河北省2025届高三上学期大数据应用调研联合测评（I）数学试题（解析版）

河北省2025届高三年级大数据应用调研联合测评（I）数学班级__________姓名__________注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集是实数集，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化简集合，再利用补集、交集的定义直接求解即得.【详解】依题意，，则，又，所以.故选：B2.设为虚数单位，复数满足，则（）A.2 B. C.4 D.【答案】A【解析】【分析】由复数的运算和模长的计算得出结果即可；【详解】因为，所以，所以，故选：A.3.已知向量，且，则（）A.2 B.-2 C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出的坐标，然后利用向量共线建立方程即可得解【详解】因为，又因为，所以，所以，故选：C.4.已知正项等比数列满足，则数列前10项和为（）A255 B.511 C.1023 D.2047【答案】C【解析】【分析】结合等比中项公式即可求得，从而可以求出等比数列的，再结合等比数列的求和公式即可得解.【详解】设等比数列的公比为，由，得又因为各项均为正数，所以所以，因此故选：C5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】运用两角和的正弦公式及两角差的余弦公式展开，再进行齐次化，求出再用两角和的正切公式求解即可.【详解】，等号两边同时除以，得到，即，故选：A.6.已知某圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，高为，若某一球的体积与该圆台体积相同，则该球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用圆台的体积公式计算出圆台的体积，然后得到球的体积，最后结合球的体积公式即可求出球的半径，从而利用球的表面积公式可求球的表面积.【详解】由已知圆台的体积为，设该球的半径为，则，，所以该球的表面积，故选：C.7.现从环保公益演讲团的6名教师中选出3名，分别到三所学校参加公益演讲活动，则甲、乙2名教师不能到学校，且丙教师不能到学校的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】结合排列组合知识，以及古典概型概率公式即可求得解【详解】6名教师选出3人分别到三所学校的方法共有种.甲、乙2名教师不能到学校，且丙教师不能到学校的：第一种情况：若丙去校，有种选法；第二种情况，若丙不去校，则校有种选法，校有种选法，校有种选法，共有种，所以一共有种.所以由古典概型可得，所求概率.故选：D.8.给定函数，用表示中的最大者，记作，若，则实数的最大值为（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题干条件，得出恒成立，作差构造函数，结合导数的知识求构造函数的最小值即可得解.【详解】由题意可得，，等价于恒成立，设恒成立，设，令，则，解得，单调递减，时，单调递增，.，则时，单调递减，时，单调递增，，解得，所以实数的最大值为1.故选：B.二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已为随机变量，且，其中，则下列命题正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】ACD【解析】【分析】由正态分布的期望公式及方差公式即可判断AB；由正态分布的对称性即可判断C；由方差的性质即可判断D．【详解】对于A，由正态分布的期望公式得，，故A正确；对于B，由正态分布的方差公式得，，故B错误；对于C，由正态分布的对称性得，，所以，故C正确；对于D，由，则，根据方差的性质知，分布更集中，所以，故D正确.故选：ACD.10.设函数为函数的极大值点，则下列结论正确的是（）A.B.若为函数的极小值点，则C.若有三个解，则的取值范围为D.当时，【答案】ABC【解析】【分析】A选项，根据三次函数的图象特征和数轴标根法得到；B选项，求导，得到导函数的两个根，确定极小值点，得到方程，求出；C选项，在B选项基础上，计算出，数形结合得到不等式，求出；D选项，根据函数单调性及，得到D错误.【详解】A选项，因为为函数的零点，且为函数的不变号零点，由数轴穿根法，及极值点定义可得，故A正确；B选项，，可得，画出的大致图象如图，为极小值点，故，解得，所以B正确；C选项，，由有三个解，则，解得，故C正确；D选项，由以上分析可得，时单调递增，因为时，，所以，所以D错误.故选：ABC.【点睛】方法点睛：由于三次函数的导函数为二次函数，故常常利用二次函数的性质来研究三次函数的性质比如三次函数零点问题，极值点情况等.11.已知曲线（如图所示）过坐标原点，且上的点Px,y满足到两个定点，的距离之积为4，则下列结论正确的是（）A.B.C.周长的最小值为8D.的面积最大值为2【答案】ABD【解析】【分析】对于A，结合曲线经过原点，代入方程求解即得；对于B，令，求出的值，结合图形即得范围；对于C，利用基本不等式可求得的最小值，同时结合图形检验此时不符合题意，排除此项；对于D，通过化简曲线方程，求得，通过换元求出其最大值，即得面积最大值.【详解】由题意，,即，对于A，因曲线过原点，将O0,0代入，解得，故A正确；对于B，在中，令，则得，解得，或，由图知，，故B正确；对于C，因，当且仅当时等号成立，此时点，由图知，此时不能构成三角形，即取不到最小值4，则周长也取不到最小值8，故C错误；对于D，由上分析可得，，即，即，整理得，，解得，设，由可得.则，故当时，有最大值1，此时，有最大值为，所以D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题主要考查对曲线与方程相关的范围、最值问题，属于难题.解题关键在于数形结合思想的运用，既要化简曲线方程，又要结合图形，关注图形经过的定点，区域范围，以及对称性等特点，常运用基本不等式或函数的最值求解范围、最值问题.三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知双曲线的左､右焦点分别是，若双曲线右支上点满足，则该双曲线的离心率为__________.