人教版九年级数学上册2024年知识点总结史上

人教版九年级数学上册学问点总结

21.1一元二次方程

学问点——元二次方程的定义

等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的

方程，叫做一元二次方程。

留意一下几点：

①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。

学问点二一元二次方程的一般形式

一般形式：ax?+bx+c=0(aW0).其中，ax?是二次项，a是二次项系数；bx是一

次项，b是一次项系数；c是常数项。

学问点三一元二次方程的根

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方

程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。

21.2降次一一解一元二次方程

21.2.1配方法

学问点一干脆开平方法解一元二次方程

(1)假如方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以干脆

开平方。一般地，对于形如x2=a(a20)的方程，依据平方根的定义可解得

Xi=Vo,X2=—Vtz.

(2)干脆开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(^lW0)形式的方程，假如p20,就可

以利用干脆开平方法。

(3)用干脆开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方

根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

(4)干脆开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数

的式子的平方项的系数为1;③两边干脆开平方，使原方程变为两个一元二次方程;

④解一元一次方程，求出原方程的根。

学问点二配方法解一元二次方程

通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把

一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。

配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。

(1)把常数项移到等号的右边；⑵方程两边都除以二次项系数；

⑶方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；⑷若等号

右边为非负数，干脆开平方求出方程的解。

21.2.2公式法

学问点一公式法解一元二次方程

(1)一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0),假如b?-4ac牝0,那么方程的两个

-b±b—4(ic

根为x=-N-------------，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，

2a

我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值干脆求得方程的解，这种解方程的方法

叫做公式法。

(2)一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程

ax2+bx+c=0(aWO)的过程。

(3)公式法解一元二次方程的具体步骤：

①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a#0),一般a化为正值②确定公式中a,b,c

的值，留意符号；

③求出b2-4ac的值；④若b2-4ac^0,则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解,

若b2-4ac<0,则方程无实数根。

学问点二一元二次方程根的判别式

式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(aW0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即4

=b2-4ac.

△>0,方程ax2+bx+c=0(aW0)有两个不相等的实数根

一元二次升程△=(),方程ax2+bx+c=0(aW0)有两个相等的实数根

根的判别式

△<0,方程ax'+bx+cR(aWO)无实数根

21.2.3因式分解法

学问点一因式分解法解一元二次方程

(1)把一元二次方程的一边化为0,而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求

两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。

(2)因式分解法的具体步骤：

①移项，将全部的项都移到左边，右边化为0；

②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方

公式；

③令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；

④解一元一次方程即可得到原方程的解。

学问点二用合适的方法解一元一次方程

方法名理论依据适用范围

称

干脆开平平方根的意形如x2=p或(mx+n)2=p(p

方法义20)

配方法完全平方公式全部一元二次方程

公式法配方法全部一元二次方程

因式分解当ab=O,则a=0一边为0,另一边易于分解

法或b=0成两个一次因式的积的一

元二次方程。

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系

2

若一元二次方程x+px+q=0的两个根为Xi,X2,则有xi+x2=-p,XiX2=q.

若一元二次方程a2x+bx+c=0(aWO)有两个实数根xx,则有xi+x=,XiX=-

b22a2a

22.3实际问题与一元二次方程

学问点一列一元二次方程解应用题的一般步骤：

(1)审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间

的等量关系。

(2)设：是指设元，也就是设出未知数。

(3)歹［J：就是列方程，这是关键步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等

含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，

即方程。

(4)解：就是解方程，求出未知数的值。

(5)验：是指检验方程的解是否保证明际问题有意义，符合题意。

(6)答：写出答案。

学问点二列一元二次方程解应用题的几种常见类型

(1)数字问题

三个连续整数：若设中间的一个数为X,则另两个数分别为xT,x+lo

三个连续偶数(奇数)：若中间的一个数为x,则另两个数分别为x-2,x+2。

三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c,则这个三位数是

100a+10b+c.

