6，小球从飞出到落地所用的时间为6-0=6s．13．【答案】3米/【分析】设道路的宽为，可借助平移性质得到长为、宽为的矩形草坪，然后利用矩形面积公式列方程，解方程即可．【详解】解：设道路的宽为，由题意得，整理得，解得，（不合题意，舍去），故道路的宽为3米．14．【答案】【分析】直接根据抛物线的顶点式即可得．【详解】解：∵抛物线的解析式为，∴它的顶点坐标是15．【答案】【分析】根据题意得到，然后代入求解即可．【详解】解：∵二次函数的图象的顶点在x轴上方，∴，∴函数图像开口向上，∴图像与x轴没有交点，∴，即，解得：．16．【答案】或【分析】先计算出自变量为时所对应的二次函数值得到点坐标，则过中点与轴平行的直线为，再利用等腰三角形的性质得点为直线与抛物线的交点，然后解方程即可确定点坐标．【详解】解：当时，，则，是以为底的等腰三角形，点为直线与抛物线的交点，当时，，解得，，点坐标为或．17．【答案】【分析】由已知的图像可知二次函数图像的对称轴为直线，即可求出b，由二次函数图像与y轴交点即可求解．【详解】解：二次函数与y轴交点为，即，对称轴为直线，即，解得：，18．【答案】或或【分析】利用二次函数的性质，分情况利用数形结合的方法分析求解即可．【详解】解：由题意知，的解析式为，的解析式为；①当B与原点重合时，，此时矩形不存在；②当Q在与y轴的交点上时，矩形与图象G有三个公共点，如图：当时，，即；故当时，矩形与图象G有三个公共点；③时，矩形与图象G只有两个公共点，如下图所示；④由②中可知，当时，矩形与图象G有四个公共点；⑤如图，当点D在上时，矩形与图象G有三个公共点；设直线的解析式为，把点A坐标代入得，即；∵点Q向上平移两个单位长度得到点B，，∴点D的纵坐标为，即，把点D坐标代入，得：，解得：（舍去），；即点Q的纵坐标为，故；⑥当时，矩形与图象G只有三个公共点，如图；⑦当时，矩形与图象G只有两个公共点，如图；综上，当或或时，矩形与图象G有三个公共点．19．【答案】或【分析】由十字相乘法即可求出答案．【详解】解：，，或，或．20．【答案】（1）边AB的长为15米；（2）羊圈的总面积不能为500平方米，理由见详解【分析】（1）设AB=x米，则有，然后根据矩形面积公式可列出方程求解；（2）由（1）可得，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解．【详解】解：（1）设AB=x米，由题意可得：，∴，解得：，∵墙的最大可用长度为30米，且当x=5时，，∴，答：边AB的长为15米；（2）由（1）可得：，化简得：，∴，∴羊圈的总面积不能为500平方米．21．【答案】丝绸条带的宽度为5cm【分析】设丝绸条带的宽度为，由长方形的面积计算公式结合丝绸条带的面积为，列出关于的一元二次方程，解方程即可．【详解】设丝绸条带的宽度为，由题意得：，整理得：，，（不合题意，舍去），答：丝绸条带的宽度为．22．【答案】(1)k≥﹣1；(2)方程的另一根为﹣4．【分析】（1）由一元二次方程x2＋2x－k＝0有两个实数根，可得：，再解不等式可得答案；（2）由方程有一个根为2，设方程的另一根根据根与系数的关系可得：再解方程可得答案．【详解】（1）解：（1）∵方程有两个实数根，∴，即∴；（2）解：方程有一个根为2，设方程的另一根所以可方程的另一根为23．【答案】(1)抛物线的解析式为；(2)存在，点P的坐标为或(3)n的取值范围为【分析】（1）根据题意可得点A坐标，然后利用待定系数法可求抛物线解析式以及b值；（2）求出点B坐标，由直线的解析式可得，分两种情况：当时，当时，分别求出点P的横坐标即可；（3）分别求出直线过点时n的值以及直线与抛物线有唯一公共点时n的值即可得出答案．【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交点为，∴，，∴，将代入得，解得，∴抛物线的解析式为，将代入得，解得；（2）解：存在；令，解得，，∴，，∵直线的解析式为，∴，当时，点P横坐标和点B横坐标相同，都是1，把代入得，∴此时，当时，如图1，过点P作轴于E，则点E为的中点，∴点E的横坐标为，∴点P的横坐标为，把代入得，∴此时，综上所述，满足条件的点P的坐标为或；（3）解：将抛物线图象x轴上方部分沿x轴翻折后所在的抛物线表达式为，当直线过点与该新图象恰好有三个公共点时，可得，解得；当直线与抛物线有唯一公共点时，可得，即只有一个实数解，∴，解得；∴若