初中二次函数知识点

★二次函数知识点汇总支

1.定义：一般地，如果y=a》2+/?x+c(q,4c是常数，awO),那么y叫做x的二次函数.

2.二次函数y=a/的性质

(1)抛物线>=以2(。/0)的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.(2)函数>=办2的图像与。的符

号关系.

①当。>0时O抛物线开口向上O顶点为其最低点；②当a<0时。抛物线开口向下O顶点

为其最高点

3.二次函数y=a/+云+c的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.

4.二次函数y=ax2+bx+c用配方法可化成：y=a(xi)2+左的形式，其中

,b—b2

KL=----9K.7'=--4-«--c----•

2a4a

5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

(1)y=ax1；@y-ax1+k；®y=a(x-h)2；®y=a(x-h)2+k；(5)v=ax2+bx+c.

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①a决定抛物线的开口方向：

当。〉0时，开口向上；当a<0时，开口向下；同相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴(或重合)的直线记作x=h.特别地，y轴记作直线x=0.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开

口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

(1)公式法：y=ax+bx+c-(^x+.•.顶点是(-乡，手士)，对称轴是直线

la)4〃la4〃

b

x—•

2a

⑵配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为了=。("好+女的形式，得到顶点为(〃，左)，对称

轴是x=h.

(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的

垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★

9.抛物线y=a/+/?x+c中，a,4c的作用

⑴。决定开口方向及开口大小，这与y=a/中的。完全一样.

⑵。和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线》=故:

2a

①6=0时，对称轴为y轴；②2>0(即。、6同号)时，对称轴在y轴左侧；

a

③。<0(即a、6异号)时，对称轴在y轴右侧.

a

⑶c的大小决定抛物线y^ax2+bx+c^y轴交点的位置.

当尤=0时，y=c,•,•抛物线y=奴2+bx+c与y轴有且只有一个交点(0,c)：

①c=0,抛物线经过原点；②c>0,与_丫轴交于正半轴；③c<0,与y轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，那么^<0.

10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:

函数解析式开口方向对称轴顶点坐标

y=ax1尤=0(,轴)(0,0)

y=ax2+k当〃>0时x=0(y轴)(0,k)

y=a(x-/z)2开口向上x=h(〃，0)

当a<0时

y=a{x-h)2-\-kx=h(h,k)

开口向下

b(b4ac-b2)

y=ax2+bx+cx=---

2a2a4a

11.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)一般式：y=ax1+bx+c.图像上三点或三对X、y的值，通常选择一般式.

(2)顶点式：>=。(％-〃)2+上.图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

(3)交点式：图像与x轴的交点坐标修、/，通常选用交点式：y=a(x-x^x-x2).

12.直线与抛物线的交点

(1)y轴与抛物线y=奴2+法+。得交点为(0,。)

⑵与丁轴平行的直线尤=〃与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个交点

(A,ah~+bh+c).

(3)抛物线与x轴的交点

二次函数_y+6x+c的图像与x轴的两个交点的横坐标修、x2,是对应一元二次方

程

ax?+"+c=0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的

判别式判定:

①有两个交点O△>0O抛物线与X轴相交；

②有一个交点(顶点在X轴上)0△=()O抛物线与X轴相切；

③没有交点o△<0o抛物线与％轴相离.

(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点

同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相

等,设纵坐标为左，那么横坐标是62+笈+。=左的两个实数根.

⑸一*次函数y=丘+〃(左。0)的图像/与二次函数y=ax2+bx+c(a丰0)的图像G的交点，由

方程组

丘:〃的解的数目来确定：

y=ax+bx+c

①方程组有两组不同的解时。/与G有两个交点；

②方程组只有一组解时。/与G只有一个交点；③方程组无解时o/与G没有交点.

(6)抛物线与x轴两交点之间的距离：假设抛物线y=ax2+bx+c与X轴两交点为

ax

4%,0),B(X2,0),由于、乙是方程~+bx+c=0的两个根，故

bc

%]+=--，再,=一

aa

13.二次函数与一元二次方程的关系：

(1)一元二次方程y^ax2+bx+c就是二次函数丁=以2+公+。当函数丫的值为0时的情况.