(2)增长率问题

设初始量为a,终止量为b,平均增长率或平均降低率为x,则经过两次的增长或降低后

的等量关系为a(1+x)2=bo

(3)利润问题

利润问题常用的相等关系式有：①总利润:总销售价-总成本；②总利润:单位利润X总

销售量；③利润;成本X利润率

(4)图形的面积问题

依据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数

式表示出来，建立一元二次方程。

二次函数学问点归纳及相关典型题

第一部分基础学问

1.定义：一般地，假如y=/+6x+c(a,仇c是常数，a/O),那么y叫做x的二次函数.

2.二次函数丁=依2的性质

(1)抛物线y=的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.

(2)函数>=依2的图像与。的符号关系.

①当a>0时o抛物线开口向上o顶点为其最低点；

②当a<0时o抛物线开口向下o顶点为其最高点.

(3)顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y=(a彳0).

3.二次函数y=a/+bx+c的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.

4.二次函数y=ax2+bx+c用配方法可化成：y=a（x-h）2^k的形式，其中

7b7^ac-b2

rl-，K—•

2a4〃

5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①尸一；②尸公2+心③好小_”）2；

④y=a（x-A）2+k；⑤y=ax2+bx+c.

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①a的符号确定抛物线的开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；

时相等，抛物线的开口大小、形态相同.

②平行于y轴（或重合）的直线记作x=机特殊地，y轴记作直线x=0.

7.顶点确定抛物线的位置.几个不同的二次函数，假如二次项系数a相同，那么抛物线的

开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

（1）公式法：y=ax1+bx+c=a（x+—,•,•顶点是（一2,^^——）J对称轴是

2a）4ala4a

直线x=-2.

la

（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a（x-4+左的形式，得到顶

点、为（h,k）,对称轴是直线％=〃.

（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的

连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.

9.抛物线y=ax?+6x+c中，a,,c的作用

（1）a确定开口方向及开口大小，这与y=中的a完全一样.

（2）b和。共同确定抛物线对称轴的位置.由于抛物线ynad+bx+c的对称轴是直线

x=-—,故：①6=0时，对称轴为y轴；②2〉0（即外匕同号）时，对称轴在y轴

laa

左侧；③2<0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.

（3）c的大小确定抛物线y=/+bx+c与y轴交点的位置.

当x=0时，y=c,•♦•抛物线y=6+法+。与y轴有且只有一个交点（0,c）:

①c=O,抛物线经过原点；②c>0,与y轴交于正半轴；③c<0,与y轴交于负半

轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则

2<0.

a

10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

函数解析式开口方向对称轴顶点坐标

y=ax2x=O(y轴)(0,0)

y=ax2+kx=O(y轴)(0,k)

y=a(x-7z)2x-h(m0)

y=a{x-hf+k当a>0时x-h(h,k)

b

y=ax2+bx+c开口向上x=---(b4ac-b2

la

2a4a

当a<0时

)

开口向下

11.用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：y=&+6x+c.已知图像上三点或三对X、y的值，通常选择一般式.

（2）顶点式：y=a（x-犷+h已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标七、4,通常选用交点式：y=a（x-M）（x-%）.

12.直线与抛物线的交点

（1）y轴与抛物线卜&+bx+c得交点为（0,c）.

（2）与y轴平行的直线x=7i与抛物线y=以2+法+c有且只有一■个交点（//,ah2+bh+c）.

（3）抛物线与x轴的交点

二次函数了=以2+法+。的图像与x轴的两个交点的横坐标修、x2,是对应一元二次

方程"2+法+c=。的两个实数根.抛物线与X轴的交点状况可以由对应的一元二次

方程的根的判别式判定：

①有两个交点oA>0o抛物线与X轴相交；

②有一个交点（顶点在x轴上）oA=0o抛物线与x轴相切；

③没有交点oA<0o抛物线与%轴相离.

（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点

同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的

纵坐标相等，设纵坐标为左，则横坐标是双之+法+0=左的两个实数根.

（5）一次函数y=kx+n（k主0）的图像/与二次函数y=ax-+6x+c（aw0）的图像G的交点，

由方程组丘:"的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时o/与G

y=ax+bx+c

有两个交点；②方程组只有一组解时。/与G只有一个交点；③方程组无解时。/

与G没有交点.

