初中中考数学专项分类 一元二次方程的应用（含解析版）（人教版）

专题02一元二次方程的应用

传播问题

1.广东春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共25人患流感,

假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（）

A.1+x+x2=25B.x+x2=25C.（1+x）-=25D.x+x（l+x）=25

2.为增强学生体质，培养学生正确的体育思想和团队意识,2019年初某市开展了“篮球进园”活动.近

日，该市篮球协会要组织初中学校的篮球队进行一次联赛，要求每两队之间进行一场比赛，计划安

排5天，每天比赛3场，则参加比赛的球队数是（）

A.5B.6C.7D.8

3.若有2个人患了流感，经过两轮传染后共有50人患了流感（这2个人在第二轮传染中仍有传染

性），则每轮传染中平均一个人传染—人.

题型02解增长率问题

4.某农场去年种植西瓜5亩，总产量为10000kg.今年该农场扩大了种植面积，并引进新品种，使

总产量增长到30000kg.己知种植面积的增长率是平均亩产量增长率的2倍，则平均亩产量的增长

率为.

5.某超市一月份的营业额为300万元，一月、二月、三月的总营业额1200万元，如果平均每月增长

率为X,则由题意列方程为()

A.300(1+x)2=1200B.300+300-2.x=1200

C.300+300(1+力2=1200D.300[l+(l+x)+(l+x)[=1200

6.某商品经过连续两次降价，价格由100元降为64元.已知两次降价的百分率都是x,则x满足

的方程是()

A.64(1-2x)=100B.100(1-X)2=64C.64(1-x)2=100D.100(1-2x)=64

[题型

03]与几何有关问题

7.如图(1),C为线段A8上一点，/VICE和△BCD均为等腰直角三角形，点尸沿8。从点B匀速运

动到点。，连接EF,令EF=y,图(2)是y(cm)随时间x(s)变化的关系图像，则A8的长为()

D.8cm

8.利用图形分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法.如图1,8。是长方

形A8C3的对角线，将△BC£＞分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放,

观察两图，若a=6,b=3,则长方形ABC。的面积是

9.如图，某学校有一块长40m,宽20m的长方形空地，计划在其中修建三块相同的长方形绿地,

三块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道.

(1)若设计人行通道的宽度为1m,则三块长方形绿地的面积共多少平方米?

(2)若三块长方形绿地的面积共512m2,求人行通道的宽度.

题型04销售利润问题

10.某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品.当商品售价为4()元时，一月份销售256

件.二、三月该商品十分畅销.销售量持续走高.在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400

件.设二、三这两个月的月平均增长率不变.

(1)求二、三这两个月的月平均增长率；

(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量

增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？

11.当今社会，"直播带货''已经成为商家的一种新型的促销手段.小亮在直播间销售一种进价为每

件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)满足一次函数

关系，它们的关系如下表：

销售单价X(元)202530

销售量y(件)200150100

⑴求)，与龙之间的函数关系式；

(2)该商家每天想获得2160元的利润，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？

12.为庆祝“五四青年节“，某校计划购买A与8两种墙贴共400张来布置校园.已知A墙贴的售价

是每张16元，8墙贴的售价是每张20元，共花费7040元.

(1)求计划购买A,B墙贴各多少张？

(2)为了节省费用，学校采购人员最终决定在网上购买，A墙贴每张售价减少了15增贴每张售价

O

便宜了加元，实际购买B墙贴的数量比原计划增加了4m张，总数量不变，总费用比原计划减少了

2140元，求机的值.

工程问题

13.某工程队采用A,B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造.原计划A型设备每小

时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务.

(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；

(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米.在实际施工中，8型设备在铺路

效率不变的情况下，时间比原计划增加了(6+25)小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时

下降了3〃?米，而使用时间增加了机小时，求机的值.

14.由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大

型小区设置了A、B两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知A点平均每人采样720

份，8点平均每人采样700份.

(1)求A、B两点各有多少名医护人员？

(2)9月8H,医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近

数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从8点抽调部分医护人员到A点经调查发

现，B点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，A点人均采样量不变，最后当天共采样9360

份，求从B点抽调了多少名医护人员到A点？

15.公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量.某头盔经销商5至7月

份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增

长率相同.请解决下列问题.

