《微积分下》全册配套完整课件

《微积分下》全册配套完整课件2第六章定积分及其应用§6.1定积分的概念§6.2定积分的性质§6.3微积分学基本定理§6.4定积分的计算方法§6.5广义积分§6.6定积分的应用3第六章定积分及其应用4.如何计算定积分和应用定积分?

前一章讨论了已知一个函数的导数,如何求原来的函数,这样一个积分学的基本问题——不定积分.这一章将讨论积分学的另一个基本问题——定积分.1.什么是定积分?2.定积分有哪些性质?3.定积分与不定积分有何关系?本章的主要问题有:4一.引例(曲边梯形的面积)定义1.

在直角坐标系中,由一条连续曲线y=ƒ(x)和三条直线x=a、x=b和y=0(x轴)所围成的图形,

称为曲边梯形,

如右图AabBA(与直边梯形AabB的区别).oxyy=0y=ƒ(x)x=ax=babBA§6.1定积分的概念

当y=ƒ(x)0时,曲边梯形AabB的面积怎么求呢?中学里会求直边多边形(特别是矩形)的面积,下面利用矩形的面积来求曲边梯形AabB的面积.问题:5abxyoabxyo思路：用已知代未知，利用极限由近似到精确。

一般地，小矩形越多，小矩形面积和越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）用矩形面积近似曲边梯形面积：6观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．7观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．8观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．9观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．10观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．11观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．12观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．13观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．14从而可用下述方法和步骤来求曲边梯形的面积:I.化整为零(或分割)——任意划分(如图)用分点oxyy=ƒ(x)

将区间[a,b]任意地划分为n个小区间记第i个小区间的长度为过每个分点作垂直于x轴的直线,将曲边梯形分成n个窄曲边梯形(如图).若用S表示曲边梯形的面积,表示第i个窄曲边梯形

(阴影部分)的面积,则有II.近似代替(或以直代曲)——任意取点在每个小区间上任以小区间的长度为底

取一点以为高、15

为了从近似过度到精确,将所有的窄矩形的面积相加,就得曲边梯形的面积的近似值,即III.求和、取极限作窄矩形(如右图).则该窄矩形的面积近似等于,即记各小区间的最大长度为当分点数n无限增大且各小区间的最大长度对上述和式取极限就得曲边梯形的面积,即162、求变速直线运动的路程（1）分割：（2）求和：（3）取极限：路程的精确值173.收益问题

设某商场的价格p是销售量x的函数p=p(x),要计算：当销售量从a变动到b时收益R为多少？

上述三个实际问题解决的方法是一致的，由此，引出定积分的定义18定义二、定积分的定义19被积函数被积表达式积分变量记为积分上限积分下限积分和20注3.极限过程,既保证了分点个数无限增多(),又保证了区间分割无限细密(即所有小区间的长度都趋于0).注4.

ƒ(x)在区间[a,b]上可积的充要条件是极限且此极限值与[a,b]的分法和的取法无关.因此,对于可积函数ƒ(x),若要用定义来计算则可选择较为方便的区间分法和的取法,使得计算简便.分变量的字母无关,即注2.定积分与被积函数ƒ(x)和积分区间[a,b]有关,而与积注1.若ƒ(x)在区间[a,b]上可积,则定积分C常数,21定理1.

若ƒ(x)在区间[a,b]上无界,则ƒ(x)在[a,b]上必不可积.下面给出函数可积的几个定理:

其等价命题为“可积函数必有界”——函数可积的必要条件.以下三个定理是函数可积的充分条件.定理2.若ƒ(x)在区间[a,b]上连续,则ƒ(x)在[a,b]上可积.定理3.若ƒ(x)在区间[a,b]上有界且只有有限个间断点,则

ƒ(x)在[a,b]上可积.定理4.若ƒ(x)在区间[a,b]上单调有界,则ƒ(x)在[a,b]上可积.三.函数可积的条件22注5.前面的讨论中已默认区间[a,b]中的a<b,那么当a=b和a>b呢?为方便作如下规定:从而可消除对定积分上下限的大小限制.①.若a=b,则②.若a>b,则且a<b时,由定义1知,当连续函数四.定积分的几何意义表示一个在x轴上方的曲边梯形的面积;定积分23当ƒ(x)在[a,b]上有正有负时,定积分形的面积与x轴下方的曲边梯形的面积之差(即面积的代数和).的值就是

x轴上方的曲边梯且a<b时,定积分表示一个在x轴下方的曲边梯形的面积的相反数.当24有了函数可积的充分条件,就可借助定义来例1利用定积分定义计算定积分②.将某些极限问题转换为一个定积分.①.计算给定的定积分的值;可将区间[0,4]特殊划分并特殊取点.解因ƒ(x)=2x+3在[0,4]上连续,故它在[a,b]上可积,从而不妨在区间[0,4]

内插入n个等分点分成n个小区间,取右端点为

1、用定积分的定义求定积分25例2

计算解2627用等分分点法所得的积分和为例3将表示成定积分在区间[0,1]上可积,28例4利用定积分的几何意义,计算曲线y=sinx、直线表示由曲线y=sinx

、直线x=0、x=2π

及x轴所围成的曲边梯形的面积,即解根据题意,所求曲边梯形的面积如右图.x=0、x=2π及x轴所围成的曲边梯形的面积.利用定积分的几何意义知292、用定积分的几何意义计算定积分解法详见书本159页30§6.2定积分的的性质性质1

若ƒ(x)=1,则性质2

若ƒ(x)与g(x)在[a,b]上可积,则ƒ(x)±g(x)在[a,b]上也可积,且注1

性质2可推广到有限个,即证证

下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．31性质3.若ƒ(x)在[a,b]上可积,k为常数,则kƒ(x)在[a,b]上也可积,且证性质4(区间可加性)

