与圆有关的计算求阴影部分面积-2024年中考数学答题技巧与模板构建（解析版）

易圆彳吴妁计算

题型徐速

模型01阴影部分面积计算

方法一直接利用公式法求阴影部分面积

方法二直接或构造和差法求阴影部分面积

求阴影部分面积方法总结

方法三利用等积转换法求阻影部分面积

方法四利用容斥原理求阴影部分面积

求阴影部分面积在考试中主要考查学生对图形的理解和数形结合的认识能力具有一定的难度.一般考试

中选择题或填空题型较多，熟练掌握扇形面积、弧长的计算、等边三角形的判定和性质，特殊平行四边形性质

是解题的关键.

模型02阴影部分周长计算

求阴影部分弧长或周长的计算，掌握弧长计算方法是正确计算的前提，求出相应的圆心角度数和半径是

正确计算的关键.该题型一般考试中选择题或填空题型较多，圆心角是九。，圆的半径为R的扇形面积为S,则

S扇形=47T兀&或S扇形==田（其中/为扇形的弧长）.熟练应用公式是解题的关键.

模型03与最值相关的计算

阴影部分面积和周长中求最值，此题有一定的难度，解题中注意掌握辅助线的作法,注意掌握方程思想与

数形结合思想的应用.本题考查中经常与轴对称--最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性

质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短等知识点相结合，解这类问题的关键是将所给问题抽象或

转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段，属于中考选择或填空题中的压轴题.

廷结•牌型铀建［

模型01阴影部分面积计算

考I向隅I测

阴影部分面积计算问题该题型主要以选择、填空形式出现，目前与综合性大题结合考试，作为其中一问，

难度系数不大,在各类考试中都以中档题为主.解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为规则图形的

面积进行求解，属于中考选择或填空题中的压轴题.

•••

答I题I技I巧

第一步：确定弧所对的圆心，（找圆心）

第二步：连接圆心与弧上的点；（连半径）

第三步：确定圆心角度数（有提示角度的话注意求解相应角，没有提示角度的话一般为特殊角，大胆假

设小心论证）

第四步：把不规则图形面积转化为规则图形面积进行求解

|即型T<5'I

题目Q（2023•四川）一个商标图案如图中阴影部分,在长方形ABCD中，AB=6cm,BC=4cm,以点A为

圆心，人。为半径作圆与氏4的延长线相交于点F,则阴影部分的面积是（）

FAB

A.(4TT+4)cm2B.(4TT+8)cm2C.(8兀+4)cm?D.(47t—16)cm2

【答案】4

【详解】解：由题意知AF=AD=BC=4cm,BF=AF+AB=10cm,

阴影部分的面积S=48•BC+^-KAD2-^-BF-BC

42

=6x4+=~兀x42-4X10X4

42

=24+4兀―20

=4兀+4,

故选4

〔题目团（2023•湖北）如图，在△48。中，ZA=90°,AB=3,AC=6,0是BC边上一点，以。为圆心的半圆

分别与AB,边相切于。,E两点，则图中两个阴影部分面积的和为.

【答案】5—兀/—兀+5

【详解】解:如图，连接OD,OE,

•/以O为圆心的半圆分别与4B,AC边相切于RE两点,

：.OD±ABfOE_LAC,

・・・乙4=90°,

・・・四边形ADOE是矩形，

又OD=OE,

・・・四边形ADOE是正方形，

AAD=DO=OE=AD,ZDOE=90°f

・・・ZA=ZOSC=90°,/LACB=AECO,

：.4ACB〜—ECO,

.AC=AB

''~EC~~EO'

设4。=。0=0石=4。=7，则石。=4。一钻=6一广，

...6----—_—3,

6—rr

解得丁=2,

・・.AD=OO=OE=4O=2,

・・・NOOE=90°,

/\DOB和/\EOC所包含扇形的面积之和为：—粤-x7rr2=：兀X22=兀,

3604

K2

图中两个阴影部分面积的和为：SA4BC-S正方形ADOE~=1X3X6—2—7T=5—7T,

故答案为：5—兀.

模型02阴影部分周长计算

考I向I殖I测

阴影部分弧长或周长计算该题型也主要以选择、填空的形式出现,一般较为靠后，有一定难度，该题

型主要考查求与弧结合的不规则图形的周长，准确应用弧长公式是解题的关键.但许多实际问题

没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成求规则图形

的长度问题.

