北师大版高中数学必修第二册第六章立体几何初步课件(一)

1.1构成空间几何体的基本元素第六章立体几何初步课标阐释

1.借助几何体,理解点、线、面是构成几何体的基本元素.(数学抽象)2.平面的特征性质及其表示.(数学抽象)3.初步了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系.(几何直观)思维脉络

激趣诱思知识点拨在现实生活中,有很多自然现象值得我们深入思考,也有一些生活细节需要大家用心体会.夜晚一颗流星突然划破长空,形成一道美丽的弧线;雨雪天气中行驶的汽车,不时地转动着雨刷;清晨起床后洗漱挤出的牙膏……看似风马牛不相及的事物,其实都包含着“点动成线”“线动成面”“面动成体”的数学规律.构成空间几何体的基本元素你找到了吗?激趣诱思知识点拨一、构成空间几何体的基本元素空间几何体的基本几何元素是点、线(直线和曲线)、面(平面和曲面)等.名师点析1.我们所学的几何体只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小,而不考虑其他因素.2.以长方体为例:长方体由六个面围成,每个面都是矩形(包括它的内部);相邻两个面的公共边,叫作长方体的棱;棱和棱的公共点,叫作长方体的顶点.长方体有6个面、12条棱、8个顶点.3.从运动的角度理解点、线、面,“点动成线”“线动成面”“面动成体”.激趣诱思知识点拨微思考天空中飘浮的气球是空间几何体吗?它是否由点、线、面构成?提示气球的内部虽是空的,但气球仍占有一定的空间,具有大小和形状,因此气球是空间几何体,它也是由点、线、面构成的.微练习下列不属于构成几何体的基本元素的是(

)A.点

B.线C.曲面 D.多边形(不含内部的点)解析本题考查了构成空间几何体的基本元素,关键是对概念的理解.由于一个几何体是由点、线、面组成的,而线有直线和曲线之分,面有平面和曲面之分,故而只有D不属于构成几何体的基本元素,故选D.答案D激趣诱思知识点拨二、平面1.特征:平面是空间最基本的图形,平面是无限延展的.2.画法:一般地,用平行四边形表示平面,当平面水平放置时,通常把平行四边形的锐角画成45°,横边长画成邻边长的两倍.3.命名:平面通常用希腊字母α,β,γ等来表示,也可以用表示平行四边形顶点的字母表示,还可以用表示平行四边形顶点的两个相对顶点的字母表示.名师点析1.平面是只描述不定义的原始概念,它具有无限延展性,是理想的、处处平直的,因此它没有厚度、没有大小,也没有面积、体积、重量等,即平面在各个项目上都是不可度量的.2.平面的无限延展性,使其能将空间一分为二,也正是由于它的无限延展性,可以根据我们的需要向四周延展.激趣诱思知识点拨微练习(多选)下列说法中正确的是(

)A.平面是由空间点、线组成的无限集合B.平静的太平洋面是平面C.平面就是平行四边形D.平面多边形和圆、椭圆都可以用来表示平面解析本题考查平面的描述性定义和平面的性质.A正确,根据平面的特征可知正确;B不正确,太平洋面即使再平静也不是平的(因为地球是圆的),更不可能是无限延展的;C不正确,平面是无限延展的,我们一般用平行四边形来表示平面;D正确,它符合平面表示方法的规定.答案AD激趣诱思知识点拨三、空间中直线、平面的位置关系如图,直线AB和平面A1B1C1D1没有公共点,即直线AB与平面A1B1C1D1平行;直线AA1和平面ABCD

中的AD,AB均垂直,可以看作AA1垂直于平面ABCD;平面ABCD和平面A1B1C1D1没有公共点,我们说这两个平面是平行的;平面ABCD和平面A1ABB1反映了两个平面相交.激趣诱思知识点拨名师点析1.在学习立体几何的过程中,要注意与初中所学平面几何知识进行类比,不要照搬,因为平面几何中的一些结论不能推广到空间中.2.当两个平面相交时,可以像如图那样,把被遮挡部分画成虚线或不画.这样,看起来立体感强一些.激趣诱思知识点拨微练习1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与对角线BD1既不相交又不平行的棱有(

)A.3条

B.4条C.6条 D.8条答案C微练习2下列关于长方体ABCD-A1B1C1D1中点、线、面位置关系的说法正确的是

.(填序号)

①直线AA1与直线BB1平行;②直线AA1与平面C1D1DC相交;③直线AA1与平面ABCD垂直;④点A1与点B1到平面ABCD的距离相等.答案①③④探究一探究二探究三当堂检测构成几何体的基本元素例1试指出下图中组成各几何体的基本元素.解(1)中几何体有6个顶点、12条棱和8个面.(2)中几何体有12个顶点、18条棱和8个面.(3)中几何体有6个顶点、10条棱和6个面.探究一探究二探究三当堂检测反思感悟

点是最基本的元素,只有位置,没有大小;直线没有粗细,向两方无限延伸;平面没有厚度,向四周无限延展.要熟记这三种基本元素的特点.在现实生活中要多观察几何体,以便加深对构成空间几何体的基本元素的认识.探究一探究二探究三当堂检测变式训练1如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,下列说法正确的有

.(填序号)

①长方体一共有8个顶点;②线段AA1所在的直线是长方体的一条棱;③矩形ABCD所在的平面是长方体的一个面;④长方体由六个平面围成.答案①探究一探究二探究三当堂检测对于平面的理解例2判断下列说法是否正确,并说明理由.(1)平面的形状是平行四边形;(2)圆和平面多边形都可以表示平面;(3)若S▱ABCD>S▱A'B'C'D',则平面ABCD大于平面A'B'C'D'.解(1)不正确.我们常用平行四边形表示平面,但不能说平面的形状是平行四边形,平面是无形状可言的.(2)正确.通常情况下我们利用平行四边形来表示平面,但有时根据需要也可以用圆或其他平面多边形来表示平面.(3)不正确.因为平面无大小可言.探究一探究二探究三当堂检测反思感悟

