2024年山西省吕梁市文水县中考联考数学试题（解析版）

山西省吕梁地区文水县2024届中考联考数学试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区．2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.下列各式中，正确的是（）A.﹣（x﹣y）=﹣x﹣y B.﹣（﹣2）﹣1= C.﹣ D.【答案】B【解析】【分析】A.括号前是负号去括号都变号；B负次方就是该数次方后的倒数，再根据前面两个负号为正；C.两个负号为正；D.三次根号和二次根号的算法．详解】A选项，﹣（x﹣y）=﹣x+y，故A错误；B选项，﹣（﹣2）﹣1=，故B正确；C选项，﹣，故C错误；D选项，22，故D错误．【点睛】本题考查去括号法则的应用，分式的性质，二次根式的算法，熟记知识点是解题的关键．2.欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取．则该方程的一个正根是（）A.的长 B.的长 C.的长 D.的长【答案】B【解析】【分析】可以利用求根公式求出方程的根，根据勾股定理求出AB的长，进而求得AD的长，即可发现结论．【详解】用求根公式求得：∵∴∴AD的长就是方程的正根．故选：B．【点睛】本题考查解一元二次方程及勾股定理等，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键．3.如图①是半径为2的半圆，点C是弧AB的中点，现将半圆如图②方式翻折，使得点C与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是()A. B.﹣ C.2+ D.2﹣【答案】D【解析】【分析】连接OC交MN于点P，连接OM、ON，根据折叠的性质得到OP=OM，得到∠POM=60°，根据勾股定理求出MN，结合图形计算即可.【详解】解：连接OC交MN于点P，连接OM、ON，由题意知，OC⊥MN，且OP=PC=1，在Rt△MOP中，∵OM=2，OP=1，∴cos∠POM==，AC==，∴∠POM=60°，MN=2MP=2，∴∠AOB=2∠AOC=120°，则图中阴影部分的面积=S半圆-2S弓形MCN=×π×22-2×（-×2×1）=2-π，故选D.【点睛】本题考查了轴对称的性质的运用、勾股定理的运用、三角函数值的运用、扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键.4.李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（）已知：如图，在中，点分别在边上，且，求证：．证明：①又∵，②∵，③∴，④∴，∴．A.③②④① B.②④①③ C.③①④② D.②③④①【答案】B【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质；关键是证明三角形相似．根据平行线的性质可得到两组对应角相等，易得解题步骤；【详解】证明：②，④，①又，③，．故选：B．5.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（）A. B.8 C. D.【答案】D【解析】【详解】解∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，∴AC=AB=4．设⊙O的半径为r，则OC=r－2，在Rt△AOC中，∵，∴，即，解得r=5．∴．连接BE，∵AE是的直径，∴∠ABE=90°．在Rt△ABE中，∵，∴．在Rt△BCE中，∵，∴．故选：D．6.纳米是一种长度单位，1纳米=10﹣9米，已知某种植物花粉的直径约为35000纳米，那么用科学记数法表示该种花粉的直径为（）A.3.5×104米 B.3.5×10﹣5米 C.3.5×10﹣4米 D.3.5×10﹣9米【答案】B【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：35000纳米=35000×10-9米=3.5×10-5米，故选B．【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．7.如图，正方形ABCD的顶点C在正方形AEFG的边AE上，AB＝2，AE＝，则点G到BE的距离是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据平行线的判定，可得AB与GE的关系，根据平行线间的距离相等，可得△BEG与△AEG的关系，根据根据勾股定理，可得AH与BE的关系，再根据勾股定理，可得BE的长，根据三角形的面积公式，可得G到BE的距离．【详解】连接GB、GE，由已知可知∠BAE=45°．又∵GE为正方形AEFG的对角线，∴∠AEG=45°．∴AB∥GE．∵AE=4，AB与GE间的距离相等，∴GE=8，S△BEG＝S△AEG＝SAEFG＝16．过点B作BH⊥AE于点H，∵AB=2，∴BH＝AH＝．∴HE＝3．∴BE＝2．设点G到BE的距离为h．∴S△BEG＝•BE•h＝×2×h＝16．∴h＝．即点G到BE的距离为．故选A．【点睛】本题主要考查了几何变换综合题．