1.1集合的概念（第2课时集合的表示方法）课件高一上学期数学人教A版

1.1

集合的概念第2课时集合的表示方法第一章集合与常用逻辑用语人教A版

数学

必修第一册基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标学习目标1.掌握集合的表示方法——列举法和描述法.(数学抽象)2.能进行自然语言与集合语言间的相互转换.(数学抽象)基础落实·必备知识一遍过知识点一:列举法把集合的所有元素

出来,并用

括起来表示集合的方法叫做列举法.

名师点睛用列举法表示集合时,必须注意以下几点:(1)元素与元素之间需用“,”隔开.(2)集合中的元素必须是确定的.(3)一般地,列举法适用于有限集:①元素个数有限且比较少时,可以全部列举出来,如{1,2,3};②元素个数有限且比较多时,可以列举一部分,中间用省略号表示,称为中间省略列举,如从1到1

000的所有正整数组成的集合,可以表示为{1,2,3,…,1

000}.一一列举

花括号“{

}”微思考使用列举法表示集合时,一般适用于什么类型的集合?提示

一般认为,集合中的元素个数相对较少,或者有限个有一定规律列举的,可以用列举法.知识点二:描述法一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有

的元素x所组成的集合表示为

,这种表示集合的方法称为描述法.

名师点睛使用描述法表示集合时要注意:(1)写清该集合中元素的代表符号,如{x|x>1}不能写成{x>1};(2)用简明、准确的语言进行描述,如方程、不等式、几何图形等;(3)所有描述的内容都要写在花括号内,如“{x|x=2m},m∈N*”不符合要求,应将“m∈N*”写进“{

}”中,即{x|x=2m,m∈N*};共同特征P(x)

{x∈A|P(x)}(4)元素的取值范围,x∈R可省略不写,如集合D={x∈R|x<20},也可表示为D={x|x<20};(5)多层描述时,应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语,如{x|x<-1,或x>1};(6)“{

}”有“全体”的含义,描述法也可以简写成列举法的形式,例如:所有直角三角形的集合可以表示为{x|x是直角三角形},也可以写成{直角三角形}.微思考(1)什么类型的集合适合用描述法表示?

(2)如何理解定义中的“共同特征P(x)”?试着举例说明.

(3)集合A={x|x>5}与B={t|t>5}是否表示同一个集合?提示

含有较多元素的有限集或无限集,且元素的共同特征可以统一描述.提示

属于集合A的任意一个元素都具有性质P(x),而不属于集合A的元素都不具有性质P(x).如偶数的集合:{x|x=2k,k∈Z};其中“x=2k,k∈Z”即是共同特征P(x)的描述.提示

是.虽然表示代表元素的字母不同,但都表示由大于5的所有实数组成的集合,因而表示同一个集合.重难探究·能力素养速提升问题1在学习“有理数”时,首先是定义“有理数”——有理数是整数和分数的统称,然后再表示有理数——用“,p,q∈Z,p≠0”的形式来表示.“集合”与“有理数”一样,都是数学研究对象,其研究路径也可类比.据此,在上一节课研究了集合的概念以后,本节课该研究什么内容?问题2自然语言表示的集合文字多,不简洁清晰,学生感受不到数学的魅力,所以,从数学的角度思考,是否可以把自然语言转换成一种数学语言呢?探究点一用列举法表示集合问题3对于元素个数较少的集合,怎么表示比较方便?【例1】

用列举法表示下列集合:(1)方程x2-1=0的解组成的集合;(2)单词“see”中的字母组成的集合;(3)函数y=x与y=2x-1图象的交点组成的集合.解

(1)方程x2-1=0的解为x=-1或x=1,所求集合用列举法表示为{-1,1}.(2)单词“see”中有两个互不相同的字母,分别为“s”“e”,所求集合用列举法表示为{s,e}.规律方法

1.使用列举法表示集合时,应注意以下几点:(1)在元素个数较少或元素间有明显规律时用列举法表示集合.(2)“{

}”表示“集合”的含义,不能省略,元素之间用“,”隔开,而不能用“、”.元素之间无顺序,满足无序性.2.用列举法表示集合,要分清该集合是数集还是点集.探究点二用描述法表示集合问题4列举法不方便表示的集合,又该用什么方法来表示?这些集合又具备怎样的特征?【例2】

用描述法表示下列集合:(1)不等式x-2<3的解组成的集合;(2)函数y=-x的图象上的点组成的集合;(3)被3整除余1的正整数构成的集合.解(1)不等式x-2<3的解是x<5,则不等式x-2<3的解组成的集合用描述法表示为{x|x<5}.(2){(x,y)|y=-x,x∈R,y∈R}.(3){x|x=3n+1,n∈N}.规律方法

1.一般来说,若集合的元素个数较多时,用描述法表示比较合适.2.用描述法表示集合时应弄清楚集合的属性,即它是数集、点集还是其他的类型.一般地,数集用一个字母代表其元素,点集用一个有序实数对代表其元素.3.若描述部分出现代表已知元素以外的字母,则要对新字母说明其含义或指出其取值范围.问题5描述法表示集合时,容易遇到“形似”的集合,如何区分?关键要素是什么?【例3】

已知集合A={x|y=x2+2},B={y|y=x2+2},C={(x,y)|y=x2+2},它们三个集合相等吗?试说明理由.解因为三个集合中代表的元素互不相同,所以它们是互不相同的集合.理由如下:集合A中代表的元素是x,满足条件y=x2+2中的x∈R,所以A=R;集合B中代表的元素是y,满足条件y=x2+2中y≥2,所以B={y|y≥2}.集合C中代表的元素是(x,y),这是个点集,这些点在抛物线y=x2+2上,所以C={P|P是抛物线y=x2+2上的点}.规律方法

