2024年山东省烟台市高三一模卷数学试题及答案

2024年高考诊断性测试数学注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区､书写的答案无效；在草稿纸试题卷上答题无效.､一选择题：本题共小题，每小题分，共8540分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合U=R，集合A=∣x+2x−3,B=0x，则图中阴影部分表示的集合为2（）A.(−3,0)B.(−1,0)()0,1D.(3)C.−2x)5=a+ax+ax2+L+5x5a+，则2a4=（2.若）012A.1003.若点A.1B.110C.120D.130()在抛物线A1,2上，为抛物线的焦点，则F=（）y2=2pxB.2C.3D.4，则sin2=π1−=4.若A.−（）435959797B.C.−D.95.将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为（）A.3B.6C.10D.15a,b为两条不同的直线，,6.设为两个不同的平面，下列说法正确的是（）a,b∥a，则∥bA.若∥与a所成的角相等，则∥ba,bB.若C.若⊥,a,b，则a⊥b∥∥D.若⊥,a⊥,b⊥⊥b，则a()满足(−)=()，当0x1时，()=−，则(2x)=fxf2xfxfx1f127.已知定义在R上的奇函数2（）13141312A.−B.−C.D.(−)()，向量A1,0,B2,3=+，且m−n−4=0.若为椭圆P8.在平面直角坐标系中，点y2x2+=1上一点，则PC的最小值为（）7485A.10B.10C.D.25二多选题：本题共小题，每小题分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目､36要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.z,z9.已知为复数，下列结论正确的有（2）1A.1z21z2+=+B.zzzz=1122zzRz=z21C.若，则12zz=0z=0z=0或12D.若，则12,ylog(xy为整数”，=B=10.先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为，设事件A“x+y=“x+2y为奇数”，则（“为偶数”，C）11()=A.PA()=B.P67()=D.P∣CC.事件B与事件C相互独立18，定义差分运算：=−=−若数列满足.ann1n,Δ2nn1a,nN*a11.给定数列nnnn=n2+nb1Δn的首项为，且=(+)n1n22,nN*，则（，数列）n00，使得ΔanM恒成立，使得ΔnM恒成立A.存在MB.存在M2bMnC.对任意M0，总存在nN*，使得Δ2nMD.对任意M0，总存在nN*，使得n､三填空题：本题共小题，每小题分，共3515分.y=x对称的圆恰好过点(0,4)12.若圆(x−m)2+(y−2=1m关于直线，则实数的值为__________.13.在三棱锥P−==中，，且APB=BPC=,E,F分别是PC,AC的2=2中点，90o，则三棱锥=P−外接球的表面积为__________，该三棱锥外接球与内切球的半径之比为__________.（本小题第一空2分，第二空3分.）ππ415()=+−2π上佮有5个零点，且在14.若函数fxxx1在−上单调递增，则正实数,的取值范围为__________.四解答题：本题共小题，共分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.､5､()=+(x2y10fxax2+x−xba,bR)在x=2处的切线与直线++=垂直15.分）已如曲线.a（1）求的值：（2）若f(x)0恒成立，求b的取值范围.−ABC中，11⊥AC,=3==2，O为16.分）如图，在三棱柱的中1AO⊥1点，平面.AA1⊥OD（1）求证：（2）若AA1=23，求二面角17.分）联合国新闻部将我国农历二十四节气中的“谷雨”定为联合国中文日，以纪念“中华文字始祖”仓颉；B−AA1−O的余弦值.的贡献.某大学拟在2024年的联合国中文日举行中文知识竞赛决赛决赛分为必答抢答两个环节依次进行必答､.环节，共2道题，答对分别记､分，否则记0分：抢答环节，包括多道题，设定比赛中每道题必须进行抢答，抢到并答对者得分，抢到后未答对，对方得分：两个环节总分先达到或超过100分者获胜，41比赛结束.已知甲乙两人参加决赛，且在必答环节，甲答对两道题的概率分别､,，乙答对两道题的概率分532115,､，在抢答环节，任意一题甲乙两人抢到的概率都为，甲答对任意一题的概率为别为，3223､､乙答对任意一题的概率为，假定甲乙两人在各环节各道题中答题相互独立4（1）在必答环节中，求甲乙两人得分之和大于､100分的概率：（2）在抢答环节中，求任意一题甲获得分的概率：（3）若在必答环节甲得分为分，乙得分为分，设抢答环节经过X道题抢答后比赛结束，求随机变量X的分布列及数学期望.x22y22(−)，离心率为，直线过点()D3,0−=ab0)经过点A2,0l18.分）已知双曲线C:5ab且与双曲线C交于两点P,Q（异于点）.A（1）求证：直线与直线AQ的斜率之积为定值.并求出该定值：AP,M,N，记S,S的面积分别为，求12（2）过点D分别作直线1S的垂线.垂足分别为的最大值.2x中，半径为1的圆A沿着轴正向无滑动地滚动，点M为圆A19.分）如图，在平面直角坐标系上一个定点，其初始位置为原点O,t为绕点A转过的角度（单位：弧度，t0）.y（1）用表示点tMx的横坐标和纵坐标：1+Mx,yy0)处的切线存在，且倾斜角为()(（2）设点M的轨迹在点，求证：为定值：00000（3）若平面内一条光滑曲线C上每个点的坐标均可表示为()()(),，则该光滑曲线长度为xt,yt,t()−)，其中函数()满足22当点.M自点O滚动到点时，其轨迹FFFt()=(+(FtxtytE»»为一条光滑曲线，求的长度.2024年高考诊断性测试数学参考答案及评分标准一、选择题ACBCBDAA二、选择题9.10.BCD11.