若ƒ(x)在点a、

b、

c所成区间中最大的一个上可积,则ƒ(x)在其余两个区间上也可积,且32从而因而可将点c作为区间的一个分点,并记积分和,当时,分别是ƒ(x)在[a,c]与[c,b]上的对上式两边取极限,有证分两种情形讨论Ⅰ.若a<c<b,则因ƒ(x)在[a,b]上可积知,其积分和的极限存在且与[a,b]的分法和的取法无关.33Ⅱ.若点c不在内.不妨设a<b<c,其他情形可类似证明,则由Ⅰ有则性质5

（比较定理或保序性）若ƒ(x)与g(x)在[a,b]上都可积,且,均有证34解35性质6若ƒ(x)在[a,b]上连续,

但不恒为零,必有证因在[a,b]上但不恒为零,故在[a,b]上至少存在一点不妨设使得由ƒ(x)的连续性知,在的某邻域内,必有36性质7

（定积分的绝对值不等式）若ƒ(x)在[a,b]上可积,

则|ƒ(x)|在[a,b]上也可积,且有例2

确定积分的符号.证37例3求证则证证性质8

(估值定理)若ƒ(x)在[a,b]上可积,且均有38此性质的几何解释:

区间[a,b]上方以曲线y=ƒ(x)为曲边的曲边梯形的面积,介于以[a,b]为底、以被积函数ƒ(x)的最小值m及最大值M为高的两个矩形的面积之间.

解39例5解40由定积分的估值定理可知，有所以命题成立例641例7

估计积分的值.

证因ƒ(x)∈C[a,b],则ƒ(x)在[a,b]上必有,最小值m及最大值M,均有

性质9(积分中值定理)若ƒ(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上至少存在一点使得所以即从而则由连续函数的介值定理,至少存在一点ξ∈(a,b),使得42即此性质的几何解释:

区间[a,b]上方以曲线y=ƒ(x)为曲边的曲边梯形的面积,等于以区间[a,b]为底、以ƒ(ξ)为高的这个矩形的面积.称为ƒ(x)在[a,b]上的平均值.注3通常把称为ƒ(x)在[a,b]上的平均值.43所以命题成立例844所以命题成立*45五、小结１．定积分的实质：特殊和式的极限．２．定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似：以直（不变）代曲（变）取极限3．可积的充分条件与必要条件。4．定积分的性质。5．典型问题:(１)估计积分值；(２)（不计算）比较积分大小．46

由§6.1知定积分是一个复杂和式的极限,但要想通过求积分和的极限来得到定积分的值,却非常困难;下面寻求一种计算定积分的非常简便的新方法——牛顿莱布尼兹(Netwon-Laibniz)公式计算法.定义：设ƒ(x)在[a,b]上连续,区间[a,x]上方的曲边梯形的面积为ƒ(x)在区间[a,x]上的定积分§6.3微积分学基本定理一.积分上限函数为了区别积分变量与积分上限,特将积分变量记为t,

这是一个关于积分上限x的函数,并记为Φ(x),即注1

47定理5

若ƒ(x)在[a,b]上连续,则在[a,b]上可导,且证设x、x+∆x

∈[a,b],则有∆Φ(x)=Φ(x+∆x)–Φ(x)由积分中值定理得∆Φ(x)=ƒ(ξ)∆x(ξ在x与x+∆x之间),当∆x→0时,

必有ξ→x,从而而48注2

对于变上限的复合函数有以下两个推论推论1

若ƒ(x)在[a,b]上连续,

(x)在[a,b]上可导,

则(被积函数代积分上限且积分上限对x求导)证推论2

若ƒ(x)在[a,b]上连续,

在[a,b]上可导,则49例1

计算下列各题50曲线在[–a,a]上是上凹的.***例2设

(t)是正值连续函数,

x∈[–a,a](a>0).证曲线y=ƒ(x)在[–a,a]上是上凹的.51定理6(原函数存在定理)注3由定理5知积分上限的函数是被积函数的一个原函数.若ƒ(x)在[a,b]上连续,

则的一个原函数.是ƒ(x)在[a,b]上注4此定理既肯定连续函数的原函数的存在性,又揭示了定积分与原函数的关系,下面利用此定理来推导通过原函数来计算定积分的公式.52二.牛顿—莱布尼兹公式

定理7

(微积分学基本定理)

若ƒ(x)在[a,b]上连续,

而F(x)是ƒ(x)在[a,b]上的一个原函数,则于是Φ(x)=F(x)–F(a)令x=b,则上式有Φ(b)=F(b)–F(a),故证因F(x)与均为ƒ(x)的原函数,所以有Φ(x)=F(x)+CC=Φ(a)–F(a)=–F(a),53注5

上式就是牛顿—莱布尼兹公式.由牛顿—莱布尼兹公式知:要求ƒ(x)在[a,b]上的定积分只须先求出ƒ(x)在[a,b]上的一个原函数F(x),再计算F(x)在[a,b]上的改变量F(b)–F(a)即可.