答I题I技I巧

第一步：观察图形特点，确定弧长和线段长；

第二步：利用弧长公式求长度；

第三步：求图形中其它边的长度；

簸吧三停I

题目1（2023・河北）如图,正方形ABCD的边长为2,分别以B,C为圆心，以正方形的边长为半径的圆相较

于点P,那么图中阴影部分①的周长为，阴影部分①②的总面积为.

3

•：PB=PC=BC=2,

.•.△PB。为等边三角形，

NPBC=APCB=60°,NPBA=30°,

PF=PB-sin60°=2乂噂=瓜,

...阴影部分①的周长=l^+l&+AB

_307rx2.60兀义2,

180180

=兀+2

阴影邰分①②的芯面积=[S扇形工Rp—（S扇形BPC~^^BPC）]义2

=产兀x22_（60兀X22—Lx?*⑸]X2

L360V3602

=2人等,，

O

故答案为：兀+2;2\/3—

O

目口（2023•浙江）如图，正方形ABCD中，分别以B,。为圆心，以正方形的边长a为半径画弧，形成树叶

形（阴影部分）图案，则树叶形图案的周长为.

【答案】Ka

【详解】解：•.•四边形ABCD是正方形，边长为a,

：.AB=CB=AD=CD=a,/8=/。=90°,•M

树叶形图案的周长=2x喋詈=兀a.

lot）

故答案为：兀a.

模型03与最值相关的计算

考|向|森|测

圆的弧长与面积和量值相关的计算主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常

以压轴题的形式考查，学生不易把握.该题型也主要以选择、填空的形式出现,一般较为靠后，有一定难度，该

题型主要考查轴对称——最短路径问题、勾股定理、三角形及平行四边形的判定与性质,要利用“两点之间线

段最短”“点到直线距离垂线段最短”等,但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它

相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题,进而解决求阴影部分的最值问题.

答I题I技I巧

第一步：观察图形特点，确定变量和不变的量（一般情况下弧长固定,线段长变化）

第二步：利用将军饮马或者“两点之间线段最短”“点到直线距离垂线段最短”等知识点进行转化

第三步：牢记弧长公式，求对弧长和线段长；

第四步：利用数形结合思想注意确定最值；

］或型守伤I

1目Q（2023•江苏）如图，点。为《圆。上一个动点，连接AC,反7,若。4=L则阴影部分面积的最小值

【答案】。

【详解】解:连接AB,OC,AC,BC,

要使阴影部分的面积最小，需要满足四边形的面积最大，只需满足△AB。的面积最大即可,

从而可得当点。位于弧AB的中点C时，&ABC的面积最大，

连接OC,则OC4B于。，

.-.OD=1AB=^5E=^,

DC'=OC'-OD=1-空，

S四边衫AOBC=SA>IOB+SAABC'=—X1X1+—XA/2X

2

扇形AOB的面积=9%：1=%

3604

阴影部分面积的最小值=十一岑，

故选：C.

题目②（2022.浙江）如图，。。是以坐标原点。为圆心，4方为半径的圆，点P的坐标为（2,2）,弦4B经过

点P,则图中阴影部分面积的最小值为（）

A.8兀B.■兀C.8兀一16D.■兀—8A/3

OJ

【答案】。

【详解】解：由题意当OPJ_时，阴影部分的面积最小，

・•・P(2,2),p,

OP=A/22+22=2V2,T

,/OA'=OB'=4A/2,/

：.PA'=PB'=VOB2-OP2=V(4V2)2-(2V2)2=2^/6,

...tan/4OP=tan/_B'OP=^J=V^,\°\B，

2,\y

ZA'OP=AB'OP=60°,

：.ZA'OB'=120°,

7r

Sm=S羸衫°A旧—S^A'OB"=―°Jn''I"'4^6•2V2=—8V3,

oouzo

故答案为：。.

题目E(2023・吉林)如图，在Rt/XABC中，4ACB=90°,=30°,AC=4,以AB直径作圆，P为B。边的

垂直平分线DE上一个动点，则图中阴影部分周长的最小值为.

