2024年高考数学一轮复习（新高考版） 函数的单调性与最值

§2.2函数的单调性与最值

【考试要求】I.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义2

掌握函数单调性的简单应用.

・落实主干知识

【知识梳理】

1.函数的单调性

（1）单调函数的定义

增函数减函数

一般地，设函数/（X）的定义域为区间如果Vxi，X2e/

定义当无1＜X2时，都有色但运b那么当X1＜X2时，都有面）＞呢）,那么就

就称函数大尤）在区间/上单调递增称函数/（X）在区间/上单调递减

图象

描述0^1x2~x

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

（2）单调区间的定义

如果函数y="）在区间/上单调递增或单调递减,那么就说函数y=/（x）在这一区间具有（严格

的）单调性，区间/叫做y=/（x）的单调区间.

2.函数的最值

前提设函数y=/U）的定义域为。，如果存在实数M满足

(l)Vxez),都有（l）VxG。，都有於点世；

条件

(2)3x0eD,使得"o)=M（.2）Bx0^D,使得"o）=M

结论M为八x）的最大值M为7（x）的最小值

【常用结论】

1.V%1，X2G/且X1WX2,

调递增（减）.

2.在公共定义域内，增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数.

函数＞=/"）（/（尤）＞0或加）＜0）在公共定义域内与＞=一於），尸白的单调性相反.

3.

4.复合函数的单调性：同增异减.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)因为八-3)<A2),则八x)在［—3,2］上是增函数.(X)

(2)函数/(x)在(-2,3)上单调递增，则函数的单调递增区间为(-2,3).(X)

⑶若函数式龙)在区间(1,2］和(2,3)上均为增函数，则函数1x)在区间(1,3)上为增函数.(X

(4)函数的单调递减区间是(一8,0)U(0,+°°).(X)

【教材改编题】

1.下列函数中，在区间(0,+8)上单调递减的是()

A.y—x2-1B.y—x3

C.y=2"D.>=一%+2

答案D

2.二在［3,4］上的最大值为()

A.2B.1C.1D.4

答案A

,.'y=~^+l在［3,4］上单调递减，

.•.当x=3时，y取得最大值，最大值为占+1=2.

3.函数於)是定义在［0,+8)上的减函数，则满足式2尤-l)"g)的尤的取值范围是

答案I},I)

解析：兀0的定义域是［0,+8),

；.2x—120,即

又「/(X)是定义在［0,+8)上的减函数，

则x的取值范围为管I).

-探究核心题型

题型一确定函数的单调性

命题点1函数单调性的判断

例1（多选）下列函数在（0,+8）上单调递增的是（）

A.y=eK—e~xB.y=\xz—2x\

C.y=2x+2cosxD.y=y[^+x—2

答案AC

解析・・万=^与y=—e=为R上的增函数，

・•・、=——?一，为R上的增函数，故A正确；

由y=4—2x|的图象（图略）知,B不正确;

对于选项C,y'=2—2sin%20,

.•.y=2x+2cosx在（0,+8）上单调递增，故C正确；

、=、密+九一2的定义域为（一8,—2]U[1,+°°）,故D不正确.

命题点2利用定义证明函数的单调性

例2试讨论函数兀i）=为（〃W0）在（一1,1）上的单调性.

解方法一设一1<X1<X2<1,

/尸/W"i+±），

危尸危）2=4+占）一M+9）

由于一

所以X2—Xl>0,X\一1<0,尤2—1<0,

故当。>0时，於1）一於2）>0,即加1）次M）,函数式X）在（一1,1）上单调递减;

当。<0时，危1）一加2）<0,即加1）勺3）,函数式尤）在（-1,1）上单调递增.

、、上,（ax）'（x—l）~ax（x-1）'a（x-l）—axa

万法二f'

当a>0时，/（尤）<0,函数/（x）在（一1,1）上单调递减；

当a<0时，/（尤）>0,函数式x）在（一1,1）上单调递增.

思维升华确定函数单调性的四种方法

（1）定义法；（2）导数法；（3）图象法；（4）性质法.

跟踪训练1（1）函数g（x）=»|x—1|+1的单调递减区间为（）

C.[1,+8）D.（-8,1U[l,+8）

答案B

/一

21「1画出函数图象，如图所示,

{—JT+X+I,x<l,

根据图象知，函数的单调递减区间为性，I.

（2）函数八尤）=2一工的单调递增区间是（）

A.[-1,+0°）B.（—8,-I）

C.（—8,0）D.（0,+8）

答案B

解析人x）=2一分解为y=2&和〃=-x2—2x两个函数，y=2"在R上单调递增，

u=—%2—2x=—（x+1）2+1在（一8,一1）上单调递增，在[-1,+8）上单调递减，

根据复合函数单调性得到函数八x）=2—2X在（—8,—1）上单调递增.

