启东市长江中学苏科版数学八级下学期月考试卷含答案解析

2015-2016学年江苏省南通市启东市长江中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，将此选项的代号填入答题纸上．）1．下列各组数中，能构成直角三角形的是（） A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，232．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=12，b=16，则c的长为（） A．26 B．18 C．20 D．213．正方形具有而矩形不一定具有的特征是（） A．四个角都相等 B．四边都相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分 4．△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12，则BC的长为（） A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不对5．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF=，BD=4，则菱形ABCD的周长为（）A．4 B．4 C．4 D．286．平行四边形的对角线长为x，y，一边长为12，则x，y的值可能是（） A．8和14 B．10和14 C．18和20 D．10和347．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是（） A．当AC=BD时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形 C．当∠ABC=90°时，它是矩形 D．当AB=BC时，它是菱形 8．若顺次连结四边形各边中点所得的四边形是菱形，则原四边形（） A．一定是矩形 B．一定是菱形 C．对角线一定互相垂直 D．对角线一定相等 9．如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BF=4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（） A．3 B．4 C．6 D．810．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是（） A．2﹣2 B．6 C．2﹣2 D．4二、填空题：（本大题共10小题，每空3分，共30分，答案填入答题纸上）11．木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线为100cm，则这个桌面（填“合格”或“不合格”）． 12．如图，以直角△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3且S1=4，S2=8，则S3=． 13．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE=4，AF=6，▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为． 14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若DF⊥AC，∠ADF：∠FDC=3：2，则∠BDF=． 15．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=70°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF．则∠CDF等于． 16．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长是． 17．如图，将两张长为8，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值12，那么菱形周长的最大值是． 18．已知平行四边形的三个顶点坐标分别为（﹣1，0）、（0，2）（2，0），则第四个顶点的坐标为． 19．在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为． 20．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为． 三、解答题：（本大题共6小题，共40分．解答需写出必要的文字说明或演算步骤）21．如图，为修通铁路凿通隧道AC，量出∠A=40°∠B=50°，AB=5公里，BC=4公里，若每天凿隧道0.3公里，问几天才能把隧道AC凿通？ 22．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=20，BC=15，DB=9． （1）求DC的长． （2）求AB的长． 23．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥AC，交BC的延长线于点E，EF⊥AB于点F，求证：AD=CF． 24．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）证明四边形ADCF是菱形； （3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积． 25．如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A、B和D的距离分别为1，2，，△ADP沿点A旋转至△ABP′，连结PP′，并延长AP与BC相交于点Q． （1）求证：△APP′是等腰直角三角形； （2）求∠BPQ的大小； （3）求CQ的长． 26．（1）观察与发现：小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；在第一次的折叠基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由． （2）实践与运用：将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小． 2015-2016学年江苏省南通市启东市长江中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，将此选项的代号填入答题纸上．）1．下列各组数中，能构成直角三角形的是（） A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23【考点】勾股定理的逆定理． 【专题】计算题． 【分析】根据勾股定理逆定理：a2+b2=c2，将各个选项逐一代数计算即可得出答案． 