(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；

(2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最

大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要

保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下(生产线越多，投入越大)，应

该增加几条生产线？

优选提升题

16.在学习《完全平方公式》时，某数学学习小组发现：已知“+6=5,ab=3,可以在不求〃、h

的值的情况下，求出/+〃的值.具体做法如下：

a2+b2=a2+b2+2ab-2ab=(a+b)2-2ab=52-2x3=l9.

⑴若a+b=7,ab=6,则^+心.

(2)若，*满足(8-附(加-3)=3,求(8-机)2+(%-3)2的值，同样可以应用上述方法解决问题.具体操

作如下：

解：设8-m=a,m-3=b,

贝lja+人=(8—6)+(6-3)=5,ah=(S——3)=3,

所以(8—加)2+(；„-3)2=/+/=(0+与2-2帅=52-2,3=19.

请参照上述方法解决下列问题：若(3x-2)(10-3x)=6,求(3x-2>+(10-3x)2的值；

(3)如图，某校“园艺”社团在三面靠墙的空地上，用长12米的篱笆(不含墙AM,AD,DN)围成一

个长方形花圃488,花圃A8CD的面积为20平方米，其中墙AO足够长，墙墙A£>,墙DN上

墙AD,AM=OV=1米.随着学校“园艺”社团成员的增加，学校在花圃ABC。旁分别以AB,CD边

向外各扩建两个正方形花圃，以BC边向外扩建一个正方形花圃(如图所示虚线区域部分)，请问新

扩建花圃的总面积为平方米.

I

INI

B\C'"1

17.有一块长为〃米，宽为方米的矩形场地，计划在该场地上修筑互相垂直的宽都为2米的纵横小路

（阴影部分），余下的场地建成草坪.

一

m」

口

1_|1_口|

|_口|

匚

目

口

口

口

i匚

口

口

匚

0二

口

「

〔L

图1图2

（1）如图1,在矩形场地上修筑两条的纵横小路.

①请写出两条小路的面积之和5=（用含〃、8的代数式表示）；

②若。2=2:1,且草坪的总面积为312m叱求原来矩形场地的长与宽各为多少米？

（2）如图2,在矩形场地上修筑多条的纵横小路，其中机条水平方向的小路，〃条竖直方向的小路

（加，〃为常数），若a=28,6=14,且草坪的总面积为120平方米，求m+〃的值.

专题02一元二次方程的应用

1.广东春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共25人患流感，

假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程()

A.1+x+x2=25B.x+x1=25C.(1+x)~=25D.x+x(l+x)=25

【答案】C

【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中.设每轮传染中平均一个人

传染了X个人，则第一轮传染了X个人，第二轮作为传染源的是(X+1)人，则传染x(x+l)人，依题意

列方程：l+x+x(l+x)=25即可.

【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得l+x+x(l+x)=25,

即(l+x)2=25,

故选：C.

【点睛】考查了一元二次方程的应用，本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然

是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的.

2.为增强学生体质，培养学生正确的体育思想和团队意识，2019年初某市开展了“篮球进园”活动.近

日，该市篮球协会要组织初中学校的篮球队进行一次联赛，要求每两队之间进行一场比赛，计划安

排5天，每天比赛3场，则参加比赛的球队数是（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数=gx（x_l）,由此可得出

方程.

【详解】解：设邀请x个队，每个队都要赛。-1）场，但两队之间只有一场比赛，

由题意得，；x（x-l）=5x3,

解得：％=6,x2--5

故选：B.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场

数与球队之间的关系.

3.若有2个人患了流感，经过两轮传染后共有50人患了流感（这2个人在第二轮传染中仍有传染

性），则每轮传染中平均一个人传染_人.

【答案】4

【分析】设每轮传染中平均每个人传染了x人，再根据“经过两轮传染后共有50人患了流感“列方程

求解即可.

【详解】解：设每轮传染中平均每个人传染了x人，

依题意得2+2X+X（2+2X）=50,

解得：x=4或x=-6（不合题意，舍去）.