(2)二次函数丁=以2+法+。的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、

没有交点；当二次函数丁=。/+以+。的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当

y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.

⑶当二次函数y=ax2+bx+c的图象与X轴有两个交点时，那么一元二次方程

y^ax-+/w+c有两个不相等的实数根；当二次函数y^ax1+bx+c的图象与x轴有一

个交点时，那么一元二次方程a/+bx+c=。有两个相等的实数根；当二次函数

yax2+bx+c的图象与x轴没有交点时，那么一元二次方程ax?+fex+c=0没有实数根

14.二次函数的应用：

(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值；

(2)二次函数的应用包括以下方面:分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数

关系；

运用二次函数的知识解决实际问题中的最大QJ、)值.

15.解决实际问题时的根本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数

表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的

合理性，对问题加以拓展等.

二次函数知识点

一、二次函数概念：

1.二次函数的概念：一般地，形如y=aY+fcv+c（b,c是常数，。大0）的函数，叫做二次函数。这

里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数。工0,而b,c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.

2.二次函数y+6x+c的结构特征：

⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.

⑵a,6,c是常数，。是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.

二、二次函数的根本形式

1.二次函数根本形式：>=狈2的性质：

a的绝

4的符号开口方向顶点坐标对称轴性质对值越

x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x大，抛

a>0向上(0,0)y轴

的增大而减小；％=0时，y有最小值0.物线的

开口越

%>0时，y随尤的增大而减小；X<0时，y随x

a<0向下(0,0)y轴小。

的增大而增大；彳=0时，y有最大值0.

2.

y=ax2+c的性质:

上加下减。

3.

。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

x>0时，y随x的增大而增大；尤<0时，y随xy=a[x-hy

a>0向上（0,C）y轴

的增大而减小；％=0时，y有最小值c.

的性

x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x质：

a<0向下（0,C）y轴

的增大而增大；x=0时，y有最大值c.左

加右

减。

。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

时，y随X的增大而增大；龙v/z时，y随X

a>0向上(/2,0)X二h

的增大而减小；x=/z时，y有最小值0.

时，y随x的增大而减小；龙</z时，y随x

a<0向下(h,0)X二h

的增大而增大；x=/z时，y有最大值0.

4.y=+%的性质:

。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

x＞为时，y随x的增大而增大；尤〈力时，y随x

a>Q向上(h,k)X二h

的增大而减小；x=/z时，y有最小值左.

时，y随x的增大而减小；尤〈用时，y随x

a<0向下(h,k)X二h

的增大而增大；了=//时，y有最大值化.

三、二次函数图象的平移

1.平移步骤：

方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式y=a（x-/7）2+A:,确定其顶点坐标（〃，左）；

⑵保持抛物线＞的形状不变，将其顶点平移到他，左）处，具体平移方法如下：

2.平移规律

在原有函数的根底上“人值正右移，负左移；左值正上移，负下移”.

概括成八个字“左加右减，上加下减”.

方法二：

⑴丁=ax?+6x+c沿y轴平移:向上（下）平移机个单位，y=«%2+Z?x+c变成

y=ax1+bx+c+m（或_y=af+》x+c-〃z）

⑵y=ad+bx+c沿轴平移：向左（右）平移7〃个单位，y-ax2+bx+c

y=a（x+m）2+b{x+m）+c（或y=a（x-tn）2+b{x-in）+c）

四、二次函数y=a（x-/?y+k与＞=办2+bx+c的比拟

从解析式上看，了=。（犬-/7）2+上与〉="2+法+。是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者,

22

b\4ac-b7b.4ac-b

即y=〃XH---।----+---4a-其中%二---,k=----------

2a2a4a

五、二次函数y=ax2+Zzx+c图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数y=/+bx+c化为顶点式y=a（x-〃）2+左，确定其开口方向、

对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y

轴的交点（0,c）、以及（0,c）关于对称轴对称的点（2mc）、与无轴的交点&,0）,0）（假设

与x轴没有交点，那么取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.

