第2课时　正方形的判定课件北师大版数学九年级上册

第一章特殊平行四边形1.3正方形的性质与判定第2课时正方形的判定

由正方形的定义判定正方形1.学习了正方形之后，王老师提出问题：要判断一个四边形是正方形，

有哪些思路？甲同学说：“先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一

个角是直角.”乙同学说：“先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有

一组邻边相等.”丙同学说：“判定四边形的对角线相等，并且互相垂

直平分.”丁同学说：“先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行

四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等.”上述四名同学的说法

中，正确的是(

D

)DA.甲、乙B.甲、丙C.乙、丙、丁D.甲、乙、丙、丁123456789101112132.(2023·廊坊广阳区二模)如图，一个四边形顺次添加下列中的三个条件

便得到正方形：a.两组对边分别相等b.一组对边平行且相等c.一组邻边相等d.一个角是直角顺次添加的条件：①

a

→

c

→

d

；②

b

→

d

→

c

；③

a

→

b

→

c

.则正确的添加顺序是(

C

)A.仅①B.仅③C.①②D.②③C12345678910111213②由一组对边平行且相等可得该四边形是平行四边形，添加一个角是直

角可得该四边形是矩形，再添加一组邻边相等则可得该四边形是正方

形，故符合题意；③由a，b都只能得到该四边形是平行四边形，再添加一组邻边相等只能

得到该四边形是菱形，故不符合题意.∴正确的添加顺序是①②.【解析】①由两组对边分别相等可得该四边形是平行四边形，添加一组

邻边相等可得该四边形是菱形，再添加一个角是直角则可得该四边形是

正方形，故符合题意；12345678910111213

由正方形的边、角、对角线判定正方形3.下列说法正确的是(

A

)A.对角线相等的菱形是正方形B.有一组邻边相等的平行四边形是正方形C.有一个角是直角的平行四边形是正方形D.各边都相等的四边形是正方形A12345678910111213【解析】对角线相等的菱形是正方形，故A选项正确；有一组邻边相等的平行四边形是菱形，但不一定是正方形，故B选

项错误；有一个角是直角的平行四边形是矩形，但不一定是正方形，故C选

项错误；各边都相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，故D选项错误.123456789101112134.如图，将一张矩形纸片对折两次，沿着图中的虚线剪下一个角，为了

得到一个正方形，则剪切线与折痕所夹的∠1的度数为(

B

)A.30°B.45°C.60°D.90°B123456789101112135.小明在学习了中心对称图形后，整理了平行四边形和特殊平行四边形

之间的关系图，如图所示，已知▱

ABCD

，有下列条件：①

AB

＝

AD

；

②

AC

＝

BD

；③

AC

⊥

BD

；④

AC

平分∠

DAB

.

选择其中一个条件填入

(

)处，补全关系图，其中所有正确条件的序号是(

C

)A.①③B.①④C.①③④D.②③④C12345678910111213【解析】根据一组邻边相等的矩形是正方形，可得①符合题意；矩形的对角线本身是相等的，所以添加

AC

＝

BD

不能判定四边形

ABCD

是正方形，故②不符合题意；根据对角线互相垂直的矩形是正方形，可得③符合题意；由

AC

平分∠

DAB

，可证明

AD

＝

DC

，根据一组邻边相等的矩形是正

方形，可得④符合题意.所以所有正确条件的序号是①③④.123456789101112136.(2023·邢台期中)在平面直角坐标系中，点

A

，

B

，

C

，

D

的坐标分别

为(－5，－1)，(－3，1)，(－1，－1)，(－3，－3)，下列判断正确的是

(

D

)甲：

AB

＝

BC

；乙：四边形

ABCD

是正方形.A.甲对、乙不对B.甲不对、乙对C.甲、乙都不对D.甲、乙都对D12345678910111213【解析】根据题意画出四边形

ABCD

如图所示，连接

AC

.

AC

＝－1－(－5)＝4，∴

AB

＝

BC

＝

CD

＝

AD

.

∴四边形

ABCD

是菱形.

12345678910111213

∴∠

ABC

＝90°.∴四边形

ABCD

是正方形.故甲、乙都对.123456789101112137.(2023·黑龙江中考)如图，在矩形

ABCD

中，对角线

AC

，

BD

相交于

点

O

，试添加一个条件：

，使得矩形

ABCD

为正方形.AB

＝

AD

(答案不唯一)

12345678910111213

12345678910111213

(1)试判断四边形

BPCO

的形状，并说明理由；12345678910111213(2)请说明当▱

ABCD

的对角线满足什么条件时，四边形

BPCO

是正方形.

