高中理科数学基础知识归类

高中（理科）数学基础知识归类

集合和简易逻辑

1.注意区分集合中元素的形式.如：一函数的定义域；一函数的值域；

{（x,j）|y=lgx}—函数图象上的点集.

2.集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为.

②空集是任何集合的子集,记为0aA.

③空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情

况如：，如果，求的取值.（答：）

@Cy（Ar'B）=CVACUB,CV（A[B）=CVACVB；（A助C=AQB\O;

G4B）l,C=A\（B,C）.

⑤AB^A<=>A\B^B<=>A^B<=>CVBcCVAA।CVB=<Z）^CVAB=R.

⑥元素的个数：.

⑦含〃个元素的集合的子集个数为2";真子集（非空子集）个数为2"-1;非空真子集

个数为2"-2.

3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

如：已知函数在区间上至少存在一个实数，使

，求实数的取值范围.（答：）

4.原命题：；逆命题：；否命题：；逆否命题：；互为逆否的两个命题是等

价的.如：“”是“”的条件.（答：充分非必要条件）

5.若夕=q且q今p,则夕是q的充分非必要条件（或q是0的必要非充分条件）.

6.注意命题?二>q的否定和它的否命题的区别：命题的否定是°=r;否命题是

—p=>―q.

命题中的：“或”的否定是“且”；“且”的否定是“或

如：“若和否定原结论否定

都是偶数，

则是偶数”的

否命题是“若

和不都是偶

数，则是奇

数”否定是“若

和都是偶

数，则是奇

数”.

原结论

是不是至少有一一个也没有

个

都是不都是至多有一至少有两个

个

大于不大于至少有W个至多有〃-1

个

小于不小于至多有〃个至少有n+1

个

对所有X,成立存在某X,不成p或q—W'―q

对任何X,不成存在某X,成立p且4力或r

二.函数

1.①映射:是：⑴“一对一或多对一”的对应；⑵集合中的元素必有象且中

不

同元素在中可以有相同的象；集合中的元素不一定有原象(即象集).

②一一映射：：⑴“一对一”的对应；⑵中不同元素的象必不同，中元素都

有原象.

2.函数:是特殊的映射.特殊在定义域和值域都是非空数集！据此可知函

数图像和轴的垂线至多有一个公共点，但和轴垂线的公共点可能没有，也可能有

任意个.

3.函数的三要素：定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的

原则.

4.求定义域:使函数解析式有意义(如:分母H0;偶次根式被开方数非负;对数真数〉0,

底数＞0且W1；零指数幕的底数¥0)；实际问题有意义；若/⑴定义域为m,b],复合

函数/[g(x)]定义域由。4g(x)”解出;若/[§(%)]定义域为[a,b],则/(x)定义域相当于

x&[a,b]时g(x)的值域.

5.求值域常用方法：①配方法(二次函数类)；②逆求法(反函数法)；③换元法(特别

注意新元的范围)；④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有

界性来求值域；⑤不等式法⑥单调性法；⑦数形结合：根据函数的几何意义，利用数

形结合的方法来求值域；⑧判别式法(慎用)：⑨导数法(一般适用于高次多项式函

数).

6.求函数解析式的常用方法：⑴待定系数法(已知所求函数的类型)；⑵代换(配凑)

法；

⑶方程的思想对已知等式进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组。

7.函数的奇偶性和单调性

⑴函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的，确定奇偶性方法有定义

法、图像法等；

⑵若f(x)是偶函数，那么/(X)=/(-X)=/(IXI)；定义域含零的奇函数必过原点

(/(0)=0);

⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式：或；

⑷复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.

注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数

有无数个(如定义域关于原点对称即可).

⑸奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反

的单调性；

⑹确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等.

⑺复合函数单调性由“同增异减”判定.(提醒：求单调区间时注意定义域)

如：函数的单调递增区间是.(答：)

8.函数图象的几种常见变换⑴平移变换:左右平移“左加右减”(注意是针对而

言)；上下平移“上加下减”(注意是针对而言).

⑵翻折变换：；.

⑶对称变换：①证明函数图像的对称性，即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对

称点仍在图像上.

②证明图像G和G的对称性，即证G上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在c2

上,反之亦然.