1.在空间几何体中,平面是无限延展的,是理想的、绝对平直的.2.平面是抽象出来的,没有厚度、没有大小,因此无法度量.平面几何中的平面图形,如三角形、四边形等都是有大小的,可以度量的,它们本身不是平面.3.任何一个平面都可以将空间分为两部分,如果想从平面的一侧到另一侧,那么必须穿过这个平面.探究一探究二探究三当堂检测变式训练2下列说法正确的是(

)A.生活中的几何体都是由平面组成的B.曲面都是有一定大小的C.直线是无限个点组成的,而线段是由有限个点组成的D.平面图形是空间图形的重要组成部分解析组成几何体的面既可以是平面,也可以是曲面;曲面也可以是无限延展的;直线和线段都是由无数个点组成的.根据这些特点可以排除A,B,C.答案D探究一探究二探究三当堂检测几何中基本元素的位置关系例3如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1,在长方体的面与棱中,(1)与棱BC平行的棱是哪几条?(2)与棱BC平行的平面是哪几个?(3)与棱BC垂直的平面是哪几个?(4)与平面BC1垂直的平面是哪几个?解在长方体的面与棱中,(1)与棱BC平行的棱有棱B1C1,棱A1D1,棱AD.(2)与棱BC平行的平面有平面A1C1,平面AD1.(3)与棱BC垂直的平面有平面AB1,平面DC1.(4)与平面BC1垂直的平面有平面AB1,平面A1C1,平面DC1,平面AC.探究一探究二探究三当堂检测反思感悟

通过本例可以得到如下规律:1.平行关系(1)直线与直线的平行关系:如图,在长方体的12条棱中,分成“长”“宽”“高”三组,其中“高”AA1,BB1,CC1,DD1相互平行;“长”AB,DC,A1B1,D1C1相互平行;“宽”AD,BC,A1D1,B1C1相互平行.(2)直线与平面的平行关系:在长方体的12条棱及表面中,若棱所在的直线与某一平面(棱不在该平面内)不相交,则二者平行.(3)平面与平面的平行关系:长方体的对面相互平行.探究一探究二探究三当堂检测2.垂直关系(1)直线与平面的垂直关系:在长方体的棱所在直线与各表面中,若直线与平面有且只有一个公共点,则二者垂直.(2)平面与平面的垂直关系:在长方体的各表面中,若两平面有公共点,则二者垂直.探究一探究二探究三当堂检测延伸探究(1)本例中与棱A1D1相交的棱有哪几条?它们与棱A1D1所成的角的度数是多少?(2)在本例长方体的12条棱中,可以用来表示面A1B与面D1C之间距离的是哪些棱长?解(1)与棱A1D1相交的棱有4条,分别是棱A1A,棱A1B1,棱D1D,棱D1C1.因为长方体六个面都是矩形,所以它们与棱A1D1所成的角的度数都是90°.(2)由长方体的性质知棱A1D1,棱B1C1,棱BC,棱AD的长都可以用来表示面A1B与面D1C之间的距离.探究一探究二探究三当堂检测1.给出以下说法:①铺得很平的一张白纸是一个平面;②一个平面的面积是6cm2;③平行四边形是一个平面;④任何一个平面图形都是一个平面;⑤平面多边形和圆都可以用来表示平面.其中正确说法的个数是(

)A.0 B.1 C.2 D.3解析由平面的概念知⑤正确,其余说法均错误.答案B探究一探究二探究三当堂检测2.下列说法正确的是(

)A.在空间中,一个点运动成直线B.在空间中,直线平行移动形成平面C.在空间中,直线绕与其相交的另一条直线转动形成平面或锥面D.在空间中,矩形上各点沿同一方向移动形成长方体解析一个点运动也可以成曲线,故A错;在空间中,直线平行移动可以形成平面或曲面,故B错;在空间中,矩形上各点沿铅垂线向上(或向下)移动相同距离所形成的几何体是长方体,故D错.答案C探究一探究二探究三当堂检测3.如图是一个正方体的表面展开图,A,B,C均为所在棱的中点,D为正方体的顶点.若正方体的棱长为2,求封闭折线ABCDA的长.1.2简单多面体——棱柱、棱锥和棱台课标阐释

1.通过对实物模型的观察,归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征.(数学抽象)2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系.(逻辑推理)3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构和有关计算.(数学运算、几何直观)思维脉络

激趣诱思知识点拨埃及金字塔始建于公元前2600年以前,共有七十多座.最大、最有名的是祖孙三代金字塔——胡夫金字塔、哈夫拉金字塔和门卡乌拉金字塔.其中,又以胡夫金字塔为最,是“世界七大奇迹”之一,现高136米,塔身是用230万块巨石堆砌而成,底面是一个近似的正方形,相当于一座四十多层的摩天大厦.关于金字塔,至今还有诸多未解之谜.现在把胡夫金字塔的外形轮廓抽象成几何体,同学们知道它是多面体中哪一类吗?如何命名和定义该几何体?激趣诱思知识点拨一、棱柱1.棱柱的定义、相关概念、分类、图形及表示棱

柱图形及表示定义每个多面体都有两个面是边数相同的多边形,且它们所在平面都平行,其余各面是由平行四边形围成的.像这样,有两个面相互平行,其余各面都是平行四边形,由这些面围成的几何体称为棱柱用表示底面各顶点的字母表示

如图棱柱可记作:棱柱ABCDE-A'B'C'D'E',也可表示为棱柱AC1激趣诱思知识点拨棱

柱图形及表示相关概念底面(底):两个互相平行的面侧面:其余各面,都是平行四边形侧棱:相邻侧面的公共边顶点:侧面与底面的公共顶点

分类①依据:底面多边形的边数②举例:三棱柱(底面是三角形)、四棱柱(底面是四边形)……激趣诱思知识点拨2.棱柱的相关性质(1)侧棱都相等;(2)两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形;(3)过不相邻两条侧棱的截面都是平行四边形.名师点析(1)棱柱的分类(2)常见的几种四棱柱之间的转化关系

