【一轮复习讲义】2024年高考数学考点题型归纳与方法总结（新高考）解析版第38讲两条直线的位置关系

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)

第38讲两条直线的位置关系(精讲)

题型目录一览

①两条直线的位置关系

②两条直线的交点和距离问题

③对称问题I-点关于点和线关于

点

④对称问题n-点关于线和线关于

线

⑤直线的综合问题

、知识点梳理

一、两直线平行与垂直的判定

两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示.

两直线方程平行垂直

4：Ax+4）+G=o4鸟=o且

W+BXB2=o

1?:4%+y+C?=0耳。2-々G

Z.:y=k,x+b,_

「；（斜率存在）

勺=w仇或

l2,.y=k2x+b2k2,br勺*=T或勺与区中有一个为。，另

"（斜率不存在）

X=X1,X=x2,x1W%2一个不存在.

l2:x=x2

二、三种距离

1.两点间的距离

平面上两点6(%,%),£(%,%)的距离公式为14鸟|=也为一%)2+(%-%)2.

特别地，原点o(o,o)与任一点P(尤,

2.点到直线的距离

|Ax。+3%+C|

点［(x,%)到直线I:Ax+By+C*=0的距离d=

0JT+A

特别地，若直线为/：x=m,则点弓（为,%）到/的距离d=|/〃-无o|;若直线为/：y=n,则点6（x。,%）到/的

距离d=\n-y0\

3.两条平行线间的距离

已知是两条平行线，求44间距离的方法：

（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离.

（2）设4：Ac+By+G=O,/,:Ac+Bv+C2=。，则4与L之间的距离d=

一一A/A2+B1

注：两平行直线方程中，x,y前面对应系数要相等.

4.双根式

双根式/（xQjqV+3+q土耳*+3+02型函数求解,首先想到两点间的距离，或者利用单调性求解.

三、直线中的对称问题

1.点关于点对称

点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点P&,%）关于点0（%,%）的对称点为P，（无2,%），则根据中点

xx+x2

坐标公式，有2可得对称点P（%2，%）的坐标为（2%-石，2%->1）

%+%

%=

2

2.点关于直线对称

点尸（百，弘）关于直线/:Ax+互y+C=O对称的点为Pg，必），连接尸P，交/于"点，贝I]/垂直平分尸p,

k（,kpp>=—1

所以尸P_U,且/为PP中点，又因为M在直线/上，故可得（为+xy+y，解出（%,%）

A———J+B—~—+C=0

I22

即可.

3.直线关于点对称

法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直

线方程；

法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程.

4.直线关于直线对称

求直线4:办+勿+c=0,关于直线:公:+0+/=0（两直线不平行）的对称直线％

第一步：联立4算出交点p（x0,%）

第二步：在4上任找一点（非交点）Q&,%）,利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点0（9，％）

第三步：利用两点式写出4方程

5.常见的一些特殊的对称

点（x,y）关于x轴的对称点为（无，-y）,关于y轴的对称点为（-x,y）.

点（x,y）关于直线y=x的对称点为（y,x）,关于直线丫=一%的对称点为（->,-x）.

点（x,y）关于直线x=。的对称点为（2“-x,y）,关于直线y=Z?的对称点为（x,2b-y）-

点（x,y）关于点（a,8）的对称点为（2a-x,2b—y）.

点（x,y）关于直线x+y=左的对称点为（左-y,k-x）,关于直线x-y=上的对称点为（左+y,x-左）.

四、直线系方程

1.过定点直线系

过已知点P（尤0,%）的直线系方程y-%=左（彳-%）（左为参数）.

2.斜率为定值直线系

斜率为左的直线系方程>=履+匕口是参数）.

3.平行直线系

与已知直线小+By+C=0平行的直线系方程及+By+2=0（九为参数）.

4.垂直直线系

与已知直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程Bx-Ay+A=0（2为参数）.

5.过两直线交点的直线系

过直线4:Alx+Bly+Cl=0与4'-A^x+B^+C^=0的交点的直线系方程：

A^x+B^y+C1+A,{A2x+B2y+C^）=0（几为参数）.

二、题型分类精讲

题型二两条直线的位置关桑

-策略方法由一般式确定两直线位置关系的方法

判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也可以按照以下方法判断：一般地，设

lx:+Bxy+Cx=0（4,4不全为0）,/2:A^x+B2y+C2=0（阳与不全为0）,则：

当司与-44wo时，直线/相交；

当4为=&月时，4,直线平行或重合，代回检验；

当-旦鸟=。时，4,直线垂直，与向量的平行与垂直类比记忆.