（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线丁=以2+法+。与x轴两交点为

B（X2,0）,由于X］、%是方程ax?=0的两个根，故

其次十三章旋转

23.1图形的旋转

学问点一旋转的定义

在平面内，把一个平面图形围着平面内某一点。转动一个角度，就叫做图形的旋转，点

。叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。

我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。

学问点二旋转的性质

旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹

角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。

理解以下几点：

（1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）对应点到旋转中心

的距离相等，对应线段相等，对应角相等。（3）图形的大小和形态都没有发生变

更，只变更了图形的位置。

学问点三利用旋转性质作图

旋转有两条重要性质：（1）随意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（2）

对应点到旋转中心的距离相等，它是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为：

①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；②转：即把直线按要求绕旋转中心

转过肯定角度（作旋转角）

③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；④接:

即连接到所连接的各点。

23.2中心对称

学问点一中心对称的定义

中心对称：把一个图形围着某一个点旋转180。，假如它能够与另一个图形重合，那么

就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。

留意以下几点：

中心对称指的是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180。两个

图形能够完全重合。

学问点二作一个图形关于某点对称的图形

要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键是作出该图形上关键点关于对称

中心的对称点。最终将对称点依据原图形的形态连接起来，即可得出成中心对称图形。

学问点三中心对称的性质

有以下几点：

(1)关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心

平分；

(2)关于中心对称的两个图形能够相互重合，是全等形；

(3)关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或共线)且相等。

学问点四中心对称图形的定义

把一个图形围着某一个点旋转180。，假如旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么

这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

学问点五关于原点对称的点的坐标

在平面直角坐标系中，假如两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p(x,y)

关于原点对称点为(-x,-y)o

其次十四章圆

24.1圆

24.1.1圆

学问点一圆的定义

圆的定义：第一种：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点。旋转一周，另一个

端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点。叫作圆心，线段OA叫作半径。其次种：圆

心为0,半径为r的圆可以看成是全部到定点0的距离等于定长r的点的集合。

比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，其次种是运用集合的观

点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。

学问点二圆的相关概念

(1)弦：连接圆上随意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。

(2)弧：圆上随意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的随意一条直径的两个端点把

圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

(3)等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。

(4)等弧：在同圆或等圆中，能够相互重合的弧叫做等弧。

弦是线段，弧是曲线，推断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完

全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。

24.1.2垂直于弦的直径

学问点一圆的对称性

圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。

学问点二垂径定理

(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径

c

为CD,AB是弦,且CDLAB,

AD=BD

垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

如上图所示，直径CD与非直径弦AB相交于点M,

VCD±AB

AM=BMAC=BC

AD=BD

留意：因为圆的两条直径必需相互平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必需不

是直径，否则结论不成立。

24.1.3弧、弦、圆心角

学问点弦、弧、圆心角的关系

(1)弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相

等，所对的弦也相等。

(2)在同圆或等圆中，假如两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它

们所对应的其余的各组量也相等。

(3)留意不能忽视同圆或等圆这个前提条件，假如丢掉这个条件，即使圆心角相等,

所对的弧、弦也不肯定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、

弦不肯定相等。

24.1.4圆周角

学问点一圆周角定理

(1)圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所

对的圆心角的一半。

(2)圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对弦

是直径。

(3)圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。“同弧或等弧”

是不能改为“同弦或等弦”的，否则就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两

类。

学问点二圆内接四边形及其性质

圆内接多边形：假如一个多边形的全部顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接

多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。

圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。

24.2点、直线、圆和圆的位置关系

24.2.1点和圆的位置关系

学问点一点与圆的位置关系

(1)点与圆的位置关系有：点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。

(2)用数量关系表示：若设。。的半径是r,点P到圆的距离0P=d,则有:

点P在圆外Qd>r；点p在圆上Qd=r；点p在圆内Qd<ro

学问点二过已知点作圆

(1)经过一个点的圆(如点A)

以点A外的随意一点(如点0)为圆心，以0A为半径作圆即可，如图，这样的圆可以作

多数个。

,02

•03

(2)经过两点的圆(如点A、B)