涉及正方形的性质，全等三角形的判定及性质，等积式及四点共圆周的知识，综合性强．解题的关键是运用等积式及四点共圆的判定及性质求解．8.下列说法正确的是（）A.掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，6点朝上是必然事件B.甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是，，则甲的射击成绩较稳定C.“明天降雨的概率为”，表示明天有半天都在降雨D.了解一批电视机的使用寿命，适合用普查的方式【答案】B【解析】【分析】利用事件的分类、普查和抽样调查的特点、概率的意义以及方差的性质即可作出判断．【详解】解：A、掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，6点朝上是随机事件，此选项错误；B、甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是S甲2=0.4，S乙2=0.6，则甲的射击成绩较稳定，此选项正确；C、“明天降雨的概率为”，表示明天有可能降雨，此选项错误；D、解一批电视机的使用寿命，适合用抽查的方式，此选项错误；故选B．【点睛】本题考查方差；全面调查与抽样调查；随机事件；概率的意义，掌握基本概念是解题关键．9.今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60m，若将短边增长到长边相等（长边不变），使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1600，设扩大后的正方形绿地边长为xm，下面所列方程正确的是（）A.x（x-60）=1600B.x（x+60）=1600C.60（x+60）=1600D.60（x-60）=1600【答案】A【解析】【分析】根据题意可得扩建的部分相当于一个长方形，这个长方形的长和宽分别为xm和（x－60）m，根据长方形的面积计算法则列出方程．【详解】解：由题意得扩建的部分相当于一个长方形，这个长方形的长和宽分别为xm和（x－60）m，∴，故选A.10.的结果是（）A.－7 B.7 C.－14 D.13【答案】C【解析】【分析】根据有理数的减法运算法则进行计算即可得解．【详解】解：．故选：C．【点睛】本题考查了有理数的减法，熟记运算法则是解题的关键．11.已知关于x的方程2x+a-9=0的解是x=2，则a的值为A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【详解】∵方程2x+a﹣9=0的解是x=2，∴2×2+a﹣9=0，解得a=5．故选D．12.2cos30°的值等于()A.1 B.2 C.3 D.2【答案】C【解析】【详解】分析：根据30°角的三角函数值代入计算即可.详解：2cos30°=2×=3．故选C．点睛：此题主要考查了特殊角的三角函数值的应用，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题关键.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13.如图，正方形ABCD的边长为2，分别以A、D为圆心，2为半径画弧BD、AC，则图中阴影部分的面积为_____．【答案】2﹣【解析】【分析】过点F作FE⊥AD于点E，则AE=AD=AF，故∠AFE=∠BAF=30°，再根据勾股定理求出EF的长，由S弓形AF=S扇形ADF－S△ADF可得出其面积，再根据S阴影=2(S扇形BAF－S弓形AF)即可得出结论【详解】如图所示,过点F作FE⊥AD于点E，∵正方形ABCD的边长为2，∴AE=AD=AF=1，∴∠AFE=∠BAF=30°，∴EF=．∴S弓形AF=S扇形ADF－S△ADF=，∴S阴影=2(S扇形BAF－S弓形AF)=2×[]=2×()=．【点睛】本题考查了扇形的面积公式和长方形性质的应用，关键是根据图形的对称性分析，主要考查学生的计算能力．14.从“线段，等边三角形，圆，矩形，正六边形”这五个图形中任取一个，取到既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是_____．【答案】##0.8【解析】【详解】解：在线段、等边三角形、圆、矩形、正六边形这五个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有线段、圆、矩形、正六边形，共4个，所以取到的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为，故答案为：.【点睛】本题考查概率公式，掌握图形特点是解题关键，难度不大.15.A．如果一个正多边形的一个外角是45°，那么这个正多边形对角线的条数一共有_____条．B．用计算器计算：•tan63°27′≈_____（精确到0.01）．【答案】①.20②.5.29【解析】【分析】A、先根据多边形外角和为360°且各外角相等求得边数，再根据多边形对角线条数的计算公式计算可得；B、利用计算器计算可得．【详解】A、根据题意，此正多边形的边数为360°÷45°=8，则这个正多边形对角线的条数一共有=20，故答案为20；B、•tan63°27′≈2.646×2.001≈5.29，故答案为5.29．