题型二函数单调性的应用

命题点1比较函数值的大小

例3（2023•成都模拟）已知函数/U）为R上的偶函数，对任意XI，x2e（-oo,0）,均有（为一

1』

%2）[/（即）—/（%2）]<0成立，若〃=/（ln也），/?=f（V），c=f（e^）,贝!]a,b,c的大小关系是（）

A.c<b<aB.a<c<b

C.a<b<cD.c<a<b

答案B

解析•・•对任意xi,必£（一8,0）,

均有（X1—X2）\fiXl）—fiX2）]<0成立，

,此时函数在区间（一8,0）上单调递减，

・・・危）是偶函数，

・・・当•£（0,+8）时，。%）单调递增.

又兀0=户在xe（o,+8）上单调递增，

j.1

：.i<^<y,

又0<lny［2<l,

11

：.\n42<^<y9

ii_

即a<c<b.

命题点2求函数的最值

%2—2

例4函数兀v)=-^—ln(4—x)在［1,3］上的最大值为.

7

答案3

X2—2?

解析y=x在［1,3］上单调递增,

y=ln(4—x)在［1,3］上单调递减，

・・・治)在［1,3］上单调递增，

9—27

***Ax)max=犬3)=—一—0=)

命题点3解函数不等式

例5已知函数於)=自*一log2(x+2),若加-2)>3,则。的取值范围是.

答案(0,1)

解析由本)=曰'—log2(x+2)知，

/(x)在定义域(一2,十8)上是减函数，

且人T)=3,

由於—2)>3,得凭/—2)次—1),

［a-2<—1,

［a—2>—2,

解得0<a<l.

命题点4求参数的取值范围

''是R上的增函数，则实数a的取值范围是()

ax-1,x<\

A(0,§B.(0,|C.(0,1)D.(0,1］

答案B

^^2—X］

,'1'是定义在R上的增函数，

{ax~1,x<l

2

所以Ja>0,解得

—一1,

所以实数a的取值范围为(0,|.

思维升华(1)比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解

决.

(2)求解函数不等式时，由条件脱去“尸，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域.

(3)利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))

或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.

跟踪训练2(1)(2023•兰州模拟)设函数兀0='则满足不等式;(2x—

〔log2X,x>2,

1)<2的解集是()

C.(|,2]D.(-8,I)

答案D

解析函数兀0的图象如图所示，

由图可知，函数/(x)在R上单调递增,

因为14)=2,

所以以2%—1)<2等价于月2x—1)勺(4),

故2x—1<4,即x<^.

尤―|―a—3

(2)若函数加)=L1在(a,+8)上单调递增，则实数。的取值范围为

答案［1,2)

x~\~a—3x―1~\~a—2।a一2

解析fix)—=1+=

X—1X—1

,.•/(X)在(〃，+8)上单调递增,

a—2<0,

课时精练

立基础保分练

1.下列函数在R上为增函数的是（）

A.y=fB.y=x

c.y=—亚D.

答案B

解析y=/在（一8,0]上单调递减，在（0,+8）上单调递增，故选项A错误;

y=x在R上为增函数，故选项B正确；

y=—/在[0,+8）上单调递减，故选项C错误；

y=:在（一8,0）上单调递减，在（0,+8）上单调递减，故选项D错误.

2.函数式x）=—|x—2|的单调递减区间为（）

A.（—8,2]B.[2,+8）

C.[0,2]D.[0,+8）

答案B

%—2,x22,

解析:尸卜一2尸

、一x+2,x<2,

・•・函数y=|x—21的单调递减区间是（一8,2],单调递增区间为[2,+8）,

・・・加）=一伙一2|的单调递减区间是[2,+8）.

2/+3

3.若函数应0=彳¥，则火龙）的值域为（）

A.(—8,3]B.(2,3)

C.(2,3]D.[3,+0°)

答案C

2/+3,1

斛析犬助=竹区=2+4，

•\/(x)e(2,3].

fe*-e无，x>0,

4.（2023・南通模拟）已知函数式元）=,''若（?=5°叫&=log32,c=log20.9,则有

（）

A.加）/匕）次c）

B.胆）次①次c）

C.加）次。）43

D.4c）次a）/b）

答案A

解析因为y=F是增函数，y=er是减函数，

所以犬尤）=己一er在（0,+8）上单调递增，且於）>0.

又兀0=—/在（-8,0]上单调递增，且兀t）WO,

所以黄幻在R上单调递增.

