2024年中考数学试题分类汇编：圆的有关计算与证明（29题）（解析版） (二)

专题24圆的有关计算与证明（29题）

一、单选题

1.（2024.安徽.中考真题）若扇形AOB的半径为6,ZAOB=120°,则四的长为（）

A.2%B.3兀C.4万D.6TT

【答案】C

【分析】此题考查了弧长公式，根据弧长公式计算即可.

【详解】解：由题意可得，A8的长为与等=4万,

lol）

故选：C.

2.（2024.贵州・中考真题）如图，在扇形纸扇中，若NAO3=150。,04-24,则AB的长为（）

A.30兀B.25TIC.2071D.IOTT

【答案】C

【分析】本题考查了弧长，根据弧长公式：/=覆求解即可.

lot）

【详解】解：408=150。，04=24,

・AAizAL1507ix24__

••AB的长为———=20兀,

ioU

故选：C.

3.（2024.云南・中考真题）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品.若这种圆锥的母线长

为40厘米，底面圆的半径为30厘米，则该圆锥的侧面积为（）

A.700兀平方厘米B.900兀平方厘米

C.1200兀平方厘米D.1600兀平方厘米

【答案】C

【分析】本题考查了圆锥的侧面积，先求出圆锥底面圆的周长，再根据圆锥的侧面积计算公式计算即可求

解，掌握圆锥侧面积计算公式是解题的关键.

【详解】解：圆锥的底面圆周长为271x30=60兀厘米，

圆锥的侧面积为,x60nx40=1200兀平方厘米，

2

故选：C.

4.（2024.四川甘孜•中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于04=1,则A3的长为（）

A.2B.6C,1D.1

【答案】C

【分析】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，由正六边形的性质得到NAOB=60。,

得到493为等边三角形，进而得到。4=AB=1,判断出AOB为等边三角形是解题的关键.

【详解】解：ABCDEF是正六边形，

"：OA=OB,

二一A03为等边三角形,

OA=AB=1,

故选：C.

5.（2024・广东广州•中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72。的扇形，若扇形的半径/是5,

D.海

C.2"兀

3

【答案】D

【分析】本题考查了弧长公式，圆锥的体积公式，勾股定理，理解圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧

长相等是解题关键，设圆锥的半径为人则圆锥的底面周长为2万厂，根据弧长公式得出侧面展开图的弧长,

进而得出厂=1,再利用勾股定理，求出圆锥的高，再代入体积公式求解即可.

【详解】解：设圆锥的半径为人则圆锥的底面周长为2b，

.圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72。的扇形，且扇形的半径/是5,

二扇形的弧长为绘—=2万，

lo（J

圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等,

2711r-24,

/.r=1,

二圆锥的高为J52-『=2底,

二圆锥的体积为，、1葭2"=安》，

33

故选：D.

6.（2024.四川遂宁.中考真题）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积.如图所示，排污管道的横截面

是直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为1米，请计算出淤泥横截面

的面积（）

【答案】A

【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，求不规则图形的面积，过点。作

ODLAB于。，由垂径定理得==由勾股定理得0。=立m,又根据圆的直径为2米

222

可得。4=03=AS,得到“A03为等边三角形，即得NAO3=60。，再根据淤泥横截面的面积

S

=^AOB-SAOB即可求解，掌握垂径定理及扇形面积计算公式是解题的关键.

【详解】解：过点。作于。，则“）0=90。,

22

•••圆的直径为2米,

OA=OB=1m,

不

:.在RtAC®中，OD4OA1-AD?==——m，

2

*：OA=OB=AB,

・•・为等边三角形,

・•.ZAOB=60°,

•••淤泥横截面的面积=s*「s®=端J；xlx咚=3一手］n?,

30U22104,

故选：A.

7.（2024・四川广安・中考真题）如图，在等腰三角形A3c中，AB=AC=10,ZC=70°,以AB为直径作

半圆，与AC,3。分别相交于点。，E,则OE的长度为（）

【答案】C

【分析】本题考查了求弧长.根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得-4的度数，证明OE〃AC,

再由。4=OD,再由等腰三角形的性质和平行线的性质求得NOO£的度数，利用弧长公式即可求解.