以线段AB的垂直平分线上的随意一点(如点0)为圆心，以0A(或0B)为半径作圆即

可，如图，这样的圆可以作多数个。

B

(3)经过三点的圆

①经过在同一条直线上的三个点不能作圆

②不在同一条直线上的三个点确定一个圆，即经过不在同一条直线上的三个点可以作

圆，且只能作一个圆。如经过不在同一条直线上的三个点A、B、C作圆，作法：连接

AB、BC(或AB、AC或BC、AC)并作它们的垂直平分线，两条垂直平分线相交于点0,

以点。为圆心，以0A(或OB、0C)的长为半径作圆即可，如图，这样的圆只能作一

个。

BC

学问点三三角形的外接圆与外心

(1)经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。

(2)外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。

学问点四反证法

(1)反证法：假设命题的结论不成立，经过推理得出冲突，由冲突断定所作假设不正

确，从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫做反证法。

(2)反证法的一般步骤：

①假设命题的结论不成立；

②从假设动身，经过逻辑推理，推出或与定义，或与公理，或与定理，或与已知等相冲

突的结论；

③由冲突判定假设不正确，从而得出原命题正确。

24.2.2直线和圆的位置关系

学问点一直线与圆的位置关系

(1)直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种。

(2)直线与圆的位置关系可以用数量关系表示

若设。。的半径是r,直线1与圆心0的距离为d,则有：

直线1和。夕箱交d<r；雷线1和。。相切V=r；直线1和。0

相离d>ro

学问点二切线的判定和性质

(1)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

(2)切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

(3)切线的其他性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径；经过

圆心且垂直于切线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

学问点三切线长定理

(1)切线长的定义：经过园外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这

点到圆的切线长。

(2)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆

心的连线平分两条切线的夹角。

(3)留意：切线和切线长是两个完全不同的概念，必需弄清晰切线是直线，是不能度

量的；切线长是一条线段的长，这条线段的两个端点一个是在圆外一点，另一个

是切点。

学问点四三角形的内切圆和内心

(1)三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。这个三角

形叫做圆的外切三角形。

(2)三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。

(3)留意：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的内心已知时,

过三角形的顶点和内心的射线，必平分三角形的内角。

24.2.3圆和圆的位置关系

学问点一圆与圆的位置关系

(1)圆与圆的位置关系有五种：

①假如两个圆没有公共点，就说这两个圆相离，包括外离和内含两种；

②假如两个圆只有一个公共点，就说这两个圆相切，包括内切和外切两种；

③假如两个圆有两个公共点，就说这两个圆相交。

(2)圆与圆的位置关系可以用数量关系来表示：

若设两圆圆心之间的距离为d,两圆的半径分别是nn,且n<c,则有

两圆外离Qd>n+n两圆外切=d=n+n/两圆相交口r2-ri<d<ri+r2两圆

内切d=r2~ri两圆内含—d<r2-ri

24.3正多边形和圆

学问点一正多边形的外接圆和圆的内接正多边形

正多边形与圆的关系特别亲密，把圆分成n(n是大于2的自然数)等份，顺次连接各

分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。

正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。

正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。

学问点二正多边形的性质

(1)正n边形的半径和边心距把正多边形分成2n个全等的直角三角形。

(2)全部的正多边形都是轴对称图形，每个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都

经过正n边形的中心；当正n边形的边数为偶数时，这个正n边形也是中心对称

图形，正n边形的中心就是对称中心。

(3)正,边形的每一个内角等于5-2)x180。,中心角和外角相等，等于幽。

nn

24.4弧长和扇形面积

学问点一弧长公式1=过

180

在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的弧长就是圆的周长C=2“R,所以n。的圆心

角所对的弧长的计算公式1=—X2"R=些o

360180

学问点二扇形面积公式

在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的扇形面积就是圆的面积S=口R?,所以圆心角

为n°的扇形的面积为S扇形二嗡。

比较扇形的弧长公式和面积公式发觉：

2

o_n7iRn兀R1八17n匚匚〜1

1r?t

S扇形一耳—=而又5氏=5〃?'所以5扇形=5"

学问点三圆锥的侧面积和全面积

圆锥的侧面积是曲面，沿着圆锥的一条母线将圆锥的侧面绽开，简单得到圆锥的侧面绽

开图是一个扇形。设圆锥的母线长为1,底面圆的半径为r,那么这个扇形的半径为1,

扇形的弧长为2nr,因此圆锥的侧面积$=工.2"./=加。圆锥的全面积为