2024年中考数学二轮复习《圆常考填空题》训练

2024年春九年级数学中考二轮复习《圆常考填空题》专题训练(附答案)

1.如图，A8是。。的弦，点C在窟上，点。是A8的中点.将会沿AC折叠后恰好经过

点。，若O。的半径为2遥，AB=8.则AC的长是.

2.如图，在RtzXABC中，ZABC=90°,AB=4,BC=3,点。是半径为2的OA上一动

点，点M是CD的中点，则的最大值是.

3.如图，在平面直角坐标系中，P(0,4)、Q(8,0),以P为圆心2遍为半径作。尸交x

轴于A、B,C为OP上一动点，连接C。，取C。中点。，连接A。、BD,则人^+与炉

的最大值为.

4.如图，O。为等边△ABC的外接圆，点。为位上一动点，连结AD,BD.AE为。0

上位于右边的一条弦，且/D4E=30°,连结CE,则5D与CE所在直线的夹角度

数为°.当BD=、后,CE=4时，此时。。的半径为.

5.正方形ABC。中，E是AO边中点，连接CE,作N8CE的平分线交AB于点R则以下

结论：①/EC。=30°,②△BC尸的外接圆经过点E；③四边形AFCQ的面积是△BCF

面积的遍倍；④此正3.其中正确的结论有.（请填写所有正确结论的序号）

AB2

6.如图，在等腰三角形ABC中，AB^AC,4。是中线，E是边AC的中点，过B,D,E

三点的圆交AC于另一点凡交A。于点G,连接BE若BC=4,AD=4娟，则研=,

OO的直径为.

7.设S为锐角△ABC的边上的点，P、Q分别为AASC与△BSC的外接圆圆心，AC=5,

AB=8,BC=4娓,则△PQS面积的最小值为.

8.如图，矩形ABCZ）中，AB=4,A£>=8,点E,尸分别在边A。，8C上，且点B,尸关于

过点E的直线对称，如果EF与以CD为直径的圆恰好相切，那么AE=

9.如图，已知A8为。。的直径，直线/与。。相切于点AC，/于C,AC交。。于点E,

_LA8于F.若AE=3,CD=2,则OO的直径为.

D

10.一张半径为R的半圆图纸沿它的一条弦折叠，使其弧与直径相切，如图所示，。为半

圆圆心，如果切点分直径之比为3：2,则折痕长为.

11.如图，半圆。的直径。E=12cm,在RtaABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,BC

=12cm.半圆。以2cm/s的速度从左向右运动，当圆心。运动到点8时停止，点。、E

始终在直线BC上.设运动时间为f(s),运动开始时，半圆。在△ABC的左侧，OC=

8cm.当/=时，Rt^ABC的一边所在直线与半圆。所在的圆相切.

12.如图，A3是。。的直径，。。交8c于。，DELAC,垂足为E,要使OE是。。的切

线，则图中的线段应满足的条件是或.

13.如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=4,NCBA=30°,点。在线段AB上运动,

点E与点。关于AC对称，。尸，OE于点。，并交EC的延长线于点?下列结论：

①/尸=30°；

②CE=CF；

③线段EF的最小值为2近；

④当AD=1时，EF与半圆相切；

⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是8愿.

其中正确的结论的序号为.

F

c

E

AD0B

14.如图，点B的坐标为（4,0）,以。点为圆心，以02为半径的圆交y轴于点A,点C

为第一象限内圆上一动点，CDLx轴于。点，点/为△0。的内心，则AI的最小值

15.如图，半径为5的。。与y轴相交于A点，8为。。在无轴上方的一个动点（不与点A

重合），C为y轴上一点且NOCB=60°,/为△BC。的内心，则△A/。的外接圆的半径

的取值（或取值范围）为.

16.点/为△A8C的内心，连A/交△ABC的外接圆于点。，若A/=2CD,点E为弦AC的

中点，连接£/,IC,若/C=6,"）=5,则/E的长为.

17.如图，线段AC=7,半圆。的直径48=4,点B在射线上运动.