【详解】解：连接OD,OE,

：.ZABC=ZC=70°,

•：OE=OB,

：.ZOEB=ZB=70°9

：.ZOEB=ZC=70°

：.OE//AC,

在心ABC中，ZA+ZABC+ZC=180°,

JZA=180°-ZABC-ZC=180°-70°-70°=40°,

XOA=OD=-AB=5,

2

,/OEAC

・•・ZA=ZADO=40°=/DOE,

40TIX51071

・•・DE的长度为

180~9~

故选：C.

8.（2024.山东威海.中考真题）如图，在扇形493中，NAO5=90。，点。是AO的中点.过点。作CELA。

交AB于点E,过点E作垂足为点。.在扇形内随机选取一点尸，则点P落在阴影部分的概率

【答案】B

【分析】本题考查的是求不规则图形的面积，几何概率，根据阴影部分面积等于扇形O3E的面积，即可求

解.

【详解】解：VZAOB=9Q°,CE1AO,EDVOB

四边形OC£>E是矩形,

•C-C

,•0,OCE­°.ODE

•e•S阴影部分=SODE+SBDE=S扇形OM

•・,点C是AO的中点

OC=-OE=DE

2

sinZEOD=-=-

OE2

・•・NEO。=30。

.e___30KxAO2_7ixAO2_90KXAO2_7ixAO2

c+ccc

**3阴影部分ODE、BDE=3扇形QBE=拓二一五一'扇形人理=痴=]

nxAO2

点尸落在阴影部分的概率是沁生=1彳八2=/

S扇形AOB-XA。3

4

故选：B.

二、填空题

9.（2024.四川成都・中考真题）如图，在扇形A03中，OA=6,ZAOB=120°,则AB的长为.

【分析】此题考查了弧长公式，把已知数据代入弧长公式计算即可.

【详解】解：由题意得A8的长为

故答案为：4兀

10.（2024•黑龙江齐齐哈尔•中考真题）若圆锥的底面半径是1cm,它的侧面展开图的圆心角是直角，则该

圆锥的高为cm.

【答案】岳

【分析】本题考查了圆锥的计算.设圆锥的母线长为R,根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧

长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2万禁，然后解方程即可得

loU

母线长，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可.

【详解】解：设圆锥的母线长为R,

根据题意得2万•1=为黑，

loU

解得：R=4.

即圆锥的母线长为4cm,

...圆锥的高=m_]2=后cm,

故答案是：V15.

H.（2024・吉林・中考真题）某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图如

图所示，该场地由。和扇形03c组成，。民。。分另1」与（。交于点Q4=lm,QB=10m,ZAOD=40°,

则阴影部分的面积为n?（结果保留兀）.

【答案】11万

【分析】本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键.

利用阴影部分面积等于大扇形减去小扇形面积，结合扇形面积公式即可求解.

【详解】解：由题意得：SEH舀=40万（1°~一1~）=11万,

阴影360

故答案为：11%.

12.（2024.内蒙古呼伦贝尔.中考真题）为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路.如

图、42与C。是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心。，所对的圆心角都是72。，点A,C,。在同

一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，则公路宽AC的长是一米.（无取3.14,计算结果精

确到0.1）

_4、

D：\

C：........

【答案】28.7

【分析】本题考查了弧长公式，解一元一次方程等知识，利用弧长公式并结合题意可得出

72：，"-72：?=36,进而得出72：°,C=36,然后解方程并按要求取近似数即可.

lol）lot）loU

•、“左RY54•口4•口口小土/日772兀.（24772^•OC

【详斛】解：根据意思，4&=_180'%D=丽，

•・•公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，

.72/0472^-OC“

>•—36,

180180

.72"OA-OC)必"=36

,•一30

180180

解得心—90丹90。28.7,

713.14

故答案为：28.7.

13.（2024.江苏盐城・中考真题）已知圆锥的底面圆半径为4,母线长为5,则圆锥的侧面积是

【答案】20下

【分析】结合题意，根据圆锥侧面积和底面圆半径、母线的关系式计算，即可得到答案.