激趣诱思知识点拨微练习1下列说法正确的是(

)A.四棱柱是平行六面体B.直平行六面体是长方体C.长方体的六个面都是矩形D.底面是矩形的四棱柱是长方体解析底面是平行四边形的四棱柱才是平行六面体,选项A错误;底面是矩形的直平行六面体才是长方体,选项B错误;底面是矩形的直四棱柱才是长方体,选项D错误;由长方体特征知选项C正确.答案C激趣诱思知识点拨微练习2棱柱的侧棱(

)A.相交于一点B.平行但不相等C.平行且相等D.可能平行也可能相交于一点答案C激趣诱思知识点拨微练习3如图所示的几何体是(

)A.五棱锥

B.五棱台C.五棱柱

D.五面体答案C激趣诱思知识点拨二、棱锥1.棱锥的定义、相关概念、分类、图形及表示.棱

锥图形及表示定义有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫作棱锥用表示顶点和底面各顶点的字母表示

如图棱锥可记作:棱锥S-ABCDEF,也可表示为棱锥S-AD激趣诱思知识点拨棱

锥图形及表示相关概念底面(底):多边形面.侧面:有公共顶点的各个三角形面.侧棱:相邻两个侧面的公共边.顶点:各个侧面的公共点.高:顶点到底面的距离

分类①依据:底面多边形的边数.②举例:三棱锥(底面是三角形)、四棱锥(底面是四边形)……激趣诱思知识点拨2.正棱锥:底面是正多边形,且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上,侧面都是全等的等腰三角形,这样等腰三角形底边的高都相等,称为正棱锥的斜高.名师点析1.棱锥的侧面均是三角形,但每个面均是三角形的几何体不一定是棱锥.如图所示,正八面体就不是棱锥.2.正棱锥的性质(1)各侧棱相等,底面是正多边形;(2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的投影组成一个直角三角形,棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的投影也组成一个直角三角形.激趣诱思知识点拨微练习1在如图所示的长方体中,由OA,OB,OD和OC所构成的几何体是(

)A.三棱锥B.四棱锥C.三棱柱D.四棱柱答案B激趣诱思知识点拨微练习2下面图形中,为棱锥的是(

)A.①③

B.①③④C.①②④

D.①②解析根据棱锥的定义和结构特征可以判断,①②是棱锥,③不是棱锥,④是棱锥.故选C.答案C激趣诱思知识点拨三、棱台1.棱台的定义、相关概念、分类、图形及表示.棱

台图形及表示定义用一个平行于底面的平面去截棱锥,截面与底面之间的部分称为棱台用表示底面各顶点的字母表示

如图棱台可记作:棱台ABC-A'B'C',也可表示棱台AC激趣诱思知识点拨棱

台图形及表示相关概念上底面:原棱锥的截面下底面:原棱锥的底面侧面:其余各面侧棱:相邻两个侧面的公共边高:上底面、下底面之间的距离

分类①依据:由几棱锥截得②举例:三棱台(由三棱锥截得)、四棱台(由四棱锥截得)……激趣诱思知识点拨2.正棱台由正棱锥截得的棱台称为正棱台.正棱台各侧面都是全等的等腰梯形,这些等腰梯形的高称为正棱台的斜高.归纳总结棱柱、棱锥、棱台的性质比较性质棱柱棱锥棱台侧棱相互平行且相等相交于同一点延长线交于同一点侧面平行四边形三角形梯形平行于底面的截面与两个底面是全等的多边形与底面是相似的多边形与两个底面是相似的多边形过不相邻两侧棱的截面平行四边形三角形梯形激趣诱思知识点拨微判断判断(正确的打“√”,错误的打“×”).(1)有两个面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台.(

)(2)棱台的各条侧棱延长后必交于一点.(

)(3)底面是正多边形的棱台是正棱台.(

)答案(1)×

(2)√

(3)×激趣诱思知识点拨微练习下列几何体中,

是棱柱,

是棱锥,

是棱台(仅填相应序号).

解析结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱,⑥是棱锥,⑤是棱台.答案①③④

⑥

⑤探究一探究二探究三当堂检测棱柱、棱锥、棱台的有关概念例1(1)下列关于棱柱的说法,正确的序号是

.

①所有的面都是平行四边形;②每一个面都不会是三角形;③两底面平行,并且各侧棱也平行;④被平面截成的两部分可以都是棱柱.(2)下列说法正确的序号是

.

①棱锥的侧面不一定是三角形;②棱锥的各侧棱长一定相等;③棱台的各侧棱的延长线相交于同一点;④有两个面互相平行且相似,其余各面都是梯形,则此几何体是棱台.探究一探究二探究三当堂检测解析(1)①错误,棱柱的底面不一定是平行四边形.②错误,棱柱的底面可以是三角形.③正确,由棱柱的定义易知该说法正确.④正确,棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱,所以说法正确的序号是③④.(2)棱锥的侧面是有公共顶点的三角形,但是各侧棱不一定相等,故①②不正确;棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的,故各个侧棱的延长线一定交于一点,③正确;棱台的各条侧棱必须交于一点,故④不正确.答案(1)③④

(2)③探究一探究二探究三当堂检测反思感悟

棱柱、棱锥、棱台的结构特征(1)棱柱有两个主要结构特征:一是有两个面互相平行,二是各侧棱都平行,各侧面都是平行四边形.(2)棱锥有两个主要结构特征:一是有一个面是多边形,二是其余各面都是有一个公共顶点的三角形.(3)棱台的上、下底面平行且相似,各侧棱延长线相交于同一点.探究一探究二探究三当堂检测变式训练1下列关于棱锥、棱台的说法,其中说法正确的序号是

.

