2024年九年级中考数学复习：四边形折叠问题

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四边形折叠问题

1.(1)如图1,在正方形A3CD中，点E,尸分别在边和A3上，=求证：DF±AE；

(2)如图2,在矩形ABCD中，将四边形AFGD折叠，得到四边形EFGP,EP交CD于点、

H,点A落在BC边上的点E处，折痕交边A3于R交边CD于G,连接AE交G尸于点O.若

*=MtanZCGP=|,GF=3非,求AE与CP的长.

图I图2

2.如图，点E是长方形ABCD中8边上一点，将-3CE沿BE折叠得到△3EE,点C的对

应点尸恰好落在AD上，连接CP.若AB=4,BC=5,求AF,E尸和BE的长.

3.已知矩形纸片ABCD.

第①步：将纸片沿AE折叠，使点。与BC边上的点尸重合，展开纸片，连结AF,DF,DF

与AE相交于点。(如图1).

第②步：将纸片继续沿O尸折叠，点C的对应点G恰好落在"上，展开纸片，连接。G,

与AE交于点H(如图2).

(1)请猜想DE和DH的数量关系并证明你的结论.

(2)已知OE=5,CE=4,求1311/00斤的值和4//的长.

4.如图，正方形纸片A3CO的边长AB=12,E是DC上一点，CE=5,折叠正方形纸片,

使点8和点E重合，折痕为FG,试求尸G的长.

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5.【感知】如图①，RtAABC中，ZC=90°,AC=-AB,则—3的度数为

2

【探究】如图②，四边形A5CD是一张边长为4的正方形纸片，E,尸分别为?1B,8的中

点，沿过点。的折痕将纸片翻折，使点A落在所上的点H处，折痕交AE于点G,试求

NADG的度数和AG的长;

【拓展】若矩形纸片A3CD按图③所示的方式折叠，B,。两点恰好重合于对角线AC的中

点。（如图④），则四边形AEC尸为；当A3=9”时，则四边形AEC歹的面积为

.（用含。的代数式表示）

EB

图④

6.如图，把矩形ABC。沿AC折叠，使点。与点E重合，AE交BC于点尸，过点E作EGCD

交AC于点G,交CF于点H,连接。G.

E

⑴求证：四边形ECDG是菱形；

⑵连接ED交AC于点O,求证：DC2=OCAC;

14

⑶若DG=6,求即的值.

7.如图，把矩形纸片ABCD沿所折叠，使点8落在边AD上的点B'处，点A落在点A处,

求证：B'E=BF.

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8.如图1,长方形纸片ABCD,AB=8,3C=10,点E是线段AD上一点，连接BE,将二ABE

沿BE折叠，得到一EBE,点A对应点

(1)连接。/，若DF〃BE,求AE的长;

(2)连接DRCF,若△BD是以ZTOC为底角的等腰三角形，求AE的长；

(3)如图2,过点E作EHJ.BC,垂足为延长所与8交于点G,若点G在线段8上，

试探究四边形。EPG的周长与四边形ABHE的周长之比是否变化？若不变，请求出比值；若

变化，请说明理由.

9.(1)如图，在11ABe中，D,E分别是BC,AC的中点，请用直尺画出AB的中点.

A

（2）尺规作图：作一个ABC,使3C=。，AC=2a,ZBCA^Za.（不要求写作法）

（3）如图，已知长方形A3CD中，AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E,将VADE

折叠，使点。恰好落在3C边上的点F处，求CE的长.

D

E

10.综合实践课上，老师让同学们以“长方形的折叠”为主题开展数学活动.

【动手操作】如图，将长方形纸片A5CD沿AC所在的直线折叠，使点。落在点E处，CE

与AB交于点R

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D

【猜想证明］(1)求证：是等腰三角形；

【结论应用】(2)若AB=8,BC=6,求的面积

11.在..ASC中，/。=90。,44=42。.点。、E分别在ABC的边AC、AB上，且均不与,ABC

的顶点重合，连接DE,将45C沿。E折叠，使点A的对称点A始终落在四边形3CDE的

外部，AO交边A3于点尸,且点A，与点C在直线的异侧.

图①图②图③

(1)如图①，则28=°.

(2)如图②，则ZBED+ZCDE=°.

(3)如图③，设图②中的NCDF=/1,NA'跖=N2.求4一/2的度数;

(4)当_NDE的某条边与AB或AC垂直时，直接写出NADE的度数.

12.如图所示的一张矩形纸片ABC。(AD>AB),将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展

开，折痕所交AD边于点E,交BC边于点尸，分别连接AF和CE.

(1)求证：四边形AFCE是菱形(用两种方法证明)；

(2)过E点作EP〃CD交AC于点P,试探究ARAP.AC的关系并说明理由(请同学们将图

补充完整之后再答题)；

⑶在(2)的条件下，若AB=6,BC=3,连接PF,求尸F的长.

13.如图，在等边ABC中，AB=2,过点C作射线CDL3C,点N分别在边AB,BC

上，将ABC沿折叠，使点2落在射线C。上的点笈处，连接A9.

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D

⑴证明：CN+NB'为定值；

(2)当BN=2NC时，证明四边形8MBW是菱形;

(3)当点N与C重合时，求/mi的度数；

(4)当A9最短时，请直接写出跖V的长.

14.如图，四边形Q4BC为矩形，其中。为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，8点的

坐标是(8,14).点、D,E分别在OC,CB边上,且CE:£B=5:3,将矩形Q4BC沿直线DE

折叠，使点C落在43边上点尸处

(1方点的坐标是,D点的坐标是.

⑵若点尸在第二象限，且四边形尸EED是矩形，则尸点的坐标是

⑶若M是坐标系内的点，点N在y轴上，若以点M,N,D,P为顶点的四边形是菱形，请

直接写出所有满足条件的点N的坐标.

15.如图①，在平面直角坐标系中，正方形038的边。3在x轴上，且。(0,0),。(0,4).

(1)直接写出点C的坐标C(,)；

(2)如图②，点尸为线段2C的中点，点E在线段。3上，若/瓦＞尸=/。。/，求点E的坐标；

(3)如图③，动点E,尸分别在边08,C£)上，将正方形03Q)沿直线所折叠，使点8的对应

点M始终落在边OD上(点M不与点。,。重合)，点C落在点N处，设=x,四边形BEFC

的面积为S,求S与x之间的函数关系式.

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参考答案:

1.(2)AE=4小,CP=^—.

2.AF=3EF=-,BE=—.

f22

3.(1)DE=DH

(2)1,AH=4A/10.

4.13

5.(感知)：30。；(探究)：ZADG=15°；AG=8—46；(拓展)：菱形；18百/

42

6.(3)—

25

8.(1)5

⑵或64-8屈

⑶9

-8

9.(3)CE=3cm

75

10.(2)—

4

11.(1)48

(2)222

(3)84°

(4)24。或45。

12.(2)2AF2=A