四川省成都市外国语学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

成都外国语学校2023-2024学年度下期期末考试高二数学试卷注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．2．本堂考试120分钟，满分150分．3．答题前，考生务必先将自己姓名、学号填写在答题卡上，并使用2B铅笔填涂．4．考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z满足，则（）A． B． C． D．2．函数的单调增区间是（）A． B． C． D．3．关于线性回归的描述，有下列命题：①回归直线一定经过样本点的中心； ②相关系数r越大，线性相关程度越强；③决定系数越接近1拟合效果越好； ④随机误差平方和越小，拟合效果越好．其中正确的命题个数为（）A．1 B．2 C．3 D．44．设，，，则有（）A． B． C． D．5．在空间直角坐标系中，，，，，三角形ABC重心为G，则点P到直线AG的距离为（）A． B． C． D．6．已知点，抛物线上有一点，则的最小值是（）A．10 B．8 C．5 D．47．有5名大学生到成都市的三所学校去应聘，若每名大学生至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（）A．390 B．150 C．90 D．4208．双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，右支上一点P满足，直线l平分，过点，作直线l的垂线，垂足分别为A，B．设O为坐标原点，则的面积为（）A． B． C． D．10二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分．9．若“，”为假命题，则实数a的取值可以为（）A．8 B．7 C．6 D．510．我国5G技术研发试验在2016~2018年进行，分为5G关键技术试验、5G技术方案验证和5G系统验证三个阶段．2020年初以来，5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升．某手机商城统计了2022年5个月5G手机的实际销量，如下表所示：月份2022年1月2022年2月2022年3月2022年4月2022年5月月份编号x12345销量y（部）5096a185227若y与x线性相关，且求得回归直线方程为，则下列说法正确的是（）A． B．y与x的相关系数为负数C．y与x正相关 D．2022年7月该手机商城的5G手机销量约为365部11．已知定义在R上的函数满足为偶函数，为奇函数，当时，，则下列说法正确的是（）A． B．C．函数为R上的偶函数 D．函数为周期函数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的取值范围为__________．13．若，则的值为__________．14．若数列满足，（，d为常数），则称数列为调和数列．已知数列为调和数列，且，则的最大值为__________．四、解答题：共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量，，，．（1）求函数的最小值；（2）若，，，求的面积．16．（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，，，平面PAB，，E、F分别是棱PB、PC的中点．（1）证明：平面ACE；（2）求平面ACE与平面PAD的夹角的正弦值．17．（本小题满分15分）某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了50名男生和50名女生，通过调查得到如下数据：50名女生中有10人课间经常进行体育活动，50名男生中有20人课间经常进行体育活动．（1）请补全列联表，试根据小概率值的独立性检验，判断性别与课间经常进行体育活动是否有关联；性别体育活动合计课间不经常进行体育活动课间经常进行体育活动男女合计（2）以样本的频率作为概率的值，在全校的男生中任取4人，记其中课间经常进行体育活动的人数为X﹐求X的分布列、数学期望和方差．附表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828附：，其中．18．（本小题满分17分）已知椭圆的左、右焦点别为，，离心率为，过点的动直线l交E于A，B两点，点A在x轴上方，且l不与x轴垂直，的周长为，直线与E交于另一点C，直线与E交于另一点D，点P为椭圆E的下顶点，如图．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点．19．（本小题满分17分）定义运算：，已知函数，．（1）若函数的最大值为0，求实数a的值；（2）若函数存在两个极值点，，证明：；（3）证明：．成都外国语学校2023-2024学年度下期期末考试高二数学试卷参考答案：1．A【分析】利用复数的运算性质求出共辄复数，再求模即可．【详解】因为，所以，所以，，故C正确．故选：A．2．D【分析】对函数求导，根据导函数的正负，确定函数的单调递增递减区间即得．【详解】由求导得，，则当时，，即函数在上单调递增；当时，，即函数在上单调递减，故函数的单调递增区间为．故选：D．3．C【分析】根据回归直线方程的性质，相关系数、决定系数及随机误差平方和的意义判断各项的正误即可．【详解】对于①，回归直线一定经过样本点的中心，故①正确；对于②，相关系数r的绝对值越接近于1，线性相关性越强，故②错误；对于③，决定系数R越接近1拟合效果越好，故③正确；对于④，随机误差平方和越小，拟合效果越好，故④正确．故选：C．4．C【分析】利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质判断即可．