【详解】解：•••圆锥的底面圆半径为4,母线长为5

圆锥的侧面积S=;rx4x5=20万

故答案为：20万.

【点睛】本题考查了圆锥的知识，解题的关键是熟练掌握圆锥的性质，从而完成求解.

14.（2024.江苏扬州•中考真题）若用半径为10cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆

的半径为—cm.

【答案】5

【分析】本题考查了圆锥的计算.用到的知识点为：圆锥的侧面展开图弧长等于底面周长.

根据题意得圆锥的母线长为10cm,以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以2%即为

圆锥的底面半径.

【详解】解：圆锥的侧面展开图的弧长为2;rxl0+2=10亚cm）,

圆锥的底面半径为10万+2万=5（cm）,

故答案为：5.

15.（2024・四川自贡・中考真题）龚扇是自贡“小三绝”之一.为弘扬民族传统文化，某校手工兴趣小组将一

个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个龚扇模型（如图）.扇形外侧两竹条AB,AC夹角为

120°.48长30cm,扇面的8D边长为18cm,则扇面面积为cm?（结果保留勿）.

【答案】252万

【分析】根据扇形公式进行计算即可.本题考查了扇面面积计算，掌握扇面面积等于两个扇形面积相减是

解题的关键.

【详解】解：扇面面积=扇形的面积-扇形DAE的面积

_120xzrx302120XTTX（30-18）2

360360

=300%-48万

=2527r（cm?）,

故答案为：2527.

16.（2024•甘肃・中考真题）甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化

遗产.如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2,其中扇形和扇形OAD有相同

的圆心O,且圆心角N0=100。，若Q4=120cm,（95=60cm,则阴影部分的面积是cm?.（结果用

z表示）

【答案】3000%

【分析】根据扇形面积公式计算即可.本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键.

【详解】：圆心角NO=100°,04=120cm,OB=60cm,

・・・阴影部分的面积是loo*",。?

360360

=3000万cm2

故答案为：3000万.

17.（2024•黑龙江绥化•中考真题）用一个圆心角为126。，半径为10cm的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆

锥的底面圆的半径为cm.

【答案】|

【分析】本题考查了弧长公式，根据圆锥的底面圆的周长等于侧面的弧长，代入数据计算，即可求解.

【详解】解：设这个圆锥的底面圆的半径为Rem,由题意得，黑xlOx兀=2兀R

180

7

解得：R=；

,7

故答案为：—■

18.（2024•广东深圳•中考真题）如图，在矩形A3CD中，BC=&B,。为3C中点，OE=AB=4,则扇

形EOP的面积为.

【分析】本题考查了扇形的面积公式，解直角三角形.利用解直角三角形求得4OE=45。，NCOF=45。,

得到NEO尸=90。，再利用扇形的面积公式即可求解.

【详解】解：：BC=5/i4B,AB=4,

8c=4夜，

为8C中点，

OB=OC=LBC=26,

2

OE=4,

在RtQBE中，cosNBOE=2=显,

OE42

：.NBOE=45°,

同理/COF=45°,

ZEOF=180°-45°-45°=90°,

90^-.42

扇形EOF的面积为=4%,

360

故答案为：4万.

19.（2024・吉林长春•中考真题）一块含30。角的直角三角板A3C按如图所示的方式摆放，边43与直线/重

合，A3=12cm.现将该三角板绕点8顺时针旋转，使点C的对应点C'落在直线/上，则点A经过的路径

长至少为cm.（结果保留万）

【分析】本题主要考查了旋转的性质、弧长公式等知识点，掌握弧长公式成为解题的关键.

由旋转的性质可得/45。=/42。=60。,即//的=120°,再根据点A经过的路径长至少为以B为圆心,

以A3为半径的圆弧的长即可解答.

【详解】解：•••将该三角板绕点B顺时针旋转，使点C的对应点C，落在直线/上，

ZABC=ZABC=60°,即ZJBA=120°,

.上,以—gg/Ni/k।120°•^'-10207r

..点A经过的路径长至少为————=——.

