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2025届四川省双流县棠湖中学高三二模数学试题(二)注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数,方程有四个不同的根,记最大的根的所有取值为集合,则“函数有两个零点”是“”的().A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.设,是双曲线的左,右焦点,是坐标原点,过点作的一条渐近线的垂线,垂足为.若,则的离心率为()A. B. C. D.3.为比较甲、乙两名高二学生的数学素养,对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验(指标值满分为5分,分值高者为优),根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图,则下面叙述正确的是()A.乙的数据分析素养优于甲B.乙的数学建模素养优于数学抽象素养C.甲的六大素养整体水平优于乙D.甲的六大素养中数据分析最差4.某几何体的三视图如图所示,图中圆的半径为1,等腰三角形的腰长为3,则该几何体表面积为()A. B. C. D.5.下列不等式正确的是()A. B.C. D.6.一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体,小圆柱底面半径为,大圆柱底面半径为,如图1放置容器时,液面以上空余部分的高为,如图2放置容器时,液面以上空余部分的高为,则()A. B. C. D.7.欧拉公式为,(虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常重要,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知,表示的复数位于复平面中的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.在三棱锥中,,,,,点到底面的距离为2,则三棱锥外接球的表面积为()A. B. C. D.9.为了得到函数的图象,只需把函数的图象上所有的点()A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度10.将函数向左平移个单位,得到的图象,则满足()A.图象关于点对称,在区间上为增函数B.函数最大值为2,图象关于点对称C.图象关于直线对称,在上的最小值为1D.最小正周期为,在有两个根11.为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系,统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同),用回归直线近似地刻画其相关关系,根据图形,以下结论最有可能成立的是()A.线性相关关系较强,b的值为1.25B.线性相关关系较强,b的值为0.83C.线性相关关系较强,b的值为-0.87D.线性相关关系太弱,无研究价值12.已知,满足,且的最大值是最小值的4倍,则的值是()A.4 B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.为了抗击新型冠状病毒肺炎,某医药公司研究出一种消毒剂,据实验表明,该药物释放量与时间的函数关系为(如图所示),实验表明,当药物释放量对人体无害.(1)______;(2)为了不使人身体受到药物伤害,若使用该消毒剂对房间进行消毒,则在消毒后至少经过______分钟人方可进入房间.14.已知函数,若,则的取值范围是__15.定义,已知,,若恰好有3个零点,则实数的取值范围是________.16.已知是等比数列,且,,则__________,的最大值为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)定义:若数列满足所有的项均由构成且其中有个,有个,则称为“﹣数列”.(1)为“﹣数列”中的任意三项,则使得的取法有多少种?(2)为“﹣数列”中的任意三项,则存在多少正整数对使得且的概率为.18.(12分)《山东省高考改革试点方案》规定:从2017年秋季高中入学的新生开始,不分文理科;2020年开始,高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级.参照正态分布原则,确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、.选考科目成绩计入考生总成绩时,将至等级内的考生原始成绩,依照等比例转换法则,分别转换到、、、、、、、八个分数区间,得到考生的等级成绩.某校高一年级共2000人,为给高一学生合理选科提供依据,对六个选考科目进行测试,其中物理考试原始成绩基本服从正态分布.(1)求物理原始成绩在区间的人数;(2)按高考改革方案,若从全省考生中随机抽取3人,记表示这3人中等级成绩在区间的人数,求的分布列和数学期望.(附:若随机变量,则,,)19.(12分)某地在每周六的晚上8点到10点半举行灯光展,灯光展涉及到10000盏灯,每盏灯在某一时刻亮灯的概率均为,并且是否亮灯彼此相互独立.