函数的对称性-2025年高考数学一轮复习（解析版）

第4课时函数的对称性

［考试要求］1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.会

利用对称公式解决问题.

［链接教材•夯基固本］落实主干•激活技能

©梳理•必备知识

1.奇函数、偶函数的对称性

(1)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于对称.

(2)若函数y=/(x+a)是偶函数，则函数y=/(x)的图象关于直线正色对称；若函

数V=/(x+。)是奇函数，则函数了=/㈤的图象的对称中心为点(a，0).

2.函数的轴对称和中心对称

(1)若函数y=/(x)的图象关于直线x=a对称，则f(<7—%)=/(tz+%)<=>/(2a~x)=f

(x).

(2)若函数y=/(x)满足/(a—x)=—/(a+x),则函数y=/(x)的图象关于点(a,0)

对称.

(3)若函数y=/(x)满足/(a—x)+/(b+x)=c，则函数/(x)的图象的对称中心为然

，1)■

3.两个函数图象的对称

(1)函数y=/(x)与y=/(—x)的图象关于y轴对称；

(2)函数了=/(x)与y=-/(X)的图象关于x轴对称；

(3)函数y=/(x)与y=一/(—x)的图象关于原点对称.

(4)函数y=/(a—x)与y=/(x—A)的图象关于直线》=等对称.

€>激活•基本技能

一、易错易混辨析(正确的打“，错误的打“x”)

(1)若函数歹=/(x—1)是偶函数，则函数j，=/(x)的图象关于直线x=l对称.()

⑵若函数了=/(x+l)是奇函数，则函数y=/(x)的图象关于点(1,0)对称.

()

(3)若函数/(x)满足/(x—l)=/(x+l),则/(x)的图象关于了轴对称.()

(4)若函数/(x)满足/(l+x)=—/(I—x),则/(x)的图象关于直线x=l对称.

()

［答案］(1)X(2)V(3)X(4)X

二、教材经典衍生

1.(人教A版必修第一册P85思考改编)函数/(》)=/+》的图象关于()

A.x轴对称B.y轴对称

C.原点对称D.直线y=x对称

C［因为为奇函数，

所以函数的图象关于原点对称.故选C.］

2.(人教A版必修第一册Pn6探究改编)在同一平面直角坐标系中，函数了=3、

与了=@”的图象之间的关系是()

A.关于x轴对称B.关于.V轴对称

C.关于原点对称D.关于直线了=x对称

B［因为了=0=3r，所以函数了=3*与7=Q)的图象关于了轴对称.故选

B.］

3.(多选X人教A版必修第一册P84例6改编)下列函数中，其图象关于y轴对称

的是()

A.y=y［\x\B.y=x-\--

c-y~x^+iD-y~x7

AC［由知定义域为R,

且/(—x)=J|f|=JR=/(x),

所以该函数为偶函数，则图象关于y轴对称，

所以A正确；

由y=x+］知定义域为{x|xW0},

且/(-X)=(-X)+(-§)=一(%+5)=-/(x)，

所以该函数为奇函数，则图象关于原点对称，

所以B错误；

由v=f~；知定义域为R,

Jxz+l

??

且f(—x)=-~-=^--=/(x),

八7(-%)2+1%2+1八)

所以该函数为偶函数，则图象关于y轴对称，

所以C正确；

1

由y=x—：知定义域为{x|xWO},

且/(—%)=(—%)—(5)=—(%—m=—/(X)，

所以该函数为奇函数，则图象关于原点对称，

所以D错误.故选AC.］

4.(人教A版必修第一册P87Tl3(1)改编)函数y=/(x)的图象关于坐标原点成中心

对称图形的充要条件是函数y=/(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函

数了=/(x)的图象关于点P(a,6)成中心对称图形的充要条件是函数y=/(x+a)—

6为奇函数.已知/(X)=MX3+〃X+1.

(1)若/(x)在［―6,6］上的最大值为最小值为N,则M+N=；

(2)若机=1,n=~3,则函数/(x)的对称中心为点.-------)

(1)2(2)(0,1)［⑴..)=机炉+〃》在R上为奇函数，.•.在［―6,6］上，jmax=-

JVmin,

M+N=(ymax+l)+(ymin+1)=2.