【点睛】本题主要考查计算器-三角函数，解题的关键是掌握多边形的内角与外角、对角线计算公式及计算器的使用．16.已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是__________.【答案】k≤1且k≠0【解析】【详解】试题分析：根据方程根的情况：关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根，可以判定其根的判别式的取值范围△=b2﹣4ac≥0，即：4﹣4k≥0，解得：k≤1，然后根据关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0中k≠0，故答案为k≤1且k≠0．考点：根的判别式17.如果把抛物线y=2x2﹣1向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，那么得到的新的抛物线是_____．【答案】y=2（x+1）2+3【解析】【详解】解∶根据题意得∶原抛物线的顶点为（0，-1），且向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，∴新抛物线的顶点为（-1，3），∴可设新抛物线的解析式为y=2（x-h）2+k，代入得：y=2（x+1）2+3．故答案为：y=2（x+1）2+318.在直角坐标平面内有一点A(3，4)，点A与原点O的连线与x轴的正半轴夹角为α，那么角α的余弦值是_____．【答案】【解析】【分析】根据勾股定理求出OA的长度，根据余弦等于邻边比斜边求解即可.【详解】∵点A坐标为（3，4），∴OA==5，∴cosα=，故答案为【点睛】本题主要考查锐角三角函数的概念，在直角三角形中，在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边，熟练掌握三角函数的概念是解题关键.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19.如图，抛物线的顶点为M，直线与抛物线交于点，若为等腰直角三角形，我们把抛物线上两点之间的部分与线段围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段称为碟宽，顶点称为碟顶，由定义知，取中点，连结与的关系是______．抛物线对应的准蝶形必经过，则=______，对应的碟宽是______．抛物线对应的碟宽在轴上，且．①求抛物线的解析式；②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点，使得为锐角，若有，请求出的取值范围．若没有，请说明理由．【答案】，2，4；①；②有，或．【解析】【分析】此题主要考查了二次函数综合以及等腰直角三角形的性质，正确应用等腰直角三角形的性质是解题关键．直接利用等腰直角三角形的性质分析得出答案；利用已知点为，代入抛物线解析式进而得出的值，即可得出的值；①根据题意得出抛物线必过（20），进而代入求出答案；②根据的对称轴上时，为直角，进而得出答案．【详解】解：与的关系是：，如图，是等腰直角三角形，且为的中点，∵抛物线对应的准蝶形必经过，，解得：或（不合题意舍去），当则，解得：，则；①由已知，抛物线对称轴为轴，∵抛物线对应的碟宽在轴上，且∴抛物线必过2,0，代入，得解得：，∴抛物线的解析式是：；②由①知，如图，的对称轴上时，为直角∴在此抛物线的对称轴上有这样的点，使得为锐角，的取值范围是或．20.如图，在中，，是角平分线，BM平分交于点，经过、两点的交于点，交AB于点，恰为的直径．（1）判断与的位置关系，并说明理由；（2）若，时，求的半径．【答案】（1）相切，见解析（2）的半径为【解析】【分析】（1）与相切，利用圆的性质和平行线的性质证明，即即可；（2）设的半径为，则利用等腰三角形的性质和解直角三角形的有关知识以及利用平行线判定三角形相似和相似三角形的性质即可求出的值．【详解】解：与相切，理由如下：如图所示：连接，则，，平分，，，，，在中，，是角平分线，，，，，与相切；在中，，是角平分线，，，，，，，在中，，，设的半径为，则，，∽，，，解得：，的半径为．【点睛】此题综合运用了等腰三角形的性质、平行线的判定及性质、切线的判定、相似三角形的判定和性质以及解直角三角形的知识．连接过切点的半径是圆中常见的辅助线之一．21.定义：任意两个数a，b，按规则c＝b2+ab﹣a+7扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”．（1）若a＝2，b＝﹣1，直接写出a，b的“如意数”c；（2）如果a＝3+m，b＝m﹣2，试说明“如意数”c为非负数．【答案】（1）4；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）本题是一道自定义运算题型，根据题中给的如意数的概念，代入即可得出结果（2）根据如意数的定义，求出代数式，分析取值范围即可.【详解】解：（1）∵a＝2，b＝﹣1∴c＝b2+ab﹣a+7＝1+（﹣2）﹣2+7＝4（2）∵a＝3+m，b＝m﹣2∴c＝b2+ab﹣a+7＝（m﹣2）2+（3+m）（m﹣2）﹣（3+m）+7＝2m2﹣4m+2＝2（m﹣1）2∵（m﹣1）2≥0∴“如意数”c为非负数【点睛】本题考查了因式分解，完全平方式（m﹣1）2非负性，难度不大．