【解答】解：A、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故A错误； B、∵12+12=，∴能构成直角三角形，故B正确； C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误； D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误． 故选：B． 【点评】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握，要求学生熟练掌握这个逆定理． 2．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=12，b=16，则c的长为（） A．26 B．18 C．20 D．21【考点】勾股定理． 【分析】直接根据勾股定理进行解答即可． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，a=12，b=16， ∴c===20． 故选C． 【点评】本题考查的是勾股定理，即在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 3．正方形具有而矩形不一定具有的特征是（） A．四个角都相等 B．四边都相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分 【考点】矩形的性质；正方形的性质． 【分析】根据矩形的性质以及正方形的性质的特征可知，正方形四条边都相等，矩形的两条对边分别相等． 【解答】解：根据正方形和矩形的性质知，它们具有相同的特征有：四个角都是直角、对角线都相等、对角线互相平分，但矩形的长和宽不相等． 故选B． 【点评】本题主要考查了正方形和矩形的性质，属于基础题． 4．△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12，则BC的长为（） A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不对【考点】勾股定理． 【专题】分类讨论． 【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC=BD+CD，在钝角三角形中，BC=CD﹣BD． 【解答】解：（1）如图，锐角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12， 在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得 BD2=AB2﹣AD2=132﹣122=25， 则BD=5， 在Rt△ABD中AC=15，AD=12，由勾股定理得 CD2=AC2﹣AD2=152﹣122=81， 则CD=9， 故BC=BD+DC=9+5=14； （2）钝角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12， 在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得 BD2=AB2﹣AD2=132﹣122=25， 则BD=5， 在Rt△ACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得 CD2=AC2﹣AD2=152﹣122=81， 则CD=9， 故BC的长为DC﹣BD=9﹣5=4． 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理，把三角形边的问题转化到直角三角形中用勾股定理解答． 5．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF=，BD=4，则菱形ABCD的周长为（） A．4 B．4 C．4 D．28【考点】菱形的性质；三角形中位线定理． 【分析】首先利用三角形的中位线定理得出AC，进一步利用菱形的性质和勾股定理求得边长，得出周长即可． 【解答】解：∵E，F分别是AB，BC边上的中点，EF=， ∴AC=2EF=2， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA=AC=，OB=BD=2， ∴AB==， ∴菱形ABCD的周长为4． 故选：C． 【点评】此题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，掌握菱形的性质是解决问题的关键． 6．平行四边形的对角线长为x，y，一边长为12，则x，y的值可能是（） A．8和14 B．10和14 C．18和20 D．10和34【考点】平行四边形的性质；三角形三边关系． 【分析】如图：因为平行四边形的对角线互相平分，所OB=，OC=，在△OBC中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，将各答案代入验证即可求得． 即x+y＞24，y﹣x＜24． 【解答】解：A、=4+7=11＜12，所以不可能； B、=5+7=12=12，所以不可能； D、34﹣10=24，所以不可能； 故选C． 【点评】本题考查平行四边形的性质以及三角形的三边关系定理． 7．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是（） A．当AC=BD时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形 C．当∠ABC=90°时，它是矩形 D．当AB=BC时，它是菱形 【考点】菱形的判定；平行四边形的性质；矩形的判定． 【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形可得A错误；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得B正确；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得C正确；根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得D正确． 【解答】解：A、当AC=BD时，它是菱形，说法错误； B、当AC⊥BD时，它是菱形，说法正确； C、当∠ABC=90°时，它是矩形，说法正确； D、当AB=BC时，它是菱形，说法正确， 故选：A． 【点评】此题主要考查了菱形和矩形的判定，关键是掌握菱形和矩形的判定定理． 菱形的判定：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形．③对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形． 