又c=log20.9<0,0<&=log32<1,tz=5001>l,

即a>b>c,所以为a）>Ab）>fic）.

Inx+2x,尤>0,

5.（多选）已知函数,/（x）=<2则下列结论正确的是（）

A.八元）在R上为增函数

B.1e）42）

C.若汽劝在（a,a+1）上单调递增，则aW-l或a20

D.当尤可一1,1]时,式尤）的值域为[1,2]

答案BC

解析易知危）在（一8,0],（0,+8）上单调递增，A错误，B正确;

若/（X）在（a,a+1）上单调递增，

则aNO或a+lWO,

即a〈一l或a20,故C正确；

当xe[—l,0]时，危）W[1,2],

当xe（0,l]时，式尤）e（—8,2],

故当天e[—1,1]时，y（x）e（—8,2],故D错误.

6.（多选）已知函数兀v）=x—，（aW0）,下列说法正确的是（）

A.当a>0时，式x）在定义域上单调递增

B.当a=—4时，加0的单调递增区间为（一8,—2）,（2,+8）

C.当a=—4时，犬尤）的值域为（一8,-4]U[4,+8）

D.当。>0时，/）的值域为R

答案BCD

解析当a>0时，fix）=x-^,

定义域为（一8,0）U（0,+°°）.

../X）在（一8,0）,（0,+8）上单调递增，故A错误；

又当尤一一8时，/（X）——8,

当X—0一时，犬尤）一+8,

•VAX）的值域为R,故D正确；

4

当。=-4时，yu）=x+：

由其图象（图略）可知，B,C正确.

7.函数火刈二%2—6|尤|+8的单调递减区间是.

答案（-8,-3],[0,3]

I%2—6尤+8,龙20,

解析由题意得函数yu）=L,,,八

L^r+ox+8,x<0,

当时，函数人工）：%2—6x+8的单调递减区间为[0,3],

当xvO时，函数1%）=/+61+8的单调递减区间为（一8,—3],

年一6x+8,x>0,

综上，函数人x）=2-IQ八的单调递减区间为（一8,-3],[0,3].

[x十6x十8,x<0

8.已知命题p：“若人尤）勺（4）对任意的xd（0,4）都成立，则兀0在（0,4）上单调递增”.能说明

命题p为假命题的一个函数是.

\~x,0<x<4,

答案y（x）=（x—1）2,xG（0,4）（答案不唯一，如心）=1只要满足题意即可）

[Lx=4,

解析由题意知，

J（x）=（x-1）2,尤e（0,4）,

则函数大X）的图象在（0,4）上先单调递减再单调递增，

当x=i时，函数值最小，且勺（4）,满足题意，

所以函数/）=0—1）2,尤G（0,4）可以说明命题。为假命题.

9.已知函数於）=x|x—4].

（1）把/（X）写成分段函数，并在直角坐标系内画出函数/（X）的大致图象；

（2）写出函数式x）的单调递减区间.

解（1次r）=小一4|

Jf—4x,尤24,

[4x—x2,x<4,

函数图象如图所示.

(2)由(1)中函数的图象可知，函数4r)的单调递减区间为(2,4).

2

10.已知函数大尤)=。一四万.

(1)求/0)的值;

(2)探究负尤)的单调性，并证明你的结论.

2

解(1求0)=a—1.

(2)«r)在R上单调递增.证明如下：

••V(x)的定义域为R,

...任取Xl,X2GR且无1<%2,

则五方)一加2)=a-----2----a+---2---=―2'•-(-2-X-'----,

2』+12*+1(1+2w)(1+2力

,.4=2工在R上单调递增且xi<X2,

0<2&<2*,

...2.一2也<o,2$+1>0,2徇+1>0.

即兀⑴勺但).

.•JU)在R上单调递增.

立综合提升练

11.若函数式x)=ln(公-2)在(1,+8)上单调递增，则实数。的取值范围为()

A.(0,+8)B.(2,+8)

C.(0⑵D.[2,+8)

答案D

解析在函数加)=ln(czx-2)中，令"="一2,函数y=lna在(0,+8)上单调递增，

而函数7(x)=ln3x—2)在(1,+8)上单调递增，则函数〃="一2在(1,+8)上单调递增，且

fa>0,

Vx>l,ax—2>Q,因此《解得a'2,

[a-2^0,

所以实数。的取值范围为[2,+8).

12.设函数穴均=记°22—V+5,则兀C)的单调递增区间为,不等式兀C—1)<5的解集

为.

答案(0,+8)(0,1)U(1,2)

解析由题意得八x)的定义域为(一8,0)U(0,+8).因为尢0=八一X),所以/(x)是偶函数.当

尤>0时，«0=/。22