等比数列及其前n项和专题练习(含参考答案)

数学等比数列及其前n项和一、选择题1．在等比数列{an}中，a1＝eq\f(1,2)，q＝eq\f(1,2)，an＝eq\f(1,32)，则项数n为()A．3 B．4C．5 D．62．在等比数列{an}中，若a1<0，a2＝18，a4＝8，则公比q等于()A．eq\f(3,2) B．eq\f(2,3)C．－eq\f(2,3) D．eq\f(2,3)或－eq\f(2,3)3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯塔的2倍，则塔的顶层共有灯()A．1盏 B．3盏C．5盏 D．9盏4．已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝14，a3＝8，则a6＝()A．16 B．32C．64 D．1285．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝a·2n－1＋eq\f(1,6)，则实数a的值为()A．－eq\f(1,3) B．eq\f(1,3)C．－eq\f(1,2) D．eq\f(1,2)6．设等比数列{an}的公比为q>0，且q≠1，Sn为数列{an}前n项和，记Tn＝eq\f(an,Sn)，则()A．T3≤T6 B．T3<T6C．T3≥T6 D．T3>T67．已知{an}是首项为1的等比数列，若Sn是数列{an}的前n项和，且28S3＝S6，则数列{eq\f(1,an)}的前4项和为()A．eq\f(15,8)或4 B．eq\f(40,27)或4C．eq\f(40,27) D．eq\f(15,8)8．已知数列{an}是递减的等比数列，Sn是{an}的前n项和，若a2＋a5＝18，a3a4＝32，则S5的值是()A．62 B．48C．36 D．31二、填空题9．数列{an}满足：log2an＋1＝1＋log2an，若a3＝10，则a8＝_____．10．已知数列{an}是等比数列，a2＝2，a5＝eq\f(1,4)，则a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an＋2＝．11．等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝eq\f(7,4)，S6＝eq\f(63,4)，则a8＝_____．12．已知等比数列{an}中，a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是_____．三、解答题13．等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3．(1)求{an}的通项公式；(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m．14．(2018·安徽联考)已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足Sn－2an＝n－4．(1)证明：{Sn－n＋2}为等比数列．(2)求数列{Sn}的前n项和Tn．1．已知1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则eq\f(a1＋a2,b2)的值是()A．eq\f(5,2)或－eq\f(5,2) B．－eq\f(5,2)C．eq\f(5,2) D．eq\f(1,2)2．等比数列{an}共有奇数项，所有奇数项的和S奇＝255，所有偶数项的和S偶＝－126，末项是192，则首项a1等于()A．1 B．2C．3 D．43．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n＝()A．80 B．30C．26 D．164．在等比数列{an}中，a1＋an＝82，a3·an－2＝81，且前n项和Sn＝121，则此数列的项数n等于()A．4 B．5C．6 D．75．已知等比数列{an}满足条件a2＋a4＝3(a1＋a3)，a2n＝3aeq\o\al(2,n)，n∈N*，数列{bn}满足b1＝1，bn－bn－1＝2n－1(n≥2，n∈N*)．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)若数列{cn}满足eq\f(c1,a1)＋eq\f(c2,a2)＋eq\f(c3,a3)＋…＋eq\f(cn,an)＝bn，n∈N*，求{cn}的前n项和Tn．【参考答案】一、选择题1．在等比数列{an}中，a1＝eq\f(1,2)，q＝eq\f(1,2)，an＝eq\f(1,32)，则项数n为(C)A．3 B．4C．5 D．62．在等比数列{an}中，若a1<0，a2＝18，a4＝8，则公比q等于(C)A．eq\f(3,2) B．eq\f(2,3)C．－eq\f(2,3) D．eq\f(2,3)或－eq\f(2,3)[解析]由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1q＝18，,a1q3＝8))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝27，,q＝\f(2,3)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－27，,q＝－\f(2,3)，))又a1<0，因此q＝－eq\f(2,3).故选C．3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯塔的2倍，则塔的顶层共有灯(B)A．