【答案】8+詈

【详解】解:如图，连接CE,连接BP

・・,P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，

・••点。和点B关于直线。石对称，

:・CP=BP,

・•・AP-^CP=AP+BP

：.当动点P与点石重合时4P+BP最小，此时AP+CP最小,

・・•AACB=90°,ZB=30°,AC=4,

・•.AB=2AC=8fAE=4,

：.CP=AP=AC,

・・・AACP是等边三角形，

・•.ZAFC=60°,

・・・AP+CP=AP+BP=AB=8,

：.阴影部分的周长最小值为8+6°0**4=8+字.

1803

故答案为8+萼.

O

真题•强化加绿、

题目工(2023•江苏)如图，在RtZVLBC中，乙4=90°,AB=3,47=4,以。为圆心的半圆分别与AB、边

相切于。、E两点，且。点在BC边上,则图中阴影部分面积$阴=()

A.B.弋C.5—■兀D侬―晅兀

4949

【答案】。

【详解】解:连接ODQE,设◎O与BC交于M、N两黑,

•：AB,力。分别切0O于。、E两点，

ZA£>O=ZAEO=90°,

又；乙4=90°,

二.四边形ADOE是矩形，

,/OD=OE,

四边形ADOE是正方形，

ZDOE=90°,

：.ZDOM+4EON=90°,

设OE=2，则AB=人。=①，EC=4。一AE=4—①.

•/ZC=ZCZCEO=乙4=90°,•M

・・・△8后〜△CR4,

.CE=OE

"~CA~'AB'

.4—N_X

"4’

解得①=券，

S阴影=S&4B。-S正方形ADOE~（S扇形DOM~^~S扇形EON）

907cx（竿y

=]x3x4一

360

15036

--------------兀

4949

故选D

题目可（2022•湖北）如图，在Rt/XABC中，90°,AB=6,AD是ABAC的平分线，经过4D两点的圆

的圆心。恰好落在上，。O分别与AB、AC相交于点E、F.若圆半径为2.则阴影部分面积（

）.

【答案】。

【详解】解:连接OD,OF.

•.♦AD是/BAC的平分线,

ADAB=ADAC,

,：OD=OAf

：.ZODA=ZOADf

：.AODA=ADAC,

：.OD//AC,

・・・/0£®=NC=90°,

^^AFD~S^OFA，

$阴=S扇形o%，

•：OD=OA=2,4B=6,

.\OB=4,

:.OB=2OD,

・・.ZB=30°,

ZA=60°,

OF=OA,

：.△4OF是等边三角形，

8

・・・乙40斤=60°,

S阴=S扇形OFA=6艺；22=聋.

3603

故选：C.

题目区（2023•安徽）如图是某芯片公司的图标示意图，其设计灵感源于传统照相机快门的机械结构，圆。中

【答案】B

【详解】解:如图所示，连接OB,OC

设正六边形的边长为1,贝I04=1,ZAOB=60°,OA^OB

・・・△496为等边三角形，则ABOA=AOBA=60°,OA=OB=AB=1,AC=2,

：.4BCO=/BOC,

又•・•AABO=ABCO+ABOC,

・・.ABCO=ABOC=30°,则AAOC=90°,

・・.OC=y/AC2-AO2=，§,即圆的半径为V3,

=

所以圆的面积为3兀，正六边形的面积为6SAAOB6x•OA-sin60°=6x-^-xlxlx=3f,

3V3

则阴影部分面积与圆的面积之比为一=③,

37r2兀

故选：R

题目⑷（2022.广西）如图所示，OO是以坐标原点。为圆心，4为半径的圆，点P的坐标为（四,V2）,弦AB

经过点P,则图中阴影部分面积的最小值等于（）

c8兀一6盗167C-12V3

A.2兀一4B.4兀一8C3

3

【答案】。

【详解】由题意当OP_L时，阴影部分的面积最小，

VP(V2,V2),

.•.OP=2,•.•OA=OB=4,

:.PA=PB=2通,

：.tanAAOP—ta.nZ.BOP—A/3,

/AOP=/BOP=60°,

ZAOB=120°,

.a_o_Q_12。兀-42L乂4/o9_16兀-12，5~

・・Q阴一Q扇形O4B——AvK/一~-

故选D

题目回（2023•山东）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于AB、两点,分别以AB、两点为圆心，画与

，轴相切的两个圆，若点A的坐标为（2,1）,则.图中两个阴影部分面积的和是（）

C.兀D.4兀

【答案】。

【详解】解：•.•点A的坐标为（2,1）,且。人与立轴相切，

二。A的半径为1,

,点A和点B是正比例函数与反比例函数的图象的交点,

.♦.点B的坐标为（-2,-1）,

同理得到OB的半径为1,

.♦.0A与。B关于原点中心对称，

.•.©人的阴影部分与08空白的部分完全重合，

.♦.。人的阴影部分与0B空白的部分的面积相等，

图中两个阴影部分面积的和=兀•]?=n.