(2)法一：由(1)知，y=加/+改为奇函数，所以对称中心为点(0,0),所以函数/

(%)的对称中心为点(0,1).

法二：,•*g(x)=f(x+a)-6=(X+Q)3-3(x+a)+1—b=x3+3ax2+(3a2-3)x~\-a3一

3Q+1-b,

在R上为奇函数，所#a=。，=

la3—3a+l—b=0lb=1,

所以函数/(x)的对称中心为点(0,1).］

［典例精研•核心考点］重难解惑■直击高考

考点一轴对称问题

［典例1］(1)已知定义在R上的函数y=/(x+l)是偶函数，且在［0,+8)上单

调递增，则满足/(2x)>/(x+2)的x的取值范围为()

A.(2,+°°)B.(一8,Q)U(2,+°0)

C.(-8,_|)D.(-8,-|)U(2,+8)

(2)(多选)(2024•承德模拟)已知函数/(x)的定义域为R,对任意x都有/(2+x)=

f(2—x),且/(—x)=/(x),则下列结论正确的是()

A./(x)的图象关于直线x=2对称

B./(x)的图象关于点(2,0)对称

C./(x)的周期为4

D.y=/(x+4)为偶函数

(1)B(2)ACD［(1)函数y=/(x+l)是偶函数，且在［0,+8)上单调递增，即

函数了=/(x+l)的对称轴为y轴，

又函数y=/(x+l)向右平移1个单位长度可得.v=/(x),

函数y=/(x)的对称轴为直线x=l,且在［1,+8)上单调递增，.•.由/(2x)>/(x

+2)得|2x—l|>|x+2—1|,

解得x<0或x>2.故选B.

(2)V/(2+x)=/(2-x),.V(x)的图象关于直线x=2对称，故A正确，B错误；

函数/(x)的图象关于直线x=2对称，.*./(—x)=/(x+4),又/(—x)=/(x),

.,./(x+4)=/(x),I.函数/(x)的周期为4,故C正确；

•••/(x)的周期为4且为偶函数，.\y=/(x+4)为偶函数，故D正确.］

名师点评轴对称的几种表述形式

(1)函数y=/(x)的图象关于直线x=a对称u/OOu/Q。-%)钙/'伍-x)=/(a+x)；

(2)若函数y=/(x)满足/(a+x)=/S-%),则y=/(x)的图象关于直线》=早成轴

对称.

［跟进训练］

1.(1)已知函数/(x)=3L3+2,且满足/(5+x)=/(3—x),则/(6)=()

A.29B.11

C.3D.5

(2)已知函数g(x)=x2—2x+a(ex-1+ev+1),则该函数图象的对称轴为直线x=

(1)B(2)1［(1)因为/(5+x)=/(3—x),所以/(x)的图象关于直线x=4对称，而

/(%)=3-。+2的图象关于直线x=a对称，

所以a=4,/(6)=3|6-41+2=11.

故选B.

(2)已知函数g(x)=x2—2x+a(evl+e-'+1),

Vg(l+x)-g(l-x)

=(1+x)2-2(l+x)+a(e1+x-'+e>-x+1)-(l-x)2+2(l+e4+x+1)

=x2—l+aCe^+ex)-x2+1—a(e-¥+ev)=0,

.*.j=g(x+1)是一个偶函数.

.,.g(x)的图象关于直线x=1轴对称.]

考点二中心对称问题

[典例2](1)(多选)(2024•湖北武汉模拟)已知函数/(x)定义域为R,/(x+2)为偶

函数，/(—3x+l)为奇函数，则下列式子一定成立的是()

A./(2)=0B./(1)=0

C./(0)=0D./(-1)=0

(2)已知函数/(x)满足：对任意的x©R,/(x)+/(5—x)=—1.若函数歹=/(x)与y

=二图象的交点为(电，%)«=1,2,…，n),贝氏+的值为()

A.0B.n

C.2nD.3〃

(1)BD(2)C[(1)因为/(x+2)为偶函数，所以/(x+2)=/(—x+2),函数/(x)关

于直线x=2对称，

因为/(—3x+l)为奇函数，所以/(—3x+l)=—/(3x+l),函数/(x)关于点(1,0)

对称，

因为函数/(x)定义域为R,所以/(1)=0,B正确；

又因为函数/(x)的图象关于直线x=2对称，所以/(3)=0,

由/(-3x+l)=-/(3x+1),令x=p

可得/(—1)=一/(3)=0,D正确；

可构造函数/(x)=cos椁(％—24满足题意，此时/(2)=cos0=1,/(0)=cos(—兀)

=-1,AC错误.故选BD.