所以，每轮传染中平均一个人传染了4个人.

故答案为：4.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意、准确找到等量关系列出方程是解答本题

的关键.

题型02解增长率问题

1

4.某农场去年种植西瓜5亩，总产量为10000kg.今年该农场扩大了种植面积，并引进新品种，使

总产量增长到30000kg.已知种植面积的增长率是平均亩产量增长率的2倍，则平均亩产量的增长

率为.

【答案】50%

【分析】设平均亩产量的增长率为x,则种植面积的增长率为2x,利用今年的总产量=今年的种植

亩数X今年的平均亩产量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论.

【详解】解：设平均亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为2x,

根据题意得：5(l+2x)xW箸x(l+x)=30000,

整理得：2X2+3X-2=0，

解得：玉=0.5=50%,X2=-2(不符合题意，舍去)，

.♦.平均亩产量的增长率为50%.

故答案为：50%.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

5.某超市一月份的营业额为300万元，一月、二月、三月的总营业额1200万元，如果平均每月增长

率为x,则由题意列方程为()

A.300(1+xf=1200B.300+300-2-x=1200

C.300+300(1+xp=1200D.300^1+(l+x)+(l+^)2]=1200

【答案】D

【分析】根据增长率分别表示出二月、三月的营业额即可求解.

【详解】解：由题意得：二月的营业额为：300(1+x)

三月的营业额为：300(1+%)2

故一月、二月、三月的总营业额为：300+300(1+X)+300(1+X)2=300[1+(1+X)+(1+X)2]

故根据总营业额为1200万元，可列方程为：300[1+(1+X)+(1+X)2]=1200

故选：D

【点睛】本题考查增长率问题.分别表示出二月、三月的营业额是解题关键.

6.某商品经过连续两次降价，价格由100元降为64元.已知两次降价的百分率都是x,则x满足

的方程是()

A.64(1-2x)=100B.100(1-X)2=64C.64(1-x)2=100D.100(1-2x)=64

【答案】B

【分析】若两次降价的百分率均是X,则第一次降价后价格为100(1-X)元，第二次降价后价格为

100(l-x)(l-x)=100(l-x)2元，根据题意找出等量关系：第二次降价后的价格=64元，由此等量关

系列出方程即可.

【详解】解：•••两次降价的百分率都是X,

二100(1)2=64.

故选：B.

【点睛】本题主要考查列一元二次方程，关键在于读清楚题意，找出合适的等量关系列出方程.

[题型03]

7.如图(1),C为线段A8上一点，△ACE和△3。均为等腰直角三角形，点F沿BO从点B匀速运

动到点。，连接EF,令EF=y,图(2)是y(cm)随时间x(s)变化的关系图像，则A8的长为()

D弘

/\:1

1---------------------T

彳^---------O

图1图2

A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm

【答案】c

【分析】根据题意结合图1、图2可知，BE=5,DE=\.设AC=x，根据等腰直角三角形的性质,

可将未知与已知条件集中在Rt_8CE中,利用勾股定理可解得X的值，从而使问题得解.

【详解】连接8E.如下图.

---宠-----

根据题意结合图1、图2可知，BE=5,DE=1.

•:△ACE与△5CO均为等腰直角」.角形，设AC=x,

/.CE^AC=x,BC=CD=CE+DE=x+\.

在RtBCE中,CE2+BC?=BE?，

即f+G+lj=52

整理得：(x-3)(x+4)=0

，x=3或x=Y(不合题意，舍去)

即AC=3,BC=x+l=4.

AB=AC+8C=3+4=7(cm)

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理的应用、图标的分析等知识点，解题的关键

是读懂图，推知BE=5,OE=1的题设条件.

8.利用图形分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法.如图1，8。是长方

形A8C。的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，

观察两图，若a=6,0=3,则长方形ABCO的面积是.

【分析】设小正方形的边长为x,利用。、b、x表示矩形的面积，再用。、b、x表示三角形以及

正方形的面积，根据面积列出关于〃、h.x的关系式，解出x,即可求出矩形面积.