（1）当半圆。恰好经过AC边的中点时，CB=；

（2）当AABC的内心，外心与某一个顶点在同一条直线上时，tanC=

B

18.如图，小圆。的半径为1,AAiBiCi,△4B2c2,383c3,…,△4B〃Cn依次为同

心圆。的内接正三角形和外切正三角形，由弦4cl和弧4G围成的弓形面积记为Si,

由弦A2c2和弧A2c2围成的弓形面积记为S2,…，以此下去，由弦和弧4G围成

的弓形面积记为Sn,其中&020的面积为

19.如图，已知。。的半径为1,P。是。。的直径，"个相同的正三角形沿排成一列,

所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个的顶点Ai与点P重合，第二个△

4282c2的顶点A2是B1C1与PQ的交点，…，最后一个△A/"Cn的顶点Bn.Cn在圆上.如

图1,当72=1时，正三角形的边长。1=；如图2,当”=2时，正三角形的边长

a2=；如图3,正三角形的边长如=（用含〃的代数式表示）.

图1图2图3

20.对于平面图形A,若存在一个或一个以上的圆，使图形A上任意一点到其中某个圆的圆

心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖，图1中的三角形被一个

圆所覆盖，图2中的四边形被两个圆所覆盖，若长宽分别为2cm与\cm的矩形被两个半

径均为r的圆覆盖，则r的最小值为cm.

①

参考答案

1.解：如图，延长8。交OO于E,连接AE,OA,OD,OC,BC,作CH_LA8于H.

"：AD=DB,

：.OD±AB,

：.ZA£)O=90°,

•：OA=2娓,AD=DB=4,

，°D=VOA2-AD2=2，

：BE是直径，

：.ZBAE^9Q°,

\"AD^DB,EO=OB,

J.OD//AE,AE=2OD=4,

C.AE^AD,

•••AD=AE-

•••EC=CD)

：.ZCAE=ZCAH=45°,

：.ZBOC^2ZCAB=90°,

:.BC=MOC=24~^，

,：CH1AB,

：.ZCAH=ZACH=45°,

：.AH=CH,设A”=CH=x,则8H=8-x,

在RtZXBCH中，Ctf+BH2=BC2,

/.?+(8-x)2=(2A/1Q)2,

；.x=6或2(舍弃)，

在RtZXAC”中，：AC=〃H24cH2,

：.AC=642-

故答案为6&.

2.解：如图，取AC的中点N,连接MN,BN.

VZABC=90°,AB=4,BC=3,

AC=正2+42=5,

'：AN=NC,

.•.BN=Lc=巨，

22

,:AN=NC,DM=MC,

：.MN=^AD=1,

2

：.BMWBN+NM,

2

2

.,.BM的最大值为工.

2

3.解：如图，连接尸。，取尸Q的中点J,连接PC,JD,OJ,OD,PA,PB.

,：P(0,4)、Q(8,0),

・・・0尸=4,0。=8,

・・・-0=山2+82=4«,

"：PJ=JQ,

：.OJ=^PQ=2后,

,:PJ=JQ,CD=DQ,

:.JD=¥C=Q

,:PA=PB=2后,OP=4,OPLAB,

：.OA=OB=VPA2-OP2=V(2A/5)2-42=2，

AA(-2,0),B(2,0),

.•.点。的运动轨迹是以1/为圆心，遥为半径的圆，

设Z)(m,〃)，贝!JAZ>2+B£>2=(m+2)2+n2+(m-2)2+n2=2(m2+«2)+8,

VOZ)2=m2+n2,

.•.Of)最大时，加2+层的值最大，

,：ODW3娓

・・・根2+〃2的最大值为45,

.\AD2+B£)2的最大值为2X45+8=98,

故答案为：98.