(2)由对任意的xGR,/(x)+/(5-x)=-l,

可知函数的图象关于点(I，—目对称，

l-x—x+11y

又y-----——-----————----------,

/2%-52%-522%-5'

所以函数图象的中心对称点为

所以两个函数图象的交点成对出现，

51

则XI+X„=X2+X„_I=---=-X2=5,yi+j„=j2+v«-i=•••=--X2=—1,

所以EM®+%)=5X1+(—1)X户2〃.故选C.]

名师点评中心对称的几种表述形式

(1)函数y=/(x)的图象关于点(a,b)对称of(a+x)+/(a—x)=2b=2b—f(x)=f(2a

—x);若函数y=/(x)满足/(a+x)+/(b—x)=c,则尸/(x)的图象关于点(—，f)

成中心对称.

(2)双曲线型函数/(%)=黑的图象的对称中心为(一?，g.

［跟进训练］

2.(1)若函数/(X)满足y(2—x)+/(x)=—2,则下列函数中为奇函数的是()

A./(x-l)-lB./(x-l)+l

C./(x+1)—1D./(x+l)+l

(2)(多选)以下函数的图象是中心对称图形的是()

A./(x)=2x2+lB./(x)=x3

2x+l

C./(x)=D./(%)=

%—1,x(l—x),x<0

(1)D(2)BCD［(1)因为/(2—x)+/(x)=—2,所以/(x)关于点(1,—1)对称，所

以将/(x)向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数.v=/(x+l)

+1,该函数的对称中心为点(0,0),故y=/(x+l)+l为奇函数.

(2)对于A,由二次函数的性质可知,

函数/(x)=2N+1无对称中心，故A错误;

对于B,函数/(x)=x3是奇函数，故其图象关于原点对称，故B正确;

对于C,/(》)=出1=工^=23

%—1X—1x—19

所以/(x)=等的图象可以由反比例函数,v=:的图象向右平移1个单位长度，向

上平移2个单位长度得到，且反比例函数了=：的图象关于原点对称，所以函数/

(%)=好的图象关于点(1，2)对称，故C正确；

对于D,函数的定义域为R,且/(0)=0,

当x>0时,—xVO,f(—x)=-x(1+x)=~f(x),

当xVO时,-x>0,f(-x)=—x(l—x)=~f(x),

所以函数/(x)为奇函数，图象关于原点对称，故D正确.

故选BCD.]

考点三两函数图象间的对称问题

[典例3](1)已知函数了=/(x)是定义域为R的函数，则函数y=/(x+2)的图象与

y=/(4—x)的图象()

A.关于直线x=l对称B.关于直线x=3对称

C.关于直线y=3对称D.关于点(3,0)对称

(2)(多选)函数/(x)=sinx的图象与g(x)=cosx的图象关于某条直线对称，这条直

线的方程可以是()

A.x=7B.》=当

42

C.x———7nDc.x———71T

24

(1)A(2)AD[(1)设尸(xo,次)为y=/(x+2)图象上任意一点，

则jo=/(xo+2)=/(4-(2-xo)),

所以点2(2—xo,yo)在函数y=/(4—x)的图象上，

而尸(xo,/)与0(2—xo,外)关于直线x=l对称，

所以函数y=/(x+2)的图象与y=/(4—x)的图象关于直线x=1对称.

(2)设这条直线的方程是x=a,函数/(x)=sinx的图象与g(x)=cosx的图象关

于直线x=a对称，

/.sin(2a—x)=cosx,即cos—(2a—%)j=cosx,

；.；一(2a—x)=x+2E,左©Z,解得口=工一E,左©Z,当左=0时，

244

当k=2时，a=—7.

4

故选AD.]

名肺点砰函数y=/(a+x)的图象与函数x)的图象关于直线》=等对称.