③函数y=/(x)和y"(-x)的图像关于直线x=0(y轴)对称；函数y=/(x)和函数

y=f{-x)的图像关于直线y=0(x轴)对称；

④若函数对时，或恒成立，则图像关

于直线x=a对称；

⑤若y=/(x)对xwR时，/(a+x)=x)恒成立,则y=/(x)图像关于直线对称；

⑥函数y=f(a+x),y=f(b-x)的图像关于直线对称(由a+x=6-x确定);

⑦函数y=/(x-a)和y=x)的图像关于直线对称；

⑧函数y=/(x),y=A-/(x)的图像关于直线对称(由确定);

⑨函数y=f(x)和y=-7(-%)的图像关于原点成中心对称；函数

y=/(x),y=n-f(m-x)

的图像关于点对称；

⑩函数和函数的图像关于直线对称；曲线：，关于

y=x+a,y=—x+a的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=O(或f(-y+a,-x+a)=O;

曲线：关于点的对称曲线方程为：.

9.函数的周期性：⑴若对时恒成立，则的周期为；

⑵若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称,则“X)的周期为21a|；

⑶若y=/(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称,则/(x)的周期为4⑷；

⑷若y=/(x)关于点(a,0),(6,0)对称,则f(x)的周期为21a-6|;

⑸产的图象关于直线x=a,x=6(a#b)对称,则函数y=/(x)的周期为21a-6|;

⑹y=/(x)对xeH时，/(x+a)=_/(x)或,则y=f(x)的周期为21al;

10.对数：⑴；⑵对数恒等式；

⑶log“(M-N)=logM+logN;log“—=logM-logN;10gMn="log。M;

auNaali

;⑷对数换底公式(a>0,”1,6>0/Hl);

推论：.

(以上Af>0,N>0,a>0,awl,b>0,bwl,c>0,cw%>0且％,%,%均不等于1)

11.方程4=/(x)有解Oke。(D为f(x)的值域);a2/(%)恒成立oad)］最大值，

a</(x)恒成立=a<"(创最小值•

12.恒成立问题的处理方法：⑴分离参数法（最值法）；⑵转化为一元二次方程根的分

布问题；

13.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题

用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴和所给区间的相对位置关系；

14.二次函数解析式的三种形式：①一般式：；②顶点式：

;③零点式：.

15.一元二次方程实根分布:先画图再研究A>0、轴和区间关系、区间端点函数值符号;

16.复合函数：⑴复合函数定义域求法：若的定义域为，其复合函数的定义域

可由不等式解出；若的定义域为，求的定义域，相当于时，求的值

域；⑵复合函数的单调性由“同增异减”判定.

17.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：

/（«）=g（x）w+h｛x）>0（或<0）（或）;

18.函数的图像是双曲线：①两渐近线分别直线（由分母为零确定）和直线（由

分子、分母中的系数确定）；②对称中心是点；③反函数为；

19.函数：增区间为，减区间为.

如：已知函数在区间上为增函数,则实数的取值范围是（答：）.

三.数列

1.由S“求见,注意验证4是否包含在后面氏的公式中，若不符

合要

单独列出.如：数列满足，求（答：）.

2.等差数列｛an｝<^>an一%=d（d为常数）<^>2an=an+l+*（/N2/£N*）

oa=an+b（a=d,b=a「d）oS=An2+Bn（A=—,5=0.--）;

22

3.等差数列的性质：①，；

②m+n=I+k=a,“+a”=%+cik（反之不一定成立）；特别地，当m+n=2p时，有

5+%=24；

③若｛叫、色』是等差数列，则｛她+我｝（左、f是非零常数）是等差数列；

④等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即之,$2.「乂,$3”-区仍是等

差数列；

⑤等差数列｛4｝,当项数为2〃时，S偶-5奇=”〃，；项数为2〃-1时，

S偶一S奇=a中=%（n6N*）,S2„_；=（2n-l）a“，且；A=/（„）n%=f（2n-l）.

Bnbn

⑥首项为正（或为负）的递减（或递增）的等差数’列前n项和的最大（或最小）问题，转

化为解不等式

（或）.也可用S“=A"+加的二次函数关系来分析.