12345678910111213

中点四边形9.如图，在任意四边形

ABCD

中，

M

，

N

，

P

，

Q

分别是

AB

，

BC

，

CD

，

DA

的中点，对于四边形

MNPQ

的形状，下列结论错误的是

(

B

)A.四边

MNPQ

一定为平行四边形B.当∠

ABC

＝90°时，四边形

MNPQ

为正方形C.当

AC

＝

BD

时，四边形

MNPQ

为菱形D.当

AC

⊥

BD

时，四边形

MNPQ

为矩形B12345678910111213【解析】连接

AC

，

BD

交于点

O

，如图.∵

M

，

N

，

P

，

Q

分别是

AB

，

BC

，

CD

，

DA

的中点，

∴

PQ

∥

MN

，

PQ

＝

MN

.

∴四边形

MNPQ

一定为平行四边形，A选项说法正确，不符合题意；当∠

ABC

＝90°时，四边形

MNPQ

不一定为正方形，故B选项说法错

误，符合题意；12345678910111213当

AC

＝

BD

时，

MN

＝

MQ

，

∴四边形

MNPQ

为菱形，故C选项说法正确，不符合题意；当

AC

⊥

BD

时，易得∠

MNP

＝90°，

∴四边形

MNPQ

为矩形，故D选

项说法正确，不符合题意.12345678910111213

10.(2023·保定校级月考)如图，在四边形

ABCD

中，对角线

AC

⊥

BD

，

垂足为

O

，且

AC

＝

BD

＝10，

E

，

F

，

G

，

H

分别为边

AD

，

AB

，

BC

，

CD

的中点，则四边形

EFGH

的面积为(

B

)A.25

B.25C.50

D.50第10题图B12345678910111213

∴

EF

⊥

FG

.

∴∠

GFE

＝90°，∴四边形

EFGH

是正方形.∴四边形

EFGH

的面积＝

EF

·

EH

＝5×5＝25.第10题图1234567891011121311.如图，菱形

ABCD

的对角线

AC

，

BD

相交于点

O

，点

E

，

F

同时

从点

O

出发在线段

AC

上以0.5cm/s的速度反向运动(点

E

，

F

分别到达

A

，

C

两点时停止运动)，设运动时间为

t

s

.连接

DE

，

DF

，

BE

，

BF

，

已知△

ABD

是边长为4cm的等边三角形，当

t

＝

s时，四边形

DEBF

为正方形.4

第11题图12345678910111213【解析】∵菱形

ABCD

的对角线

AC

，

BD

相交于点

O

，点

E

，

F

同时从

点

O

出发在线段

AC

上以0.5cm/s的速度反向运动，∴

OD

＝

OB

，

OE

＝

OF

＝0.5

t

，

DB

⊥

EF

.

∴

EF

＝

t

，四边形

DEBF

是菱形.∵△

ABD

是边长为4cm的等边三角形，∴

BD

＝4cm.根据“对角线相等的菱形是正方形”可得当

EF

＝

BD

＝4cm，即

t

＝4

时，四边形

DEBF

为正方形.第11题图12345678910111213

12.

甲、乙两位同学采用折叠的方法，判断两张四边形纸片是

否为正方形.甲：如图1，进行两次折叠，每次折叠后折痕两侧部分能够完全重合，

故判断原四边形是正方形；乙：如图2，进行两次折叠，每次折叠后折痕两

侧部分能够完全重合，故判断原四边形是正方形.下列判断正确的是(

D

)DA.仅甲正确B.仅乙正确C.甲、乙均正确D.甲、乙均错误12345678910111213【解析】按照题图1折叠，可得四边形的四边相等，则原四边形是菱形

或正方形；按照题图2折叠，可得四边形的四个角相等，且都为90°，只能得到原

四边形是矩形.1234567891011121313.

如图，在Rt△

ABC

中，∠

ACB

＝90°，过点

C

的直线

MN

∥

AB

，

D

为

AB

边上一点，过点

D

作

DE

⊥

BC

，交直线

MN

于点

E

，

垂足为

F

，连接

CD

，

BE

.

(1)求证：

CE

＝

AD

；证明：∵

DE

⊥

BC

，∴∠

DFB

＝90°.∵∠

ACB

＝90°，∴∠

ACB

＝∠

DFB

.

∴

AC

∥

DE

.

∵

MN

∥

AB

，即

CE

∥

AD

，∴四边形

ADEC