它不仅给出了计算定积分的统一、简便的计算方法,而且也揭示了不定积分与定积分在计算方法上的关系.注6

牛顿—莱布尼兹公式当然也可这样记.54例3

计算下列定积分解解55解令两边从0到1积分,得则例5

设求ƒ(x).例4

求

解56例657解所求面积58

因用凑微分法计算不定积分时自始至终没有引入新变量,故用凑微分法计算定积分时,也应自始至终不改变积分限.下面举例说明.§6.4定积分的计算方法一.凑微分法(第一类换元法)而由第五章知求函数的原函数(即不定积分)的方法有凑微分法、换元法和分部积分法.因而在一定条件下,也可用这几种方法来计算定积分.由牛顿—莱布尼兹公式知:计算定积分的关键在于求出ƒ(x)在[a,b]上的一个原函数F(x);59例1

计算

下列定积分

解解

解60例2

计算

下列定积分解61例3

计算62(1)在[α,β]上单调连续且具有连续导数;(2)

(α)=a,

(β)=

b,则二.换元积分法定理8

若ƒ(x)在[a,b]上连续,

而x=

(t)又满足证设F(x)是ƒ(x)的一个原函数,——此式称为定积分的换元公式.63在应用换元公式计算定积分时,

应注意以下几个问题:(1)所选择的代换式x=

(t)必须满足定理中的两个条件;(2)换元积分的关键是换限.记住“上限对上限,下限对下限”;(3)求出求不定积分那样把

(t)还原成x的函数,而只须直接将t的上、下限代入相减即可.后,不必象64例1

计算（1）根号下为的一次式解65解例2计算

66解例3

计算

（2）根号下为的二次式67注1由几何意义知,此定积分即为圆在第Ι象限的面积.68解例4计算

69例5

求解方法一方法二70性质1设ƒ(x)在[−a,a]上连续,则证

(1)若为ƒ(x)偶函数,则有ƒ(x)=ƒ(−x)

令x=−t,则dx=−dt,且从而71(2)若为ƒ(x)奇函数,则有ƒ(x)=−ƒ(−x)

令x=−t,则dx=−dt,且从而注2利用此结论可简化奇函数及偶函数在对称区间上的定积分的计算.72例6计算解(1)被积函数为奇函数.则原式=0.(2)被积函数为偶函数,故令x=tanu,则

73例7求解74例8.设解设x=t+2,则t=x–2,dx=dt75性质2设ƒ(x)在[0,1]上连续,则76（3）证明77证因d(uv)=udv+vdu,两边积分得注3注4

用分部积分法计算定积分,因没有引入新的变量,故在计算过程中自始至终均不变限,u

、v的选择与不定积分的分部积分法相同.三.分部积分法定理9若u=u(x)及v=v(x)在[a,b]上有连续导数,则78例1计算79解例2

计算80例3

计算解法1解法281例4设在[0,1]上连续,求解8283移项整理后可得递推公式84

前面讨论的定积分不仅要求积分区间[a,b]有限,而且还要求被积函数ƒ(x)在[a,b]上有界.然而实际还经常遇到无限区间或无界函数的积分问题.这两类积分统称为广义积分.其中前者称为无穷积分,后者称为瑕积分.

对于广义积分的计算是以极限为工具来解决的,即先将广义积分转化为定积分,再对该定积分求极限.§6.5广义积分下面举例说明858687定义1

设ƒ(x)在[a,+∞)上连续,且当b>a时,若极限收敛;

存在,则称无穷积分发散.否则,就称无穷积分不再表示数值了,无穷积分没有意义.此时记号为注2类似地可定义而注1若形如的积分,统称为无穷积分.则同时收敛时,才有

收敛.一.无穷限的广义积分（即无穷积分）88例1计算广义积分

解

89例2计算广义积分9091例3计算广义积分

解

又因为极限不存在，所以原广义积分发散。92例4讨论无穷积分

解当p=1时,而当p≠

1时,

重要结论:当p>1时,收敛;发散.当p≤1时,93

若ƒ(x)在[a,b]上有无界点(即无穷间断点),则称积分

为瑕积分,并称ƒ(x)的无界点为瑕点.定义2

设ƒ(x)在(a,b]上连续,且则称瑕积分ε>0,总有极限若对于任给的收敛;

注3若瑕点为a的积分存在.收敛,则二.无界的广义积分（即瑕积分）不再表示数值了,从而没有意义.

此时的瑕积分否则,称瑕积分94(1)若瑕点为b,则定义(2)若瑕点为c(a<c<b),则定义注4

类似地可定义瑕点在积分区间的右端点b和内点的敛散性,即c(a<c<b)时,瑕积分例1计算瑕积分9596例2计算广义积分

解

97而当p≠

1时,

重要结论:当p≥1时,

发散.当p<1时,收敛;解因x=a为瑕点,而当p=1时,例3讨论瑕积分的敛散性.98下面介绍两个在数学、物理等许多领域中都有广泛应用的特殊积分—Γ函数和β函数,这两个函数也称为欧拉积分.定义4

参变量s的函数称为Γ函数.（2）在定义4中,若令则有Γ函数的另一形式:三.两个重要的广义积分1.Γ函数注（1）当S≥1时，前者是正常的定积分；当0＜S＜1时前者是收敛的无界数的广义积分，当S>0时后者不仅是收敛的无穷广义积分，也是一个(瑕点为x=0)瑕积分.

99(1)递推公式:Γ(s+1)=sΓ(s)(s>0).特别地:Γ函数的基本性质:反复用递推公式,则有Γ(n+1)=n!特别地:100例1

计算下列各式的值:例2计算下列积分此积分是概率论中常用的积分.101例3例4102定义5

参变量p、q的函数注9

当p>0且q>0时,定义5中的广义积分收敛.(证明略)注10

在定义5中,若令注11

β函数的几个常用性质:(1)对p

、q具有对称性,即β(p,q)=β(q,p).称为β函数.则有β函数的另一形式:2.β函数103(2)递推公式:通过递推公式逐步减小p或q,直到其不大于1为止.特别地:β(½,½)=π104例23.用欧拉函数表示下列积分并求值:105广义积分的敛散性可通过定义2与3的计算结果来讨论;下面给出广义积分的敛散性的定性判别法.定理10