⑦若an=m,am^n（m^ri）,则am+n=0;若S“=m,Sm=n（mn）,则Sm+n=-（m+n）;

若5nt=S0Ow〃），则0;S33（S2111—）;Sm+n=Sm+Sn+mnd.

4.等比数列｛4｝o—=q（qH0）oa；=a„_a„（n>2,neN*）Oa”=aqn~'.

an1+1x

5.等比数列的性质

①，；②若、是等比数列，则、等也是等比数列；③；④（反之不一

定成立）；.⑤等比数列中（注：各项均不为0）仍是等比数列.⑥等比数列当项数

为时，；项数为时,.

6.①如果数列｛%｝是等差数列,则数列｛小｝（建，，总有意义）是等比数列；如果数列｛4｝是

等比数列，则数列口叫1%I｝（。>0M3是等差数列；

②若。）既是等差数列又是等比数列,则｛%｝是非零常数数列；

③如果两个等差数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列，

且新数列的公差是原两个等差数列公差的最小公倍数；如果一个等差数列和一个等比

数列有公共项，那么由他们的公共项顺次组成的数列是等比数列，由特殊到一般的方

法探求其通项；

④三个数成等差的设法：；四个数成等差的设法：；

三个数成等比的设法：；四个数成等比的错误设法：（为什么？）

7.数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.

⑵已知（即）求用作差法：.

⑶已知求用作商法：.

⑷若求用迭加法.⑸已知，求用迭乘法.

⑹已知数列递推式求，用构造法（构造等差、等比数列）：①形如，，

%=姐i+j+b（%,。为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为女的

等比数列后，再求4.②形如的递推数列都可以用“取倒数法”求通项.

8.数列求和的方法：①公式法：等差数列,等比数列求和公式；②分组求和法；③倒

序相加；④错位相减；⑤分裂通项法.公式：

1+2+3++n=-n（n+l）;12+22+32++n2=-«（«+l）（2n+l）;13+23+33++«3=[^^]2；

262

1+3+5++〃=";

常见裂项公式：；；；

常见放缩公式：.

9.“分期付款”、“森林木材”型应用问题

⑴这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡

手指”，细心计算

“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统一到“最

后”解决

⑵利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：若每期存入

本金元，每期利率为，则期后本利和为：（等差数列问题）；②复利问题：按揭

贷款的分期等额还款（复利）模型：若贷款（向银行借款）元，采用分期等额还款方式,

从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，分期还清.如果每期利

率为（按复利），那么每期等额还款元应满足：

p（l+r）n=x（l+r）"-1+%（1+r）"-2++x（l+r）+x（等比数列问题）.

四.三角函数

1.a终边和。终边相同u>tz=6+2Z/（左eZ）;a终边和。终边共线otz=6+左万（kcZ）;a终

边

和8终边关于x轴对称oe=-0+就/wZ）;a终边和。终边关于y轴对称

^>a=7v-0+1k7t（keZ）;a终边和。终边关于原点对称<=>&=万+，+2左万（左^2）;

a终边和0终边关于角p终边对称oa=2月-。+2k兀*eZ）.

2.弧长公式：；扇形面积公式：；弧度（.

3.三角函数符号（“正号”）规律记忆口诀：“一全二正弦,三切四余弦”.

,丰•••

4.三篇函数同角关系中（八块图）：注意“正、余弦三兄妹

sinx±cosx、sinx-cosxf，的关系.

如（sinx±cosx）2=l±2sinxcosx等.

5.对于诱导公式，可用“奇变偶不变，符号看象限”概括；

（注意：公式中始终视a为锐角）

6.角的变换:已知角和特殊角、已知角和目标角、已知角

和其倍角或半角、两角和其和差角等变换.

如：;;;;

等；“”的变换：.

7.重要结论：其中）；

重要公式：；；；

/：~~1~0~.；"""02I8।•8।

VI±sin0=J（cos—±sin—）=|cos—±sin—|.

V2222

万能公式：；；.

8.正弦型曲线y=Asin（ox+0）的对称轴；对称中心；

余弦型曲线y=Acos（（yx+o）的对称轴；对称中心；

9.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正、余弦定理，处理三角形内的三角

函数问题勿忘三内角和等于，一般用正、余弦定理实施边角互化；

正弦定理：；

余弦定理：；

正弦平方差公式：；三角形的内切圆半径；

面积公式：；射影定理：.