8．若顺次连结四边形各边中点所得的四边形是菱形，则原四边形（） A．一定是矩形 B．一定是菱形 C．对角线一定互相垂直 D．对角线一定相等 【考点】中点四边形． 【分析】首先根据题意画出图形，由四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，利用三角形中位线的性质与菱形的性质，即可判定原四边形一定是对角线相等的四边形． 【解答】解：如图，根据题意得：四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点， ∴EF=FG=CH=EH，BD=2EF，AC=2FG， ∴BD=AC． ∴原四边形一定是对角线相等的四边形． 故选：D． 【点评】此题考查了菱形的性质与三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 9．如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BF=4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（） A．3 B．4 C．6 D．8【考点】平行四边形的性质． 【分析】连接EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M，求出平行四边形ACFM，根据等底等高的三角形面积相等得出△BDE的面积和△CDE的面积相等，△ADE的面积和△AME的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，求出CF×hCF的值即可． 【解答】解：连接EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M， ∵四边形CDEF是平行四边形， ∴DE∥CF，EF∥CD， ∴AM∥DE∥CF，AC∥FM， ∴四边形ACFM是平行四边形， ∵△BDE边DE上的高和△CDE的边DE上的高相同， ∴△BDE的面积和△CDE的面积相等， 同理△ADE的面积和△AME的面积相等， 即阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，是×CF×hCF， ∵△ABC的面积是24，BC=3CF ∴BC×hBC=×3CF×hCF=24， ∴CF×hCF=16， ∴阴影部分的面积是×16=8， 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积的应用，主要考查学生的推理能力和转化能力，题目比较好，但是有一定的难度． 10．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是（） A．2﹣2 B．6 C．2﹣2 D．4【考点】翻折变换（折叠问题）． 【专题】压轴题． 【分析】当∠BFE=∠B'FE，点B′在DE上时，此时B′D的值最小，根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知B′E=BE=2，DE﹣B′E即为所求． 【解答】解：如图，当∠BFE=∠B'FE，点B′在DE上时，此时B′D的值最小， 根据折叠的性质，△EBF≌△EB′F， ∴EB′⊥B′F， ∴EB′=EB， ∵E是AB边的中点，AB=4， ∴AE=EB′=2， ∵AD=6， ∴DE==2， ∴DB′=2﹣2． 故选：A． 【点评】本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点B′在何位置时，B′D的值最小，是解决问题的关键． 二、填空题：（本大题共10小题，每空3分，共30分，答案填入答题纸上）11．木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线为100cm，则这个桌面合格（填“合格”或“不合格”）． 【考点】矩形的判定；勾股定理的应用． 【分析】只要算出桌面的长与宽的平方和是否等于对角线的平方，如果相等可得长、宽、对角线构成的是直角三角形，由此可得到每个角都是直角，根据矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形，可得此桌面合格． 【解答】解：∵802+602=10000=1002， 即：AD2+DC2=AC2， ∴∠D=90°， 同理：∠B=∠BCD=90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴这个桌面合格． 故答案为：合格． 【点评】本题考查的是勾股定理逆定理在实际中的应用，以及矩形的判定，关键是熟练掌握勾股定理逆定理与矩形的判定方法；勾股定理逆定理：在一个三角形中，两条边的平方和等于另一条边的平方，那么这个三角形就是直角三角形；矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形． 12．如图，以直角△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3且S1=4，S2=8，则S3=12． 【考点】勾股定理． 【分析】根据勾股定理的几何意义解答． 【解答】解：∵△ABC直角三角形， ∴BC2+AC2=AB2， ∵S1=BC2，S2=AC2，S3=AB2，S1=4，S2=8， ∴S3=S1+S2=12． 【点评】解决本题的关键是根据勾股定理得到三个面积之间的关系． 13．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE=4，AF=6，▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为48． 【考点】平行四边形的性质． 【分析】根据平行四边形的周长求出BC+CD=20，再根据平行四边形的面积求出BC=CD，然后求出CD的值，再根据平行四边形的面积公式计算即可得解． 【解答】解：∵▱ABCD的周长=2（BC+CD）=40， ∴BC+CD=20①， ∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=4，AF=6， ∴S▱ABCD=4BC=6CD， 整理得，BC=CD②， 联立①②解得，CD=8， ∴▱ABCD的面积=AFCD=6CD=6×8=48． 故答案为：48． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的周长与面积得到关于BC、CD的两个方程并求出CD的值是解题的关键． 14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若DF⊥AC，∠ADF：∠FDC=3：2，则∠BDF=18°． 