故答案为：平

20.（2024•江苏苏州•中考真题）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意

图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点。，A8所在圆的圆心C恰好

是IABO的内心，若AB=2g,则花窗的周长（图中实线部分的长度）.（结果保留兀）

【分析】题目主要考查正多边形与圆，解三角形，求弧长，过点C作CE_LAB,根据正多边形的性质得出

AO8为等边三角形，再由内心的性质确定NC4O=，0LE=，CBE=3O。，得出/ACB=120。，利用余弦

得出AC=，嚓=2,再求弧长即可求解，熟练掌握这些基础知识点是解题关键.

cos30°

过点C作CELAB,

:六条弧所对应的弦构成一个正六边形,

^AOB=60°,OA=OB,

A03为等边三角形,

:圆心C恰好是ABO的内心,

/CAO=NCAE=NCBE=30°,

：.ZACB=120°,

AB=2。

AE=BE=也,

••.4,=彘L2,

.AAizAL120X2XK4

••A2的长为：10c=£■，

1oUJ

4

•••花窗的周长为：§7ix6=8兀，

故答案为：87t.

21.（2024•甘肃临夏・中考真题）如图，对折边长为2的正方形纸片ABC。，为折痕，以点。为圆心，OM

为半径作弧，分别交AD,BC于E,尸两点，则用的长度为（结果保留兀）.

【答案】胃2万2?

【分析】本题主要考查了弧长的计算、正方形的性质及翻折变换（折叠问题），解直角三角形，熟知正方

形的性质、图形翻折的性质及弧长的计算公式是解题的关键.

由对折可知，NEOM=NFOM,过点E作的垂线，进而可求出NEOM的度数，则可得出NEO产的度

数，最后根据弧长公式即可解决问题.

【详解】解：：折叠，且四边形MCD是正方形

四边形AQMD是矩形，ZEOM=ZFOM,

则OM=AD=2,DM=1cr>=l.

过点E作EPLOM于P,

则EP=D河=」CZ)=1,

2

OE=OM=AD=2,CD=AD=2,

:.EP=-OE.

2

EP1

在RtEOP中,sinZEOP=——=—,

OE2

:.ZEOP=30°f

贝|/£0尸=30。乂2=60。，

,,V,60,221

二.所的长lz度为：———=—

LoU3

故答案为：奇.

22.（2024•黑龙江大兴安岭地•中考真题）若圆锥的底面半径为3,侧面积为36兀，则这个圆锥侧面展开图

的圆心角是.

【答案】90

【分析】此题主要考查了圆锥的侧面积公式以及与展开图扇形面积关系，求出圆锥的母线长是解决问题的

关键.根据圆锥的侧面积公式S=71〃求出圆锥的母线长，再结合扇形面积公式即可求出圆心角的度数.

【详解】根据圆锥侧面积公式：S=nrl,可得7IX3X/=36TI

解得：1=12,

解得〃=90,

侧面展开图的圆心角是90。.

故答案为：90.

23.（2024・吉林长春•中考真题）如图，A3是半圆的直径，AC是一条弦，。是AC的中点，DE1AB于

点E,交AC于点尸，交AC于点G,连结4）.给出下面四个结论:

@ZABD=ZDAC；

®AF=FG；

③当DG=2,G3=3时，FG=—；

2

④当20=240，AB=6时，刀尸G的面积是省.

上述结论中，正确结论的序号有.

【答案】①②③

【分析】如图：连接DC,由圆周角定理可判定①；先说明NBDE=ZAGD、ZADE=4MC可得DF=FG、

AF=FD,即Ab=bG可判定②；先证明ADG-的可得黑=2,即富J=代入数据可得

BDADDG+BGAD

AD=y/10,然后运用勾股定理可得AG=巧，再结合AFnFG即可判定③；如图：假设半圆的圆心为O,

连接CO,CD,易得NAOD=NDOC=60。，从而证明-A。。,-。。。是等边二角形，即ADCO是菱形,

然后得到NQ4C=NQ4C=30。，再解直角三角形可得Z)G=2力，根据三角形面积公式可得S=6A/3,

最后根据三角形的中线将三角形平分即可判定④.