10.三角式变换主要有：三角函数名互化（切割化弦）、三角函数次数的降升（降次、升

次）、运算结构的转化（和式和积式的互化）.解题时本着“三看”的基本原则来进行:

“看角、看函数、看特征”，基本的技巧有:巧变角，公式变形使用，化切割为弦，用倍

角公式将高次降次

辅助角公式中辅助角的确定：（其中角所在的象限由a,b的符号确定，角的值

由确定）在求最值、化简时起着重要作用.尤其是两者系数绝对值之比为的情形.

有实数解.

11.三角函数性质、图像及其变换：

y=Asin（o>A：+

事♦琮中心轴相蠡¥.....;少S'\F.....

A

v----.4>邻中心仪3-1=勿2\★邻渐我^比广与仁丁

十邻中心昆51=TI2☆邻轴|xrx2|=772

小、工,「人耳’★无对称M

无空对称中心：无空对称轴：

（1）无为对行中心.★任意一条y轴的垂线与正切

由y由y=A一由y=0或y无意义确定翦数图象都相交，且相邻两

二角函文点的距离为一个周期！

数的定义域、值域、单调性、奇偶性.有界性和周期性

（2）三角函数图像及其几何性质：

（3）三角函数图像的变换：两轴方向的平移、伸缩及其向量的平移变换.

（4）三角函数图像的作法：三角函数线法、五点法（五点横坐标成等差数列）和变换法.

12.三角形中的三角函数：

（1）内角和定理：三角形三角和为，任意两角和和第三个角总互补，任意两半角

和和第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值

任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.

（2）正弦定理：（R为三角形外接圆的半径）.

注意：已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可

能有两解.

（3）余弦定理：等，常选用余弦定理鉴定三角形的类型.

⑷面积公式：.

13.中，易得：，①，，.

②,，.③

④锐角AABC中，，sinA>cosB,cosA<cosB,/>。2,类比得钝角凶g。结论.

⑤tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

14.（小结）角的范围：异面直线所成角；直线和平面所成角；二面角和两向量的

夹角；直线的倾斜角；和的夹角.注意术语:坡度、仰角、俯角、方位角

等.

五.平面向量

1.设,.（1）；（2）.

2.平面向量基本定理：如果和是同一平面内的两个不共线的向量，那么对该平面

内的任一向量，有且只有一对实数、，使.

3.设4=（占,％）,6=（%2，%），贝1Ja/=|a||6|cos8=X|X2+X%；其几何意义是a-6等于a的长度

和人在a的方向上的投影的乘积；a在的方向上的投影|a|cos6="=隼上驾.

\b\痣西

4.三点A、B、C共线0和AC共线；和A3共线的单位向量.

5.平面向量数量积性质：设，，则；

注意：〈°,6〉为锐角a,6不同向；〈a,b）为直角^a-b=0;（a,b）为钝角

a,6不反向.

6.a电同向或有0o|a+M=|a|+|6|斗a|-屹卜;a.6反向或有0

<=>|a-Z?|=|a|+|Zj|>||a|-|Z?||=|a+Z?|;a不共线卜a|-1b||<|a土b|<|a|+屹|.

7.平面向量数量积的坐标表示：⑴若，，则；

IAB1=一电尸+（%-%）2；⑵若a=（X,y）,贝1Jif=a-a=炉+y2.

8.熟记平移公式和定比分点公式.①当点在线段上时，；当点在线段（或）

延长线上时，或•②分点坐标公式：若；且，；

贝1J,中点坐标公式：.

③《，P,乙三点共线O存在实数4、〃使得=且+〃=

9.三角形中向量性质：①过边的中点：；

②尸6=1（尸4+尸3+尸。064+68+3。=003为415。的重心;

3

③PAPB=PBPC=PAPCeP为AABC的垂心；

④为的内心；所在直线过内心.

⑤设，..

⑥。为AABC内一点，则S&BOCOA+S^ocOB+SMOBOC=0.

10.P（x,y）按"=仇外平移>p（x：y'）,有（PP=a）;y=/（x）按"=仇外平移>y—1=/（x—.