4.解：如图，延长3。，CE交于点F,连接05,OC,CD,BE,

・・・△ABC是等边三角形，

：.ZBAC=60°,

9

：ZDBC=ZDACf/ECB=/BAE,

：.ZBFC=180°-ZFBC-ZFCB

=180°-ZDAC-ZBAE

=180°-(ZDAC+ZBAD+ZDAE)

=180°-(/BAC+NDAE)

=180°-(60°+30°)

=90°,

・・・8。与CE所在直线的夹角度数为90°；

9：ZDAE=30°,

:・NDBE=NECD=30°,

在RtZXB跖中，设=徵，EF=n,

BF=BD+DF=y[^+m,

VZFBE=30°,

・V3_n

..丁而，

3

在RMkCD尸中，CE=4,

：.CF=CE+EF=4+n,

*：ZFCD=30°,

・V3_m

••--------------,

3i+n

•_V3,4如

33_

『近(i+—+巫

333

解得〃=2旦巨，

2

...n=一7,

2

BF=yf^+m=F+遂=迹，

22

CF=4+w=4+Z=至，

22_____

22

，BC=VBFCF=J^")2+(竽)2=V93，

如图，过点。作0HL8C于点”，

°：OB=OC,

：.BH=LBC=^^~,

22

VZBOC=2ZBAC=120°,

:.NBOH=60°,

李=伍

：.OB=BH+

•..oo的半径为百1

故答案为：90；V31.

5.解：：N£)=90°,

.*.tan/ECD=-^_」

CD2

AZ£CZ)#30°,

故①不正确；

延长CF交DA的延长线于G,

不妨正方形的边长为2,

22

•••CE=7DE4<D=a'

:四边形ABC。是正方形，

J.AD//BC,

:.NG=NBCF,△AGFs^BCF,

•BF=BC

"AF而，

尸平分NBCE,

:./BCF=NECF,

：.ZG=ZECF,

:.GE=CE=正,

:.AG=GE-AE=a-1,

.BF二2

AF

.BF_2

"AF+BFV5-1+2'

.BF2_V5-1

,•AB-V5+12，

...④正确，

...8尸11AB=遍-],

：.AF=AF-BF=2-(返-1)=3-、西，

：.EF2^AF2+AE1=(3-后2+1=15-6代，

'：BF2=(V5-I)2=6-2遍，

；.EFWBF,

：.ZCEF^ZB=90°,

故②不正确，

•••S*=|BC・BF=£X2X(V5-1)=V5-1)

S正方形ABCZ)=4，

•,•5四边形AFT。=4-(V5-1)=5-V5=V5(返-])，

四边形AFCD的面积是△BCF面积的泥倍，

故③正确，

故答案为：③④.

6.解：如图1,连接OE.

:在等腰△ABC中，AB=AC,A£)是中线，

C.ADLBC,

为边AC的中点,

：.DE=^AC=AE=CE,DE//AB,

2

:.NC=/EDC

与NEBC所对的弧均为贵,

：.ZDEC=ZFBC,

在△BCE与△EC。中，

ZDEC^ZFBC,/BCF=/ECD,

：./BFC=ZEDC,

'：ZC=ZEDC,

：.ZBFC=ZC,

如图2,设A。交。。于点M,连接EW.

'：ZADB=9Q°,即为直径，

ZBFM=90°,

：.ZAFM+ZBFC^90°,

VZDAC+ZC=90°,ZC=ZBFC,

：.ZAFM=ZDAC,

：.MA=MF,

设MA=MF=x,则DM=443-尤，

DM2+BCr=BF2+MF2=BM2,

DMp+BD1=BF2+MF2

即(4/3-x)2+22=42+X2,

解得尤=宜巨，

2

二卜展泠2二唔

故答案为：4,逗.

2

7.解：如图，连接4P、CP、CQ.

；P、Q分别为△ASC与△8SC的外接圆圆心,

•••QS=QC，PC=PS,

...尸。垂直平分cs,

•*-ZPQS=yZCQS-ZQPS=yZCPS，

ZCBA=yZCQS，ZCAB=yZCPS，

:.NPQS=/B,ZQPS=ZCAB,

JACABs^SPQ,

.SAPQS_rSP、2

••-------\"一）,

^ACAB‘A

过C作CH±AB于H,

设则28=8-x,

CH2^AC2-Atj2=Bd-BH1,

A52（4遥）2-（8-尤）2

当点S与X重合时，△ASC为直角三角形，此时点在AC中点，CP为最短，

吁加

即（丝）2的最小值为（工）2=」，

CA24

4PQS面积的最小值为』SZ\AC2=」X■1AB・CH=_1X8乂苗皿=遮19

____44281616

故答案为：返叵.