①棱台的侧面一定不会是平行四边形;②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥;③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.解析①正确,棱台的侧面一定是梯形,而不是平行四边形;②正确,由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥;③错误,如图所示的四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.答案①②探究一探究二探究三当堂检测正棱锥、正棱台中的计算问题例2正三棱锥的底面边长为3,侧棱长为2,求正三棱锥的高.探究一探究二探究三当堂检测反思感悟

1.正棱锥中直角三角形的应用已知正棱锥如图(以正四棱锥为例),其高为PO,底面为正方形,作PE⊥CD于点E,则PE为斜高.(1)斜高、侧棱为直角三角形两条边,如图中Rt△PEC;(2)斜高、高为直角三角形两条边,如图中Rt△POE;(3)侧棱、高为直角三角形两条边,如图中Rt△POC.探究一探究二探究三当堂检测2.正棱台中直角梯形的应用已知正棱台如图(以正四棱台为例),O1,O分别为上底面与下底面中心,作O1E1⊥B1C1于点E1,OE⊥BC于点E,则E1E为斜高.(1)斜高、侧棱为直角梯形两条边,如图中梯形E1ECC1;(2)斜高、高为直角梯形两条边,如图中梯形O1E1EO;(3)高、侧棱为直角梯形两条边,如图中梯形O1OCC1.探究一探究二探究三当堂检测变式训练2已知正四棱台的上底面、下底面的面积分别为4,16,一侧面面积为12,分别求该棱台的斜高、高、侧棱长.解如图,设O',O分别为上底面、下底面的中心,即OO'为正四棱台的高,E,F分别为B'C',BC的中点,所以EF⊥B'C',即EF为斜高.由上底面面积为4,上底面为正方形,可得B'C'=2.同理可得,BC=4.因为四边形BCC'B'的面积为12,所以

×(2+4)·EF=12,所以EF=4.过点B'作B'H⊥BC交BC于点H,则BH=BF-B'E=2-1=1,B'H=EF=4.探究一探究二探究三当堂检测多面体表面距离最短问题例3如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VB=VC=4,∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°,过点A作截面△AEF,求△AEF周长的最小值.探究一探究二探究三当堂检测解将三棱锥沿侧棱VA剪开,并将其侧面展开平铺在一个平面上,如图,线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值.因为∠AVB=∠A1VC=∠BVC=30°,所以∠AVA1=90°.又VA=VA1=4,所以AA1=4,所以△AEF周长的最小值为4.反思感悟

本题是多面体表面上两点间的最短距离问题,常常要归结为求平面上两点间的最短距离问题.解决此类问题的方法就是先把多面体侧面展开,再用平面几何的知识来求解.探究一探究二探究三当堂检测延伸探究如图,在以O为顶点的三棱锥中,过点O的三条棱,任意两条棱的夹角都是30°,在一条棱上有A,B两点,OA=4,OB=3,以A,B为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周,求此绳在A,B之间的最短绳长.解作出三棱锥的侧面展开图,如图.A,B两点之间的最短绳长就是线段AB的长度.由题知,OA=4,OB=3,∠AOB=90°,所以AB=5,即此绳在A,B之间最短的绳长为5.探究一探究二探究三当堂检测1.下面多面体中,是棱柱的有(

)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析根据棱柱的定义进行判定知,这4个图都满足棱柱的条件.答案D探究一探究二探究三当堂检测2.下列说法中,正确的是(

)A.有一个底面为多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体是棱锥B.用一个平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分是棱台C.棱柱的侧面都是平行四边形,而底面不是平行四边形D.棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形解析B错,截面与底面平行时才能得棱台;C错,棱柱底面可能是平行四边形;D错,棱柱侧面的平行四边形不一定全等,如长方体.答案A探究一探究二探究三当堂检测3.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则在正方体表面上,从顶点A到顶点C1的最短距离为

.

解析将侧面ABB1A1与上底面A1B1C1D1展开在同一平面上,连接AC1,则线段AC1的长即为所求.如图,AC1=2.答案2探究一探究二探究三当堂检测1.3简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台课标阐释

1.了解球、圆柱、圆锥、圆台的定义.(数学抽象)2.掌握球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征,并能在几何体中进行相关的计算.(几何直观、数学运算)3.了解简单组合体的概念及结构特征.(几何直观)思维脉络

激趣诱思知识点拨素描是艺术类考生必须掌握的基本功之一,素描如果按表现内容可分为静物、动物、风景、人像等,其中几何体的素描就属于静物素描的范畴.要画好素描静物,必须打好石膏几何体这个基础,其中空间想象能力是必不可少的.下图是一位考生的素描作品,它是组合体,你能从中找出两个旋转体吗?是怎样旋转而成的?这两个旋转体互相交叉的部分形状如何?激趣诱思知识点拨一、球1.球的定义、相关概念、图形及表示

球及相关概念图形及表示定义以半圆的直径所在的直线为旋转轴,将半圆旋转一周所形成的曲面称为球面,球面所围成的几何体称为球体,简称球用表示球心的字母表示

图中的球记作:球O相关概念球心:半圆的圆心称为球心半径:连接球心和球面上任意一点的线段称为球的半径直径:连接球面上两点并且过球心的线段称为球的直径激趣诱思知识点拨2.球的相关性质(1)球面上所有的点到球心的距离都等于球的半径.(2)用任何一个平面去截球面,得到的截面都是圆,其中过球心的平面截球面得到的半径最大,等于球的半径.微拓展(1)球的大圆:球面被经过球心的平面截得的圆.(2)球的小圆:球面被不经过球心的平面截得的圆.(3)两点的球面距离:在球面上,两点之间的最短距离,就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度,把这个弧长叫作两点的球面距离.激趣诱思知识点拨微练习一条直线被一个半径为13的球截得的线段长为24,则球心到直线的距离为(

)A.13

B.12

C.5

D.24答案C激趣诱思知识点拨二、圆柱、圆锥、圆台的定义及结构特征1.定义激趣诱思知识点拨2.相关概念(1)高:在旋转轴上的这条边的长度.(2)底面:垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面.(3)侧面:不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面.(4)母线:绕轴旋转的边.3.图形表示激趣诱思知识点拨微判断判断(正确的打“√”,错误的打“×”).(1)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥.(

)(2)圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台.(

)(3)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱.(

)答案(1)×

(2)√

(3)×激趣诱思知识点拨微练习1将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周,所得的几何体包括(

)A.一个圆台、两个圆锥B.两个圆柱、一个圆锥C.两个圆台、一个圆柱 D.一个圆柱、两个圆锥解析图①是一个等腰梯形,CD为较长的底边,以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体,如图②,包括一个圆柱、两个圆锥.答案D激趣诱思知识点拨名师点析