【详解】解：设小正方形的边长为x，

，矩形的长为(a+x)，宽为(6+x)

^(a+x)(/?+x)=-^axx2+^Z?xx2+x2

由图1可得:

整理得：x2+ax+bx-ab=0»

。=6,b=3,

.,.x2+9工-18=0,

/.X2+9X=18，

矩形的面积为（a+x）R+x）=（x+6）（x+3）=x2+9x+18=18+18=36.

故答案为：36.

【点睛】本题主要考查列代数式，一元二次方程的应用，设出小正方形的边长列一元二次方程和整

体代换是解题的关键.

9.如图，某学校有一块长40m,宽20m的长方形空地，计划在其中修建三块相同的长方形绿地，

三块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道.

（1）若设计人行通道的宽度为1m,则三块长方形绿地的面积共多少平方米？

（2）若三块长方形绿地的面积共512m2,求人行通道的宽度.

【答案】（1）三块的长方形绿地的面积共648平方米

（2）人行通道的宽度为2m

【分析】（1）根据题意得：三块长方形绿地的长为（40-4）m,宽为（20-2）m,可求得面积；

（2）设人行通道的宽度为x米，则两块矩形绿地的长为（40-4x）m,宽为（20-2x）m,根据题意得:

（40-4^（20-2x）=512,解方程可得.

【详解】（1）解：（40-4）x（20-2）=648（m2）

答：三块的长方形绿地的面积共648平方米；

（2）解：设人行通道的宽度为x米，

由题意，得（40—4x）（20—2力=512,

化筒，得8（10-X）2=512,

解得药=2,々=18（不符合题意，舍去）.

答：人行通道的宽度为2m.

【点睛】本题考查一元二次方程的应用，读懂题意，列出一元二次方程是解题的关键.

销售利润问题

10.某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品.当商品售价为40元时，一月份销售256

件.二、三月该商品十分畅销.销售量持续走高.在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400

件.设二、三这两个月的月平均增长率不变.

（1）求二、三这两个月的月平均增长率；

（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量

增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？

【答案】（1）25%；（2）5元

【分析】（I）设二、三这两个月的月平均增长率为x,则二月份的销售量为：256（l+x）件；三月份

的销售量为：256（1+x）（l+x）件，又知三月份的销售量为400件，由此等量关系列出方程求出x的

值即可解答；

（2）设当商品降价m元时，商品获利4250元，再利用“销量x每件商品的利润=4250”列出方程求

解即可.

【详解】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为x,根据题意可得：

256（1+X）2=400,

解得：占=0.25,x,=-49（不合题意舍去）.

答：二、三这两个月的月平均增长率为25%.

（2）解：设当商品降价〃?元时，商品获利4250元，根据题意可得：

（40-25-/n）（400+5/??）=4250,

解得：叫=5,色=-70（不合题意舍去）.

答：当商品降价5元时，商品获利4250元.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意、找到等量关系列出方程是解题

的关键.

11.当今社会，"直播带货''已经成为商家的一种新型的促销手段.小亮在直播间销售一种进价为每

件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量），（件）与销售单价x（元）满足一次函数

关系，它们的关系如下表：

销售单价X（元）202530

销售量y（件）200150100

（1）求），与X之间的函数关系式；

（2）该商家每天想获得2160元的利润，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？

【答案】（l）y与x之间的函数关系式为：y=—lOx+400

（2）应将销售单价定为22元

【分析】（1）由于每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，将值代入函数

关系式，即可求出答案.

（2）由题意将利润用含X的式子表示出来，求出x的值，再从中选取最小值即可.

【详解】（1）解：设商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系丫=区+），

20k+h=200

根据题意可得:

25)1+^=150

故），与x之间的函数关系式为：y=-10x+400；

（2）解:根据题意可得:（-10x+400）（x-10）=2160,

整理得：X2-50X+616=0,

（x-28）（x-22）=0,

解得：占=28（不合题意，舍去），々=22,

答：应将销售单价定为22元.

【点睛】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，正确列出等量关系是解题的关键.