故选C.

题目⑤（2023•山西）如图，在跳△AB。中，/。=90°,/B=30°,点。在AB上，以O为圆心作圆与相切

10

于点。，与AB、AC相交于点E、F；连接AD、FD,若。。的半径为2.则阴影部分面积为（）

D.白一遍

O

【答案】。

【详解】解:连接OD,OF.

•••0。与BC相切,

.・.zons=90°.

vZC=90°,

・・・/ODB=/C,

：.OD//AC,

・・・ZB=30°,

・・.ABAC=60°,

•：OF=OA,

：.ZVIOF是等边三角形,

・•・乙4OF=60°,

60,7T,22_27r

S阴影=S扇形OFA

故选c.

题目0（2023•黑龙江）如图，△ABC中，/ACB=90°,AC=BC=4,分别以点A,B为圆心，AC,BC的长

为半径作圆,分别交于点DE,则弧CD弧CE和线段DE围成的封闭图形（图阴影部分）的面积

（结果保留兀）

【答案】4兀一8

【详解】解：：ZACB=90°,AC=BC=4,

SAABC=[x4X4=8,S扇形碎=既-4=2兀，S空白=2x（8—2兀）=16—4兀,

/oou

S阴影=S^ABC-S空白=8_（16-4兀）=4兀-8,

故答案为：4兀一8.

题目回（2022.河南）在矩形ABCD中，AB=4,人。=472,以BC为直径作半圆（如图1）,点P为边CD上一

点.将矩形沿BP折叠，使得点。的对应点E恰好落在边AD上（如图2）,则阴影部分周长是.

【答案】2兀+4/4+2兀

【详解】解:设阴影部分所在的圆心为O,如图，连接OF,

四边形ABCD是矩形，

乙4及7=乙4=90°,

由折叠得，BE=BC=4®

•・•AB=4,

:・AE=dBE2—AB2=4

：.AB=AE,

：./ABE=Z.AEB=y（180°-90°）=45°

・•・/LOBE=90°-AABE=90°-45°=45°,

•：OB=OF

：.AOBF=AOFB=45°

：.ZBOF=180°-45°-45°=90°

・・・熊的长=9°兀：乎=V27U,

lot）

BF=^OB2+OF2=V（2V2）2+（2V2）2=4,

阴影部分周长=血兀+4,故答案为：血兀+4.

题目司（2022•内蒙古）如图，在Rt/\AOB中，/AQB=90°,以。为圆心，03的长为半径的圆交边AB于点

。，点。在边04上且CD=AC,延长CD交03的延长线于点

12

⑴求证：CD是圆的切线；

(2)已知sinZOCD=,AB=4A/^,求AC长度及阴影部分面积.

【答案】(1)证明见详解；

(2)47=3,阴影部分面积为雪一4兀.

【详解】⑴证明：连接OD

•：OD=OB

：./OBD=/ODB

•：AC=CD

・・.ZA=AADC

・・・ZADC=ABDE

：.ZA=AEDB

・・・ZAOB=90°

・•.ZA+ZABO=90°

・•・/ODB+/BDE=90°

即00_LCE,

又。在。o上

・・・CD是圆的切线；

⑵解：由⑴可知，zone=90°

在Rt/\OCD中，sinZOCD=4=%

oC/O

设OD=OB=4，，则。。=5x,

：.CD=y/OC2-OD2=V(5$)2+(4x)2=3rc

:.AC—3x

:.OA—OC+AC—8x

在Rt/\OAB中：052+04=AB2

即:(4①y+(8%B=(4A/5)2

解得x—\,(—1舍去)

:.AC—3,OC—5,OB—OD=4

在RtAOCE中，sinZOCD=4=架

5CE

・••设O石=4g,则CE=5y,

■：OE~+OC2^CE2

(4y)2+52=(5y)2

解得y=-|-,(―舍去)

oo

：.OE=4y=^~

o

Ucc9071•OB2120“50.