六.不等式

1.掌握课本上的几个不等式性质，注意使用条件，另外需要特别注意：

①若面>0,b>a,则即不等式两边同号时，不等式两边取倒数,不等号方向要

ab

改变.

②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号，如果正负号未定,要

注意分类讨论.

2.掌握几类不等式（一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式）的解

法，尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法，零点分区间法.

3.掌握重要不等式，（1）均值不等式：若，则（当且仅当时

取等号）使用条件：“一正二定三相等”常用的方法为：拆、凑、平方等；（2）,

（当且仅当时，取等号）；（3）公式注意变形如：

,;（4）若。>6>0,加>0,则（真分数的性质）;

4.含绝对值不等式：同号或有；异号或有

0|〃一b|=|a|+1ba|-1b||二|a+b|.

5.证明不等式常用方法：⑴比较法:作差比较：.注意：若两个正数作差比较有困

难，可以通过它们的平方差来比较大小；⑵综合法：由因导果；⑶分析法：执果索因.

基本步骤:要证…需证…，只需证…；⑷反证法：正难则反；⑸放缩法：将不等式一

侧适当的放大或缩小以达证题目的.

放缩法的方法有：①添加或舍去一些项，如：；.②将分子或分母放大（或缩小）

③利用基本不等式，如：.④利用常用结论：；

2°=（程度大）；3°'<「=」（一^一，）（程度/卜）；

kk+\（k+l）kk（k-l）kk-1kkk-I2k-1k+1

⑹换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简,常用的

换元有三角换元、代数换元.如：知，可设；知，可设，（）；知,可设；已

知，可设.

（7）最值法，如：□,则□恒成立.□,则□恒成立.

七.直线和圆的方程

1.直线的倾斜角a的范围是［0,乃）；

2.直线的倾斜角和斜率的变化关系（如右图）：

3.直线方程五种形式:

⑴点斜式：已知直线过点斜率为，则直线方程为，它不包括垂直于轴的直线.

⑵斜截式：已知直线在轴上的截距为和斜率，则直线方程为，它不包括垂直

于轴的直线.⑶两点式：已知直线经过、两点,则直线方程为，它不包括垂直于坐

标轴的直线.⑷截距式：已知直线在轴和轴上的截距为，则直线方程为，它不包括

垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.⑸一般式：任何直线均可写成（不同时为0）

的形式.

提醒：⑴直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线,

还有截距式呢？）

⑵直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等o直线的斜率为

-1或直线过原点；直线两截距互为相反数O直线的斜率为1或直线过原点；直线两截

距绝对值相等O直线的斜率为±1或直线过原点.

⑶截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形.

4.直线和直线的位置关系：

⑴平行o-4耳=。(斜率)且4c2-4c产。(在y轴上截距)；

⑵相交o4反wo；(3)重合oAs2-A4=0且4c-B2cl=0.

5.直线系方程：①过两直线：，:.交点的直线系方程可设为；②和直线

平行的直线系方程可设为

Ax+By+m-0(mc)；③和直线I:Ax+By+C=0垂直的直线系方程可设为Bx-Ay+n-O.

6.到角和夹角公式：⑴到的角是指直线绕着交点按逆时针方向转到和直线

重合所转的角，且；

⑵4和/2的夹角是指不大于直角的角且tan3=\以二&1dH-1).

1+k1k2

7.点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=O的距离公式；

两条平行线土+为+G=0和不+为+C?=0的距离是.

8.设三角形AABC三顶点A(X1,y),B(x2,y2),C(x3,y3),则重心G(西十十七,%+,+%).

9.有关对称的一些结论

⑴点(a,b)关于x轴、y轴、原点、直线y=x的对称点分别是

(a,—b)、(-a,-b),(b.a).

⑵曲线关于下列点和直线对称的曲线方程为：①点：；

②轴：；③轴：;④原点：；⑤直线：

;⑥直线：；⑦直线：.

10.⑴圆的标准方程：.

⑵圆的一般方程：.

特别提醒：只有当时，方程才表示圆心为，半径为的圆(二元二次方程表示圆

且).