【详解】，，，因为在上单调递增，所以，故．故选：C．5．B【详解】在空间直角坐标系中，，，，，三角形ABC重心为G，所以，，，所以在上的投影为：，所以点P到直线AG的距离为：．故选：B．6．B【分析】结合坐标运算和焦半径公式，转化，再利用数形结合求最值．【详解】已知抛物线上有一点，则，即．又，故在抛物线的外部，则，因为抛物线的焦点为，准线方程为，则，故．由于，当A，P，F三点共线（P在A，F之间）时，取到最小值，则的最小值为．故选：B．7．A【分析】根据录用的人数，结合组合和排列的定义分类讨论进行求解即可．【详解】若5人中有且仅有3人被录用，满足条件的录用情况有种，若5人中有且仅有4人被录用，满足条件的录用情况有种，若5人都被录用，满足条件的录用情况有种，由分类加法计数原理可得符合要求的不同的录用情况种数是390．故选：A．8．D【分析】根据给定条件，求出，结合几何图形及双曲线定义可得的面积得解．【详解】由双曲线的离心率为，得，解得，令直线交的延长线交于Q，直线交于N，则，，由PA平分，且，得，则，，，显然A，B分别为线段，的中点，而O是的中点，于是，，，即，，所以的面积．故选：D．【点睛】关键点点睛：本题求出面积的关键是作出点Q，借助几何图形的特征，结合双曲线定义求得．9．ABC【分析】根据条件，将问题转化成即在恒成立，令，利用其单调性，求出的最大值，即可求解．【详解】因为“，”为假命题，所以，恒成立，即在恒成立，所以且．令，易知在上是增函数，所以，所以．故选：ABC．10．AC【分析】对A，根据样本中心在回归直线上即可求解；对B，从表格数据看，y随x的增大而增大，即可判断；对C，因为y与x正相关，所以y与x的相关系数为正数，故可判断；对D，将月份编号代入到回归直线即可求解判断．【详解】对A，，，因为点在回归直线上，所以，解得，所以选项A正确；对C，从表格数据看，y随x的增大而增大，所以y与x正相关，所以选项C正确；对B，因为y与x正相关，所以y与x的相关系数为正数，所以选项B错误；对D，2022年7月对应的月份编号，当时，，所以2022年7月该手机商城的5G手机销量约为320部，所以选项D错误．故选：AC．11．AD【分析】首先利用函数的奇偶性得到函数的对称轴和对称中心，结合关系式的变换得到函数周期判断B，利用特殊值代入判断A，根据导函数判断函数单调性结合关系式和偶函数定义判断C，根据函数的关系式和单调性判断D．【详解】因为为偶函数，，故函数图象关于直线对称，为奇函数，，函数图象关于对称，对于D，，，故2是函数的周期，函数为周期函数，故D正确；对于A，，令，，故，又，故A正确；对于C，，当时，，即函数在上递增，函数图象关于对称，故函数在上递减，故函数在上递增，所以，故函数不是偶函数，故C错误；对于B，，故B错误，故选：AD．【点睛】抽象函数的判断一般会从函数奇偶性、周期性和对称性的定义推得相关的函数性质；12．【详解】由，得，因为“”是“”的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集，所以（不同时取等号），解得，所以实数m的取值范围为．故答案为：．13．128【详解】令，得．14．2【分析】根据调和数列，可得为等差数列，即可根据等差数列求和公式得，进而利用不等式即可求解．【详解】数列为调和数列，故，所以为等差数列，由，所以，故，所以，故，故，由于．当且仅当时等号成立，故的最大值为2．故答案为：2．15．【详解】（1）．因为，所以，所以当，即时，有最小值．（2）因为，所以，所以，，因为，所以．由正弦定理，，所以，．又因为，所以，得，由余弦定理有：，所以．所以．16．【详解】（1）如图所示，连接EF．因为E，F分别是棱PB，PC的中点，所以，．因为，，所以，，所以四边形ADFE是平行四边形，则．因为平面ACE，平面ACE，所以平面ACE．（2）因为平面PAB，PA、平面PAB，所以，，又因为，所以AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．由题中数据可得，，，，．设平面ACE的法向量为，则令，得．因为，，，所以平面PAD．平面PAD的一个法向量为．设平面ACE与平面PAD的夹角为，则．故，即平面ACE与平面PAD的夹角的正弦值为．17．【详解】（1）依题意，列出列联表如下：课间不经常进行体育活动课间经常进行体育活动合计男302050女401050合计7030100零假设为：性别与课间经常进行体育活动相互独立，即性别与课间是否经常进行体育活动无关，因为，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为性别与课间是否经常进行体育活动有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05．（2）由题意得，经常进行体育活动者的频率为，所以在本校中随机抽取1人为经常进行体育活动者的概率为，由题意得，则，，可得，，，，，X的分布列为：X01234PX的数学期望为，X的方差为．18．【分析】（1）利用椭圆的第一定义和离心率，求解椭圆方程；（2）设点，，，，的方程为，联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理求出点的坐标，同理得到点的坐标，进而得到直线的方程，根据对称性，如果直线CD过定点，则该定点在x轴上，即可得到定点坐标；【详解】（1）由椭圆定义可知，，所以的周长为，所以，又因为椭圆离心率为，所以，所以，又，所以椭圆的方程：．（2）（ⅰ）设点，，，，则直线的方程为，则，由得，，所以，因为，所以，所以，故，又，同理，，，由A，，B三点共线，得，所以，直线CD的方程为，由对称性可知，如果直线CD过定点，则该定点在x轴上，令得，，故直线CD过定点．19．【分析】（1）求导后，分类讨论单调性，进而得到最值，求出a的值即可；（2）条件等价于有两个不等的正根，结合判别式非负，以及韦达定理求出a的范围，要证，即证，令求导确定函数的单调性，证明结论．（