$阴影=-OE-OC------——=v—Xv5-4TT=­-4TT

/OOUZDo

阴影部分面积为萼一4兀.

o

13

题目如图,在以点。为圆心的半圆中，4B为直径，且AB=4,将该半圆折叠，使点力和点B落在点O

处，折痕分别为EC和FD，则图中阴影部分面积为（）

ACODR

A.4V3-^-B.4V3-^C.2遍一看D.2遍一等

oooJ

【答案】。

【详解】AB是直径，且AB=4,

OA=OE=2,

♦.•使点A和点B落在点O处，折痕分别为EC和FD,

：.AC=OC=OD=DB=1,

：.CD=2,EC=y/OE2-OC2=V3,

・・・ASOF是等边三角形，

・・・/EOF=60°,

S半圆=了兀CDFE=2xV3=2V3

SM=S长方衫CDFE-（S半国—S长方彩CDFE）+2（S扇形OEF-S/^OF）=4V3—2K+2（4—

故选D

题目区如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,点E是AB中点，在AO上取一点G,以点G为圆心，GD

的长为半径作圆,该圆与BC边相切于点F,连接。则图中阴影部分面积为（）

A.3兀B.4兀C.2兀+6D.5兀+2

【答案】B

【详解】如图，连接GF,

・・•四边形ABCD是矩形

・・.AD=BC=6fAADC=ZC=90°=NA=NB,AB=CD=4

•.•点E是AB中点

AE=BE=2

•.•BC与圆相切

GF_LB。,且NADC=/C=90°

A四边形GFCD是矩形，

又,/GD=DF

：.四边形GFCD是正方形

：.GD=GF=CD=CF=4

：.BF=BC-FC=2

$阴影=(S^ABFD-S&AED-S^BEF)+(S版影GDF-S&GDF)

（丝一异乂号义义）（兀

”6222+44x4x4)=4兀.

故选B.

题目区如图，四边形ABCD为正方形,边长为4,以B为圆心、BC长为半径画最，E为四边形内部一点,

且BELCE,/BCE=30°,连接AE,求阴影部分面积（）

AD

B

A.4?r-2V3B.6兀C.4兀-2-2遍D.4兀-3—2A/3

【答案】。

【详解】过E点作EM.LBC于初点，作EN1_AB于N点，如图，

•：BE±CE,

：.ABEC=90°,

/BCE=30°,

A/EBC=60°,D

•：EM±BC,

：.在Rt/XEMC中，

tanZ.ECM—fy=tan30°=,

MC3

：.MC=V3EM,

:在RtAEBM中，

tanZUBM=々吗=tan60°=底,BMC

BM

o

・・・BM+MC=BC=4,

:.哗EM+质EM=4,

o

:.EM=B

BM=冬EM=兴乂瓜=\,

OO

•・•NE_LAB,EM工BC,且/ABC=90°,

・・・四边形GMEN是矩形，

：.NE=BM=\,

VAB=BC=4,ZABC=90°,

/.SMBE=yXABx7VE=yX4xl=2,S^EC=-1-xBCxEM=-1-x4xV3=2A/3,

90°,1

S扇形4BC=兀xAB2X兀x49x—=4TT

360°4

$阴影=S扇*AB「S4ABE-S4BEC=4兀—2—2A/3,

故选：c.

题目区如图，正三角形ABC的边长为4cm,D,E,F分别为BC,AC,AB的中点，以A,B,。三点为圆

心，2cm为半径作圆.则图中阴影部分面积为（）

A.(2A/3—7t)cm2B.(兀一V3)cm2C.(4V3—27r)cm2D.(2兀—2V3)cm2

【答案】。

【详解】连接AD,

・・•是正三角形，

・・.AB=BC=AC=4,ABAC=ZB=ZC=60°,

•：BD=CD,

：.AD±BCf

：.AD=y/AB^BD2=V42-22=2V3,

2

S阴影=S/^45c—3S扇形71sF=Jx4x2^3—6。：2x3=(4V3—27r)cm,

/oOU

故选C.