⑶圆的参数方程：(为参数)，其中圆心为，半径为•圆的参数方程主要应用是

三角换元：；

⑷以4%,%)、3(々,力)为直径的圆的方程(N-尤1)(尤-z)+(y-%)(、-%)=。；

11.点和圆的位置关系的判断通常用几何法(计算圆心到直线距离).点p@,%)及圆的

方程

(x-a)2+(y-b)2=r2.①(%-4+(%-6尸>/。点尸在圆外;

②(X。—“)2+(%—6)2</。点P在圆内；③(％-°)2+(%-/?)2=/。点P在圆上.

12.圆上一点的切线方程：点在圆上,则过点的切线方程为：；过圆上一点

切线方程为

2

(Xo-0)(%-a)+(%-b)(y-b)=r.

13.过圆外一点作圆的切线，一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是和x轴

垂直的直线.

14.直线和圆的位置关系,通常转化为圆心距和半径的关系，或者利用垂径定理,构造直

角三角形解决弦长问题.①d>ro相离②d=ro相切③d<ro相交

15.圆和圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距和两圆的半径之间的关系.

设两圆的圆心距为，两圆的半径分别为：

d>R+ro两圆相离；d=R+ro两圆相外切；+两圆相交；d=|R-r|o

两圆相内切；d<|R-r|o两圆内含；d=0o两圆同心.

16.过圆:,:交点的圆（相交弦）系方程为•时为两圆相交弦所在直线方

程.

17.解决直线和圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用（如半径、半弦

长、弦心距构成直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等）.

18.求解线性规划问题的步骤是：（1）根据实际问题的约束条件列出不等式；（2）作出

可行域,写出目标函数（判断几何意义）；（3）确定目标函数的最优位置,从而获得最优

解.

八.圆锥曲线方程

1.椭圆焦半径公式：设为椭圆上任一点,焦点为，，

贝【J周=<2+%,|尸工|=a-e/（“左力口右减”）;

2.双曲线焦半径：设为双曲线上任一点,焦点为，，

贝U：⑴当点在右支上时，；⑵当点在左支上时，，

；（为离心率）.另：双曲线的渐近线方程为.

3.抛物线焦半径公式：设为抛物线上任意一点，为焦点，则

;上任意一点，为焦点，贝I」.

4.共渐近线的双曲线标准方程为（2为参数，/0）.

5.两个常见的曲线系方程:⑴过曲线，的交点的曲线系方程是

/（x,y）+"（x,y）=O（X为参数）.⑵共焦点的有心圆锥曲线系方程，其中

k<max（a2,b2}.当k<min{a2,b2}时，表示椭圆;当min{a2,Z>2）<^<max{a2,Z?2）时，表示双曲

线.______________

6.直线和圆锥曲线相交的弦长公式|M=J（%72）2+（x-或

="（1+3）[（%+々）2-4X|%]=Jl+p-1M-%I（弦端点A（X|，%），s（x2，%），由方程消去

得到，，为斜率）.这里体现了解几中“设而不求”的思想；

7.椭圆、双曲线的通径（最短弦）为9,焦准距为，抛物线的通径为2p,焦准距为0；

a

双曲线的焦点到渐近线的距离为。；

8.中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为玉2+/2=1（对于椭圆

A>0,S>0）;

9.抛物线的焦点弦（过焦点的弦）为，、，则有如下结论：

（1）|4例=%+々+P；（2）,%%=-/；（3）.

10.椭圆左焦点弦|AF|=2a+e（X]+x2）,右焦点弦|A31=Za-eQ+x2）.

11.对于产=2加（°W0）抛物线上的点的坐标可设为，以简化计算.

12.圆锥曲线中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭

圆中，以为中点的弦所在直线斜率；在双曲线中，以为中点的弦所在直线斜率；

在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率.

13.求轨迹方程的常用方法：

⑴直接法：直接通过建立、之间的关系，构成，是求轨迹的最基本的方法.

⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数，代回

所列的方程即可.

⑶代入法（相关点法或转移法）.

⑷定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直

接写出方程.

⑸交轨法（参数法）：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用

时,可考虑将、均用一中间变量（参数）表示,得参数方程,再消去参数得普通方程.