【典例1】（单选题）若直线4：s+y+2=0与直线4：2x+O-l）y+根=0平行，则小的值为（）

A.2或TB.-1C.-2或1D.2

【答案】B

【分析】根据两直线平行时斜率相等，列出方程求解，再排除两直线重合的情况即可得到答案.

【详解】因为直线人mx+y+2=0与直线4：2%+（加一l）y+机=0平行

2

贝!）一加=-----，解得：机=2或机=一1,

m-1

当机=2时，两直线重合，舍去；当机=-1时，验证满足.

故选:B.

【典例2】（单选题）直线4：〃a-3y-l=0,仆（3冽—2）x-切+2=0,贝-相=0或一g”是“/|，夕’的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】C

【分析】由充分条件和必要条件的定义

【详解】当机=0时，直线4：y=--,i2：X=l,两直线倾斜角分别为o和90,414；

111

当机=—§时，直线/］的斜率为—6的斜率为%--x9=-l,k1l2.

充分性成立，

直线4：mx-3y-l=0,Z2：（3m-2）x-my+2=0,若工"，

则有机（3nz-2）+3m=0,解得机=0或加=一］.

必要性成立.

所以“〃?=0或是“4，夕的充要条件.

故选:C

【题型训练】

一、单选题

1.(2023•江苏无锡•江苏省天一中学校考模拟预测)直线4：依+y+l=0与/2“+冲-1=。平行，则实数。=

()

A.a=\B.a——lC.a=l或-1D.0

【答案】A

【分析】由直线与直线平行的充要条件，列式求解即可.

【详解】因为直线4:ax+y+l=。与6:x+ay-l=0平行，

所以＜7,—1=0且—a—lH0,解得。=1.

故选:A.

2.(2023・全国•高三对口高考)直线/过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=。垂直，贝心的方程是()

A.2x—3y+5=0B.3x+2y+7=0

C.3x+2y-l=0D.2x-3y+8=0

【答案】C

【分析】求出直线/的斜率，然后利用点斜式可写出直线/的方程，化为一般式可得出答案.

23

【详解】直线2x-3y+4=0的斜率为:，则直线/的斜率为-;，

因此，直线/的方程为y-2=-：(x+l),即3元+2y-l=0.

故选：C.

3.(2023•全国•高三专题练习)若平面内两条平行线乙：x+(a-l)y+2=0,Z2：办+2y+l=。间的距离为乎,

则实数。=()

A.2B.—2或1C.-1D.—1或2

【答案】A

【分析】根据直线平行，求得。的值，结合两平行线的距离公式，即可求解.

【详解】因为两直线3x+(fl-l)y+2=0,l2：ax+2y+l=0平行，

可得lx2=(a-1)义4且lxlw2a,解得a=2或a=-1,

当〃=2时，4：x+y+2=O,l2:2x+2y+1=0,即《：2%+2y+4=0,

可两平行线间的距离为女=尸=¥,符合题意;

V22+224

当a=-1f:x_2y+2—0,I?：—x+2y+1—0,即4:x一2y—1—0,

市|2—(—1)1可3^/5，不符合题意，舍去•

可两平行线间的距离为〃=

故选：A.

4.(2023秋•河北保定•高三校联考开学考试)已知直线32x-ay+l=0,l2：(a-l)x-y+a=O,贝『七=2"

是的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据直线平行、充分、必要条件的知识求得正确答案.

【详解】依题意，k：2%—tzy+1=0,/2：(a—l)x—y+a=0,

若两直线平行，则2x(—l)=(—a)x(a—1),

解得a=-1或a=2.

当a=—1时，4：2%+y+l=0,I?：—2x—y—1=0,2%+y+1=0,

此时两直线重合，不符合.

当a=2时，4：2x—2y+l=0,Z2：x—y-^-2=0,符合题意.

所以“a=2”是“〃/4”的充要条件.

故选：C

5.(2023秋・重庆南岸•高三重庆市第十一中学校校考阶段练习)已知直线4：2%+2y-1=0」2：4%+4+3=0,

&nvc+6y-l=0,若且《_L。，则帆+九的值为()

A.-10B.10C.-2D.2

【答案】C

【分析】由两直线的平行与垂直求得"，利值后可得结论.