四种常见简单旋转体的性质比较

类型球圆

柱圆

锥圆

台底面形状无两个底面是互相平行且半径相等的圆圆两个底面是互相平行且半径不相等的圆母线无互相平行且长度相等相交于顶点且长度相等延长线交于一点且长度相等平行于底面的截面形状无与两个底面半径相等的圆与底面半径不相等的圆与两个底面半径不相等的圆过轴的截面的形状圆矩形等腰三角形等腰梯形激趣诱思知识点拨微练习2如图所示的几何体是由哪个平面图形旋转得到的(

)解析图中所给的几何体是由上部的圆锥和下部的圆台组合而成的,故所求平面图形的上部是直角三角形,下部为直角梯形构成.答案D探究一探究二探究三当堂检测旋转体的结构特征例1判断下列各说法是否正确.(1)用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和圆台;(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周而形成的面所围成的几何体是圆台;(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面,圆锥的轴截面是等腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形;(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球.探究一探究二探究三当堂检测解(1)错.只有在平面平行于圆锥底面时,才能将圆锥截为一个圆锥和一个圆台.(2)错.直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体,如图所示.(3)正确.(4)错.应为球面.反思感悟

准确理解旋转体的定义,在此基础上掌握各旋转体的性质,才能更好地把握它们的结构特征,以作出准确的判断.探究一探究二探究三当堂检测变式训练1给出下列说法:①经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面;②圆台的任意两条母线的延长线,可能相交,也可能不相交;③圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线.其中说法正确的是

.(填序号)

解析①正确,如图所示,经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面;②不正确,圆台的母线延长后必相交于一点;③不正确,由圆柱母线的定义知,圆柱的母线应平行于轴.答案①探究一探究二探究三当堂检测球的截面问题例2已知半径为25cm的球的一个截面的面积是49πcm2,则球心到这个截面的距离为

.

解析设球的半径为R,截面圆的半径为r,球心到截面的距离为d.因为S截=πr2=49π,所以r=7

cm,即球心到这个截面的距离为24

cm.答案24cm反思感悟

设球的截面圆上一点A,球心为O,截面圆心为O1,则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形,解答球的截面问题时,常用该直角三角形或者用过球心和截面圆心的轴截面求解.探究一探究二探究三当堂检测变式训练2半径是13cm的球面上有A,B,C三点,并且AB=BC=CA=12cm,试求球心到经过这三点的截面的距离.解设截面圆的圆心为O1,球的球心为O,则OO1即为球心到截面的距离,又O1是正三角形ABC的外心,所以球心到经过A,B,C三点的截面的距离为11

cm.探究一探究二探究三当堂检测圆柱、圆锥、圆台中的有关计算例3如图,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3cm,求圆台O'O的母线长.解设圆台的母线长为l

cm,由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16,可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r

cm,4r

cm.过轴SO作截面,如图.探究一探究二探究三当堂检测延伸探究本例中若圆台的上底面半径为1cm,其他条件不变,试求圆台的高.探究一探究二探究三当堂检测1.下列选项中的三角形绕直线l旋转一周,能得到如下图中的几何体的是(

)答案B探究一探究二探究三当堂检测2.一正方体内接于一个球,经过球心作一个截面,则截面的可能图形为

.(只填写序号)

解析当截面平行于正方体的一个侧面时得①图;当截面过正方体的体对角线时得③图;当截面不平行于任何侧面也不过体对角线时得②图.答案①②③探究一探究二探究三当堂检测3.若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为,则这个圆锥的母线长为

.

答案2探究一探究二探究三当堂检测4.湖面上浮着一个球,湖水结冰后,将球取出,冰上留下一个直径为24cm,深为8cm的空穴,则球的半径为

cm.

解析设球的半径为R

cm,由题意知,截面圆的半径r=12

cm,截面圆圆心与球心的距离d=(R-8)cm,由R2=r2+d2,得R2=144+(R-8)2,即208-16R=0,解得R=13

cm.答案13§2直观图课标阐释

1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.(几何直观)2.会用斜二测画法画常见的柱、锥、台、球以及简单组合体的直观图.(几何直观)3.能根据直观图还原出原图形并能进行相关的长度、面积等计算.(逻辑推理,数学运算)思维脉络

激趣诱思知识点拨皮影戏,旧称“影子戏”或“灯影戏”,是一种用灯光照射兽皮或纸板做成的人物剪影以表演故事的民间戏剧.表演时,艺人们在白色幕布后面,一边操纵戏曲人物,一边用当地流行的曲调唱述故事,同时配以打击乐器和弦乐,具有浓厚的乡土气息.千百年来,这门古老的艺术,伴随着祖祖辈辈的人们,度过了许多欢乐的时光.那么皮影戏中的这个“影”是什么投影?画几何体的直观图与皮影戏中形成的“影”原理一样吗?激趣诱思知识点拨斜二测画法1.水平放置的平面图形直观图的画法(1)在已知图形中建立平面直角坐标系xOy,画直观图时,它们分别对应x'轴和y'轴,两轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°.(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段.(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变;平行于y轴的线段,长度为原来的一半.(4)连线并擦去辅助线

x'轴和y'轴,便获得水平放置的直观图.激趣诱思知识点拨微判断判断(正确的打“√”,错误的打“×”).(1)用斜二测画法画水平放置的∠A时,若∠A的两边分别平行于x轴和y轴,且∠A=90°,则在直观图中,∠A=45°.(

)(2)用斜二测画法画平面图形的直观图时,平行的线段在直观图中仍平行,且长度不变.(

)(3)在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变.(

)答案(1)×

(2)×

(3)×激趣诱思知识点拨2.多面体的直观图的画法(1)在已知的空间图形中取水平平面和互相垂直的轴Ox,Oy;再取Oz轴,使∠xOz=90°,且∠yOz=90°.(2)画直观图时,把Ox,Oy,Oz画成对应的O'x',O'y',O'z',使∠x'O'y'=45°(或135°),∠x'O'z'=90°.x'O'y'所确定的平面表示水平平面.(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段.(4)已知图形中平行于x轴和z轴的线段,在直观图中保持原长度不变;平行于y轴的线段长度为原来的一半.(5)擦去辅助线,并将被遮线画成虚线.激趣诱思知识点拨名师点析斜二测画法中的建系原则在已知图形中建立直角坐标系,理论上在任何位置建立坐标系都可以,但实际作图时,一般建立特殊的直角坐标系,尽量运用原有直线或图形的对称直线为坐标轴,图形的对称点为原点或利用原有互相垂直的直线为坐标轴等.激趣诱思知识点拨微练习1已知在平面直角坐标系中,一个平面图形上的一条线段AB的实际长度为4cm,若AB∥x轴,则画出直观图后对应线段A'B'=

cm,若AB∥y轴,则画出直观图后对应线段A'B'=

cm.