若ƒ(x)≥0,则而由F(x)在[a,+∞)上的有界性知F(x)必有极限,即1.无穷积分敛散性判别法证必要性显然成立.下证充分性.因知,F(x)在[a,+∞)上单调增加;收敛的充要条件是在[a,+∞)上有界.四.广义积分的敛散性判别法106大收小收;小发大发.存在.由定理10有定理11(比较判别法)若函数ƒ(x)与g(x)在[a,+∞)上连续,0≤ƒ(x)≤g(x)x∈[a,+∞)则(1)当(2)当收敛时,有收敛;发散时,有发散.且有107

定积分的应用极其广泛,以下仅介绍它在几何与经济上的应用;并希望同学们通过本章的学习能熟练地的运用元素法将一个量表达成为定积分的分析方法——oxy=ƒ(x)abBAx+ΔxxHCDEF

如图:曲边梯形

AabB

的面积为定积分y微元法.(元素法)表达式

ƒ(x)dx,正好是区间[a,b]上的任意小区间[x,x+∆

x]上的窄曲边梯形而这个积分的被积DEFH

面积ΔS

的近似值,而§6.6定积分的应用一.微元法的基本思想108根据微分的定义有ƒ(x)dx

=dS.

即求曲边梯形

AabB

的面积

S的方法为:(1)在[a,b]上任取一个小区间[x,x+dx],并求出总量S

的微分dS=ƒ(x)dx

;当∆x=dx→0时,ΔS=ƒ(x)dx

+

o(dx).oxy=ƒ(x)abBAx+ΔxxHCDEFy(面积微元)(2)以微分表达式

ƒ(x)dx为被积表达式,在[a,b]上作定积分即可。(面积微元进行求和累加)109

抛开S

的具体含义，把这种思想加以抽象,就得到微元法思想的表述:

数学上将这种思想方法称之为微元法.总量A的微分dA=ƒ(x)dx,称为总量A

的积分微元.

则有dA=ƒ(x)dx且总量为可加性(即整个区间上的总量等于各子区间上相应分量和);若总量与变量

x

的变化区间[a,b]有关,且对区间具有在区间[x

,x

+d

x

]上对应分量的近似值为ƒ(x)dx

,110

这种处理问题和解决问题的方法称为微元法（或为元素法）例1求半径为R的半圆的面积解（1）在[-R，R]上任取一点x及增量Δx(2)计算自变量x由x到x+Δx时,面积s的增量Δs的近似值111

1.若平面图形

D被夹在直线

x=a与x=b之间,且其上下边界的方程分别为

y=ƒ(x)和

y=g(x)则图形的面积为则以dx为底,ƒ(x)–g(x)为高的小窄矩形面积微元oyy=ƒ(x)abx+dxxy=g(x)x

分析:

对任意的x∈[a,b],

作垂直于x轴的直线穿区域D,是从g(x)进,从ƒ(x)出;dS=[ƒ(x)–g(x)]dx

二.平面图形的面积1、直角坐标系下平面图形面积的计算112例1

计算由两条抛物线:所围成图形的面积。ox(1,1)x

x+dx1y解为了求出面积,一般先划出两条曲线所围成的图形。为了定出图形的所在范围,应先求出这两条抛物线的交点，为此,

解方程组

即这两条抛物线的交点为

(0,0)及(1,1)。从而知道这图形在直线

x=0及

x=1之间。取

x

为积分变量,且

x∈[0,1],微元为则113

2.若平面图形D被夹在直线

y=c与y=d之间，且其左右边界的方程分别为x=φ(y)及x=ψ(y),则图形的面积为ox=φ(y)cdy+dyyx=ψ(y)x则以dy为底,

φ(y)–ψ(y)为高的小窄矩形面积微元y

分析:对任意的y∈[c,d],作垂直于y轴的直线穿区域D,

是从ψ(y)进,从φ(y)出;

ds=[φ(y)–ψ(y)]dy114oy–4(2,–2)yy+dy

y=x–4

为了定出图形的所在范围,应先求出抛物线和直线的交点，为此,

例2

计算由抛物线

与直线

y=x-4所围成图形的面积。解为了求出面积,一般先划出两条曲线所围成的图形。(8,4)即这两条抛物线的交点为

(2,-2)及

(8,4)。解方程组从而知道这图形在直线

y=-2及

y=4之间。取

y

为积分变量,且

y∈[-2,4],微元为x

x=y+4则115

例3

设曲线

x轴与

y轴在第一象限所围的图形被曲线分为面积相等的两部分，试确定的值。解如图，而再由得解方程组1162、平面图形由参数方程围成的面积计算例4117解法一：由对称性，只求出第1象限部分的面积再乘以4倍即可例5118oxyabxS(x)以下只讨论两种特殊立体的体积.于[a,b]上的任意点x处，

设某立体被夹在过x轴上的点x

=a与

x

=b并垂直于x

轴的两平面之间,对应垂直于x轴的截面面积S(x)是x

的连续函数,

下面用微元法来求它的体积.三.立体的体积1.平行截面面积已知的立体的体积119在[a,b]上作定积分得oxyabx

x+dxS(x)在[a,b]上任取一个小区间[x,x+dx],dV=S(x)dx得一薄片的体积微元(近似值)为

类似地，若立体被夹在过

y

轴上的点

y=c与y=d并垂直于y

轴的两平面之间,在[c,d]上的任意点y处垂直于y

轴的截面面积S(y)是y的连续函数,则立体的体积为120

例1一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角α,计算这平面截圆柱体所得立体的体积.解建立如图所示的坐标系,oxyxy–RααRS(x)面积为S(x),则由三角形的面积公式,有设x为[–R,R]上之任意一点,过该点且垂直x轴的截面则从而底面圆的方程为121都可以分别看成是由矩形绕它的一条边、直角三角形绕它的直角边、直角梯形绕它的直角腰、半圆绕它的直径旋转一周而成的立体,所以它们都是旋转体。圆柱、圆锥、圆台、球体oxyy=ƒ(x)ab

旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体.这直线叫做旋转轴.上述旋转体都可以看作是由连续曲线y=ƒ(x)、直线x=a

、直线x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x

轴2.旋转体的体积122xyo旋转体的体积公式推导旋转一周而成的立体.