16

8.解：如图，设。。与EF相切于连接E8,作EH_LBC于”.

由题意易知四边形AEH8是矩形，AE=BH=x,

由切线长定理可知，ED=EM,FC=FM,

；B、厂关于即对称，

：.HF=BH=x,ED=EM=8-x,FC=FM=8-2x,EF=16-3x,

在RtAEFH中，EF1=EH2+HF2,

.'.42+X2=(16-3x)2,

解得尤=6-娓或6+捉(舍弃)，

：.AE=6-遍，

故答案为：6-'底.

9.解：连接。E,BD.

C是圆的切线.

:./EDC=NDAC,OD_L直线/,

：AC_L直线I.

：.OD//AC,

：.ZADO^ADAC,

"：OA=OD,

J.ZOAD^ZADO,

J.ZOAD^ZDAC,

：.DF=CD=2,ZADF=AADC,

：.AF=AC,

'：ZDCE=ZACD,

.•心CDEsACAD,

:.CD：CA=CE：CD,

：.CD2^CE-CA,即4=CE(CE+3),

解得：CE=1,

'：DF±AB,AC_L/于C,

AZBFD^ZDCE^90°,

在△80尸和△££>(7中，

，ZEDC=ZDAC

-NBFD=/DCE，

DF=DC

:ABDF会4EDC(AAS),

：.FB=CE=1,

：.AB=BF+AF=BF+AC=l+AE+CE=l+3+l=5.

方法二：连接BE交。。于H,解直角三角形△0E”即可解决问题;

故答案为：5.

10.解：如图，作。点关于A8的对称点O',则点。'为弧AZJ8所在圆的圆心,

连接O'D,贝l|O'D±EF,O'D=R,

:ED：DF=3：2,

：.DF^—'2R^—R,

55

：.OD=—R,

在RtZ\。'。。中，00

OC=^O'O=^^-R,

210_____________

在RtAAOC,AC=A/R2-)^=JzkR,

V〈ioJ10

•/OC±AB,

J.AC^BC,

：.AB=2AC=^^R.

5

即折痕长为叵R.

5

故答案为叵R

5

11.解：①当圆心。运动到点E与点C重合是时，

\'AC±OE,OC=OE=6cm,

此时AC与半圆O所在的圆相切，点O运动了2cm,

所求运动时间为/=2+2=1(s)；

②当圆心O运动到AC右侧与AC相切时，

此时OC=6cM，点。运动的距离为8+6=14(cm),

所求运动时间为/=14+2=7(s)；

③如图1,过。点作CF_LAB,交AB于尸点；

VZABC=30°,BC=12cm,

FO=6cm；

当半圆。与△ABC的边A3相切时，

圆心O到AB的距离等于6cm,

且圆心。又在直线3。上，

・・・。与。重合，

即当。点运动到C点时，半圆。与△A3C的边A3相切;

此时点。运动了8cm,所求运动时间为£=8+2=4(s),

故答案为：Is,4s,7s.

DOE

图1

12.解：（1）结合。只需OO〃AC,根据。是AB的中点，只需BZ）=C。即可；

（2）根据（1）中探求的条件，要使2。=以，则连接A。，只需AB=AC,根据等腰三

角形的三线合一即可.

13.解：①连接CD,如图1所示.

:点E与点。关于AC对称，

:.CE=CD.

：.ZE=ZCDE.

■:DFLDE,

：.ZEDF=90°.

：.ZE+ZF^90°,/CDE+/CDF=90°.

；./F=/CDF.

只有当CZ)_LAB时，/F=NCDF=NCBA=30°,故①错误;

②又,：ZF=/CDF,

:.CD=CF,

:.CE=CD=CF.故②正确；

③当a)_LAB时，如图2所示.

c

E'

ADOB

图2

TAB是半圆的直径，

AZACB=90°,

,.,A8=4,ZCBA=30°,

：.ZCAB=60°,AC=2fBC=2如,

・；CD_LAB,ZCBA=30°,

・・.CD=£BC=«,

根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：

点。在线段A3上运动时，C。的最小值为

•；CE=CD=CF,

:.EF=2CD.