三、填空题59514.[,]4212.413.10,10+2四、解答题2f'(x)=2ax+1−···································2分15.解：（）,x12x+2y+1=0k=−直线的斜率,f'(2)=2由题意知，···································4分14a+1−1=2a=即，所以.····································5分2f(x)的定义域为(0+)（2）.···································6分12因为f(x)0，所以b−x−x+2lnx.21g(x)=−x2−x+2lnx,x(0,+)bg(x)························8分设，则.22−x−x+2(−x+x+2)2g'(x)=−x−1+==···················9分···············11分xxxx(g'(x)0g(x)在(当当时，，所以单调递增，x+)g'(x)0g(x)在+)时，，所以单调递减，3g(x)=g=−所以.23所以b−.·······························13分216.）因为AB⊥AC=3=3，1，所以ACB=60，==3.············································1分2=3，AD=2DB=1.因为，所以在中，=，DB=1，=3，由余弦定理2=12+(3)21−21330=，所以=1.·········3分中，=1，AD=2，=3⊥.·····4分，由勾股定理，在因为O⊥平面，平面，所以AO⊥OD.·····················································5分1因为，所以⊥平面1.······································6分·····································7分因为平面，所以⊥；111（21,,O为坐标原点，,,方向分别为x,y,z11轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O−.······8分因为AA1=23，=3，所以AO=31.·············9分33则(3,0)，1，B(−,,0).···········10分223333可得BA1=(,−,3)，=(,−,0)，2222设m=(x,y,z)为平面的一个法向量，133x−y+3z=022则，取x=3，则y=3，z=1，333x−y=022m=(3,，故·····························12分·······················13分由题意可知，n=0)为平面1的一个法向量，mn313因为m,n==，|m||n|131331313B−AA1−O所以二面角的余弦值为.·······························15分17.1）两人得分之和大于100分可分为甲得707040分，甲得70分、乙得70分三种情况，所以得分大于100分的概率112141114121p=++=5332533253327.··························4分15111p=+=（2）抢答环节任意一题甲得分的概率.············7分2243（3）X的可能取值为2,3,4,5.12因为甲任意一题得15分的概率为，所以任意一题乙得15分的概率为.·····8分33119121=3334P(X==()2=P(X==21，，31212P(X==31()23+()4=，3132313212=33P(X==41()+C34()3.···················12分3333所以X的分布列为X219344528813281P27··································13分14所以E(X)=2+3+4+5=.·····················15分···················2分918.）由题意知，a=2，c=5，又因为c2=a2+b2，a解得b=4.x2y2所以，双曲线C的方程为−=1.·············································3分4设直线l的方程为x=+3，22xy−=1，消x可得，(4m2−y2++=0.···············4分联立416x=my+3不妨设P(x,y(x,y)，1122124m204m2−1则m，且y+y=，yy=.·························5分·····················7分124m2−12211y21y2所以kk==122++22++m1y2m(1y)25+2=−4.·····························9分51（2）设直线的方程为y=k(x+2)，则直线DM:y=−(x−，ky=k(x+2)5k联立1，解得yM=，·····································11分y=−(x−k2+1k4−100k用−替换上式中的可得kyN=.·······························13分·································15分5k25k2+16253125k2故SS=|yy=MN122+2+4(kk16)3125=.1625k2++412k161625因为25k2+225k2=40，当且仅当k=时“=”成立，k2k25.所以SS，故SS的最大值为·························17分121219.）由题意可得y=1−t