4n3

【详解】由题意一=—。一,〃=4,2根+12=0,m=-6

22—1f

所以m+n=-2.故选：C.

6.(2023•江西南昌•校联考模拟预测)已知直线/与直线尤+2，+1=0垂直，若直线/的倾斜角为，，则

sin6sin[£+e

)

A.|b-Ic-4D-T

【答案】D

【分析】由题意可得tan，=2,由诱导公式和同角三角函数的平方关系化简sin6sin]£+e｝代入即可得

出单.

【详解】因为直线/与直线x+2y+l=0垂直,

所以直线/的斜率为2,所以tan6=2,

所以sinOsin[3+夕]=sin。-(-cose)sin0cos0tan。2

sin20+cos29tan20+15

故选：D.

7.(2023秋・河北•高三校联考阶段练习)已知a睡,6R,贝I]“直线ax+2y—1=0与直线(a+l)x-2ay+l=0

垂直”是“a=0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件,

【答案】B

【分析】根据两直线的位置关系、充分、必要条件的知识确定正确答案.

【详解】直线以+2y-l=0与直线(a+l)x-2•+1=。垂直,

即a(a+l)+2x(—2a)=a2—3a=0,解得a=0或a=3.

所以“直线ar+2y-1=0与直线(a+1)2e+1=0垂直”是“a=0”的必要不充分条件.

故选：B

二、多选题

8.(2023・全国•高三专题练习)已知直线/:(a2+°+l)x_y+l=0,其中aeR,贝！J()

A.当a=-l时，直线/与直线x+y=0垂直

B.若直线/与直线x-y=0平行，贝!|a=0

C.直线/过定点(0,1)

D.当。=0时，直线/在两坐标轴上的截距相等

【答案】AC

【分析】对于A,求出直线方程，根据斜率的关系判断，对于B,由两直线平行直接列方程求解判断，对

于C,由x=0求出y的值可得直线过的定点，对于D,当a=0时，求出直线方程，然后求出直线在两坐标

轴上的截距进行判断.

【详解】对于A,当。=-1时，直线/的方程为x-y+l=0,其斜率为1,而直线x+y=0的斜率为-1,

所以当a=-L时，直线/与直线x+y=0垂直，所以A正确；

对于B,若直线/与直线=0平行，则4+“+i=i,解得。=。或所以B错误；

对于C,当x=0时，v=l,与a无关,故直线/过定点(0,1),所以C正确；

对于D,当。=0时，直线/的方程为》-，+1=0,在两坐标轴上的截距分别是一1,1,不相等，所以D错

误，

故选：AC.

9.(2023•全国•高三专题练习)已知直线乙：4x+3y—2=0,12：(〃z+2)x+(m—l)y—5加—1=。(meR),

则()

A.直线4过定点(2,3)B.当m=10时，IJ/1,

C.当租=-1时，D.当4〃4时，两直线乙，4之间的距离为3

【答案】ABD

【分析】将直线变形为-5)+2x-y-1=。，即可求解定点坐标，进而可判断A,根据两直线垂直和

平行满足的系数关系即可代入〃2值求解BC,根据两平行线间距离公式可判断D.

【详解】k：(m+2)x+(/7i-l)y-5m-l=0(meR)变形为机(x+y-5)+2x-y-l=。,

「x+y—5=0,1尤=2,,、

由CI：贝U。因此直线4过定点2,3,故A正确；

[2x-y-l=0,[y=3,

当771=10时，4：4x+3y—2=0,I]：12x+9y—51=0,

所以3=3.二，故两直线平行，故B正确；

129—J1

当机=—1时，4：4x+3y—2=0,Z2：x—2y+4=0,

因为4xl+3x(-2)w0,故两直线不垂直，故C错误;

m+2m—1—5m—1

当时，贝！I满足——-=----丰-------,解得m=10,此时4：4x+3y-2=0,/：12%+9y-51=0,

43—22

即4元+3y-17=0,则两直线间的距离为卜：一（一”"=3,故D正确.

“2+32

故选：ABD.

10.（2023•北京•高三专题练习）已知点尸（0,2）,直线/：x+2y-l=0,则过点尸且与直线/相交的一条直线

的方程是.

【答案】y=x+2（答案不唯一）

【分析】求出过尸（0,2）且与I:x+2y-1=0不平行的方程即可.