【考点】矩形的性质． 【分析】根据∠ADC=90°，求出∠CDF和∠ADF，根据矩形性质求出OD=OC，推出∠BDC=∠DCO，求出∠BDC，即可求出答案． 【解答】解：设∠ADF=3x°，∠FDC=2x°，∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC=90°， ∴2x+3x=90， x=18°， 即∠FDC=2x°=36°， ∵DF⊥AC， ∴∠DMC=90°， ∴∠DCO=90°﹣36°=54°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=2OC，BD=2OD，AC=BD， ∴OD=OC， ∴∠BDC=∠DCO=54°， ∴∠BDF=∠BDC﹣∠CDF=54°﹣36°=18°， 故答案为：18°． 【点评】本题考查了矩形性质，三角形的内角和定理的应用，关键是求出∠BDC和∠CDF的度数，注意：矩形的对角线互相平分且相等． 15．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=70°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF．则∠CDF等于75°． 【考点】菱形的性质；线段垂直平分线的性质． 【专题】数形结合． 【分析】根据菱形的性质求出∠ADC=110°，再根据垂直平分线的性质得出AF=DF，从而计算出∠CDF的值． 【解答】解：连接BD，BF， ∵∠BAD=70°， ∴∠ADC=110°， 又∵EF垂直平分AB，AC垂直平分BD， ∴AF=BF，BF=DF， ∴AF=DF， ∴∠FAD=∠FDA=35°， ∴∠CDF=110°﹣35°=75°． 故答案为75°． 【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质和菱形的性质，有一定的难度，解答本题时注意先先连接BD，BF，这是解答本题的突破口． 16．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长是3.4． 【考点】矩形的性质；解直角三角形． 【分析】利用线段的垂直平分线的性质，得到EC与AE的关系，再由勾股定理计算出AE的长． 【解答】解：连接EC，由矩形的性质可得AO=CO， 又因EO⊥AC， 则由线段的垂直平分线的性质可得EC=AE， 设AE=x，则ED=AD﹣AE=5﹣x， 在Rt△EDC中，根据勾股定理可得EC2=DE2+DC2， 即x2=（5﹣x）2+32， 解得x=3.4． 故答案为：3.4． 【点评】本题考查了利用线段的垂直平分线的性质、矩形的性质及勾股定理综合解答问题的能力，此题难度一般，连接EC很关键． 17．如图，将两张长为8，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值12，那么菱形周长的最大值是． 【考点】菱形的性质． 【专题】计算题． 【分析】判断出当矩形的对角线互相重合时菱形的周长最大，设此时菱形的边长为x，表示出直角三角形的另一边长，然后利用勾股定理列式计算即可得解． 【解答】解：如图，设菱形的边长为x， 则直角三角形的两直角边分别为3，8﹣x， 由勾股定理得，32+（8﹣x）2=x2， 解得，x=， 所以，菱形的周长=4x=4×=． 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，判断出周长最大时的情形是解题的关键． 18．已知平行四边形的三个顶点坐标分别为（﹣1，0）、（0，2）（2，0），则第四个顶点的坐标为（3，2），（﹣3，2），（1，﹣2）． 【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质． 【分析】首先根据题意画出图形，然后根据平行四边形的性质，分别从以BC，AC，AB为对角线去分析求解即可求得答案． 【解答】解：如图，∵平行四边形的三个顶点坐标分别为（﹣1，0）、（0，2）（2，0）， ∴若四边形ABDC是平行四边形，则D1（3，2）， 若四边形ABCD是平行四边形，则D2（﹣3，2）， 若四边形ACBD是平行四边形，则D3（1，﹣2）． 综上所述：第四个顶点的坐标为：（3，2），（﹣3，2），（1，﹣2）． 故答案为：（3，2），（﹣3，2），（1，﹣2）． 【点评】此题考查了平行四边形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用． 19．在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为2.4． 【考点】勾股定理的逆定理；矩形的性质． 【专题】几何综合题；压轴题；动点型． 【分析】根据已知得当AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短，从而不难根据相似比求得其值． 【解答】解：∵四边形AFPE是矩形 ∴AM=AP，AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短 ∴当AP⊥BC时，△ABP∽△CAB ∴AP：AC=AB：BC ∴AP：8=6：10 ∴AP最短时，AP=4.8 ∴当AM最短时，AM=AP÷2=2.4． 【点评】解决本题的关键是理解直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用相似求解． 20．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为3或6． 【考点】翻折变换（折叠问题）． 【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况： ①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示． 连结AC，先利用勾股定理计算出AC=10，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=6，可计算出CB′=4，设BE=x，则EB′=x，CE=8﹣x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x． ②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时四边形ABEB′为正方形． 【解答】解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况： ①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示． 