现统计了其中100盏灯在一场灯光展中亮灯的时长(单位:),得到下面的频数表:亮灯时长/频数1020402010以样本中100盏灯的平均亮灯时长作为一盏灯的亮灯时长.(1)试估计的值;(2)设表示这10000盏灯在某一时刻亮灯的数目.①求的数学期望和方差;②若随机变量满足,则认为.假设当时,灯光展处于最佳灯光亮度.试由此估计,在一场灯光展中,处于最佳灯光亮度的时长(结果保留为整数).附:①某盏灯在某一时刻亮灯的概率等于亮灯时长与灯光展总时长的商;②若,则,,.20.(12分)在直角坐标系中,点的坐标为,直线的参数方程为(为参数,为常数,且).以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位,建立极坐标系,圆的极坐标方程为.设点在圆外.(1)求的取值范围.(2)设直线与圆相交于两点,若,求的值.21.(12分)已知f(x)=|x+3|-|x-2|(1)求函数f(x)的最大值m;(2)正数a,b,c满足a+2b+3c=m,求证:22.(10分)已知函数,(其中,).(1)求函数的最小值.(2)若,求证:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】
作出函数的图象,得到,把函数有零点转化为与在(2,4]上有交点,利用导数求出切线斜率,即可求得的取值范围,再根据充分、必要条件的定义即可判断.【详解】作出函数的图象如图,由图可知,,函数有2个零点,即有两个不同的根,也就是与在上有2个交点,则的最小值为;设过原点的直线与的切点为,斜率为,则切线方程为,把代入,可得,即,∴切线斜率为,∴k的取值范围是,∴函数有两个零点”是“”的充分不必要条件,故选A.本题主要考查了函数零点的判定,考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法,训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,试题有一定的综合性,属于中档题.2.B【解析】
设过点作的垂线,其方程为,联立方程,求得,,即,由,列出相应方程,求出离心率.【详解】解:不妨设过点作的垂线,其方程为,由解得,,即,由,所以有,化简得,所以离心率.故选:B.本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识,考查运算求解、推理论证能力,属于中档题.3.C【解析】
根据题目所给图像,填写好表格,由表格数据选出正确选项.【详解】根据雷达图得到如下数据:数学抽象逻辑推理数学建模直观想象数学运算数据分析甲454545乙343354由数据可知选C.本题考查统计问题,考查数据处理能力和应用意识.4.C【解析】
几何体是由一个圆锥和半球组成,其中半球的半径为1,圆锥的母线长为3,底面半径为1,计算得到答案.【详解】几何体是由一个圆锥和半球组成,其中半球的半径为1,圆锥的母线长为3,底面半径为1,故几何体的表面积为.故选:.本题考查了根据三视图求表面积,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.5.D【解析】
根据,利用排除法,即可求解.【详解】由,可排除A、B、C选项,又由,所以.故选D.本题主要考查了三角函数的图象与性质,以及对数的比较大小问题,其中解答熟记三角函数与对数函数的性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.6.B【解析】
根据空余部分体积相等列出等式即可求解.【详解】在图1中,液面以上空余部分的体积为;在图2中,液面以上空余部分的体积为.因为,所以.故选:B本题考查圆柱的体积,属于基础题.7.A【解析】
计算,得到答案.【详解】根据题意,故,表示的复数在第一象限.故选:.本题考查了复数的计算,意在考查学生的计算能力和理解能力.8.C【解析】
首先根据垂直关系可确定,由此可知为三棱锥外接球的球心,在中,可以算出的一个表达式,在中,可以计算出的一个表达式,根据长度关系可构造等式求得半径,进而求出球的表面积.【详解】取中点,由,可知:,为三棱锥外接球球心,过作平面,交平面于,连接交于,连接,,,,,,为的中点由球的性质可知:平面,,且.设,,,,在中,,即,解得:,三棱锥的外接球的半径为:,三棱锥外接球的表面积为.故选:.本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题,求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置.9.D【解析】
通过变形,通过“左加右减”即可得到答案.【详解】根据题意,故只需把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度可得到函数的图象,故答案为D.本题主要考查三角函数的平移变换,难度不大.10.C【解析】
由辅助角公式化简三角函数式,结合三角函数图象平移变换即可求得的解析式,结合正弦函数的图象与性质即可判断各选项.【详解】函数,则,将向左平移个单位,可得,由正弦函数的性质可知,的对称中心满足,解得,所以A、B选项中的对称中心错误;对于C,的对称轴满足,解得,所以图象关于直线对称;当时,,由正弦函数性质可知,所以在上的最小值为1,所以C正确;对于D,最小正周期为,当,,由正弦函数的图象与性质可知,时仅有一个解为,所以D错误;综上可知,正确的为C,故选:C.本题考查了三角函数式的化简,三角函数图象平移变换,正弦函数图象与性质的综合应用,属于中档题.11.B【解析】