【详解】直线/：x+2y-1=0的斜率为故只需所求直线方程斜率不是-;即可，

可设过点P且与直线1相交的一条直线的方程为y=x+2.

故答案为：>=尤+2（答案不唯一）.

11.（2023・全国•高三专题练习）若直线（3。+2）尤+（l-4a）y+8=0与（5。-2）尤+（a+4）y-7=0垂直，贝!]

【答案】0或1

【分析】由两直线垂直，直接列方程求解即可.

【详解】因为直线（3。+2»+（1-4心+8=0与（5。-2）%+（。+4）”7=。垂直，

所以（3a+2）（5A-2）+（1-4a）（a+4）=0,

化简整理得/-口=0,解得。=0或。=1,

故答案为：0或1

12.（2023・全国・高三专题练习）已知两条平行直线4：（3+2九卜-（4+九））；+（-2+2/1）=0（/1€口），/2：>=》+1,

则4与4间的距离为.

【答案】@

2

【分析】先根据两直线平行求出直线方程，然后根据平行直线的距离公式直接求解.

【详解】由'/*得士4二二±2,得x=i,

1—11

所以乙：5元-5y=0,即x-y=0,又/2：尤-y+l=0,

所以《与，2间的距离4=孽=交.

V22

故答案为：变

2

13.(2023秋•四川宜宾•高三校考开学考试)已知经过点4-2,0)和点8(1,3)的直线〃与经过点P(0,-l)和点

。(。,-2司的直线4互相垂直，则实数。=—.

【答案】1

【分析】分别求出两条直线的斜率，再利用两条直线相互垂直的性质即可得解.

3-0

【详解】因为4(-2,0),8(1,3),所以

因为两条直线相互垂直，所以直线PQ的斜率必然存在，

又尸(0,-1),Q(a,-2a),贝！Ja.O,心。=三口，

又所以lx3士1=-1,解得。=1.

a

所以。=1.

故答案为：1.

14.(2023•全国•高三专题练习)在一ABC中，/4的内角平分线方程为丫=%8(1,4),C(4,3),则角C的

正切值为.

【答案】3

【分析】根据角平分线的性质，HL4)关于NA的内角平分线所在直线方程的对称点一定在直线AC上，据

此可以求出A点坐标，进而求出tanC

【详解】由题意得，根据角平分线的性质，3(1,4)关于y=x的对称点一定在直线AC上，

a+16+4

79fa-4

设8关于y=x的对称点为D,记。(凡力，则y=x是3。中垂线，于是,，解得，，，

b-4,|6=]

------=-1'

一a—1

故。(4,1),又C(4,3),故CD直线方程为x=4,于是》=4和〉=%的交点(4,4)为人的坐标，

由B(1,4),C(4,3),A(4,4),贝1蝴=3,|AC|=1,忸。=可，故画十时4时,

JTAB

贝()N5AC=5tanNC=-----「=3.

fAC

故答案为：3

题型三两条直线的交点和距离问题

畲策略方法1.求过两直线交点的直线方程的方法

求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方

程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程.

2.点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件

⑴求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.

⑵求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x,y的系数对应相等.

【典例1】（单选题）若直线>=无+2k+1与直线y=X+2的交点在第一象限，则实数上的取值范围

是（）

（51）（21）「51]「21]

A.B.C.D.

{22JI52J122」L52j

【答案】A

‘2-4-

【分析】根据题意得到交点坐标为一^，一，从而得到，，再解不等式组即可.

[33）2A-+5

2—4k

y=x+2k+1x=--------

32—4k2k+5

【详解】,f+2=,即交点为

y=2k+53'3

y=--------

3

因为交点在第一象限，所以2上3551

故选：A

【典例2】（单选题）设直线4：x+3y-7=O与直线4：x-y+l=0的交点为P,贝UP至!）直线/：2x-y=l的距

离为（）,

AYB-|C.孚D.f

【答案】D

【分析】先联立直线方程求出点P坐标，再利用点到直线的距离公式计算即可.

,、一zIx+3y—7=0\x=l/、

【详解】联立两直线方程即尸（1,2），

|lx2-2-l|75

由点到直线的距离公式可得P到直线l：2x-y=l的距离为d=

故选：D

【题型训练】

一、单选题

1.（2023•全国•高三专题练习）坐标原点。到直线/：x+y+l=。的距离是（）

A.0B.2C.gD.—

22

【答案】D

【分析】使用点到直线的距离公式求解.

x+＞「。的距离1户/=；

【详解】O到直线1：

故选：D

2.（2023・海南海口•海南华侨中学校考二模）若直线、=-2尤+4与直线＞=质的交点在直线y=x+2上，则

实数左=（）

A.4B.2C.~D.一

24

【答案】A

【分析】求出直线y=-2x+4与直线y=x+2的交点，再代入求解作答.