【详解】解：如图：连接OC,

ID是AC的中点,

***AD=DC9

：.ZABD=ZDAC,即①正确；

丁是直径，

：.ZADB=9Q0,

：.ZDAC+ZAGD=90°,

,:DE，AB

：.?BDE1ABD90?,

•:ZABD=ZDAC,

：.ZBDE=ZAGDf

：.DF=FG,

•：?BDE?ABD90?,ZBDE+ZADE=90。,

ZADE=ZABD,

*：ZABD=ZDAC,

：.ZADE=ZDAC,

；.AF=FD,

・•・•=/G,即②正确；

在△ADG和ZkBDA,

(ZADG=ZBDA=90°

[ZDAG=/DBA'

：・ADGsBDA,

.ADGDADGD

..-------，即Rn--------=---,

BDADDG+BGAD

-A。_2

即AD=M,

*2+3-

AG=^AD1+DG1=V14,

•:AF=FG,

***FG=—AG=,即③正确；

22

如图：假设半圆的圆心为O,连接03CO,8,

•：BD=2AD，AB=6,。是AC的中点，

AD=DC=AB,

：.ZAOD=ZDOC=60°,

'：OA=OD=OC,

.・・-AOD,二ODC是等边三角形，

AOA=AD=CD=OC=OD=6,即ADCO是菱形，

ZDAC=ZOAC=-ZDAO=30°,

2

9

\ZADB=9Q°f

/.tanZ£>AC=tan300=—,即且=%,解得：Z)G=273,

AD36

:•SADG=；AD,DG=gx6x2杷=66

,?AF^FG

•••S,“c=gs曲=3百，即④错误・

B

故答案为：①②③.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理、菱形的判定

与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键.

三、解答题

24.（2024・广东・中考真题）综合与实践

【主题】滤纸与漏斗

【素材】如图1所示：

①一张直径为10cm的圆形滤纸；

②一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗.

h-7cm-H

图1

【实践操作】

步骤1：取一张滤纸；

步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；

步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；

步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中.

图2

【实践探索】

(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)？用你所学的数学知识说明.

(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积.(结果保留兀)

【答案】⑴能,见解析

(c2P)----6-；Tcni3

24

【分析】本题考查了圆锥，解题的关键是：

(1)利用圆锥的底面周长=侧面展开扇形的弧长求出圆锥展开图的扇形圆心角，即可判断；

(2)利用圆锥的底面周长=侧面展开扇形的弧长，求出滤纸围成圆锥形底面圆的半径，利用勾股定理求

出圆锥的高，然后利用圆锥体积公式求解即可.

【详解】(D解:能，

理由：设圆锥展开图的扇形圆心角为废，

Y]7T•7

根据题意，得寄~=7支，

lol)

解得九=180?,

将圆形滤纸对折，将其中一层撑开，围成圆锥形，此时滤纸能紧贴此漏斗内壁;

(2)解：设滤纸围成圆锥形底面圆的半径为rem,高为/zem,

根据题意，得24=身鳖生,

lol)

解得「=|，

,."='国=|收

.,.圆锥的体积为工"产x—73=V3cm3.

33224

25.(2024.黑龙江大兴安岭地.中考真题)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度,

在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别为A(-Ll),B(-2,3),C(-5,2).

⑴画出.ABC关于y轴对称的△A与G，并写出点用的坐标；

⑵画出,ABC绕点A逆时针旋转90。后得到的AB2C2,并写出点的坐标；

(3)在(2)的条件下，求点8旋转到点的过程中所经过的路径长(结果保留兀)

【答案】(1)作图见解析，4(2,3)

(2)作图见解析，B2(-3,0)

⑶事

2

【分析】本题考查了利用旋转变换作图，轴对称和扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应

点的位置是解题的关键.

（1）根据题意画出即可；关于y轴对称点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标不变；

（2）根据网格结构找出点3、C以点A为旋转中心逆时针旋转90。后的对应点，然后顺次连接即可;

（3）先求出AB=«,再由旋转角等于90。，利用弧长公式即可求出.

【详解】（1）解：如图，^4月G为所求；点区的坐标为（2,3）,

⑶AB=#+22=#>,

点B旋转到点层的过程中所经过的路径长=如".