22.小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B、C两点的俯角分别为45°、35°．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，求热气球离地面的高度．（结果保留整数）【参考数据：sin35°＝0.57，cos35°＝0.82，tan35°＝0.70】【答案】热气球离地面的高度约为233m【解析】【分析】过点A作交CB的延长线于点D，用含有AD的式子表示出DB和DC，列出方程，解方程即可求得．【详解】解：如图：过点A作交CB的延长线于点D，由题意知：∠ABD=45°，∠ACD=35°，BC=100m．∵在Rt△ADB中，tan∠ABD=∴∵在Rt△ACD中，tan∠ACD=∴∵CD=BD+BC∴∴AD≈233答：热气球离地面的高度约为233m．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角和俯角的概念、掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，解答时，注意正确作出辅助线构造直角三角形．23.如图，已知抛物线经过，两点，顶点为.（1）求抛物线的解析式；（2）将绕点顺时针旋转后，点落在点的位置，将抛物线沿轴平移后经过点，求平移后所得图象的函数关系式；（3）设（2）中平移后，所得抛物线与轴的交点为，顶点为，若点在平移后的抛物线上，且满足的面积是面积的2倍，求点的坐标.【答案】（1）抛物线的解析式为.（2）平移后的抛物线解析式为：.（3）点的坐标为或.【解析】【详解】分析：（1）利用待定系数法，将点A，B的坐标代入解析式即可求得；（2）根据旋转的知识可得：A（1，0），B（0，2），∴OA=1，OB=2，可得旋转后C点的坐标为（3，1），当x=3时，由y=x2-3x+2得y=2，可知抛物线y=x2-3x+2过点（3，2）∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C．∴平移后的抛物线解析式为：y=x2-3x+1；（3）首先求得B1，D1的坐标，根据图形分别求得即可，要注意利用方程思想．详解:（1）已知抛物线经过,,∴，解得，∴所求抛物线的解析式为.（2）∵,，∴，，可得旋转后点的坐标为.当时，由得，可知抛物线过点.∴将原抛物线沿轴向下平移1个单位长度后过点.∴平移后的抛物线解析式为：.（3）∵点在上，可设点坐标为，将配方得，∴其对称轴为.由题得Ｂ１（0,1）．①当时，如图①，∵，∴，∴，此时，∴点的坐标为.②当时，如图②，同理可得，∴，此时，∴点的坐标为.综上，点的坐标为或.点睛：此题属于中考中的压轴题，难度较大，知识点考查的较多而且联系密切，需要学生认真审题．此题考查了二次函数与一次函数的综合知识，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．24.如图，直角内接于，点是直角斜边上的一点，过点作的垂线交于，过点作交的延长线于点，连结交于点．（1）求证：是的切线；（2）若，求的长．【答案】（1）见解析（2）8【解析】【分析】（1）连接，欲证明是的切线，只要证明即可；（2）延长交圆于点，由切割线定理求出即可解决问题．【小问1详解】证明：如图，连接，，，又，，，，，是切线；【小问2详解】解：延长交圆于点，连接是切线，∴，∵是的直径，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，，，．【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．25.如图，某校自行车棚的人字架棚顶为等腰三角形，D是AB的中点，中柱CD＝1米，∠A＝27°，求跨度AB的长(精确到0.01米).【答案】AB≈3.93m．【解析】【分析】想求得AB长，由等腰三角形的三线合一定理可知AB＝2AD，求得AD即可，而AD可以利用∠A的三角函数可以求出．【详解】∵AC＝BC，D是AB的中点，∴CD⊥AB，又∵CD＝1米，∠A＝27°，∴AD＝CD÷tan27°≈1.96，∴AB＝2AD，∴AB≈3.93m．【点睛】本题考查了三角函数，直角三角形，等腰三角形等知识，关键利用了正切函数的定义求出AD，然后就可以求出AB．26.如图，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上），运动员乙在距点6米的处发现球在自己头的正上方达到最高点，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．（2）足球第一次落地点距守门员多少米？（取）（3）运动员乙要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？（取）【答案】（1）（或）（2）足球第一次落地距守门员约13米．（3）他应再向前跑17米．【解析】【分析】（1）依题意代入x的值可得抛物线的表达式．（2）令y=0可求出x的两个值，再按实际情况筛选．（