1盏 B．3盏C．5盏 D．9盏[解析]设塔的顶层共有灯x盏，则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列，由eq\f(x1－27,1－2)＝381可得x＝3．4．已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝14，a3＝8，则a6＝(C)A．16 B．32C．64 D．128[解析]由题意得，等比数列的公比为q，由S3＝14，a3＝8，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a11＋q＋q2＝14，,a3＝a1q2＝8，))，解得a1＝2，q＝2，所以a6＝a1q5＝2×25＝64，故选C．5．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝a·2n－1＋eq\f(1,6)，则实数a的值为(A)A．－eq\f(1,3) B．eq\f(1,3)C．－eq\f(1,2) D．eq\f(1,2)[解析]当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝a·2n－1－a·2n－2＝a·2n－2，当n＝1时，a1＝S1＝a＋eq\f(1,6)，又因为{an}是等比数列，所以a＋eq\f(1,6)＝eq\f(a,2)，所以a＝－eq\f(1,3)．6．设等比数列{an}的公比为q>0，且q≠1，Sn为数列{an}前n项和，记Tn＝eq\f(an,Sn)，则(D)A．T3≤T6 B．T3<T6C．T3≥T6 D．T3>T6[解析]T6－T3＝eq\f(a61－q,a11－q6)－eq\f(a31－q,a11－q3)＝eq\f(q51－q,1－q6)－eq\f(q21－q,1－q3)＝eq\f(－q21－q,1－q6)，由于q>0且q≠1，所以1－q与1－q6同号，所以T6－T3<0，∴T6<T3，故选D．7．已知{an}是首项为1的等比数列，若Sn是数列{an}的前n项和，且28S3＝S6，则数列{eq\f(1,an)}的前4项和为(C)A．eq\f(15,8)或4 B．eq\f(40,27)或4C．eq\f(40,27) D．eq\f(15,8)[解析]设数列{an}的公比为q．当q＝1时，由a1＝1，得28S3＝28×3＝84.S6＝6，两者不相等，因此不合题意．当q≠1时，由28S3＝S6及首项为1，得eq\f(281－q3,1－q)＝eq\f(1－q6,1－q)，解得q＝3.所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1．所以数列{eq\f(1,an)}的前4项和为1＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,9)＋eq\f(1,27)＝eq\f(40,27)．8．已知数列{an}是递减的等比数列，Sn是{an}的前n项和，若a2＋a5＝18，a3a4＝32，则S5的值是(A)A．62 B．48C．36 D．31[解析]由a2＋a5＝18，a3a4＝32，得a2＝16，a5＝2或a2＝2，a5＝16(不符合题意，舍去)，设数列{an}的公比为q，则a1＝32，q＝eq\f(1,2)，所以S5＝eq\f(32[1－\f(1,2)5],1－\f(1,2))＝62，选A．二、填空题9．数列{an}满足：log2an＋1＝1＋log2an，若a3＝10，则a8＝__320___．[解析]由题意知log2an＋1＝log22an，∴an＋1＝2an，∴{an}是公比为2的等比数列，又a3＝10，∴a8＝a3·25＝320．10．已知数列{an}是等比数列，a2＝2，a5＝eq\f(1,4)，则a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an＋2＝eq\f(64,7)(1－2－3n)．[解析]设数列{an}的公比为q，则q3＝eq\f(a5,a2)＝eq\f(1,8)，解得q＝eq\f(1,2)，a1＝eq\f(a2,q)＝4.易知数列{anan＋1an＋2}是首项为a1a2a3＝4×2×1＝8，公比为q3＝eq\f(1,8)的等比数列，所以a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an＋2＝eq\f(81－\f(1,8n),1－\f(1,8))＝eq\f(64,7)(1－2－3n)．11．等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝eq\f(7,4)，S6＝eq\f(63,4)，则a8＝__32___．[解析]由题意知S3＝a1＋a2＋a3＝eq\f(7,4)，a4＋a5＋a6＝S6－S3＝eq\f(63,4)－eq\f(7,4)＝14＝eq\f(7,4)·q3，∴q＝2．又a1＋2a1＋4a1＝eq\f(7,4)，∴a1＝eq\f(1,4)，∴a8＝eq\f(1,4)×27＝32．12．已知等比数列{an}中，a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是__(－∞，－1]∪[3，＋∞)___．[解析]设等比数列的公比为q，则S3＝eq\f(1,q)＋q＋1∵|eq\f(1,q)＋q|＝eq\f(1,|q|)＋|q|≥2(当且仅当|q|＝1时取等号)∴eq\f(1,q)＋q≥2或eq\f(1,q)＋q≤－2∴S3≥3或S3≤－1，∴S3的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．