下面用微元法来求它的体积.123注1

若连续曲线y=f(x)

绕y

轴旋转一周,对应的薄片体积微元为则所得的旋转体的体积为oxy=ƒ(x)abxx+dxy124

注2

一般地,由连续曲线y=ƒ(x)、y=g(x)

和直线x=a、x=b所围成的平面图形绕x轴旋转一周而成的立体的体积为oxyy=ƒ(x)abx

x+dxy=g(x)则平面图形绕

y

轴旋转一周所得的旋转体的体积为oxyy=ƒ(x)abxx+dxy=g(x)125绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积为

类似地，由曲线

x=φ(y),x

=ψ(y)(φ(y)≤ψ(y))及直线y=c,y=d(c<d)与y轴所围成的曲边梯形,绕y

轴旋转一周而成的旋转体的体积为126

如图由于图形关于坐标轴对称，故只需考虑其第一象限内的曲边梯形绕坐标轴旋转而成的旋转体的体积。

求椭圆分别绕轴与轴旋转而成的旋转体的体积。

例2

解（1）绕轴旋转而成的旋转体的体积为：127（2）绕轴旋转而成的旋转体的体积为：特别地，当时，得半径为的球体积128

计算由两条抛物线，所围成的图形绕轴旋转而成的旋转体的体积。

例3解先解联立方程组

得两抛物线的交点坐标为

设由曲线，直线所围成的曲边梯形绕轴旋转而成的旋转体的体积为；由曲线

直线所围成的曲边梯形绕轴旋129转而成的旋转体的体积为

则所求旋转体的体积为：

130

例4

求曲线和y=0所围成的图形分别绕x轴及y轴旋转所得旋转体的体积.oy(1,1)(2,0)x解为了确定积分区间,应先求两曲线之交点.则绕

x

轴旋转的体积微元为x解方程组在[0,2]上作定积分得131则绕

y

轴旋转的体积微元为oxy(1,1)(2,0)1故132四、简单的经济问题1、由边际函数求原函数133

在经济问题中,经常都要涉及到各种经济量的总量.这些总量,在一定条件下,也可用定积分来进行计算.若总量P(t)在某区间I上可导,且[a,x]∈I,则有注1

在上式中,当x为产量且a=0时,只要将P(x)代之以总成C(x)、总收益R(x)、总利润L(x),

则有2.已知边际(变化率),求总量.注2

当x从a变到b时,P(x)的改变量即为134135例3

设某产品的总成本C(单位:万元)的边际成本是产量x(单位:百台)的函数总收入R(单位:万元)的边际收入是产量x

的函数(1)求产量由1百台增加到5百台时总成本与总收入各增加多少?(2)已知固定成本C(0)=1万元.分别求出总成本、总收益、总利润与产量x

的函数关系式;(3)产量为多少时,总利润最大;并求此时的最大总利润,总成本及总收益各为多少?136

解(1)由注2知产量由1百台增加到5百台时总成本与总收入分别为

(2)因总成本是固定成本与可变成本的和,则总成本函数为总收益为则总利润函数为

L(x)=R(x)-C(x)=137故当产量

x=4(百台)时,有最大利润

L(4)=9(万元).得驻点

x=4此时的总成本为

C(4)=19(万元)R(4)=28(万元).及总收入为

138引例（复利问题）设有一笔存款a0,存款期数为t，每期利率为r（按复利计息），则t期本利和为多少3、收益流的现值和将来值139定义某公司的收益是连续获得，则其收益可被看作是一种随时间连续变化的收益流，而收益流对时间的变化率称为收益流量，收益流量是一种速率，用P(t)表示。当P(t)=b为常数，则收益流具有常数收益流量

和单笔款项一样，收益流的将来值定义为将一笔款项存入银行并加上利息之后的存款值，而收益流的现值是这样的款项。140若有一笔收益流量为P(t),假设以连续复利率r计息，求其现值和将来值

现在开始(t=0)到T年后这段时间，即在[0,T]内，任取小区间[t,t+dt],在这个区间所获得的金额近似等于P(t)dt.从现在t=0算起，P(t)dt是dt年后的获得将来值141例5、假设以年连续复利率r=0.1计息，求：（1）收益流量为100元/年的收益流在20年期间的现值和将来值（2）将来值和现值的关系如何？解释之若在t=0时刻，以现值作为一笔款项存入银行，以年连续复利率r=0.1计息，则20年中这笔单独款项的将来值为142例6、设有一项计划现在（t=0）需要投入1000万元，在10年中每年收益为200万元，若连续利率为5%，求收益资本价值W（设购置设备10年后完全失去价值）解因为，资本价值=收益流的现值-投入资金的现值，所以143例7、某企业一项为期10年的投资需要购置成本80万元，每年的收益流量为10万元，求内部利率μ（注：内部利率是使收益价值等于成本的利率）解由收益流的现值等于成本，得144§7.1预备知识§7.2多元函数的概念§7.3偏导数§7.4全微分及其应用§7.5多元复合函数和隐函数的微分法§7.6二元函数的极值与最值第七章多元函数的微分法及其应用145第七章多元函数的微分法及其应用

下面在一元函数微分法的基础上,来研究多元函数的微分法.因从一元函数到二元函数将会面临一些新问题,而从二元函数到二元以上的多元函数,可完全类推;故下面主要研究二元函数的微分法及其应用.要研究多元函数,需首先介绍一些空间解析几何知识.现就必备知识作简单介绍146