题目如图，在Rt/\AOB中,ZAOB=90°,OA=2,OB=1,将RtAAOB绕点。顺时针旋转90°后得

RSFOE,将线段EF绕点、E逆时针旋转90°后得线段ED,分别以。，E为圆心，04、ED长为半径画弧

AF和弧。F,连接AD,则图中阴影部分面积是（）

兀

A.兀B.7U+5D

,24-f-4

【答案】。

【详解】解:作。于

・・・ZAOB=90°,OA=2fOB=lf

・・.AB=VOA2+OB2=V5,

由旋转，得AEOFWABOA,

・・.ZOAB=ZEFOf

・・・ZFEO+ZEFO=AFEO+ZHED=90°,

・・.AEFO=AHEDf

：.4HED=/OAB,

・・・ADHE=AAOB=90°,DE=AB,

・•・dDHEmdBOA(AAS),

:・DH=OB=1,

阴影部分面积=Z\ADE的面积+Z\EOF的面积+扇形4OF的面积一扇形OEF的面积

907Tx22907TX5

=yX3xl+yX1X2+

360360

51

一”

2

故选：C.

:题目回如图，在半径为2、圆心角为90°的扇形。4B中，瑟=2/,点。从点O出发，沿O-4的方向运动

到点A停止.在点。运动的过程中，线段皿，CD与熬所围成的区域（图中阴影部分）面积的最小值为

B.冬-1cC兀D1

O-J-f-2

【答案】B

【详解】当点。在线段。4上时，易得当点。与点4重合时，阴影部分面积最小，连接O。、，过点C作

CHLOA于点H,如图，

•・・ZAOC=^-x90=30°,

o

:.CH=^OC=1,

9oo

・・•ZBOC=x90=60,

o

••S扇形BOC="^7X兀X22=-|-7r.

oouo

~2112

*,•$阴=S扇形BOC+S故o(j—S故OB=w兀+5x2x1—x2x2=--K—1;

17

线段BD、CD与比所围成的区域（图中阴影部分）面积的最小值为-f-TT-l.

故答案为B.

题目可如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=3,F是48中点，以点A为圆心，40为半径作弧交AB于点

E,以点B为圆心，为半径作弧交BC于点G,则图中阴影部分面积的差S—52为（）

【答案】＞1

【详解】解：；在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,F是AB中点,

:.BF=BG=2,

2

90•7tx390•兀x2?_1O13兀

：.S「S?=4x3--iz

360360-------------4

故选4

题目回如图，在半径为4的扇形O4B中，/403=90°,点。是检上一动点，点。是OC的中点，连结AD

并延长交OB于点E,则图中阴影部分面积的最小值为（）

A.4兀—4-C.2兀一4D.2兀一色裂

OO

【答案】B

【详解】•.•点。是。。的中点，O。=2,

.•.点。在以O为圆心2为半径的圆弧上，

二可知当AE与小圆O相切于。时，OE最大，即△AOE的面积最大，此时阴影部分的面积取得最小值,

•.•OA=2OD=4,

AsinZOAE=焉=则NOAE=30°,

・・・乙406=90°,

OE^OA-tanZOAE=,

o

•'S阴影=S扇形048一5&94£=4兀­8^^,

故选R

18

题目包如图，在中，/。=90°,AB=6,AD是/BAG的平分线，经过A,。两点的圆的圆心。恰

好落在上，OO分别与AB、4。相交于点E、F.若圆半径为2.则阴影部分面积=.

【答案】!■兀/等

OO

【详解】解:连接QD,OF.

•・・AD是NR4C的平分线,

・・.ADAB=ADAC,

丁OD—OA,

・・.AODA=AOAD,

：.AODA=ADAC,

：.OD//AC,

・・・NO0B=/C=9O°,

S/^AFD=S4OFA，

••$阴=S扇形OFA，

OD=OA=2,AB=6,

・・.OB=4,

：.OB=2OD,

・・.ZB=30°,

・・.NA=60°,

•・・OF^OA,

：.ZV1OF是等边三角形,

・•・ZAOF=60°,

60兀-呼2兀

S阴影部分=S扇形OE4：

360T

故答案为：等.