1802

26.（2024・山东・中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD//BC,/ZMB=60。，AB=BC=2AD=2.以

点A为圆心，以AD为半径作OE交于点E,以点B为圆心，以跳为半径作颇所交于点尸，连接尸。

交》于另一点G，连接CG.

D

EB

⑴求证：CG为下所在圆的切线;

（2）求图中阴影部分面积.（结果保留万）

【答案】（1）见解析

（、、3/71

【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，圆的性质，扇形面积，等边三角形的性质等知识点，证明四

边形ABFD是平行四边形是解题关键.

(1)根据圆的性质，证明3/=3E=AD=AE=CF,即可证明四边形MED是平行四边形，再证明BFG

是等边三角形，再根据圆的切线判定定理即可证得结果.

(2)先求出平行四边形的高根据扇形面积公式三角形面积公式，平行四边形面积公式求解即可.

【详解】(1)解：连接BG如图，

根据题意可知：AD=AE,BE=BF

又；AB=3C,

CF=AE=AD,

BC=2AD,

BF=BE=AD=AE=CF,

AD//BC,

；•四边形ABFD是平行四边形，

；•/BFD=/DAB=60。,

'：BG=BF,

.••一BFG是等边三角形，

GF=BF,

：.GF=BF=FC,

G在以BC为直径的圆上，

ZBGC=90°,

CG为斯所在圆的切线.

(2)过。作于点

由图可得：S阴影=SABFD-S扇A。-S扇5EG-'BFG，

在中，AD=1,ZZMB=60°,

/.DH=ADsinZDAB=lx^=^,

22

-sABFD=AB-DH=2x^-=y/3,

由题可知：扇形ADE和扇形3GE全等,

・ssn兀r160/r（AD）260xxl2兀

・•扇也一扇颐—360——360———360一—

等边三角形5尸G的面积为：LGF.DH=LX1速力,

2224

•c_c_c_c_<?_n万万一3'J^>n

*"»阴影―»ABF。一J扇AED-»JSBEG~~~~"J

27.（2024・福建・中考真题）如图，在.ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,以A3为直径的O交BC于点、D,

AE±OC,垂足为EBE的延长线交AD于点尸.

(3)求证：AD与EF互相平分.

【答案】⑴1

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)先证得AC=2AO,再在RtAOC中，tanZAOC=—=2.在RtZSAOE中，tanZAOC=—,

AO0E

AE

可得­=2,再证得结果；

0E

(2)过点B作氏交E。延长线于点M,先证明=40£0八30/0,n^^AE=BM,OE=OM,再

证得ZBAE=NCBE,再由相似三角形的判定可得结论；

AJ74R7AOAO

(3)如图，连接。瓦。/，由(2)△AEBMBEC,可得一=—=—=—,ZEAO=ZEBD,从而

BEBC2BDBD

得出AOEs,BDE,得出N巫D=NAEO=90。，得出NAra=NDEF,再由平行线判定得出AF〃。石,

AE//FD,从而得出四边形血正是平行四边形，最后由平行四边形的性质可得结果.

【详解】(1)AB=AC,且A8是的直径，

二.AC=2AO.

ZBAC=90°,

•••在RtAOC中，tanZAOC=­=2.

AO

AELOC,

AF

•二在Rt^AOE中,tanZAOC=——.

OE

AE

----=2,

OE

.OE_1

,AE2'

(2)过点区作交E。延长线于点

NBAE=ZABM,ZAEO=ZBMO=90°

AO=BO,

:.AAOE^ABOM,

:.AE=BM,OE=OM.

OE_1

~AE~29

:.BM=2OE=EM,

:.ZMEB=ZMBE=45°,

ZAEB=ZAEO-^-ZMEB=135°,ZBEC=180°-ZMEB=135°,

:.ZAEB=ZBEC.

AB=AC,ABAC=9^,

/.ZABC=45°,

:.ZABM=ZCBE,

:.ZBAE=ZCBE,

:.AAEBs^BEC.

（3）如图，连接。E,DF\

AB是］。的直径,

ZADB=ZAFB=90°,AB=2AO.

AB=AC,ABAC=90°,

:.BC=2BD,NDAB=45。.

