第一章直线与圆全章总结提升课件高二上学期数学北师大版选择性

全章总结提升第一章直线与圆北师大版

数学

选择性必修第一册知识网络·整合构建专题突破·素养提升目录索引

易错易混·衔接高考知识网络·整合构建专题突破·素养提升专题一求直线或圆的方程通过直线与圆的方程的求解可提升学生数学运算的学科素养,从而借助运算方法解决实际问题;通过运算促进数学思维发展,形成程序化思考问题的品质.【例1】

(1)[2024浙江杭州月考]已知直线l:x-y-2=0和圆C:(x-2)2+(y-3)2=2,则与直线l垂直且与圆C相切的直线方程为

.

x+y-3=0或x+y-7=0★(2)圆C的圆心在直线l1:x-y-1=0上,与直线l2:4x+3y+14=0相切,且截直线l3:3x+4y+10=0所得的弦长为6,求圆C的方程.规律方法

确定圆的方程的主要方法一是定义法,二是待定系数法.定义法主要是利用直线和圆的几何性质,确定圆心坐标和半径,从而得出圆的标准方程;待定系数法则是设出圆的方程(多为一般式),再根据题目条件列方程(组)求出待定的系数.变式训练1[2024黑龙江哈尔滨期末]已知圆C经过A(0,2),B(1,1)且圆心在直线l1:2x+y-4=0上.(1)圆C的方程是

;

(2)若从点M(3,5)发出的光线经过直线l2:x+y-1=0反射后恰好平分圆C的圆周,则反射光线所在直线的方程是

.

(x-1)2+(y-2)2=14x-5y+6=0(2)

如图,设点M关于直线l2的对称点为N(x,y).专题二与圆有关的最值问题通过建立形与数的联系,利用几何图形描述问题,借助几何直观理解问题,来解决与圆有关的斜率、截距、距离等最值问题.【例2】

(1)已知点O(0,0),A(0,2),点M是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,则△OAM面积的最小值为(

)A.1 B.2 C.3 D.4A解析

根据题意,得圆(x-3)2+(y+1)2=4的圆心为(3,-1),半径r=2.由O(0,0),A(0,2),知OA所在的直线是y轴,当点M到直线OA的距离最小时,△OAM的面积最小.因为点M到直线OA的距离的最小值d=3-2=1,则△OAM面积的最小值S=×OA×d=1.★(2)已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.求:①的最大值和最小值;②y-x的最大值和最小值;③x2+y2的最大值和最小值.规律方法

解决与圆有关的最值问题的常用方法(1)形如

的最值问题,可转化为定点(a,b)与圆上的动点(x,y)的斜率的最值问题;(2)形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;(3)形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离平方的最值问题.变式训练2(1)在平面直角坐标系中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为

.

(x-1)2+y2=2(2)已知点P(x,y)在圆x2+y2-6x-6y+14=0上.①求

的最大值和最小值;②求x2+y2+2x+3的最大值与最小值.②x2+y2+2x+3=(x+1)2+y2+2表示点P与A(-1,0)的距离的平方加上2.连接AC,交圆C于B,延长AC,交圆C于D(图略),AD为最长,且为|AC|+r=5+2=7,则x2+y2+2x+3的最大值为72+2=51,x2+y2+2x+3的最小值为32+2=11.专题三直线与圆的位置关系的相关问题直线与圆位置关系的判断方法有两种,其一为几何法,按圆心到直线的距离为d与圆的半径长为r的大小关系来划分三种位置关系;其二是代数法,联立直线方程与圆的方程组成方程组,消元后得到一个一元二次方程,根据判别式Δ的符号来划分.这两种方法以几何法为主.研究直线与圆的位置关系,集中体现了直观想象和数学运算的核心素养.【例3】

已知直线l:2mx-y-8m-3=0和圆C:x2+y2-6x+12y+20=0.(1)当m∈R时,证明直线l与圆C总相交;(2)m取何值时,直线l被圆C截得的弦长最短?并求此弦长.(1)证明