六、二次函数、=办2+法+c的性质

1.当。＞0时，抛物线开口向上，对称轴为彳=-2,顶点坐标为丝匕生］.

2a12a4aJ

当了＜--生时，y随x的增大而减小；当-■上时，y随工的增大而增大；当％=2时，y有最小

2a2a2a

/士4ac-b1

值-------

4a

2当。<。时，抛物线开口向下，对称轴为一：，顶点坐标为当一白时，y随

X的增大而增大；当x>-2时，y随X的增大而减小；当无=-2时，y有最大值4农一”.

2a2a4a

七、二次函数解析式的表示方法

1.一般式：y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，awO）；

2.顶点式：y=a（x-h）2+k（a,h,左为常数，awO）；

3.两根式：y=a（x-xj（尤-尤2）（。大0,药，多是抛物线与了轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有

抛物线与x轴有交点，即6?一4acN0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这

三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1.二次项系数a

二次函数y=aY+6x+c中，a作为二次项系数，显然a/O.

（1）当a>0时，抛物线开口向上，。的值越大，开口越小，反之。的值越小，开口越大；

⑵当a<0时，抛物线开口向下，。的值越小，开口越小，反之。的值越大，开口越大.

总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，回的大小决定开口的大小.

2.一次项系数6

在二次项系数。确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.

⑴在a>0的前提下，

当人>0时，-3<0,即抛物线的对称轴在y轴左侧；

2a

b

当b=o时，——=0,即抛物线的对称轴就是y轴；

2a

b

当8<0时，>0,即抛物线对称轴在y轴的右侧.

2a

⑵在。<0的前提下，结论刚好与上述相反，即

当b>0时，——>0,即抛物线的对称轴在y轴右侧；

2a

当8=0时，-△=（）,即抛物线的对称轴就是y轴；

2a

b

当b<0时，--<0,即抛物线对称轴在y轴的左侧.

2a

总结起来，在a确定的前提下，6决定了抛物线对称轴的位置.

b

ab的符号的判定：对称轴x=----在y轴左边那么ab>0,在y轴的右侧那么ab<0,概括的说

2a

就是“左同右异”

总结：

3.常数项c

⑴当c>0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；

⑵当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；

⑶当c<0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.

总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置.

总之，只要a,b,c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.

二次函数解析式确实定：

根据条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目

的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：

1.抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2.抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

3.抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

4.抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.

九、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

1.关于x轴对称

y=依2+6x+c关于x轴对称后，得到的解析式是y=-办2-bx-c；

y=a（x-/?y+上关于x轴对称后，得到的解析式是y=-a（尤-左；

2.关于y轴对称

y=ax2+bx+c关于y轴对称后，得到的解析式是y=ax2-bx+c；

y=a[x-lty+k关于y轴对称后，得到的解析式是y=a（x++k；

3.关于原点对称

y=依2+6x+c关于原点对称后，得到的解析式是y二-亦？+bx-c-,

y=a（x-/i）2+左关于原点对称后，得到的解析式是y=-a[x+h\-k；

4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180。）

h2

y=ax2+6x+c关于顶点对称后，得到的解析式是y=-如2-bx+c---；

2a

y=a（x-/z『+左关于顶点对称后，得到的解析式是y=-a（尤.

5.关于点（加，”）对称

y=+左关于点（加，〃）对称后，得到的解析式是y=-a（x+/?-2〃z）2+2”-上

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此间永远不变.求抛

物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原那么，选择适宜的形式，习惯上是先确定原抛

物线（或表达式的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写

出其对称抛物线的表达式.

十、二次函数与一元二次方程：

1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：

一元二次方程ax1+bx+c=0是二次函数y=6?+笈+0当函数值>=o时的特殊情况.

