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第六章计数原理6.3二项式定理（基本概念及通项公式）新

知

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在初中我们学过多项式乘法，并且知道：如果a，b是任意实数，那么

(a＋b)1=a＋b，(a＋b)2=a2＋2ab＋b2，(a＋b)3=a3＋3a2b＋3ab2＋b3．

如果计算(a＋b)4=(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)，等号右边的积展开后，各项分别是什么呢?

(a＋b)4由四个因式(a＋b)相乘得到，每个因式中有两项：a，b．

展开后的每项由每个因式(a＋b)中任取一项(a或b)相乘得到，因而各项都是四次式，其所含字母的形式分别为：a4，a3b，a2b2，ab3，b4．

a4是由(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)的四个因式中都都只取a

(即每个都不取b)相乘得到，有1种选法，所以a4的系数是

；

a3b是四个因式中任取一个因式内的b与另三个因式内的a相乘得到，有

种选法，所以

a3b的系数是

；

a2b2是四个因式中任取两个因式内的b与另两个因式内的a相乘得到，有

种选法，所以

a2b2的系数是

；

ab3是四个因式中任取三个因式内的b与另一个因式内的a相乘得到，有

种选法，所以ab3的系数是

；

b4是四个因式中都只取b相乘得到，有

种选法，所以b4的系数是

．

因此

猜想：设a，b是任意实数，对于正整数n，都有

(a＋b)n由n个因式(a＋b)相乘得到，每个因式中有两项：a，b．

展开后的每项由每个因式(a＋b)中任取一项(a或b)相乘得到，因而各项都是n次式，其所含字母的形式分别为：

an，an－1b，an－2b2，∙∙∙∙∙，an－rbr，∙∙∙∙∙，bn．其中r=0，1，2，∙∙∙∙，n．

根据(a＋b)4展开式的推导原理，我们可得项

anan－1ban－2b2∙

∙

∙an－rbr∙

∙

∙bn系数∙

∙

∙∙

∙

∙因此，

上述公式称为二项式定理．（1）右边的多项式叫作(a＋b)n的二项展开式，一共有n＋1项；（2）其中各项的系数(0≤

r≤

n，r∈N，n∈N＋)叫作二项式系数；（3）式中的

叫作二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即通项为展开式的第r+1项：

在二项式定理中，如果设a

=1，b

=x，则得到公式：二项展开式特征：（1）项数：共有n＋1项，比指数n多1．（2）次数：各项的次数均为n；

字母a的次数按降幂排列，由n递减到0，字母b的次数按升幂

排列，由0递增到n．（3）二项式系数：

只与n，r有关，与a，b无关．（4）展开式的通项（第r＋1项）：思考：

二项式(a＋b)n与(b＋a)n的展开式的第r＋1项相同吗？不相同，(a＋b)n展开式的第r+1项为(

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