要求大家了解空间解析几何的初步知识.下面仅简要地介绍有关解空间解析几何的一些基本概念.1.空间直角坐标系及空间中的点与坐标其几何直观,如图:再规定一个长度单位和按照右手螺旋法则去确定的正方向,就构成一个空间直角坐标系,并记为

O123123123xyz

过空间中的一个定点O,

作三条相互垂直的直线§7.1预备知识一.空间解析几何简介147O123123123xyz在空间直角坐标系中,点O称为坐标原点;z轴(竖轴),并统称为坐标轴.任意两条坐标轴构成的平面称为坐标面,分别简称为xy平面、yz平面及zx平坐标面;

且它们将空间分割成八个部分,称每一个部分为一个卦限.分别称为x轴(横轴)、y轴(纵轴)及148(2)坐标面和空间的划分OxyzⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧ把含三个坐标轴正方向的那个卦限为第一卦限.如图:149zyOxPQRM在建立了空间直角坐标系后，就可以建立空间的点与有序数组(x,y,z)之间的对应关系.对于空间中的任意点M,过点M作三个平面分别垂直于三条坐标轴.且与x轴、y轴、z轴的交点依次为P、Q、R.(如图)的坐标依次为x、y、z;P、Q、R三点在三个坐标轴上定了一个三元有序数组这样空间的点M就唯一确(x,y,z).150zyOxPQRM把x、y、z称为点M的横坐标、纵坐标及竖坐标,记为M(x,y,z).并把有序数组(x,y,z)称为点M的空间直角坐标,并依次

反之,对于任给的三元有序数组(x,y,z),可依次在x轴、y轴、z轴上分别找出坐标为x、y、z的三点P、Q、R，

然后过此三点作是三个平面分别垂直于x轴、y轴、z轴，这样空间任一点M和一个三元有序数组(x,y,z)建立了这三个平面的交点M，就是以数组(x,y,z)为坐标的点.一一对应关系.151xyzyz面上点的坐标为(0,y,z)x轴上点的坐标为(x,0,0)y轴上点的坐标为(0,y,0)z轴上点的坐标为(0,0,z)xy面上点的坐标为(x,y,0)xz面上点的坐标为(x,0,z)

由以上规定知道:坐标原点O的坐标为(0,0,0)给定空间两点的距离d为可证明这两点间这与平面解几中两点间的距离公式是一样的.152zyOx这六个平面围成一个以为对角线的长方体;(如图)向xy面投影,并设点在xy面的垂足各为

过各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面.特别地,空间任一点M(x,y,z)到原点O的距离为153特别地,空间任一点M(x,y,z)例1已知两点(-1,0,2),(3,-2,4),求此两点间的距离.zyOx到原点O的距离为154例2在z轴上求与点A(-4，1，7)和点B（3，5，-2）等距离的点M，并求AB的中点坐标。解：因为点M在z轴上，则设其坐标为M（0，0，z）。依题意得|MA|=|MB|，故有所以，故所求的点的坐标为M（0，0，）设A，B中点坐标为故有例1已知两点(-1,0,2),(3,-2,4),求此两点间的距离.155

定义:既有大小又有方向的量称为向量，用有向线段表示，如图。或用AB通常用黑体字a，b等表示,a向量的大小称为向量的模，用等表示。长度为1的向量称为单位向量，始点和终点重合的向量称为零向量，用O表示，其方向任意。3、向量代数简介(1)向量的概念156157（1）向量的相等方向相同，模相等的两个向量a、b称为相等，记作a=b。向量仅与模、方向有关，而与始点的位置无关。（2）向量的加法——

平行四边形法则aba+b(2)向量的关系和运算或三角形法则：ab运算律交换律a+b=b+a结合律（a+b）+c=a+（b+c）bba+b158（3）向量的减法★负向量：

与向量a模相等而方向相反的向量称为a的负向量，记作-a。

向量a减去向量b，可以看成向量a加上向量b的负向量-b，即a-b=a+（-b）。如图所示aba-b（4）数与向量的乘积定义：

数量λ与向量a的乘积记为λa，它是一个向量。模:|λa|=|λ||a|；方向：如果λ>0，则与向量a的方向相同；如果λ<0，则与向量a的方向相反；运算律：λ(μa)=(λμ)a（λ，μ为实数）λ(a+b)=

λa+λb（λ为实数）(λ+μ)a=

λa+

μa（λ，μ为实数）159ABCDE设试用例2如图的三角形△ABC，D、E是BC边上三等分点，a，b表示向量。解：由三角形法则知：再由数与向量的乘积，得从△ABD及△AEC中可得所以160向量的坐标表示式以原点为始点的向量空间一点P如图，OxyzPM利用向量的加法可得：N又有QR另外所以(3)向量的坐标161——Ox轴上的单位长度——Oy轴上的单位长度——Oz轴上的单位长度引入基本单位向量OxyzPMNQR设点P（x，y，z）那么则的坐标表示式（x，y，z）称为向量

的坐标，记为模为162向量OM称为点M的向径，可知向量OM的坐标就是点M的坐标，记为OM={x,y,z}因此空间任意两点M(x,y,z)和M0(x0,y0,z0)形成的向量可表示为M0M=(x-x0)i+(y-y0)j+(z-z0)k1631定义两个向量a和b的模与它们之间夹角的余弦之积，称为向量a与b的数量积，记作a·b,即数量积也称点积。(4)两向量的数量积2性质：