12.为庆祝“五四青年节”，某校计划购买A与8两种墙贴共400张来布置校园.已知A墙贴的售价

是每张16元，8墙贴的售价是每张20元，共花费7040元.

（1）求计划购买A,B墙贴各多少张？

（2）为了节省费用，学校采购人员最终决定在网上购买，A墙贴每张售价减少了18增贴每张售价

O

便宜了加元，实际购买8墙贴的数量比原计划增加了4根张，总数量不变，总费用比原计划减少了

2140元，求机的值.

【答案】（1）购买240张A墙贴，购买160张8墙贴；（2）5

【分析】（I）设计划购买〃张A墙贴，购买人张8墙贴，根据“共400张来布置校园，已知A墙贴的

售价是每张16元，8墙贴的售价是每张20元，共花费704（）元”列出方程组，即可求解；

（2）根据题意可得A墙贴的售价为16x110（元）,A墙贴的张数为（240-4〃?）张，B种墙贴

的售价为（20-〃?）元，8种墙贴的张数为（160+4⑹张，再由总费用比原计划减少了2140元，列出

方程，即可求解.

【详解】（1）解：设计划购买。张A墙贴，购买6张B墙贴，

由题意得

答：计划购买240张A墙贴，购买160张B墙贴；

（2）解：由题意得A墙贴的售价为16X（1-£|=10（元），A墙贴的张数为（240-4帆）张，B种墙贴

的售价为（20-m）元，B种墙贴的张数为（160+4⑺张，

山题意得10*（240-4加）+（20-机）（160+4优）=7040-2140,

整理得病+30〃z-175=0,

解得〃?=-35（舍去）或机=5,

二加的值为5.

【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量

关系是解题的关键.

工程问题

13.某工程队采用A,B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造.原计划A型设备每小

时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务.

（1）求A型设备每小时铺设的路面长度；

（2）通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米.在实际施工中，B型设备在铺路

效率不变的情况下，时间比原计划增加了（加+25）小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时

下降了3加米，而使用时间增加了加小时，求”?的值.

【答案】⑴A型设备每小时铺设的路面长度为90米

（2）小的值为10

【分析】（1）设8型设备每小时铺设路面x米，则A型设备每小时铺设路面（2x+30）米，根据题意

列出方程求解即可；

（2）根据“A型设备铺设的路面长度+5型设备铺设的路面长度=3600+750”列出方程，求解即可.

【详解】（1）解：设B型设备每小时铺设路面x米，则A型设备每小时铺设路面（2X+30）米，

根据题意得，

30x+30（2x+30）=3600,

解得：x=30,

贝l]2x+30=90,

答：A型设备每小时铺设的路面长度为90米；

（2）根据题意得，

30（30+^4-25）+（90-3;»）（30+⑼=3600+750,

整理得，nr-10/M=0,

解得：皿=10,e=0（舍去），

二m的值为10.

【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系

并列出方程.

14.由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大

型小区设置了A、B两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知A点平均每人采样720

份，B点平均每人采样700份.

（1）求A、B两点各有多少名医护人员？

（2）9月8H,医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近

数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从B点抽调部分医护人员到A点经调查发

现，B点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，A点人均采样量不变，最后当天共采样9360

份，求从8点抽调了多少名医护人员到A点？

【答案】（1）4检测队有6人，8检测队有7人

（2）从B检测队中抽调了2人到A检测队

【分析】（1）设A点有x名医护人员，8点有y名医护人员，根据“A、8两个采样点共13名医护人

员，且当天共采样9220份“，即可得出关于x,y的且当天共采样9220份，即可得出关于x,y的

二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设从3点抽调了m名医护人员到A点，则2点平均每人采样（700+10m）份，根据重新规划后当

天共采样9360份，即可得出关于机的•元一二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论.

【详解】（1）解：设A检测队有x人，8检测队有y人，

一[x+y=13fx=6

依题意得：7_n\7m分解得：_

答：4检测队有6人，8检测队有7人；

（2）解：设从B检测队中抽调了机人到A检测队，则8检测队人均采样（7（X）+l（）m）人，

依题意得：720（6+小）+（700+10m）（7-m）=9360,

2

解得：m-9m+14=0-解得：叫=2,m2=l,

由于从8对抽调部分人到A检测队，则机＜7故加=2,

答：从8检测队中抽调了2人到A检测队.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等

关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程.