【详解】解方程组]，二一2:4,得直线、=一2犬+4与直线＞=尤+2的交点4,3,

[y=x+233

Q9

依题意，V解得％=4,

所以实数左=4.

故选：A

3.（2023春・河北石家庄•高三校联考期中）已知直线4：y=x+2,l2:y=-2x+4,给出命题P：直线乙和与

X轴的交点关于y轴对称，q：直线4与4的交点在直线4尤+>=。上.则（）

A.P假q真B.P真q真c.p假q假D.P真q假

【答案】D

【分析】令y=0分别求得直线乙和4与X轴的交点即可判断命题P，求出两直线交点，再判断点是否在直线

上即可判断命题q.

【详解】因为直线乙和4与X轴的交点分别为（-2,0）,（2,0）,所以。为真命题.

2

y=x+2?39Q

因为,所以直线《与4的交点为且4x]+|w0,所以q为假命题.

y--2x+48

故选：D.

4.（2023•全国•高三专题练习）设d为动点尸（cosasin。）到直线x-y-2=0的距离，则d的最大值为（）

A.72-1B.芈C.1+72D.3

【答案】C

【分析】由距离公式及辅助角公式计算可得.

I〃•〃olcos6*+--2

【详解】点P(cosasin6)到直线X-y-2=0的距离/=|cos,-sin。二2|=I4)

#+(-1)2叵

因为-1<3,+：卜1,贝(］一忘一2三收85'+；)-240一2,

所以当C°S,+£|=T时九=卜*4=1+0.

故选：C

5.（2023•全国•高三专题练习）若点P（U）到直线xcos0+ysind=2的距离为d,则d的最大值为（）

A.2+72B.2C.2-72D.2+2五

【答案】A

【分析】由点到直线距离公式求出距离，，由三角恒等变换化为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函

数性质、绝对值的定义得最大值.

【详解】由题意公手W

=V2sin(6>+-)-2,

Vcos2+sin204

易知sin（，+?）=-l时，人=及+2.

故选：A.

6.（2023•山东潍坊•昌乐二中校考模拟预测）己知实数。>0,6<。，则*二的取值范围是（）

yla2+bg2

A.[-2,-1）B.（-2,-1）

C.（-2.-1]D.[-2,-1]

【答案】A

【分析】根据题意设直线/：ax+by=0,点A（l,-石），利用点到直线的距离公式得点A到直线/的距离为

由直线/的斜率不存在得d>l,由。4，/得4^=2,化简即可求解.

【详解】根据题意，设直线/:ax+6y=0恒过原点，点

:/

/ox+如=0

,,,/

-3-2-1/（9123x

/-3-

那么点A（1,-百）到直线1的距展

[a2+/

因为"。,"。，所以八音=,且直线/的斜率上=-1>0,

b

当直线/的斜率不存在时，d==1,所以d>l,

y1a2+b2

当。A，/时，^=|<9^=>/173=2,

所以l<d<2,即1<勺做42,

y/a2+b2

也b-aa-6b〈瓜

=<-1.故选：A.

因为「一T=r-~->所以2<=

7.（2023•全国局二专题练习）已知两条直线（：（X+2）x+（l—+24—5=。，

，2：（左+l）x+（l—2左）y+左一5=0,且〃〃2，当两平行线距离最大时，A+k=（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】求出4,4恒过的定点A,凡故4，4距离的最大值为卜君，所以一今|=一月=一/一=2,

JL4JL乙K

求解即得出答案.

x-y+2=0

【详解】4：%(x-y+2)+2x+y-5=0,

2九+y-5=0

（x—]

解得。，故4过定点A（l,3）.

[y=3

k：k（x—2y+l）+x+y—5=0,由1

[x+y-5=0

fr=3

解得y=2'故4过定点8（3,2）,

故乙，4距离的最大值为|AB卜石.

,,A+21c%+1

此时，一不=1-=2,贝!|彳=4,

ITkAB1一2k

解得后=1,故4+左=5.

故选：C.