答案4

2激趣诱思知识点拨微练习2用斜二测画法画长、宽、高分别为2cm、1.5cm、1cm的长方体ABCD-A'B'C'D'的直观图.解(1)画轴.如图,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.激趣诱思知识点拨(2)画底面.以点O为中点,在x轴上取线段MN,使MN=2

cm;在y轴上取线段PQ,使PQ=0.75

cm.分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.(3)画侧棱.过A,B,C,D各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取1

cm长的线段AA',BB',CC',DD'.(4)成图.顺次连接A',B',C',D',并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到长方体的直观图.探究一探究二探究三当堂检测画水平放置的平面图形的直观图例1如图,画出水平放置的等腰梯形的直观图.探究一探究二探究三当堂检测画法(1)如图,取AB所在直线为x轴,AB中点O为原点,建立平面直角坐标系,画对应的坐标系x'O'y',使∠x'O'y'=45°.(2)以点O'为中点在x'轴上取A'B'=AB,在y'轴上取O'E'=OE,以E'为中点画C'D'∥x'轴,并使C'D'=CD.(3)连接B'C',D'A',所得的四边形A'B'C'D'就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.探究一探究二探究三当堂检测反思感悟

画水平放置的平面图形的直观图的技巧1.在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的坐标系是关键,一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上,以便于画点.2.画平面图形的直观图,首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变),与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点,然后连接成线段.探究一探究二探究三当堂检测延伸探究把本例图形换成右图,试画出该图的直观图.解(1)在已知的直角梯形ABCD中,以底边AB所在直线为x轴,垂直于AB的腰AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系.如图①.(2)画相应的x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°,在x'轴上取O'B'=AB,在y'轴上取O'D'=AD,过D'作x'轴的平行线l,在l上沿x'轴正方向取点C'使得D'C'=DC.如图②.(3)连接B'C',所得四边形O'B'C'D'就是直角梯形ABCD的直观图.如图③.探究一探究二探究三当堂检测画空间几何体的直观图例2画出底面边长为1.2cm的正方形、侧棱均相等且高为1.5cm的四棱锥的直观图.画法(1)画轴.画x'轴、y'轴、z'轴,使∠x'O'y'=45°,∠x'O'z'=90°,如图①所示.(2)画底面.以O'为中心在x'轴上截取线段EF,使EF=1.2

cm,在y'轴上截取线段GH,使GH=0.6

cm.分别过E,F作y'轴的平行线,过G,H作x'轴的平行线,则交点分别为A,B,C,D,即四边形ABCD为底面正方形的直观图.(3)画高.在z'轴上截取OP,使OP=1.5

cm.探究一探究二探究三当堂检测(4)成图.顺次连接PA,PB,PC,PD,并擦去辅助线,将被遮住的部分改为虚线,得四棱锥的直观图,如图②所示.探究一探究二探究三当堂检测反思感悟

1.画空间几何体的直观图时,一般是先按照画平面图形直观图的方法与步骤,画出其底面的直观图,再在z轴上确定该几何体的顶点或另一个底面的直观图所需坐标系的原点,从而作出另一个底面的直观图,最后得到整个几何体的直观图.2.对于台体、柱体等有上底面的几何体,在作上底面的直观图时,可先作出高线,在上底面所在的平面内再建一个两轴分别与下底面中的坐标系中的两轴平行的坐标系,最后作出表示相应等量的线段并连接.探究一探究二探究三当堂检测变式训练1用斜二测画法画出底面为正方形的四棱台的直观图,其中上、下底面边长分别为2,3,高为2.画法(1)画轴.画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.(2)画下底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN=3,在y轴上取线段PQ,使PQ=1.5.分别过点M和点N作y轴的平行线,过点P和点Q作x轴的平行线,则交点分别为A,B,C,D,即四边形ABCD为四棱台的下底面.(3)画上底面.在z轴上取一点O',使OO'=2,以O'为原点画直线a和直线b,使直线a∥x轴,直线b∥y轴,在平面aO'b内以O'为中心画水平放置的边长为2的正方形的直观图A'B'C'D'.探究一探究二探究三当堂检测(4)连线.被遮挡的线画成虚线(如图①),擦去辅助线并整理就得到四棱台的直观图(如图②).探究一探究二探究三当堂检测直观图的还原与计算例3(1)在如图所示的直观图中,A'B'∥y'轴,B'C'∥A'D'∥x'轴,且B'C'≠A'D',则其对应的平面图形ABCD是(

)A.任意梯形B.直角梯形C.任意四边形D.平行四边形(2)已知等边三角形ABC的直观图△A'B'C'的面积为,则等边三角形ABC的面积是

.

探究一探究二探究三当堂检测解析(1)由直观图的画法,可知原四边形ABCD为直角梯形.(2)按照斜二测画法的规则,把如图①所示的等边三角形ABC的直观图△A'B'C'还原为如图②所示的等边三角形ABC,探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测反思感悟

1.借助水平放置的平面图形的直观图还原成原来的实际图形,其作法就是逆用斜二测画法,也就是使平行于x'轴的线段的长度不变,而平行于y'轴的线段的长度变为原来的2倍,还原时要抓住关键点和关键线段.2.平面多边形与其直观图面积间关系:一个平面多边形的面积为S原,斜二测画法得到直观图的面积为S直,则有S直=探究一探究二探究三当堂检测变式训练2如图是一个四边形的直观图,则其原图形的面积为

.