图象与x轴的交点个数：

①当A=>2一4〃°>0时，图象与元轴交于两点A（玉,0）,B（X2,0），其中的玉，工2是一元二次

方程ax2+bx+c=0（a^0）的两根.这两点间的距离AB=民-占|=":产.

\a\

②当A=0时，图象与尤轴只有一个交点；

③当Ac。时，图象与x轴没有交点.

「当。>0时，图象落在龙轴的上方，无论x为任何实数，都有y>0；

2,当a<0时，图象落在尤轴的下方，无论x为任何实数，都有y<0.

2.抛物线了=0?+加+。的图象与y轴一定相交，交点坐标为（0,c）；

3.二次函数常用解题方法总结：

⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶根据图象的位置判断二次函数_¥=依2+法+。中。，b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号判

断图象的位置，要数形结合；

⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和一点对称的点坐标，或与无轴的一个交点坐标,

可由对称性求出另一个交点坐标.

⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式冰？+法+°（。片0）本身就是所含字母X的二次函数；下

面以。>0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:

A>0抛物线与无轴有两二次三项式的值可正、可一元二次方程有两个不相等实根

个交点零、可负

A=0抛物线与无轴只有二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根

一个交点

A<0抛物线与X轴无交二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.

点

图像参考：

H^一■、函数的应用

‘刹车距离

二次函数应用〈何时获得最大利润

最大面积是多少

二次函数考查重点与常见题型

1.考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：

以工为自变量的二次函数y=（切一2）产+m2一〃?一2的图像经过原点，那么加的值是

2.综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两

个函数的图像，试题类型为选择题，如：

如图，如果函数y=依+）的图像在第一、二、三象限内，那么函数y=上一+6x—l的图像大致是（）

一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点，对称轴为X=3,求这条抛物线的解析式。

3

4.考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：

3

抛物线y=+6x+c1aW0)与x轴的两个交点的横坐标是一1、3,与y轴交点的纵坐标是一^

(1)确定抛物线的解析式；(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.

5.考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。

【例题经典】

由抛物线的位置确定系数的符号

例1(1)二次函数〉=。无2+法+。的图像如图1,那么点〃(仇£)在()

a

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

(2)二次函数y=ax?+bx+c[a/0)的图象如图2所示，那么以下结论：①a、b同号；②当x=l和x=3

时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

(1)(2)

【点评】弄清抛物线的位置与系数a,b,c之间的关系，是解决问题的关键.

例2.二次函数y=ax°+bx+c的图象与x轴交于点(-2,。)、(xn0),且l〈x《2,与y轴的正半轴的交点在点

(0,2)的下方.以下结论：①a〈b〈O；②2a+c>0；③4a+c<0；@2a-b+l>0,其中正确结论的个数为()

A1个B.2个C.3个D.4个

答案：D

会用待定系数法求二次函数解析式

例3.：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2,且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2,

那么抛物线的顶点坐标为()

A(2,-3)B.(2,1)C(2,3)D.(3,2)

答案：C

例4、[2006年烟台市)如图(单位：m),等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB

与CD重合.设x秒时，三角形与正方形重叠局部的面积为ym?.

(1)写出y与x的关系式；

(2)当x=2,3.5时，y分别是多少？/。

(3)当重叠局部的面积是正方形面积的一半时，K----------

三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、\

对称轴.\

例5、抛物线y=工x2+x-』._____________________________L

22BC

(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴.

(2)假设该抛物线与x轴的两个交点为A、B,求线段AB的长.

【点评】此题(1)是对二次函数的“根本方法”的考查，第(2)问主要考查二次函数与一元二次方程的关

系.

例6.：二次函数y=axJ(b+l)x-3a的图象经过点P(4,10),交x轴于4(玉,0),,0)两点($</)，

交y轴负半轴于C点，且满足3Ao=0B.

(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点M,使锐角/MC0〉/AC0?假设存在，请你求出M

点的横坐标的取值范围；假设不存在，请你说明理由.