8.（2023•全国•高三专题练习）若直线/:>=日-石与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限，则直线/的

倾斜角的取值范围是（）

【答案】D

【分析】法一：联立直线方程求交点，根据所在象限求斜率上范围，进而确定倾斜角范围；法二：确定直

线2x+3y-6=0位于第一象限部分的端点，结合直线1与其交点在第一象限，数形结合确定倾斜角范围.

373+6

y=kx-y/32+3A

【详解】法一：联立两直线方程，得解得

2x+3y—6=06k~2y/3

2+3左

所以两直线的交点坐标为（叶，4芋）.

[3>o

2+3%解得心》

因为两直线的交点在第一象限，所以

65_2金0

、2+34>

设直线I的倾斜角为。，则tan。〉冬又同。，叽所以

法二：由题意，直线1过定点尸（0,-6），

设直线2》+3丁-6=0与*轴、y轴的交点分别为B（3,0）,A（0,2）.

如图'当直线I在阴影部分（不含边界）运动时'两直线的交点在第一象限'易知『%

：」PB的倾斜角为3，%的倾斜角为

O2

二直线1的倾斜角的取值范围是G百.

o2

故选：D

9.（2023秋・辽宁鞍山•高三统考阶段练习）已知直线/:（彳+2h+（彳一1万一3/1-3=。，点尸（3,2）,记尸至心的

距离为d,则d的取值范围为（）

A.[0,>/2]B.[0,A/2)C.[0,2]D.[0,2)

【答案】B

【分析】求出直线系所过定点，再由1尸4及直线系表示的直线可求出结果.

【详解】由直线/：（彳+2）尤+（4—1万—3/1—3=0,可得〃尤+y-3）+2x—y—3=0,

%+>-3=0x=2

由可解的

2x-y-3=0y=i

即直线I-+2)x+(A—1)y—3A—3=0过定点A(2,l),

则|申|=7(2-3)2+(l-2)2二母,

当F4与直线x+y-3垂直时，d=及,当直线/过点尸，即2=时，d=Q,

又直线/：(九+2)x+(几一1)y—34—3=0无论2取何值，不能表示直线x+y—3=0,

所以OWd<0,

故选:B

二、多选题

10.(2023・全国•高三专题练习)已知直线乙：4x+3y-2=0,Z2：(M+2)X+(MI—1=0(〃?eR),

贝U()

A,直线4过定点(2,3)B.当7”=10时，/］〃4

C.当机=-1时，lAn2D.当4〃4时，两直线4，4之间的距离为3

【答案】ABD

【分析】将直线变形为m(x+y-5)+2x-y-l=。，即可求解定点坐标，进而可判断A,根据两直线垂直和

平行满足的系数关系即可代入加值求解BC,根据两平行线间距离公式可判断D.

［详解］4：(77i+2)x+(m-l)y-5/n-l=0(meR)变形为加(x+y_5)+2x_y_l=0,

fx+y-5=0,fx=2,/、

由2二》-1=0贝fl、=3因此直线4过定点(2,3),故A正确；

当7/1=10时，4：4x+3y—2=0,12•12x+9y—51=0,

43-2

所以百故两直线平行，故B正确；

129—J1

当机=-1时，4：4x+3y—2=0,12•%—2y+4=0,

因为4xl+3x(-2)彳0,故两直线不垂直，故C错误；

当时，贝!I满足9=『力^^,解得〃2=10,此时人4x+3j-2=0,/2：12x+9y-51=0,

一43-2

即4x+3y-17=0,则两直线间的距离为卜:一(T7"=3,故D正确.

■+3?

故选：ABD.

IL(2023•全国•高三专题练习)设直线系M:xcose+ysine=l+2sine(0we42兀)，下列命题中的真命题有

A.M中所有直线均经过一个定点

B.存在定点尸不在M中的任一条直线上

C.对于任意整数〃(〃23),存在正〃边形，其所有边均在/中的直线上

D.M中的直线所能围成的正三角形面积都相等

【答案】BC

【分析】根据条件分析出M为圆C:尤2+“-2)2=1的全体切线组成的集合，再逐项判断即可.

【详解】由题知，

,1,

点尸(0,2)到M中每条直线xcos0+(y-2)sin6=1的距离d=/=1,

，cos6+sine

即M为圆C:/+(y-2)2=1的全体切线组成的集合，

从而M中存在平行的直线，所以A错误；

又因为(。，2)点不存在任何直线上，所以B正确；

对任意”23,存在正"边形使其内切圆为圆C,故C正确;

M中的直线能组成两种大小不同的正三角形，故D错误.