（1）a·a=|a|2（2）（3）θ表示两非零向量a和b的夹角，则有1643运算律（1）交换律（2）分配律（3）结合律其中λ为常数。4数量积的计算公式设向量则有165可知（1）非零向量a与b垂直的充分必要条件为

a·b=0(2)两个向量a与b的夹角为166zyOxM(x,y,z)P(x,y)与平面解几相仿,空间解几利用空间坐标法,把由点构成的几何图形和代数方程联系起来.定义1

若曲面S上任意一点的坐标则称方程F(x,y,z)=0为曲面S的方程,而称曲面S为方程都满足方程F(x,y,z)=0；而不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x,y,z)=0,F(x,y,z)=0的图形.(如上图)S三.空间曲面、平面与曲线方程167例1一动点M(x,y,z)与两定点A(-1,0,4)和B(1,2,-1)的距离相等,求此动点M的轨迹方程.故M(x,y,z)的轨迹方程(即A、B两点连线的垂直平分面的方程)为168法向量：如果一个非零向量垂直于一平面，这向量称为该平面的法向量。★基本结论：一个平面有无数多个法向量；平面上任意向量都与该平面的法向量垂直。

在空间解析几何中，确定平面的基本条件是：平面过一定点且与定向量垂直。问题：a.平面的点法式方程(1)平面的方程169OxyzπM0n

设M（x，y，z）是平面π上任一点，M那么向量所以它们的数量积为零，即由于n={A，B，C}，并且设平面π过点M0（x0，y0，z0），向量n={A，B，C}(A,B,C不全为零）是它的一个法向量，如下图所示，求此平面的方程。故有此为平面的点法式方程。170例2

求过点（2,-3,0），且有法向量n={1,-2,3}

的平面方程。解：根据平面的点法式方程，可得所求的平面方程为即重要结论:

平面方程均为一次方程.一般地,x,y,z的三元一次方程所表示的图形均是平面.Ax+By+Cz+D=0

其中A、B、C、D均为常数,且A、B、C不全为0.空间平面方程的一般形式为xz面的方程为y=0，

yz面的方程为x=0故坐标平面的方程分别为xy面的方程为z=0171平面的一般式方程：{A，B，C}为此平面的一个法向量，且不全为零。★特殊位置平面的方程：（1）若D=0，方程为平面过原点。（2）若C=0，方程为平面的法向量为n={A,B,0}，垂直于Oz轴，因此平面与Oz轴平行。（4）若B=C=0，方程为平面的法向量为n={A,0,0}，与x轴平行，同时与y轴以及z轴垂直，因此平面与坐标面Oyz平行，在x轴上的截距为b.平面的一般式方程（3）若B=0，方程为平面的法向量为n={A,0,C}，垂直于Oy轴，因此平面与Oy轴平行。172类似地，可以推知其他情况。★特别地，方程分别表示Oyz

，Ozx，Oxy坐标面。例3

求通过Oz轴且过点M（2，4，-3）的平面方程。解：由已知，可设平面方程为因为它过M点，所以有代入即得所求平面方程为173问题：和平面外一点P0(x0,y0,z0)，求点P0到该平面的距离d.已知平面如下图，P0P1在该平面内任取一点P1（x1,y1,z1)，则d就等于向量在平面的法向量n={A,B,C}上投影的绝对值，nN即θ而c.点到平面的距离174因此即这就是空间一点P0到平面的距离公式。例4

求点P（-1,-2,1)到平面的距离。解：175方向向量：与直线平行的非零向量称为直线的方向向量，Ls

基本结论：过空间一点，且与一个定向量平行的直线是唯一的。问题：若已知直线L通过点M0(x0,y0,z0)，且与定向量s={m,n,p}平行，求直线L的方程。如右图，在直线L上任取一点M（x,y,z)，MM0OxyzM0sL(2)直线的方程则而所以有如右图176

这就是直线的点向式方程或对称式方程，又称标准式方程。说明：若分母为零，则相应分子也为零由以上方程还可以得到直线的参数方程：m,n,p成为直线的方向数。177

例5

分别求通过两点A（1,-1,2)和B(-1,0,2)的点向式方程和参数方程。解：直线的方向向量s为取点A，则直线的点向式方程为令上式的比值为t，则参数方程为178

例6

设动点M(x,y,z)到定点M0(x0,y0,z0)的距离恒等于正数R，求此动点轨迹的方程。解：由已知，有由空间两点的距离公式得两边平方，则得此动点的轨迹方程为这方程表示的是一个球面，球心为M0(x0,y0,z0)，半径为R，看以下的图形：(3)空间曲面179解：将方程配方得（1）当方程表示一个球面，球心为半径为（2）当方程表示一个点，点的坐标为（3）当方程不表示任何曲面。★讨论方程的图形。例7

讨论下列方程所代表的几何图形。180柱面定义：平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.曲线C称为柱面的准线；

而直线L称为柱面的母线。柱面的形成过程：playa.柱面181常见的柱面：1平面OXYZ1822圆柱面XYZOR常见的柱面：183XOYZ

3、抛物柱面常见的柱面：1844双曲柱面Oxyz常见的柱面：185

定义：一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面成为旋转曲面。

这条直线叫做旋转曲面的轴。

旋转曲面的生成过程如图：playb.旋转曲面186play

定义：一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面成为旋转曲面。旋转曲面的轴。

旋转曲面的生成过程如图：b.旋转曲面187play

定义：一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面成为旋转曲面。旋转曲面的轴。

旋转曲面的生成过程如图：b.旋转曲面188play

定义：一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面成为旋转曲面。旋转曲面的轴。

旋转曲面的生成过程如图：b.旋转曲面189play

定义：一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面成为旋转曲面。旋转曲面的轴。

旋转曲面的生成过程如图：b.旋转曲面190生成旋转曲面过程中的特征：如图：OXYZM1(0,y1,z1)设M(x,y,z)，M则（1）z=z1；（2）点M到z轴的距离将代入到方程中去，可得这就是yoz面上的曲线绕z周旋转所成的旋转曲面的方程。191三元二次方程表示的曲面称为二次曲面。如前面讲到的球面、圆柱面、旋转椭球面等。讨论方法：平行截面法1椭球面方程所表示的曲面称为椭球面，其中，a，b，c为椭球面的