O

题目回如图，在RtAABC中，/4=30°,BC=2一,点。为AC（上一点，以。为圆心，。。长为半径的圆

与AB相切于点。，交AC于另一点E,点F为优弧OCE上一动点，则图中阴影部分面积的最大值为

••

【答案】2+弓元

【详解】解:连接DE,OD,

•：Rt/\ABC中，/A=30°,BC=2V3,

BC

AC=o==6,

tan301

3

AB为。。的切线，

/ADO=90°,

AO^2OD,AAOD=60°,

•；OD=OE=OC,

：.AC^AO+OC^3OD=6,LODE为等边三角形，

:.DE=OE=OD=OC=2,

■.■S^S.^DGE+S^DEF

：.当OF_LDE时，阴影部分面积最大，此时OF与DE交于G,

ZDOG=NEOG=30°,NDGO=90°,

OG=OD-cos30°=2x§=V^,GF=OG+OF=2+遍,

Snti=S扇形ODE-SJDEO+SJDEF

=《°—Jx2x0+Jx2x（2+&）=!■兀+2.

3o（J223

题目兀如图，点。为曾。上一个动点，连接探8。,若04=1,则阴影部分面积的最小值为一

A

【答案】于—空

20

［详解】OB

取弧AB的中点U,连接、。。、力。、BC',要使阴影部分的面积最小，需要满足四边形AOBC的面积

最大，只需满足△ABC的面积最大即可，从而可得当点。位于弧AB的中点C时，△ABC的面积最大，则

OC'_LAB于。

：.OD^^ABVl2+12_V2

22

DC'=OC'-OD=1-亨

••S曾迹形AOBC,~SAAOB+5AABC"-"^"XlXl+^XV2X

2

扇形AOB的面积=9。：：r=A

3604

阴影部分面积的最小值为=十一空

故答案为：与一冬.

42

「题目正如图所示，。。是以坐标原点。为圆心，4为半径的圆，点P的坐标为（方，2）,弦AB经过点P,

则图中阴影部分面积的最小值=

【详解】解：由题意当OP_LAB时，阴影部分的面积最小.

VF(V2,V2),：.OP=2.

-：OA'=OB'=4：,

:.PA=PB'=2遍,

：.tanAA'OP=tan/BOP=V3,

/AOP=/BOP=60°,

A/4O®=120°,

•••S卡S^OA,B'-SAAQB，=I2/，_X，2V3-2=出千6

故答案为：16兀二12@

题目叵如图，扇形OAB中，。4=R,乙4OB=60°,。为弧AB的中点，点D为上一动点，连接AD、

_DC,当阴影部分周长最小时，tan/4DC等于

【答案】将《展

OO

【详解】解:如图，作点。关于的对称点E,连接AE交OB于点F,连接F4OC,

由对称可知，DC=DE,FC=FE,

•••AD+CD=AD+DE>AE=AF+EF,当点。移动到点F时,取等号，此时AD+CD最小,

•.•。为弧4B的中点，

❷❷

.•.AC=BC,则ZAOC=ZCOB=ABOE=30°,

乙4OE=90°,

又1/OA=OE,

：./OEF=45°,

：.ZEFB=ABOE+ZOEA=30°+45°=75°,

由轴对称可知，ACFB=AEFB=75°,

ZAFC=30°,

：.当阴影部分周长最小时，/ADC=/4FC=30°^tan/ADC=¥.

O

故答案为：容.

O

题目B如图，扇形水汨中，/AOB=120°,。河切弧AB于点C,切04OB分别于点D瓦若。4=1,

22

【答案】竽兀一第兀+&T

【详解】•.•。河内切于扇形4OB,

:.C、M、。三点共线,

连接C、M、O,连接ME、MD,如图所示,

根据相切的性质可知ZW_LA。，ME_LOB,设。河的半径为民

：.ME=MD=MC=R,NMDO=2MEO=90°,

结合MO=MO,可得Rt/\MDO=Rt/^AEO,

AZMOD=4MOE=-yZAOB=120°X。=60。，

在Rt^MOE中,AOME=90°-AMOE=30°,

：.OE=^ME=^-R,OM=2OE=^-R,

ooo

又OA=OC=OB=1,

.•.OA1+A1C=1,即考^?+R=l,解得A=2，^—3,

.•.OE=2—〃^BE=Q8—OE=g—l,

/MOE=60°,

BC—‘0°xitx20A—,

3603

•.•/OME=30°,

AACME=180°-AOME=180°-30°=150°,

^=JL501x2ME=1501x2/?=