三、解答题13．等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3．(1)求{an}的通项公式；(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m．[分析]本题考查等比数列的通项公式、前n项和公式．(1)eq\x(\a\al(根据已知，建立,含有q的方程))→eq\x(\a\al(求得q并加,以检验))→eq\x(\a\al(代入等比数列,的通项公式))(2)利用等比数列前n项和公式与已知建立等量关系即可求解．[解析](1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1．由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)或q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1．(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝eq\f(1－－2n,3).由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6．[解后反思]等比数列基本量运算问题的常见类型及解题策略：(1)求通项．求出等比数列的两个基本量a1和q后，通项便可求出．(2)求特定项．利用通项公式或者等比数列的性质求解．(3)求公比．利用等比数列的定义和性质建立方程(组)求解．(4)求前n项和．直接将基本量代入等比数列的前n项和公式求解或利用等比数列的性质求解．[易错警示]解方程时，注意对根的检验．求解等比数列的公比时，要结合题意进行讨论、取值，避免错解．14．(2018·安徽联考)已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足Sn－2an＝n－4．(1)证明：{Sn－n＋2}为等比数列．(2)求数列{Sn}的前n项和Tn．[解析](1)证明：由题意知Sn－2(Sn－Sn－1)＝n－4(n≥2)，即Sn＝2Sn－1－n＋4，所以Sn－n＋2＝2[Sn－1－(n－1)＋2]，又易知a1＝3，所以S1－1＋2＝4，所以{Sn－n＋2}是首项为4，公比为2的等比数列．(2)由(1)知Sn－n＋2＝2n＋1，所以Sn＝2n＋1＋n－2，于是Tn＝(22＋23＋…＋2n＋1)＋(1＋2＋…＋n)－2n＝eq\f(41－2n,1－2)＋eq\f(nn＋1,2)－2n＝eq\f(2n＋3＋n2－3n－8,2)．1．已知1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则eq\f(a1＋a2,b2)的值是(C)A．eq\f(5,2)或－eq\f(5,2) B．－eq\f(5,2)C．eq\f(5,2) D．eq\f(1,2)[解析]由题意得a1＋a2＝5，beq\o\al(2,2)＝4，又b2与第一项的符号相同，所以b2＝2.所以eq\f(a1＋a2,b2)＝eq\f(5,2).故选C．[技巧点拨](1)在等差(比)数列的基本运算中要注意数列性质的运用，利用性质解题可简化运算，提高运算的速度．(2)根据等比中项的定义可得，在等比数列中，下标为奇数的项的符号相同，下标为偶数的项的符号相同，在求等比数列的项时要注意这一性质的运用，避免出现符号上的错误．2．等比数列{an}共有奇数项，所有奇数项的和S奇＝255，所有偶数项的和S偶＝－126，末项是192，则首项a1等于(C)A．1 B．2C．3 D．4[解析]∵an＝192，∴q＝eq\f(S偶,S奇－an)＝eq\f(－126,63)＝－2．又Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)＝S奇＋S偶，∴eq\f(a1－192×－2,1－－2)＝255＋(－126)，解得a1＝3，故选C．3．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n＝(B)A．80 B．30C．26 D．16[解析]由等比数列的性质知Sn、S2n－Sn、S3n－S2n成等比数列，∴(S2n－2)2＝2(14－S2n)，∴S2n＝6或－4(舍去)，又S2n－Sn、S3n－S2n、S4n－S3n成等比数列，∴82＝4(S4n－14)，∴S4n＝30.故选B．另解：(特殊化)不妨令n＝1，则a1＝S1＝2，S3＝eq\f(21－q3,1－q)＝14，∴q2＋q－6＝0，∴q＝2或－3(舍去)∴S4＝eq\f(21－q4,1－q)＝30.故选B．4．在等比数列{an}中，a1＋an＝82，a3·an－2＝81，且前n项和Sn＝121，则此数列的项数n等于(B)A．4 B．5C．6 D．7[解析]在等比数列{an}中，a3·an－2＝a1·an＝81，又a1＋an＝82，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,an＝81))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝81，,an＝1.))当a1＝1，an＝81时，Sn＝eq\f(1－81q,1－q)＝121，解得q＝3．由an＝a1qn－1得81＝3n－1，解得n＝5．同理可得当a1＝81，an＝1时，n＝5.故选B．5．已知等比数列{an}满足条件a2＋a4＝3(a1＋a3)，a2n＝3aeq\o\al(2,n)，n∈N*，数列{bn}满足b1＝1，bn－bn－1＝2n－1(n≥2，n∈N*