半轴，如右图。c.二次曲面192Oxyz

椭球面与三个坐标面的交线分别为椭圆和与平面z=z1的交线为也是一椭圆，其中|z1|≤c。1932椭圆抛物面由方程表示的曲面称为椭圆抛物面，如图。Oxyzp>0，q>0194Oxyzp<0，q<0它与xoy面交于一点，即原点，与zox面和yoz面的交线分别为与平面z=z1的交线为椭圆

1952.

巳知曲面的方程,研究方程的图形通常情况下,三元方程的图形为一张空间曲面;至于会得出曲面S的全貌——这种方法称为一、二元方程的图形,则应由具体的坐标系而定.一般的三元方程，通常很难立即想出其图形的形状.但若依次用平行于坐标面的平面x=a、y=b和z=c去截曲面S，则可得一系列的截口曲线；再将它们综合起来就例4

考察下列的图形方程:(1)2x-z=0(2)2x+y+2z=4“平行截口”法.196即用平行于xz面的任何平面与xz面的交线为2x-z=0zOxy是直线故该方程的图形是经过y轴且且过原点的平面.解(1)由方程2x-z=0不含y知：D=0.则曲面过原点.且无论

y取何值,都有2x-z=0Y=a去截曲面，其截痕都例4

考察下列的图形方程:(1)2x-z=0(2)2x+y+2z=4197——此即为平面的截距式方程.它与x、y、z轴的交点分别为(2,0,0),(0,4,0),(0,0,2).解由方程2x+y+2z=4有(2)2x+y+2z=4zy42Ox2半径为R的圆.解在xy面上，方程表示以原点为圆心，yxooz在空间，因方程且圆的大小与c无关.用平面z=c去截曲面，其截口线为不含z，则z可取任意值,圆198zyxo用平面y=b去截曲面,其截痕为直线注1

xy面上,定圆曲线的一个圆柱面.平行于z轴的直线叫做此圆柱面的故该曲面为母线平行于z轴、准线为圆周准线，叫做此圆柱面的母线.用平面x=a去截曲面,其截痕为直线xzyo199解用平面z=c(c≥0)去截曲面,其截痕为圆当c=0时,只有原点(0,0,0)满足此方程；若用平面x=a或y=b去截曲面,其截痕为当c>0时,其截痕为以(0,0,c)为圆心,显然c越大，其截痕圆越大.zyOx以半径为R的圆.抛物线.200曲线L称为此旋转曲面的母线,故曲面是一个旋转抛物面(如图).zyOx注2

如果有一条平面曲线L，绕着同一平面内一条已知直线

旋转一周形成的曲面称为旋转曲面.L已知直线旋转曲面的轴.称为此201称为注3

方程所确定的曲面，

椭球面(如图)zbxyOac解因方程缺y、z，平面且分别过点(2,0,0)或(-2,0,0)的两个平面.则等价于方程的图形是平行于yz注4

在空间解几中,若方程缺一个变量,则其图形必平行则其图形必平行于坐标轴;若方程缺两个变量,于坐标面.2027.2.1、平面点集1：n维空间

在平面直角坐标系中，平面上的点与二元有序数组(x,y)是一一对应的，二元有序数组(x,y)的全体所构成的集合称为二维空间，记作R2

同样的用R3表示三元有序数组(x,y,z)全体构成的集合

一般的，由n元有序数组(x1,x2,…,xn)的全体构成的集合称为n维空间，记作Rn§7.2多元函数概念2032：平面上的区域

在讨论一元函数时,常用邻域和区间的概念.本章讨论多元函数时,也要用到邻域和区域的概念.故下面将一元函数的邻域和区间的概念加以推广.（1）邻域平面上204（2）设P为平面上的任一点,E是一个平面点集,则点P与点集E的关系为：(c)若在点P的任一领域内，即含有属于E的点，又含有不属于E的点，则称P为E的边界点，E的所有边界点的集合称为E的边界（3）开集

若E的每一点都是它的内点，则称E为开集闭集

若E的边界都在E内，则称E为闭集205【注意】：平面点集中点的关系如图：206平面上的区域，通常用字母D、G…表示。（4）区域在空间直角坐标系中，整个xy平面和由一条或几条曲线所围成的xy平面的一个部分称为区域。围成区域的的曲线，称为区域的边界。包含全部边界的区域，称为闭区域；不包含边界的区域，称为开区域；只包含部分边界的区域，称为半开半闭区域。可被一个充分大的圆包围的区域，称为有界区域；否则称为无界区域。区域的另一种表达方式：详见下页或书本：207围成区域的曲线称为区域的边界；边界上的点称为边点；包括边界在内的区域称为闭区域；不包括边界的区域称为开区域。

如果一个区域D内任意两点之间的距离都不超过某一常数M，

则称D为有界区域，否则称无界区域。由平面上一条或几条光滑的曲线所围成的具有连通性的部分平面，称为区域。所谓连通性，是指如果一块部分平面内任意两点均可以用完全属于此部分平面的折线连接起来，则称此部分平面具有连通性。2083、举例说明209210前几章讨论的函数y=ƒ(x),

是因变量与一个自变量之间的关系,变量，称这类函数为一元函数.在此关系中,因变量的值只依赖于一个自往需要研究因变量与几个自变量之间的关系，这时因