【答案】##【解析】【分析】根据双曲线中，得到，代入方程得，结合以及双曲线定义，即可求得的值，从而得解.【详解】在双曲线中，，所以，即，所以，又，所以又点双曲线右支上，所以，解得，由双曲线定义可知，，所以，所以离心率.故答案为：13.若为函数图象上的一点，，则MN的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】当曲线在点处的切线与直线垂直时，MN最小，故设出点，利用导数几何意义求出斜率，利用两直线垂直斜率之积为，求出点坐标，再利用两点间的距离公式即可求解.【详解】解：设，，即曲线在点处的切线的斜率为，直线的斜率为，当曲线在点处的切线与直线垂直时，MN最小，即，即，设，令，则，即hx在0,1上单调递增，1,+故，在0,+∞恒成立，，，当且仅当，即时等号成立，在0,+∞上单调递增，又因为，，，即时，MN最小，最小值为.故答案为：.14.已知是三个集合，且满足，则满足条件的有序集合对的总数是__________.（用数字作答）【答案】1024【解析】【分析】先求出集合的子集的个数，从而根据题意可得集合的个数，进而可得有序集合对的总数.【详解】集合的子集共有个，因为，所以集合有32种情况，集合有32种情况，所以满足条件的有序集合对的总数是.故答案为：1024.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）15.设的内角的对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若，且的面积为，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由二倍角的正弦公式和弦切互化结合特殊角的三角函数值化简可得；（2）由三角形的面积公式结合余弦定理计算可得；【小问1详解】由，，又，，得【小问2详解】由已知可得，，可得.又由余弦定理可得，化简得，，联立解得，所以的周长为.16.如图，在四棱锥中，四边形为矩形，底面，是的中点，点在棱上，且.（1）证明：；（2）若二面角的余弦值为，求.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用线面垂直证明，结合，证明平面，从而得到，又等腰三角形中，得出平面，从而得证，再结合已知条件得出平面，从而得证；（2）方法一：建立空间直角坐标系，令，分别求出二面角两个半平面的法向量，利用余弦值为建立方程，解方程即可；方法二：由（1）知为二面角的平面角，且为以为直角的直角三角形，即有，建立方程即可得解.【小问1详解】证明：因为底面底面，所以.因为四边形为矩形，所以.因为，平面,平面,所以平面.因为平面，所以.在中，是的中点，则.因为，平面,平面,所以平面.因为平面，所以.又因为，平面,平面,所以平面.因为平面，所以.【小问2详解】方法一：以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，设，则，所以，由（1）知为平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，则即令，则，所以，所以，解得，即.方法二：由（1）可得平面因为平面平面，所以.所以为二面角的平面角.所以，设，则，所以，解得，即.17.已知椭圆焦点在轴上，离心率为，对称轴为坐标轴，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）若过的直线交椭圆于两点，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用椭圆的性质，离心率定义，以及点在曲线上，建立方程求得，即可得解；（2）分斜率存在与不存在两类进行直线方程的处理，将转化为两点的横坐标的比：，利用，结合韦达定理，求出的范围，从而得解.【小问1详解】依题意，可设椭圆的方程为.由得，又因为，所以，则，因为椭圆经过点，代入上述方程解得，则，所以椭圆方程为.【小问2详解】由（1）可知：，当斜率不存在时，若点与重合，与重合.此时.若点与重合，与重合，则.当直线斜率存在时，设直线，联立得消去可得，显然，则，可得，整理可得，因为，可得，令，则，解得，即，所以.综上，的取值范围为.18.已知函数.（1）求证；（2）求方程解的个数；（3）设，证明.【答案】（1）证明见解析（2）有两个解（3）证明见解析【解析】【分析】（1）作差构造函数，结合导数求出构造函数的最小值即可得解；（2）作差构造函数，将方程的解个数问题转化为了函数的零点个数问题，结合导数求出构造函数的极值点和单调区间，即可得解；（3）借助第1小问的结论，通过换元转化为，设得，等价于然后利用裂项相消法进行计算即可得证.【小问1详解】令，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以当时，单调递增，则，所以得证.【小问2详解】由得，即，令，所以函数的零点个数，即为方程解的个数，，令，即，解得，-0+单调递减单调递增因为，所以在上有唯一一个零点，又，所以在上有唯一一个零点.综上所述，方程有两个解.【小问3详解】由（1）知，，令，则，即，设，则满足，所以，即，所以所以即.【点睛】关键点点睛：第（1）、（2）小问是通过转化化归，构造函数进行处理，第（3）问的关键是借助第（1）问的结论，进行等价变形，然后进行裂项处理，结合数列的裂项相消求和即可得解.19.定义二元数，将所有的二元数按照从小到大排列后构成数列.（1）求；（2）对于给定的，是否存在，使得，成等差数列？若存在求出满足的条件；若不存在，请说明理由；（3）若，求.【答案】（1），，，（2）存在，（3），【解析】【分析】（1）根据的条件，以及所求的各项，分别取值，即可逐一求解；（2）由等差中项公式得到等式，然后分、和三类讨论，然后得出时，满足题意，从而得解；（3）利用已知条件得到等式由（2）相同的方法，得出，从而得到，结合，得出，由二次数定义知，从而得到.【小问1详解】令，得令，得，令，得，令，得，令，得，令，得【小问2详解】若成等差数列，则，即.当时，①式两边同时除以得：，此时左边为奇数，右边为偶数，不成立；当时，①式两边同时除以得：，此时左边为奇数，右边为偶