[跟进训练]

3.设函数y=/(x)的图象与y=3x+加的图象关于直线y=x对称,若/(3)+/(9)=1,

实数m的值为.

1,函数.v=/(x)的图象与^=3-"的图象关于直线y=x对称，.•.x=log3_y一根，

f(x)=log3X一m,

.../(3)+/(9)=1—m+2—m=1,/.m=1.]

课时分层作业(九)函数的对称性

[A组在基础中考查学科功底]

一、单项选择题

1.已知函数/(刈:始+⑪对定义域内任意的x都有/(2—x)=/(2+x),则实数a

等于()

A.4B.-4

C.-D.一工

44

B[V/(2-x)=/(2+x),・\/(x)的图象关于直线x=2对称，故一]=2,：.a=~

4.故选B.]

2.下列函数中，其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=l对称的是()

A.y=ln(1一x)B.y=ln(2一x)

C.y=ln(1+x)D.y=ln(2+x)

B仅=lnx的图象上的点尸(1,0)关于直线x=l的对称点是它本身，则点尸在y

=lnx的图象关于直线x=l对称的图象上，结合选项可知B正确.故选B.]

3.(2024•南昌模拟)函数/(x)=?的图象()

A.关于x轴对称B.关于了轴对称

C.关于坐标原点对称D.关于直线y=x对称

B[由题意知/(x)的定义域为R,

32X+1__

且/(》)=三==3*+3x,/(-x)=3X+3X,

•・•/(-x)=/(x)，

故/(x)为偶函数，其图象关于y轴对称.]

4.函数y=/(x)是定义在R上的函数，那么y=—/(x+4)与y=/(6—x)的图象

A.关于直线x=5对称B.关于直线x=l对称

C.关于点(5,0)对称D.关于点(1,0)对称

C[由复合函数的对称性知函数^=—f(x+4)与y=/(6—x)的图象关于点(手

,0),即点(5,0)中心对称.故选C.]

5.设函数/(x)=ax3—/十°,若函数/(x—1)的图象关于点(1,0)对称，则。=

()

A.11B.0

C.1D.2

B[因为函数/(x—1)的图象关于点(1,0)对称，故函数/(x)的图象关于点(0,0)

对称，即/(x)为奇函数，故/(—x)+/(x)=a(——(―+a+》-3+°=2。

=0,所以a=0.故选B.]

6.函数/(乃=旷2—e2”的图象关于()

A.点(一2,0)对称B.直线x=-2对称

C.点(2,0)对称D.直线x=2对称

C[-."/(%)=e¥-2-e2-\

：.f(2+x)=e2+x-2—e2-Q+x)=el—e-x,

/(2-x)=e~*2e2(~e*,

所以/(2+x)+/(2-x)=0,

所以函数/(x)的图象关于点(2,0)对称.]

7.(2024•福建福州模拟)定义在R上的函数/(x)满足/(2—x)=2—/(x).若/(x)

的图象关于直线x=3对称，则下列选项中一定成立的是()

A./(-3)=1B./(0)=0

C./(3)=2D./(5)=-1

A[函数/(x)的图象关于直线x=3对称，则必有/(3—x)=/(x+3),所以/(0)

=/(6),

/(1)=/(5),/(2)=/(4),又因为/(x)满足/(2—x)=2一/(x),取x=l,所以/(I)

=2-/(1),/(1)=1,则/⑴=/(5)=1,取x=5,则/(—3)=2—/(5)=1,A正

确.故选A.]

8.已知函数y=/(x+l)—2是奇函数，函数g(x)=丝子的图象与/(x)的图象有4

个公共点J/)(Z=1,2,3,4),且X1<X2<X3<X4,则g(xi+x2+x3+x4)g(yi

+"+”+%)=()

A.2B.3

C.4D.5

D［由函数y=/(x+l)—2是奇函数，其图象向右平移1个单位长度，再向上平

移2个单位长度得到/(x)的图象，所以/(x)的图象关于点(1,2)对称，

由g(x)=4?=2+±,可得g(x)的图象是由奇函数y=工的图象向右平移1个单

位长度，再向上平移2个单位长度得到，所以g(x)的图象关于点(1,2)对称，

所以尸1,尸4与尸2,03都关于点(1,2)对称，

所以Xi+%4=X2+X3=2,yi+/=/+/=4,

715

所以g(xi+%2+x3+x4)g(yi+72+^3+V4)=g(4)g(8)=-Xy=5.