连结AC， 在Rt△ABC中，AB=6，BC=8， ∴AC==10， ∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处， ∴∠AB′E=∠B=90°， 当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°， ∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，如图， ∴EB=EB′，AB=AB′=6， ∴CB′=10﹣6=4， 设BE=x，则EB′=x，CE=8﹣x， 在Rt△CEB′中， ∵EB′2+CB′2=CE2， ∴x2+42=（8﹣x）2， 解得x=3， ∴BE=3； ②当点B′落在AD边上时，如答图2所示． 此时ABEB′为正方形， ∴BE=AB=6． 综上所述，BE的长为3或6． 故答案为：3或6． 【点评】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解． 三、解答题：（本大题共6小题，共40分．解答需写出必要的文字说明或演算步骤）21．如图，为修通铁路凿通隧道AC，量出∠A=40°∠B=50°，AB=5公里，BC=4公里，若每天凿隧道0.3公里，问几天才能把隧道AC凿通？ 【考点】勾股定理的应用． 【分析】由题意知：∠A=50°，∠B=40°则∠C为90°，在直角△ABC中，已知AB，BC根据勾股定理即可求AC，则需要天数可求． 【解答】解：∵∠A=50°，∠B=40°， ∴∠C=90°， ∴AC2=AB2﹣BC2=（3km）2∴AC=3km， ∵3÷0.3=10， ∴10天才能将隧道凿通． 答：10天才能将隧道凿通． 【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，解本题的关键是正确的计算AC的长度． 22．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=20，BC=15，DB=9． （1）求DC的长． （2）求AB的长． 【考点】勾股定理． 【分析】（1）由题意可知三角形CDB是直角三角形，利用已知数据和勾股定理直接可求出DC的长； （2）有（1）的数据和勾股定理求出AD的长，进而求出AB的长． 【解答】解：（1）∵CD⊥AB于D，且BC=15，BD=9，AC=20 ∴∠CDA=∠CDB=90° 在Rt△CDB中，CD2+BD2=CB2， ∴CD2+92=152∴CD=12； （2）在Rt△CDA中，CD2+AD2=AC2∴122+AD2=202∴AD=16， ∴AB=AD+BD=16+9=25． 【点评】本题考查了勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． 23．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥AC，交BC的延长线于点E，EF⊥AB于点F，求证：AD=CF． 【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题． 【分析】利用平行四边形及平行线证明△EDC≌△CAB，可得BC=CE，即FC为直角三角形的中线，由直角三角形的性质即可得出结论． 【解答】证明：∵DE∥AC， ∴∠DEC=∠ACB，∠EDC=∠DCA， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠CAB=∠DCA， ∴∠EDC=∠CAB， 又∵AB=CD， ∴△EDC≌△CAB， ∴CE=CB， 所以在Rt△BEF中，FC为其中线， 所以FC=BC， 即FC=AD． 【点评】运用平行四边形的性质解决以下问题，如求角的度数、线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等． 24．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）证明四边形ADCF是菱形； （3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积． 【考点】菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理． 【专题】证明题． 【分析】（1）根据AAS证△AFE≌△DBE； （2）利用①中全等三角形的对应边相等得到AF=BD．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF是菱形，由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到AD=DC，从而得出结论； （3）由直角三角形ABC与菱形有相同的高，根据等积变形求出这个高，代入菱形面积公式可求出结论． 【解答】（1）证明：①∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DBE， ∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线， ∴AE=DE，BD=CD， 在△AFE和△DBE中， ， ∴△AFE≌△DBE（AAS）； （2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF=DB． ∵DB=DC， ∴AF=CD． ∵AF∥BC， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点， ∴AD=DC=BC， ∴四边形ADCF是菱形； （3）解：设菱形DC边上的高为h， ∴RT△ABC斜边BC边上的高也为h， ∵BC==， ∴DC=BC=， ∴h==， 菱形ADCF的面积为：DCh=×=10． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，菱形的面积计算，主要考查学生的推理能力． 25．如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A、B和D的距离分别为1，2，，△ADP沿点A旋转至△ABP′，连结PP′，并延长AP与BC相交于点Q． （1）求证：△APP′是等腰直角三角形； （2）求∠BPQ的大小； （3）求CQ的长． 【考点】几何变换综合题． 【专题】压轴题． 【分析】（1）根据旋转的性质可知，△APD≌△AP′B，所以AP=AP′，∠PAD=∠P′AB，因为∠PAD+∠PAB=90°，所以∠P′AB+∠PAB=90°，即∠PAP′=90°，故△APP′是等腰直角三角形； （2）根据勾股定理逆定理可判断△PP′B是直角三角形，再根据平角定义求出结果； （3）作BE⊥AQ，垂足为E，由∠BPQ=45°，P′B=2，求出PE=BE=2，在