⑴解:如图：抛物线交x轴于点A(xi,0),B(x2,0),

那么Xi•X2=3<0,X'."XI<X2,

x2>0,xi<0,,.'30A=0B,.*.X2=-3XI.

•••_Xi•X22_——3xi—・—32._-i••Xi—1.

Xi<0,••Xi——1.・••X2~3.

...点A(-l,0),P(4,10)代入解析式得解得a=2b=3

A.二次函数的解析式为y-2x-4x-6.

⑵存在点M使/MC0〈NAC0.

(2)解：点A关于y轴的对称点A'(1,0),

直线A,C解析式为y=6x-6直线A'C与抛物线交点为(0,-6),(5,24).

符合题意的x的范围为T〈x〈0或0〈x〈5.

当点M的横坐标满足T〈x〈0或0<x<5时，ZMC0>ZAC0.

1,,____,

例7、“函数y=—厂+Z?x+c的图象经过点A(c,一2),II

2

求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3J题目中的矩形框局部是一段被墨水污染了无法识别的文字。

(1)根据和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？假设能，请写出求解过程，并画

出二次函数图象；假设不能，请说明理由。

(2)请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。

点评：对于第(1)小题，要根据和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数

图象的对称轴是x=3”当作来用，再结合条件”图象经过点A(c,—2)”，就可以列出两个方程了，而解析式

中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第(2)小题，只要给出的条件能够使求出的

二次函数解析式是第(1)小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑

再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。

［解答］(1)根据y=5/+)x+c的图象经过点A(c,-2),图象的对称轴是x=3,

—c2+bc+c=-2,

2

得《-2=3

2

b=-3.

解得1

[c=2.

1,

所以所求二次函数解析式为y=—3x+2.图象如下图。

(2)在解析式中令y=0,得gx?—3x+2=0,解得X1=3+括,》2=3-J5.

所以可以填“抛物线与X轴的一个交点的坐标是13+火,0)”或“抛物线与X轴的一个交点的坐标是

(3-75,0).

令x=3代入解析式，得y=—』，

-2

所以抛物线y=gx2—3x+2的顶点坐标为（3,—g）,

所以也可以填抛物线的顶点坐标为（3,-：）等等。

函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将

函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。

用二次函数解决最值问题

例1边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2,BF=1.试在AB上求一点P,使

矩形PNDM有最大面积.

【评析】此题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生

的综合应用能力.同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间.

例2某产品每件本钱10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如

下表：

X（元）152030•••

y（件）252010.・・

假设日销售量y是销售价x的一次函数.

（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；

（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？

[15k+b=25,

【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b.那么4解得k=-l,b=40,即一次函数表达

2k+b=2Q

式为y=-x+40.

（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元

w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225.

产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元.

【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当

某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）

问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程.

彳列3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线.如下图，正在甩绳的甲、

乙两名学生拿绳的手间距为4m,距地面均为1m,学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离加、2.5m

处.绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶.学生丙的身高是1.5m,那么学生丁的身高为（建立的平面

直角坐标系如右图所示）

（）

A.1.5mB.1.625m

C.1.66mD.1.67m

分析：此题考查二次函数的应用

答案：B

知识点一、平面直角坐标系

1＞平面直角坐标系

在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。

其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；

两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个局部，分别叫做第一象限、

第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。

2、点的坐标的概念

点的坐标用(a,b)表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置

不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当。2匕时，［a,b)和(b,a)是两个不同点的坐标。

知识点二、不同位置的点的坐标的特征

1、各象限内点的坐标的特征

点P(x,y)在第一■象限Ox>0,y>0

点P(x,y)在第二象限Ox<0,y>0

点P(x,y)在第三象限Ox<0,y<0

点P(x,y)在第四象限ox>0,y<0

2、坐标轴上的点的特征

点P(x,y)在x轴上Oy=0,x为任意实数

点P(x,y)在y轴上OX=0,y为任意实数

点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上Ox,y同时为零，即点P坐标为(0,0)