直线的方程可化为y+3=2m(x-4),由直线方程的点斜式可知,直线恒过点P(4,-3).由于42+(-3)2-6×4+12×(-3)+20=-15<0,所以点P在圆内,故当m∈R时直线l与圆C总相交.解

圆的方程可化为(x-3)2+(y+6)2=25.设l与C交于A,B两点.规律方法

直线与圆问题的类型(1)求切线方程:可以利用待定系数法结合图形或代数法求得.(2)弦长问题:常用几何法(垂径定理),也可用代数法结合弦长公式求解.变式训练3已知圆C关于直线x+y+2=0对称,且过点P(-2,2)和原点O.(1)求圆C的方程;(2)相互垂直的两条直线l1,l2都过点A(-1,0),若l1,l2被圆C所截得的弦长相等,求此时直线l1的方程.解

(1)由题意知,直线x+y+2=0过圆C的圆心,设圆心C(a,-a-2).由题意,得(a+2)2+(-a-2-2)2=a2+(-a-2)2,解得a=-2.所以圆心C(-2,0),半径r=2,所以圆C的方程为(x+2)2+y2=4.专题四直线与圆的方程的实际应用在直线与圆的方程的实际应用中会用到数学建模.数学建模的主要步骤为:发现和提出问题,建立和求解模型,检验和完善模型,分析和解决问题.【例4】

街头有一片绿地,绿地的四条边界(单位:m)如图所示,其中ABC为圆弧,求此绿地的面积(精确到0.1m2).解

设圆弧ABC所对的圆心为点E,建立如图所示平面直角坐标系,各点坐标分别为A(0,7),B(3,8),C(7,6),所以过A,B,C三点的圆弧的方程为(x-3)2+(y-3)2=25(0≤x≤7,y>0),连接EA,EC,AC,则|EA|=|EC|=5.规律方法

1.解决直线与圆的实际应用题的步骤

2.建立适当的直角坐标系应遵循的三个原则(1)若曲线是轴对称图形,则可选它的对称轴为坐标轴.(2)常选特殊点作为直角坐标系的原点.(3)尽量使已知点位于坐标轴上.变式训练4某高速公路隧道内设双行线公路,其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成(如图所示).已知隧道总宽度AD为6m,行车道总宽度BC为2m,侧墙面高EA,FD为2m,弧顶高MN为5m.(1)建立适当的直角坐标系,求圆弧所在的圆的方程;(2)为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m.请计算车辆通过隧道的限制高度是多少.解

(1)以EF所在直线为x轴,以MN所在直线为y轴,以1

m为单位长度建立平面直角坐标系xOy,则E(-3,0),F(3,0),M(0,3),由于所求圆的圆心在y轴上,所以设圆的方程为(x-0)2+(y-b)2=r2,因为F,M在圆上,所以易错易混·衔接高考1.[2024福建福州期末]已知直线l:x+y+m=0和圆C:x2+y2+4y=0相交于M,N两点,当△CMN的面积最大时,m=(

)A.0或2 B.-4或4 C.0或4 D.0或-4C1234562.(多选题)[2024辽宁沈阳期末]已知直线l:mx+y-1-2m=0与圆O:x2+y2=r2有两个不同的公共点A,B,则下列说法正确的是(

)A.直线l过定点(2,1)ABD1234561234563.(多选题)[2024河南开封月考]已知圆M:(x-1)2+(y+2)2=2,直线l:x-3y+3=0,P是直线l上的动点,过点P作圆M的切线PA,切点为A,则切线长|PA|取最小值时,下列结论正确的是(

)C.PA的方程可以是y=-x+1D.PA的方程可以是y=7x+1ACD1234561234561234564.[2023新高考Ⅰ卷]过(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sinα=(

)B1234561234565.[2023上海卷]已知圆x2+y2-4x-m=0的面积为π,则m=

.

-3

解析

圆x2