15.公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量.某头盔经销商5至7月

份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增

长率相同.请解决下列问题.

（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；

（2）为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最

大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要

保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应

该增加几条生产线？

【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为20%

（2）在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线

【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x,根据题意列出一元二次方程进行求解；

（2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解.

【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为X.

依题意，得:2250（1+x）2=3240,

解得：玉=0.2=20%,X2=-2.2（不合题意，舍去）.

答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%.

(2)解：设增加x条生产线.

(900-30x)(x4-1)=3900,

解得占=4,々=25(不符合题意，舍去),

答：在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即

可.

优选提升题

16.在学习《完全平方公式》时，某数学学习小组发现：已知。+。=5,ab=3,可以在不求。、h

的值的情况下，求出/的值.具体做法如下：

a2+b2=a2+h2+2ab-2ab=(a+h)2-2ah=52-2x3=\9.

⑴若a+b=7,“6=6,则『+82=.

⑵若"，满足(8-M(〃L3)=3,求(8-m2+(机一3)2的值，同样可以应用上述方法解决问题.具体操

作如下：

解：设8-机=。,m-3=b,

贝|］。+6=(8_/")+(，”-3)=5,ab=(S—m)(m—3)=3,

所以(8-⑼2+(机一3尸=〃+/=(〃+-2"=5?-2x3=19.

请参照上述方法解决下列问题：若(3x-2)(10-3x)=6,求(3x-2尸+(10-34的值；

(3)如图，某校“园艺”社团在三面靠墙的空地上，用长12米的篱笆(不含墙AM,AD,DN)围成一

个长方形花圃A8CC,花圃ABC。的面积为20平方米，其中墙A。足够长，墙AM2墙A£>,墙ZW工

墙AC,A〃=ON=1米.随着学校“园艺”社团成员的增加，学校在花圃438旁分别以A3,8边

向外各扩建两个正方形花圃，以BC边向外扩建一个正方形花圃(如图所示虚线区域部分)，请问新

扩建花圃的总面积为平方米.

【答案】(1)37

⑵52

(3)116

【分析】(1)根据材料介绍方法解答即可；

(2)仿照操作方法解答即可；

(3)先说明EW=CN,设BM=CN=x米，则8c=(12-2x)米，然后根据“花圃A8CO的面积为

20平方米”列方程求得x,然后再列式求得扩建花圃的面积即可.

【详解】(1)解：a2+b2=a2+b2+2ab-2ab=(a+b)2-2ab=72-2x6=37.

(2)解：设3x—2=a,\0-3x=b,

则。+匕=(3%一2)+(10—3%)=8,6?/?=(3x-2)(10-3x)=6,

所以(3x—2)2+(10—3幻2=合+〃=(〃+力)2—2"=82—2x6=52.

(3)解：,・,四边形ABCO长方形，

:.AB=CDf

,:AM=DN,

：.BM=CN,

设8M=CN=尤米，则3c=(12—2力米

由题意知l(x+l)(12—2x)=20,解得x=l或x=4,经检验，均符合题意

①当x=l时，AB=2,BC=]0

新扩建花圃的总面积为:22x4+102=116(平方米)；

②当x=4时，AB=5,BC=4,

新扩建花圃的总面积为:千x4+4?=116(平方米).

综上，新扩建花圃的总面积为116平方米.故答案为116.

【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、灵活利

用完全平方公式成为解答本题的关键.

17.有一块长为。米，宽为8米的矩形场地，计划在该场地上修筑互相垂直的宽都为2米的纵横小路

(阴影部分)，余下的场地建成草坪.

m一」

LJ

口口I-口J匚

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口口匚

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口K

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图2

图1

.

横小路

条的纵

修筑两

场地上

在矩形

图1,

（1）如

；

表示）

代数式

、力的

含。

（用

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和5

积之

的面

小路

两条

写出

①请

米？

多少

各为

与宽