由（2）知，AAEB^ABEC,

:.AAOE^ABDE,

ZBED^ZAEO^90°.

:.ZDEF=90°.

:.ZAFB^ZDEF,

:.AF//DE.

由（2）知，ZA£B=135°,

ZAEF=180°-ZAEB=45°.

ZDFB=NDAB=45°,

：.ZDFB=ZAEF,

:.AE//FD,

■■四边形AED厂是平行四边形，

AZ）与E尸互相平分.

【点睛】本小题考查等腰三角形及直角三角形的判定与性质、锐角三角函数、全等三角形的判定与性质、

相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、圆的基本性质等基础知识，

考查推理能力、几何直观、运算能力、创新意识等，熟练掌握相关图形的性质定理是关键.

28.（2024・陕西・中考真题）问题提出

（1）如图1,在ABC中，AB=15,ZC=30°,作/1BC的外接圆。。.则ACB的长为；（结果

保留无）

问题解决

(2)如图2所示，道路A5的一侧是湿地.某生态研究所在湿地上建有观测点D,E,C,线段AD,AC和

3c为观测步道，其中点A和点8为观测步道出入口，已知点E在AC上，且AE=EC,ZZMS=60°,

NABC=120。，AB=1200m,AD=BC=900m,现要在湿地上修建一个新观测点P,使/DPC=60。.再

在线段A3上选一个新的步道出入口点?并修通三条新步道尸尸，PD,PC,使新步道PF经过观测点E,

并将五边形ABCPD的面积平分.

请问：是否存在满足要求的点尸和点F?若存在，求此时PF的长；若不存在，请说明理由.(点A,B,C,

P,。在同一平面内，道路48与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号)

【答案】(1)25万；(2)存在满足要求的点尸和点凡此时尸尸的长为9006+1200)m.

【分析】(1)连接。4、OB,证明，等边三角形，再利用弧长公式计算即可求解；

(2)点尸在以。为圆心，圆心角为120。的圆上，如图，由题意知直线尸尸必经过的中点得到四边

形AFMD是平行四边形，求得句W=4)=900m,作于点N,解直角三角形求得CN和的长，

再证明Z\PMCs/\DPC,利用相似三角形的性质求得尸。2=720000,据此求解即可.

【详解】解：(1)连接。4、OB,

;ZC=30°,

JZAOB=60°,

OA=OB,

・•・O钻等边三角形,

,?AB=15,

04=08=15,

・AA300TT-15.,

••ACB的长为———=25n；

loU

故答案为：25万；

(2)存在满足要求的点尸和点孔此时PF的长为(300瓶+1200)m.理由如下,

解：ZDAB=60°,/ABC=120。,

ZDAB+ZABC^180°,

AD//BC,

AD^BC=900m,

•••四边形ABCD是平行四边形,

,/要在湿地上修建一个新观测点产，使/DPC=60°,

...点P在以。为圆心，CD为弦，圆心角为120。的圆上，如图,

,/AE=EC,

经过点E的直线都平分四边形ABCD的面积,

.新步道尸产经过观测点E,并将五边形ABCPD的面积平分,

直线PF必经过。的中点M,

/.ME是的中位线,

•*.ME//AD,

VMF//AD,DM//AF,

/.四边形A™。是平行四边形,

FM=AD=900m,

作CN1.PF于点N,

•・,四边形AfTWD是平行四边形，ZDAB=6Q°f

：.ZPMC=ZDMF=ZDAB=60°,

CM=^CD=^AB=600(m)

：.MN=CMcos60°=300(m),CN=CM.sin60°=300g(m),

ZPMC=ZDPC=60°,

:.Z\PMC^Z\DPC,

.PCCMPC600

••=,艮nnIJ=，

CDPC1200PC

/.PC-=720000，

在RtAPCN中，PN=y]PC2+CN2=V720000-270000=300方(m),

PF=300A+300+900=(300君+1200)m.

答：存在满足要求的点P和点F,此时PF的长为（3006+1200）m.

【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判

定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键.

29.（2024•江苏连云港・中考真题）【问题情境】

（1）如图1,圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面

积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如