江苏省南通市2025届高三第一次调研测试数学试题（南通一模）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页江苏省南通市2025届高三第一次调研测试数学试题（南通一模）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|−1≤x≤2}，B={x|lnx≥0}，则A∩B=(

)A.[−1,2] B.[1,2] C.(0,2] D.(0,1]2.已知向量a，b满足a+2b=(3,1)，2a−3b=(−1,2)，则A.π6 B.π4 C.π33.某正四棱锥的底面边长为2，侧棱与底面的夹角为60∘，则该正四棱锥的体积为(

)A.463 B.8234.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+1，Sn，A.1 B.2 C.4 D.95.在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以p%的增长率呈指数增长.若增长为原来的54倍经过了4天，则增长为原来的2倍需要经过的天数约为(    )(参考数据：lgA.6 B.12 C.16 D.206.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(4−x)，且f(x)在[−2,2]上单调递增.设a=f(74)，b=f(72)A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a7.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为C的左支上一点，AA.2 B.22 C.3 8.设函数f(x)=sin(ωx−π6)(ω>0)，若f(x)在(0,π2)上有且只有2个零点，且对任意实数a，f(x)A.(73,3) B.(73,3]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知z1，z2是复数，则下列说法正确的是(

)A.若z2为实数，则z是实数 B.若z2为虚数，则z是虚数

C.若z2=z1，则z110.口袋内装有大小、质地均相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球.从口袋内无放回地依次抽取2个球，记“第一次抽到红球”为事件A，“第二次抽到黄球”为事件B，则(

)A.P(A)=13 B.P(B|A)=12 C.A与B为互斥事件 D.11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，FA.C1F⊥平面DD1E

B.向量A1E，BF，B1D1不共面

C.平面CEF三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设(2x−1)5=a0+13.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线l的倾斜角为45∘，且l过点F.若l与C相交于A，B两点，则以AB为直径的圆被y轴截得的弦长为14.将1，2，3，4，5，6随机排成一行，前3个数字构成三位数a，后三个数字构成三位数b.记m=|a−b|，则m的最小值为

，m小于100的概率为

．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)某学校举行运动会，为了解学生参加跳绳比赛与学生的性别是否有关，对学生进行简单随机抽样，得到如下数据：女男未参加跳绳比赛7590参加跳绳比赛2510(1)能否有99%的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关?(2)为了进一步了解女生的平时运动情况，利用分层抽样的方法从这100人中抽取12人进行研究.老师甲从这12人中随机选取3人，求至少有1人参加跳绳比赛的概率．附：χ2=n(ad−bcP(0.1000.0500.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.82816.(本小题12分)在△ABC中，已知tanA=43(1)求B;(2)若AD为∠BAC的平分线，△ABC的面积为14，求AD．17.(本小题12分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，A(1)证明：三棱柱ABC−A1(2)证明：A(3)设AB1⊂平面α，BC1//平面α，若直线BC118.(本小题12分)已知函数f(x)=x3+ax的图象与x轴的三个交点为A，O，B(O(1)讨论f(x)的单调性;(2)若函数g(x)=f(x)−2ln1−x1+x有三个零点，求(3)若a≠−1，点P在y=f(x)的图象上，且异于A，O，B，点Q满足PA⋅QA=0，PB⋅19.(本小题12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，且经过点A(2,22).定义第n(n∈N∗)次操作为：经过(1)求C的方程;(2)若A1为C的左顶点，经过3次操作后停止，求k的值(3)若k=−ba，A1是C在第一象限与A不重合的一点，证明：△参考答案1.B

2.B

3.A

4.C

5.B

6.D

7.C

8.D

9.BC

10.AB

11.AC

12.122

13.214.47；115.解：(1)假设学生参加跳绳比赛与学生的性别无关，

则χ2=200(75×10−90×25)2100×100×165×35=60077≈7.792>6.635，

所以有99%的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关．

(2)利用分层抽样的方法从女生这100人中抽取12人，

则未参加跳绳比赛的有9人，参加跳绳比赛的有3人．

老师甲从这12人中随机选取3人，

记“至少有1人参加跳绳比赛”为事件A，

16.解：(1)在△ABC中，tanA=43>0，所以0<A<π2，

因为0<B<π，所以−π<A−B<π2，

因为sin(A−B)=210>0，所以0<A−B<π2，

所以cos(A−B)=1−sin2(A−B)=7210．

所以tan(A−B)=sin(A−B)cos(A−B)=17，

所以tanB=tan[A−(A−B)]=tanA−tan(A−B)1+tanA⋅tan(A−B)=43−171+4317.(1)证明：在直三棱柱ABC−A1B1C1中，BB1=CC1=AA1，∠ABB1=∠BCC1=∠CAA1=90∘，

又因为AB1=BC1=CA1，

所以△ABB1≌△BCC1≌△CAA1，

所以AB=BC=CA，

所以三棱柱ABC−A1B1C1为正三棱柱．

(2)证明：取AC，A1C1的中点D，D1，连接BD，DD1，则BD⊥AC．

因为AA1/​/DD1，AA1⊥平面ABC，

所以DD1⊥平面ABC．

以{DB,DC,DD1}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．

不妨设AC=2a，AA1=b，

则A(0,−a,0)，B(3a,0,0)，C(0,a,0)，A1(0,−a,b)，C1(0,a,b)，B1(3a,0,b)，

所以BC1=(−3a,a,b)，CA1=(0,−2a,b)18.解：(1)由已知得，f(x)=0有三个根，

令x3+ax=0，得x=0或x2+a=0，

所以x2+a=0有两个不同的解，所以a<0．

令f′(x)=3x2+a>0，得x<−−3a3或x>−3a3;令f′(x)<0，得−−3a3<x<−3a3，

所以当a<0时，f(x)在(−∞,−−3a3)和(−3a3,+∞)上单调递增;

在(−−3a3,−3a3)上单调递减．

(2)令1−x1+x>0，得−1<x<1．

令g(x)=x3+ax−2ln1−x1+x，

因为g(−x)+g(x)=−x3−ax−2ln1+x1−x+x3+ax−2ln1−x1+x=0，

所以g(x)为奇函数．

因为g(0)=0，所以0是g(x)的一个零点，

要使g(x)=f(x)−2ln1−x1+x有三个零点，只需要g(x)在(0,1)有且仅有一个零点．

g′(x)=3x2+a+41−x2在(0,1)上单调递增，g′(0)=a+4．

当a+4≥0，即a≥−4时，g′(x)≥0，所以g(x)在(0,1)上单调递增，

由g(0)=0，得g(x)在(0,1)上无零点，不合题意，舍去．

当a+4<0，即a<−4时，g′(1+4a)>a+41−(1+4a)=0，

所以存在x0∈(0,1)，使得g′(x0)=0．

当0<x<x0时，g′(x)<0，所以g(x)在(0,x0)上递减;

当x019.解：(1)由条件得，a2−b2a=32，2a2+12b2=1，解得a=2，b=1，

所以椭圆C的方程为x24+y2=1．

(2)设An(xn,yn)，则直线AnBn的方程为y=k(x−xn)+yn，

与C的