解析由四边形的直观图可知,原四边形是直角梯形,其上、下底长分别为2,3,高为6,故其面积为

×6=15.答案15探究一探究二探究三当堂检测1.(多选)关于斜二测画法所得直观图,以下说法不正确的是(

)A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B.正方形的直观图为平行四边形C.梯形的直观图不是梯形D.正三角形的直观图一定为等腰三角形解析由斜二测画法规则可知,等腰三角形的直观图不是等腰三角形,故A错误;正方形的直观图为平行四边形,故B正确;梯形的直观图依旧是梯形,故C错误;正三角形的直观图不是等腰三角形,故D错误.答案ACD探究一探究二探究三当堂检测2.下面每个选项的2个边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是(

)解析可分别画出各组图形的直观图,观察可得结论.答案C探究一探究二探究三当堂检测3.①三角形的直观图是三角形;②平行四边形的直观图是平行四边形;③正方形的直观图是正方形;④菱形的直观图是菱形.以上结论中,利用斜二测画法可得到的是

.(填序号)

解析斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系不会改变,因此三角形的直观图是三角形,平行四边形的直观图是平行四边形.答案①②探究一探究二探究三当堂检测4.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示,已知A'C'=3,B'C'=2,则AB边上的中线的实际长度为

.

解析由直观图知,原平面图形为直角三角形,且AC=A'C'=3,BC=2B'C'=4,则

,所以AB边上的中线长为2.5.答案2.53.1空间图形基本位置关系的认识

3.2刻画空间点、线、面位置关系的公理(一)课标阐释

1.通过长方体这一常见的几何体,体会点、直线、平面之间的位置关系.(几何直观)2.会用数学符号表示点、线、面的位置关系.(数学抽象)3.掌握平面的基本性质(3个基本事实和3个推论),并能应用其解决点、线、面位置关系的判断和共点、共线、共面等问题的证明.(逻辑推理)思维脉络

激趣诱思知识点拨联合国总部广场万国宫大门对面矗立着一把巨大的三条腿的椅子.这把椅子是瑞士日内瓦艺术家丹尼尔·伯塞特的雕塑作品,是1997年国际残联为了呼吁人们关注战争中地雷对平民造成的伤害而建立的纪念雕塑,象征人类因触雷而残缺的肢体,但仍然顽强地、有尊严地站立着.伯塞特在设计时,将椅座的位置向上提升,突出长长的椅腿,同时,将椅背设计成弧线形,使整个椅子有微微上翘的感觉,显示它“伤残的尊严”.现在断腿长椅已经成为日内瓦的标志性建筑了.伯塞特的作品给予了我们精神的洗礼,同时也蕴含着数学中的抽象美,思考一下:(1)若要确定一个平面,两个点可以吗?三个点呢?(2)两个平面能否只有一个交点?激趣诱思知识点拨一、点、直线、平面之间的关系

激趣诱思知识点拨激趣诱思知识点拨激趣诱思知识点拨名师点析1.在用符号语言表示点、线、面的关系时,要分清是属于元素和集合的关系,还是集合之间的关系,一般点看成元素,线和面看成点的集合.2.直线与平面平行和直线与平面相交统称为直线在平面外,即3.点、线的位置关系用图示表示时可以用平面衬托,线面或面面位置关系的图示表示时要注意线的虚实,被遮挡的要画成虚线或不画.激趣诱思知识点拨微练习1把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上.(1)A∉α,a⊂α

.

(2)α∩β=a,P∉α,且P∉β

.

(3)a∩α=A

.

(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O

.

答案(1)C

(2)D

(3)A

(4)B激趣诱思知识点拨微练习2用符号语言表示下列语句,并画出图形.(1)三个平面α,β,γ交于一点P,且平面α与平面β交于PA,平面α与平面γ交于PB,平面β与平面γ交于PC;(2)平面ABD与平面BCD相交于BD,平面ABC与平面ADC相交于AC.激趣诱思知识点拨解(1)符号语言:α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC.图形表示如图①.(2)符号语言:平面ABD∩平面BCD=BD,平面ABC∩平面ADC=AC.图形表示如图②.激趣诱思知识点拨二、平面的基本性质及其推论1.平面的基本性质激趣诱思知识点拨激趣诱思知识点拨2.三个推论

激趣诱思知识点拨微思考两个不重合的平面可能存在有限个公共点吗?提示不能.要么没有公共点,要么有无数个公共点.微判断判断(正确的打“√”,错误的打“×”).(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.(

)(2)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于A点,记作α∩β=A.(

)(3)空间不同的三点确定一个平面.(

)(4)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.(

)答案(1)×

(2)×

(3)×

(4)√探究一探究二探究三探究四当堂检测图形语言、文字语言、符号语言的相互转换例1(1)若点A在直线b上,b在平面β内,则点A,直线b,平面β之间的关系用符号可以记作

.

答案A∈b,b⊂β,A∈β探究一探究二探究三探究四当堂检测(2)用符号表示下列语句,并画出图形.①点A在平面α内但在平面β外;②直线a经过平面α内一点A,α外一点B;③直线a在平面α内,也在平面β内.解①A∈α,A∉β.(如图①)②a∩α=A,B∉α,B∈a.(如图②)③α∩β=a.(如图③)探究一探究二探究三探究四当堂检测反思感悟

三种语言转换方法:用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线及相互之间的位置关系,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.探究一探究二探究三探究四当堂检测变式训练1用符号表示下列语句,并画出图形.(1)平面α与β相交于直线l,直线a与α,β分别相交于点A,B.(2)点A,B在平面α内,直线a与平面α交于点C,点C不在直线AB上.解(1)用符号表示α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B,如图.(2)用符号表示A∈α,B∈α,a∩α=C,C∉AB,如图.探究一探究二探究三探究四当堂检测证明点、线共面例2证明:两两相交且不过同一点的三条直线共面.解已知:如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.求证:直线l1,l2,l3在同一平面内.证明:(方法一)纳入平面法因为l1∩l2=A,所以l1和l2确定一个平面α.因为l2∩l3=B,所以B∈l2.又l2⊂α,所以B∈α.同理可证C∈α.因为B∈l3,C∈l3,所以l3⊂α.所以直线l1,l2,l3在同一平面内.探究一探究二探究三探究四当堂检测(方法二)辅助平面法因为l1∩l2=A,所以l1,l2确定一个平面α.因为l2∩l3=B,所以l2,l3确定一个平面β.因为A∈l2,l2⊂α,所以A∈α.因为A∈l2,l2⊂β,所以A∈β.同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.所以不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内.所以平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.探究一探究二探究三探究四当堂检测反思感悟