14.解析几何和向量综合的有关结论:

⑴给出直线的方向向量M=（1,Q或"=（八〃）.等于已知直线的斜率左或2；

m

⑵给出方+》和A3相交,等于已知了+无过A3的中点；

⑶给出丽+丽=6,等于已知尸是的中点；

⑷给出AP+AQ="BP+3Q）,等于已知P,Q和的中点三点共线；

⑸给出以下情形之一：①；②存在实数，使；③若存在实数，

且a+/=l;使。。=&。4+）98,等于已知4,无。三点共线.

⑹给出，等于已知尸是血的定比分点，2为定比，即Q=/i而

⑺给出立•施=0,等于已知即是直角，给出血•血=根＜0,等于

已

知是钝角或反向共线，给出函.标=加〉0,等于已知ZAMfi是锐角或同向

共线.

⑻给出，等于已知是的平分线.

⑼在平行四边形ABCD中，给出（Q+丽.（蠢-丽=0,等于已知ABCD是菱形.

⑩在平行四边形A3CD中，给出|AB+AD|=|A3-AD|,等于已知ABCD是矩形.

（11）在中，给出,等于已知是的外心（三角形的外心是外接圆

的圆心,是三角形三边垂直平分线的交点）.

⑫在中，给出，等于己知是的重心（三角形的重心是三角形

三条中线的交点）.

（13）在中，给出，遭于目知是的垂心（三处的垂心是三角形三条高的交点）.

（14）在AABC中，给出丽=苏+（2eR+）等于已知Q通过AABC的内心.

⑮在AA5C中，给出■5+力而+c.云=瓦等于已知。是AA5C的内心（三角形内切

圆

的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）.

（16）在AA3C中，给出，等于已知4。是AA3C中边的中线.

九.直线、平面、简单几何体

1.从一点。出发的三条射线Q4、OB、OC.若NAOB=NAOC,贝U点A在平面3OC上的射

影在

ZBOC的平分线上；

2.立平斜三角余弦公式：（图略）和平面所成的角是，在平面内，和的射影

成，设，则；

3.异面直线所成角的求法：⑴平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作

另一条的平行线.

⑵补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体

等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；

4.直线和平面所成角：过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,是产生线面角的关

键.

5.二面角的求法：⑴定义法；⑵三垂线法；⑶垂面法；⑷射影法：利用面积射影公式

其中为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；

6.空间距离的求法：⑴两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线,所以一般先利

用垂直作出公垂线,然后再进行计算.⑵求点到直线的距离,一般用三垂线定理作出垂

线再求解.

⑶求点到平面的距离，一是用垂面法，借助面面垂直的性质来作.因此,确定已知面

的垂面是关键；二是不作出公垂线,转化为求三棱锥的高,利用等体积法列方程求

解.

7.用向量方法求空间角和距离：

⑴求异面直线所成的角：设、分别为异面直线、的方向向量，则两异面直

线所成的角.

⑵求线面角：设是斜线的方向向量，是平面的法向量,则斜线和平面所成

的角.

⑶求二面角（法一）在a内在夕内办/,其方向如图（略），则二面角夕-/-2的平

面角.（法二）设々，内是二面角。-/-齐的两个半平面的法向量,其方向一个指向内侧,

另一个指向外侧，则二面角1-/-户的平面角.

（4）求点面距离：设口是平面口的法向量，在口内取一点口，则□到口的距离

明|cos昨四包（即A8在〃方向上投影的绝对值）.

\n\

8.正棱锥的各侧面和底面所成的角相等,记为氏则与cos6=S底.

9.正四面体（设棱长为）的性质：（如图）

①全面积S=6/；②体积；

③对棱间的距离；④相邻面所成二面角；

⑤外接球半径；⑥内切球半径；

⑦正四面体内任一点到各面距离之和为定值.

⑧正四面体和正方形（如图）

10.直棱柱、正棱柱、平行六面体、长方体、正方体、正四面体、

棱、侧面、对角面、平行于底的截面的几何体性质.

如长方体中：对角线长，棱长总和为，全（表）面积为，（结合可得关于他

们的等量关系，结合基本不等式还可建立关于他们的不等关系式）,

十.排列组合和概率（理科）

1.排列数公式：A：=n（n-1）（n-m+I）=-（m<n,m,neN*）,当m=〃时为全排列

ml（n-m）l

6="!•

2.组合数公式：，.