故选D.］

二、多项选择题

9.(2024•湖南师大附中模拟)已知定义在R上的函数/(x)满足/(x+2)+/(x)=0,

且y=/(2—x)为偶函数，则下列说法一定正确的是()

A.函数/(x)的周期为2

B.函数/(x)的图象关于点(1,0)对称

C.函数/(x)为偶函数

D.函数/(x)的图象关于直线x=3对称

BC［因为/(x)的定义域为R,且/(x+2)+/(x)=0,所以/(x+2)=—/(x),所

以/(x+4)=—f(x+2)=/'(x),函数/(x)的周期为4,A错误；

因为函数,v=/(2—x)是偶函数，所以/(2—x)=/(2+x),函数/(x)的图象关于直

线x=2对称，

且/(2—x)=—/(x),即/(2—x)+/(x)=0,函数/(x)图象关于点(1,0)对称，B正

确；

由/(2—x)=/(2+x),得/(—x)=/(4+x)=/(x),则函数/(x)为偶函数，C正确；

由/(x+2)+/(x)=0,得/(x+3)+/(l+x)=0,由/(2—x)=/(2+x),得/(3—x)

=/(1+%),

因此/(x+3)+/(3—x)=0,函数/(x)的图象关于点(3,0)对称，D错误.故选BC]

10.(2024•河北衡水开学考试)已知/(x)是定义在R上的偶函数且/(x)不是常数

函数，设尸(%)=/(1一%)-1,已知函数g(x)=/(x+l)—l是奇函数，则()

A.y=/(x)的图象关于(1,1)对称

B./(x)=/(x+4)

C.F(x)=/(1—x)—1是奇函数

D.尺x)的图象与g(x)的图象关于原点对称

ABC[对于A选项，因为函数g(x)是奇函数，所以g(x)+g(—x)=0,又g(x)=/

(x+1)—1,

所以/(x+l)—l+/(—x+l)—l=0,整理得/(x+l)+/(-x+1)=2,

所以y=/(x)的图象关于(1,1)对称，故A正确；

对于B选项，因为/(x)为定义在R上的偶函数，所以/(x)+/(x-2)=/(x)+/(2

-x),

由A选项知/(x+l)+/(—x+l)=2,则/(x)+/(2—x)=2,

所以/(x)+/(x—2)=2,所以/(x—2)+/(x—4)=2,

所以/(x)=/(x—4),所以/(x)=/(x+4),故B正确；

对于C选项，因为F(x)+F(-x)=/(l-x)-l+/(l+x)-l.

由A选项知/(x+l)+/(—x+1)=2,则F(x)+F(-x)=0,所以尸(x)是奇函数，

故C正确；

对于D选项，因为尸(x)=/(l—x)—l,所以用-x)=/(l+x)—l=g(x),所以尸(x)

的图象与g(x)的图象关于y轴对称，

又/(x)不是常函数，则尸(x)的图象与g(x)的图象不关于原点对称，故D错误.

故选ABC.]

三、填空题

11.若函数/(》)=安的图象关于点(1,1)对称，则实数。=.

<r/*z\a%—a+a—2■CL—2

1V(x)=----x-—-1----=a-\-x--1

图象关于点(1,a)对称，故a=l.]

12.写出一个同时具有下列性质①②③的函数/(x)=.

@f(3-%)=-/(%)；(2)f(x)=f(l-x)；③函数/(x)在(0,上单调递减

2sinC久+彳)(答案不唯一)［对于①，若/(3—x)=—/(x),则/(x)的图象关于

点修，o)中心对称，

对于②，若/(x)=/(l—x),则/(x)的图象关于直线x=；对称，设/(x)=2sin(0x

+夕)，贝'JT=4X(|-3)=4,co=p

又/(x)的图象关于直线x=g对称，且函数在(0,即上单调递减，则£+9=T+2E,

左GZ,

得夕=乎+2如左ez.］

4

［B组在综合中考查关键能力］

13.(2024•江苏扬州模拟)已