・・・线段•的最小值为2百.故③正确；

是等边三角形.

\CA=CO,ZACO=60°.

：AO=2fAD=lf

\DO=1.

\AD=DO,

NACD=NOCD=30°,

点E与点。关于AC对称,

J.ZECA^ZDCA,

：.ZECA=30°,

AZ£CO=90°,

OC±EF,

,：EF经过半径OC的外端，且OCLER

.•.跖与半圆相切.故④正确；

⑤：点D与点E关于AC对称，

点。与点F关于8C对称，

当点D从点A运动到点B时,

点E的运动路径AM与关于AC对称，

点F的运动路径NB与AB关于BC对称.

•••EF扫过的图形就是图5中阴影部分.

.^.S阴影=2S△ABC=2X^■^AC^BC=4«.故⑤错误.

图S

故答案为②③④.

14.解：如图，连接。/,/8,作△0/8的外接圆，圆心为P,连接P。，PB,IC,ON,BN,

:点/为△OC。的内心，

：.ZIOC=Z1OB,

在△/OC和△/OB中，

’01=01

'ZIOC=ZIOB-

OC=OB

.,.△ZOC^A/OB(SAS),

：./OIC=NOIB,

'：CDLx,

：.ZODC=90°,

：.ZCOD+ZOCD=90°,

.,.AZCOD+—ZOCD=45°,

22

：.ZIOC+ZICO^45°,

.•.NO/C=135°,

：.ZOIC=ZOIB=135°,

：.ZONB=45°,

：.ZOPB^90°,

:点B的坐标为(4,0),

。8=4,

：.OP=BP=^-OB=2如,

：.P(2,-2),

当A,I,尸三点共线时，A/取得最小值,

此时AI^AP-PI

=V(0-2)2+(4+2)2-2加

=2行-2如.

故答案为：2JT5-2&.

15.解：如图，

VZBC(?=60°,

：.ZCBO+ZCOB^120°,

•:/是内心，

：.ZIOB=^ZCOB,ZIBO=^ZCBO,

22

：.ZIOB+ZIBO=^-(,/COB+CBO)=60°,

2

：.ZOIB=180°-ZIOB-ZIBO=12Q°,

"：OA=OB,ZAOI=ZBOI,01=01,

：.AAIO^ABOI(SAS),

/.ZAIO=ZBIO^120°,

作△A。/的外接圆OG,连接AG,OG,作GO_LOA于D

VZAZO=120°=定值，。4=5=定值，

.,.点/的运动轨迹是0A，

△AO/的外接圆的半径是定值，

：G4=GO,GD±OA,/AGO=120°,

ZAGZ)=AZAGO=120°,AD=OD=^-,

22

5__

…_AD__2__573

••ACr-------.-/——----.

sin60V3_3

2

故答案为殳巨.

3

16.解：延长m到跖使得。连接aw.

,/是△ABC的内心，

：.ZIAC^ZIAB,ZICA^ZICB,

'：ZDIC=ZIAC+ZICA,ZDCI=ZBCD+Z1CB,ZBCD=ZIAB,

：.ZDIC=ZDCI,

:.DI=DC=DM,

：.ZICM^9Q°,

ACM=VIM2-IC2=8>

：A/=2C£）=10,

'：AE^EC,

：.IE=—CM^4,

2

故答案为4.

17.解：（1）如图1,设AC的中点为E,连接8E,

图1

:半圆。经过AC的中点，A8为直径,

ZAEB=90°,

/.BE±AC且BE平分AC,

二点8到点A,C的距离相等，

.\BC=AB=4,

(2)①当CB=AB时，内心、外心与顶点2在同一条直线上,

作AH_LC8于点H,如图2,

设BH=x,贝ij72-(4+x)2=42-/,

解得：尤=JZ,

8

：.CH=^-,AH=7A,

88

.".tanC=^5L,

7

②当CB=CA时，内心、外心与顶点C在同一条直线上,

作AH_LCB于点X,如图3,

图3

设贝!17?-(7-x)2=42-%2,

解得：x=足，

7

：.CH=—,AH=12“_,

77

.，.tanC=12遥

41