3组合数性质,•

4%卤组合主要解3方法：①优先法：特殊元素优先或特殊位置优先；②捆绑法（相

邻问题）；

③插空法（不相邻问题）；④间接扣除法；（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再

把不符合条件的所有情况去掉）⑤多排问题单排法;⑥相同元素分组可采用隔板法（适

用和指标分配，每部分至少有一个）；⑦先选后排，先分再排（注意等分分组问题）；⑧

涂色问题（先分步考虑至某一步时再分类）.⑨分组问题：要注意区分是平均分组还是

非平均分组，平均分成组问题别忘除以.

5.常用性质:；即；；

6.二项式定理：⑴掌握二项展开式的通项：；

⑵注意第r+1项二项式系数和第r+1项系数的区别.

7.二项式系数具有下列性质：⑴和首末两端等距离的二项式系数相等；⑵若为偶数,

中间一项（第项）的二项式系数最大；若为奇数，中间两项（第和项）的二项式系数

最大.⑶；.

8.二项式定理应用：近似计算、整除问题、结合放缩法证明和指数有关的不等式、用

赋值法求展开式的某些项的系数的和如展开式的各项系数和为，奇数项系数和为

，偶数项的系数和为.

9.等可能事件的概率公式:⑴；⑵互斥事件有一个发生的概率公式为：

P（A）+P⑻；⑶相互独立事件同时发生的概率公式为P（AB）=尸⑷P（3）;⑷独立重复试

验

概率公式；⑸如果事件和互斥，那么事件和、和及事件

和也都是互斥事件；⑹如果事件、相互独立，那么事件、至少有一个

不发生

的概率是；（6）如果事产和J目与独立，那么事件和至少有

一个发生的概率是1-P（A-B）=1-P（A）P（B）.

H一~■.概率和统计

1.理解随机变量,离散型随机变量的定义,能够写出离散型随机变量的分布列，由概率

的性质可知，任意离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：⑴；⑵.

2.（1）超几何分布：分布列为.

（2）二项分布记作辿M,p）5,p为参数）,P4=k）=C：pkqi,记C：pkq『k=b（k；n,p）.

3.记住以下重要公式和结论：

（1）期望值EJ=X]PI+X2P2+—+X〃P〃+.

⑵方差D&=（再-E"pi+（x2-转产p2+---+（xn-E&yP"+….

（3）标准差延=75?；E（a匕+b）=aE&+b;+b）=a?D匕.

⑷若（二项分布），贝1=Dg=npq（q=l—p）.

4.掌握抽样的三种方法：⑴简单随机抽样（包括抽签法和随机数表法）；⑵（理）系统抽

样,也叫等距抽样；⑶分层抽样（按比例抽样），常用于某个总体由差异明显的几部分组

成的情形.它们的共同点

都是等概率抽样.对于简单随机抽样的概念中，“每次抽取时的各个个体被抽到的概

率相等”.如从含有N个个体的总体中，采用随机抽样法,抽取〃个个体,则每个个体第

一次被抽到的概率为第二次被抽到的概率为L…，故每个个体被抽到的概率为上,

NNN

即每个个体入样的概率为2.

N

5.总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，一般地,

样本容量越大,这种估计就越精确,要求能画出频率分布表和频率分布直方图；⑴学会

用样本平均数

元」(%+%+…+x,)4£*去估计总体平均数；⑵会用样本方差

nn，=1

S2=-[(X-X)2+(X-X)2+

n12

…+(%-ElJfXV君2一位2)去估计总体方差，及总体标准差；⑶学会用修

n«=ini=i

正的

样本方差S'”=」—[&-X)2+(%2-无产+-・+(%-无力去估计总体方差b?,会用S*去估计

n-1

a.

7.正态曲线的性质：

⑴曲线在x=〃时处于最高点，由这一点向左、向右两边延伸时，曲线逐渐降低；

⑵曲线的对称轴位置由确定；曲线的形状由确定，b越大，曲线越矮胖；反过来曲线

越高瘦.

⑶曲线在轴上方，并且关于直线对称；

8.利用标准正态分布的分布函数数值表计算一般