根据散点图呈现的特点可以看出,二者具有相关关系,且斜率小于1.【详解】散点图里变量的对应点分布在一条直线附近,且比较密集,故可判断语文成绩和英语成绩之间具有较强的线性相关关系,且直线斜率小于1,故选B.本题主要考查散点图的理解,侧重考查读图识图能力和逻辑推理的核心素养.12.D【解析】试题分析:先画出可行域如图:由,得,由,得,当直线过点时,目标函数取得最大值,最大值为3;当直线过点时,目标函数取得最小值,最小值为3a;由条件得,所以,故选D.考点:线性规划.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.240【解析】
(1)由时,,即可得出的值;(2)解不等式组,即可得出答案.【详解】(1)由图可知,当时,,即(2)由题意可得,解得则为了不使人身体受到药物伤害,若使用该消毒剂对房间进行消毒,则在消毒后至少经过分钟人方可进入房间.故答案为:(1)2;(2)40本题主要考查了分段函数的应用,属于中档题.14.【解析】
根据分段函数的性质,即可求出的取值范围.【详解】当时,,,当时,,所以,故的取值范围是.故答案为:.本题考查分段函数的性质,已知分段函数解析式求参数范围,还涉及对数和指数的运算,属于基础题.15.【解析】
根据题意,分类讨论求解,当时,根据指数函数的图象和性质无零点,不合题意;当时,令,得,令,得或,再分当,两种情况讨论求解.【详解】由题意得:当时,在轴上方,且为增函数,无零点,至多有两个零点,不合题意;当时,令,得,令,得或,如图所示:当时,即时,要有3个零点,则,解得;当时,即时,要有3个零点,则,令,,所以在是减函数,又,要使,则须,所以.综上:实数的取值范围是.故答案为:本题主要考查二次函数,指数函数的图象和分段函数的零点问题,还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力,利用导数判断函数单调性,属于中档题.16.5【解析】,即的最大值为三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)16;(2)115.【解析】
(1)易得使得的情况只有“”,“”两种,再根据组合的方法求解两种情况分别的情况数再求和即可.(2)易得“”共有种,“”共有种.再根据古典概型的方法可知,利用组合数的计算公式可得,当时根据题意有,共个;当时求得,再根据换元根据整除的方法求解满足的正整数对即可.【详解】解:(1)三个数乘积为有两种情况:“”,“”,其中“”共有:种,“”共有:种,利用分类计数原理得:为“﹣数列”中的任意三项,则使得的取法有:种.(2)与(1)同理,“”共有种,“”共有种,而在“﹣数列”中任取三项共有种,根据古典概型有:,再根据组合数的计算公式能得到:,时,应满足,,共个,时,应满足,视为常数,可解得,,根据可知,,,,根据可知,,(否则),下设,则由于为正整数知必为正整数,,,化简上式关系式可以知道:,均为偶数,设,则,由于中必存在偶数,只需中存在数为的倍数即可,,.检验:符合题意,共有个,综上所述:共有个数对符合题意.本题主要考查了排列组合的基本方法,同时也考查了组合数的运算以及整数的分析方法等,需要根据题意18.(Ⅰ)1636人;(Ⅱ)见解析.【解析】
(Ⅰ)根据正态曲线的对称性,可将区间分为和两种情况,然后根据特殊区间上的概率求出成绩在区间内的概率,进而可求出相应的人数;(Ⅱ)由题意得成绩在区间[61,80]的概率为,且,由此可得的分布列和数学期望.【详解】(Ⅰ)因为物理原始成绩,所以.所以物理原始成绩在(47,86)的人数为(人).(Ⅱ)由题意得,随机抽取1人,其成绩在区间[61,80]内的概率为.所以随机抽取三人,则的所有可能取值为0,1,2,3,且,所以,,,.所以的分布列为0123所以数学期望.(1)解答第一问的关键是利用正态分布的三个特殊区间表示所求概率的区间,再根据特殊区间上的概率求解,解题时注意结合正态曲线的对称性.(2)解答第二问的关键是判断出随机变量服从二项分布,然后可得分布列及其数学期望.当被抽取的总体的容量较大时,抽样可认为是等可能的,进而可得随机变量服从二项分布.19.(1)(2)①,,②72【解析】
(1)将每组数据的组中值乘以对应的频率,然后再将结果相加即可得到亮灯时长的平均数,将此平均数除以(个小时),即可得到的估计值;(2)①利用二项分布的均值与方差的计算公式进行求解;②先根据条件计算出的取值范围,然后根据并结合正态分布概率的对称性,求解出在满足取值范围下对应的概率.【详解】(1)平均时间为(分钟)∴(2)①∵,∴,②∵,,∴∵,,∴∴即最佳时间长度为72分钟.本题考查根据频数分布表求解平均数、几何概型(长度模型)、二项分布的均值与方差、正态分布的概率计算,属于综合性问题,难度一般.(1)如果,则;(2)计算正态分布中的概率,一定要活用正态分布图象的对称性对应概率的对称性
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