3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征

点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上。x与y相等

点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上Ox与y互为相反数

4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征

位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。

位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。

5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征

点P与点P'关于x轴对称O横坐标相等，纵坐标互为相反数

点P与点P'关于y轴对称O纵坐标相等，横坐标互为相反数

点P与点p'关于原点对称。横、纵坐标均互为相反数

6、点到坐标轴及原点的距离

点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：

⑴点P(x,y)到x轴的距离等于卜|

(2)点P(x,y)至y轴的距离等于卜|

〔3〕点P(x,y)到原点的距离等于F7

知识点三、函数及其相关概念

1、变量与常量

在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

一般地，在某一变化过程中有两个变量X与y,如果对于X的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应,

那么就说x是自变量，y是x的函数。

2、函数解析式

用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。

使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

3、函数的三种表示法及其优缺点

(1)解析法

两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做

解析法。

⑵列表法

把自变量X的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。

(3)图像法

用图像表示函数关系的方法叫做图像法。

4、由函数解析式画其图像的一般步骤

(1)列表：列表给出自变量与函数的一些对应值

(2)描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点

(3)连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

知识点四，正比例函数和一次函数

1、正比例函数和一次函数的概念

一般地，如果y=(k,b是常数，kWO),那么y叫做x的一次函数。

特别地，当一次函数y=kx+b中的b为。时，y=kx(k为常数，kwo)。这时，y叫做x的正比例

函数。

2、一次函数的图像

所有一次函数的图像都是一条直线

3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：

一次函数y=的图像是经过点(0,b)的直线；正比例函数y=%c的图像是经过原点(0,0)

的直线。

k的符号b的符号函数图像图像特征

图像经过一、二、三象限，y随x的

b>0

JL增大而增大。

r

k>0

图像经过一、二、四象限，y随x的

b<0

JL增大而增大。

r

y图像经过一、二、四象限，y随x的

K<0b>0

k增大而减小

0X

图像经过二、三、四象限，y随x的

b<0

增大而减小。

注：当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。

4、正比例函数的性质

一般地，正比例函数,=依有以下性质：

(1)当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大;

(2)当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。

5、一次函数的性质

一般地，一次函数y=々x+b有以下性质:

(1)当k>0时，y随x的增大而增大

(2)当k<0时，y随x的增大而减小

6、正比例函数和一次函数解析式确实定

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y=%c(kWO)中的常数k。确定一个一次函数,

需要确定一次函数定义式y=(kwo)中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法

知识点五、反比例函数

1、反比例函数的概念

一般地，函数y=±(k是常数，kwo)叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成y=的

x

形式。自变量x的取值范围是xWO的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

2、反比例函数的图像

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它

们关于原点对称。由于反比例函数中自变量xWO,函数yWO,所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即

双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

3、反比例函数的性质

反比例k

y二—（左。0）

函数X

k的符号k>0k<0

图像

①X的取值范围是XWO,①x的取值范围是xWO,

V的取值范围是yWO；V的取值范围是yW0；

性质②当k>0时，函数图像的两个分支分别②当k<0时，函数图像的两个分支分别

在第一、三象限。在每个象限内，y在第二、四象限。在每个象限内，y

随x的增大而减小。随x的增大而增大。

4、反比例函数解析式确实定

确定及谈是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数y=幺中，只有一个待定系数，因此只需要一对

x

对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。

5、反比例函数中反比例系数的几何意义

k

如以下图，过反比例函数V=—（左70）图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM,PN,那么所得的矩

X

形PMON的面积S=PM<PN=|y|e|x|=|xy|ovy=xy=k,S=闷。

知识点六、二次函数的概念和图像

1、二次函数的概念

一般地，如果特y=a/+加:+c（〃,"c是常数，QWO）,特别注意a不为零

那么y叫做x的二次函数。

y^ax1+"+。（。,仇。是常数，aw0）叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像

b

二次函数的图像是一条关于x=——对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

2a

抛物线的主要特征：

①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

3、二次函数图像的画法

五点法：

门）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴

（2）求抛物线y=a/+6x+c与坐标轴的交点：

当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y