证明点、线共面问题的理论依据是基本事实1和基本事实2,常用方法有:(1)先由部分点、线确定一个面,再证其余的点、线都在这个平面内,即用“纳入平面法”;(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α,其余点、线确定另一个平面β,再证平面α与β重合,即用“辅助平面法”;(3)假设不共面,结合题设推出矛盾,用“反证法”.注意:在遇到文字叙述的结论时,一定要先根据题意画出图形,结合图形写出已知与求证,再证明.探究一探究二探究三探究四当堂检测延伸探究把本例中的“不过同一点”删掉呢?这三条直线是否共面?解①不一定共面.若三条直线两两相交,且过同一个点.这三条直线在同一个平面内相交,如图.这三条直线不共面.如图.②若三条直线两两相交,且不过同一个点,由本例可知,这三条直线共面.探究一探究二探究三探究四当堂检测证明点共线例3已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如图.求证:P,Q,R三点共线.探究一探究二探究三探究四当堂检测证明(证法一)因为AB∩α=P,所以P∈AB,P∈平面α.又AB⊂平面ABC,所以P∈平面ABC.所以由基本事实3可知点P在平面ABC与平面α的交线上,同理可证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上,所以P,Q,R三点共线.(证法二)因为AP∩AR=A,所以直线AP与直线AR确定平面APR.又AB∩α=P,AC∩α=R,所以平面APR∩平面α=PR.因为B∈平面APR,C∈平面APR,所以BC⊂平面APR.因为Q∈BC,所以Q∈平面APR.又Q∈α,所以Q∈PR,所以P,Q,R三点共线.探究一探究二探究三探究四当堂检测反思感悟

点共线:证明多点共线通常利用基本事实3,即两相交平面交线的唯一性,通过证明点分别在两个平面内,证明点在相交平面的交线上;也可先选择其中两点确定一条直线,再证明其他点也在其上.探究一探究二探究三探究四当堂检测变式训练2如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设A1C∩平面ABC1D1=E.则B,E,D1三点的关系为

.(填“共线”或“不共线”)

探究一探究二探究三探究四当堂检测解析如图所示,连接A1B,BD1,CD1.因为A1C∩平面ABC1D1=E,所以E∈A1C,E∈平面ABC1D1.因为A1C⊂平面A1BCD1,所以E∈平面A1BCD1.因为平面A1BCD1∩平面ABC1D1=BD1,所以E∈BD1,所以B,E,D1三点共线.答案共线探究一探究二探究三探究四当堂检测证明线共点例4如图所示,三个平面α,β,γ两两相交于三条直线,即α∩β=c,β∩γ=a,γ∩α=b,若直线a和b不平行,求证:a,b,c三条直线必过同一点.证明因为α∩γ=b,β∩γ=a,所以a⊂γ,b⊂γ.因为直线a和b不平行,所以a,b必相交.如图所示,设a∩b=P,则P∈a,P∈b.因为a⊂β,b⊂α,所以P∈β,P∈α.又α∩β=c,所以P∈c,即交线c经过点P.所以a,b,c三条直线必过同一点.探究一探究二探究三探究四当堂检测反思感悟

证明三线共点常用的方法是先说明两条直线共面且相交于一点,再说明这个点在以另一条直线为交线的两个平面内,即该点在另一条直线上,则可得三线共点.探究一探究二探究三探究四当堂检测变式训练3如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和CB上的点,G,H分别是CD和AD上的点,且四边形EFGH为梯形,HG∥EF,HG∶EF=1∶3.求证:EH,BD,FG三条直线相交于同一点.探究一探究二探究三探究四当堂检测证明延长EH,FG,不妨设EH∩FG=O,因为HG∥EF,HG∶EF=1∶3,且EF≠GH,所以EH,FG共面,且与FG不平行.因为O∈EH,EH⊂平面ABD,所以O∈平面ABD,因为O∈FG,FG⊂平面BCD,所以O∈平面BCD.因为平面ABD∩平面BCD=BD,所以O∈BD,所以EH,BD,FG三条直线相交于同一点O.探究一探究二探究三探究四当堂检测1.如果点A在直线a上,而直线a在平面α内,点B在平面α内,则可以表示为(

)A.A⊂a,a⊂α,B∈α B.A∈a,a⊂α,B∈αC.A⊂a,a∈α,B⊂α D.A∈a,a∈α,B∈α解析点A在直线a上,而直线a在平面α内,点B在平面α内,表示为A∈a,a⊂α,B∈α.答案B探究一探究二探究三探究四当堂检测2.如图,已知D,E是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点,若直线AB与平面α的交点是P,则点P与直线DE的位置关系是

.

解析因为P∈AB,AB⊂平面ABC,所以P∈平面ABC.又P∈α,平面ABC∩平面α=DE,所以P∈DE.答案P∈DE探究一探究二探究三探究四当堂检测3.若l1∥l2,l3与l1,l2分别相交于点C,B.求证:l1,l2,l3在同一平面内.证明因为l1∥l2,所以l1,l2确定一个平面记为α.因为l1∩l3=C,所以C∈l1.因为l1⊂α,所以C∈α.因为l2∩l3=B,所以B∈l2.因为l2⊂α,所以B∈α.因为B∈l3,C∈l3,所以l3⊂α,即l1,l2,l3在同一平面内.4.1直线与平面平行课标阐释

1.理解直线与平面平行的性质定理的含义,并能用图形语言、文字语言、符号语言进行描述.(几何直观、数学抽象)2.理解直线与平面平