故选：BC

12.(2023秋•云南昆明•高三昆明一中校考阶段练习)函数〃x)=lnx图象上一点尸到直线y=2x的距离可以

是()

A④RV3「(l+ln2)V5n(l-ln2)>/5

2255

【答案】BC

【分析】作出图形，分析可知，当曲线y=在点尸处的切线与直线y=2x平行时，点p到直线y=2x的

距离取最小值，利用导数的几何意义求出点尸的坐标，求出点尸到直线，=2尤距离的取值范围，即可得出合

适的选项.

【详解】如下图所示:

设点尸的横坐标为人由图可知，当曲线y=/(x)在点P处的切线与直线y=2x平行时,

点尸到直线y=2尤的距离取最小值，

因为〃x)=lnx,则尸(x)=L由-⑺=1=2,可得/=:，贝(

此时，点尸的坐标为(；，Tn2),

(\\,l+ln2^(l+ln2)

点匕，-M2到直线2尤7=0的距离为公、2=^^―-)

12JV2+(-1)5

所以，函数/("=lnx图象上一点尸到直线y=2x的距离的取值范围是

因为受＜/(l+ln2),立＞同+，2),BC选项满足条件.

2525

故选：BC.

三、填空题

13.(2023•全国•高三专题练习)经过两条直线4：x+y=2,4：2x-y=l的交点，且直线的一个方向向量

v=(-3,2)的直线方程为一.

【答案】2x+3y-5=0

【分析】先求出两直线交点坐标，结合直线的方向向量得到直线斜率，得到直线方程.

【详解】联立［\x2+xy7==21'解得

二直线过点(1,1),

•.•直线的方向向量v=（-3,2）,

•••直线的斜率左=一（，则直线的方程为>一1=一京》一1）,即2元+3y-5=0.

故答案为：2x+3y-5=0

14.（2023・全国・高三专题练习）已知两条平行直线4：（3+2九卜-（4+九）丁+（-2+22）=0（/1€1<）"2：>=》+1,

则《与4间的距离为.

【答案】县

2

【分析】先根据两直线平行求出直线方程，然后根据平行直线的距离公式直接求解.

【详解】由得三口=必41二二±2,得2=i,

1—11

所以4：5x-5y=Of即x—y=O,又小x-y+l=O9

所以《与4间的距离4=^=交.

02

故答案为：丰

15.（2023秋•广东佛山•高三统考开学考试）己知直线/：Av+W=8（A>0,8>0）,过点（0,-1）作直线/」/,

则/'和/的交点坐标为.（用含48的式子表示）

'2ABB2-A2

【答案】

B2

【分析】先求出直线再求出/'和/的交点坐标.

【详解】因为直线/：Ax+By=B（A>0,B>0）,直线/」/,

所以设，Rx-Ay+C=（）,又因为「过点（0,-1）,

贝！|A+C=0,贝!!C=—A,所以/'：—Ay—A=。,

2AB

X-zz-

B2+A2

则解得：

Bx-Ay-A=0B2-A2'

y~B2+A2

（24DD2_x2\

故r和/的交点坐标为：k下•

\B'+AB~+A'）

16.(2023春・浙江杭州•高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习)若A(4,0),3(0,5),点尸(x,y)在线段.

(含端点)上移动，则J(x+3y+V的最小值为.

【答案】至叵

41

【分析】由J(x+3)，y2表示动点(x,y)与定点(-3,0)之间的距离,结合点到直线的距离公式，即可求解.

【详解】因为4(4,0),3(0,5),可得直线AB的方程为5x+4y-20=0,

又由J(x+3)2+9表示动点(x,y)与定点(-3,0)之间的距离，

由点到直线的距离公式，可得至」5«；)：4义0—20|=,

V52+4241

5_4

又由勉="，则过点(-3,0)与AB垂直的直线的斜率为k=-9

此时直线方程为y=g(%+3),即4x—5y+12=0,

f5x+4y-20=052

联立方程组,<0八，解得片书，满足题意，

[4%—5y+12=041

所以J(X+3)2+9的最小值为呼I.

故答案为：史画.

41

17.(2023・全国•高三专题练习)在一ABC中，/4的内角平分线方程为丁=乙8(1,4),C(4,