运用描述法,首先要清楚元素是什么,然后再明确元素的性质

特征.变式训练已知集合A={x|x=2n+1,n∈Z},B={y|y=2n-1,n∈Z}.集合A与集合B相等吗?试说明理由.解

A=B,理由如下:A集合表示所有的奇数,B集合也表示所有的奇数.探究点三集合表示方法的选择问题6集合可以用列举法、描述法来表示,如何选择相对合适的表示方法?【例4】

用适当的方法表示下列集合,并说明理由.(1)满足x∈N,y∈N的函数y=-x+2图象上点的坐标组成的集合;(2)满足二元一次方程x+y=2的解组成的集合;(3)1000以内被3除余2的正整数组成的集合.解(1)由于x∈N,y∈N,因此满足函数y=-x+2图象上点的坐标只有3个,分别为

因此用列举法表示为{(0,2),(1,1),(2,0)}.(2)满足x+y=2的解有无限组,无法列举.用描述法表示为{(x,y)|x+y=2}.(3)满足条件的正整数太多,用描述法可表示为{x|x=3k+2,k∈N,且k≤332}.规律方法

表示集合时,可以根据题意确定符合条件的元素,再根据元素个数选择适当的表示方法.当然,有时两种方法都可以表示.如本例第1小题的集合可以表示为{(x,y)|y=-x+2,x∈N,y∈N}.问题7选择列举法还是描述法表示集合,集合元素的多少是一个选择的依据.试用不同的表示方法表示下列集合,从过程、结果两方面分析,是否还体现了什么特性?【例5】

用列举法和描述法分别表示下列集合,并从过程、结果两方面分析优劣.(1)不大于10的非负偶数组成的集合;(2)方程x2=x的所有实数解组成的集合;解

方程x2=x的解是x=0或x=1,所以方程的解组成的集合用列举法表示为{0,1},知道了结果,却不知道过程;用描述法表示为{x|x2=x},知道了过程,结果要进一步计算.解

因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思,所以不大于10的非负偶数组成的集合用列举法表示为{0,2,4,6,8,10},知道了结果,却不知道过程;用描述法表示为{x|0≤x≤10,且x=2n,n∈N}.知道了过程,结果要进一步计算.(3)方程组

的解组成的集合.规律方法

列举法表示集合重结果、元素具体可见;描述法表示集合重过程、元素性质清晰.表示集合时,除了考虑元素个数多少以外,还应综合考虑是需要清楚具体元素,还是需要清楚元素的性质特征,再选择适当的表示方法.探究点四集合表示方法的综合应用问题8自然语言可以转换成集合语言,是否更需要理解集合语言的含义?【例6】

(1)判断集合A={x|x=4k±1,k∈Z}与集合B={y|y=2n-1,n∈Z}的元素是否完全相同.解

用列举法表示两个集合,即A={…,-1,1,3,5,…};B={…,-1,1,3,5,…}.所以A与B尽管形式不一样,但它们所含的元素完全相同.(2)若P={0,2,5},Q={1,2,6},定义集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},用列举法表示集合P+Q.解

用下列表格来表示集合P+Q的含义,P+QP025Q1136224766811由于集合的互异性,∴P+Q={1,2,3,4,6,7,8,11}.规律方法

1.研究描述法表示的集合中的元素,可以利用列举法将元素列举出来,由具体到一般,容易归纳元素的性质特征.事实上,对于y=2n-1,n∈Z,由于n∈Z,因此n可以分为奇数与偶数.当n=2k(k∈Z)时,y=4k-1(k∈Z);当n=2k+1时,y=4k+1(k∈Z),因此集合B={y|y=2n-1,n∈Z}可以表示为{x|x=4k±1,k∈Z}.2.本题中的(2)是一个关于集合的新定义问题,应正确理解新定义的含义.本题中的集合的代表元素是两个数的和,并且这两个数分别来自两个集合P,Q,表格法表示相对清晰.学以致用·随堂检测促达标123456789101112A级必备知识基础练1.用描述法表示右图所示阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是(

)A.{-2≤x≤0,且-2≤y≤0}B.{(x,y)|-2≤x≤0,且-2≤y≤0}C.{(x,y)|-2≤x≤0,且-2≤y<0}D.{(x,y)|-2≤x<0,或-2≤y≤0}B解析

由题图可知,阴影部分的点的横坐标满足-2≤x≤0,纵坐标满足-2≤y≤0,所以所表示的集合为{(x,y)|-2≤x≤0,且-2≤y≤0}.123456789101112D1234567891011123.定义集合运算:A☆B={z|z=x2-y2,x∈A,y∈B}.设集合A={1,},B={-1,0},则集合A☆B中的所有元素之和为(

)A.2 B.1C.3 D.4C解析

由题得A☆B={0,1,2},所以A☆B中所有元素之和为0+1+2=3.1234567891011124.(多选题)设集合A={x|x=2n+1,n∈N},以下选项中与集合A相同的集合是(

)A.{1,3,5,7,…} B.{m|m=2k+1,k∈N}C.{y|y=2k-1,k∈N*} D.{y|y=2k-1,k∈Z}ABC解析

由题意可得,集合A表示的元素为正奇数.在选项当中,A选项为列举法表示正奇数集合,正确;B选项与试题中的集合A一样,只是表示的变量名不同,正确;C选项的k是正的自然数,也是表示正奇数集合,正确;D选项可以取负奇数,错误.123456789101112ABD1234567891011126.已知集合,用列举法表示集合A=

.

{1,2,4}1234567891011127.已知集合A={x|-2<x<2,x∈Z},B={y|y=x2+1,x∈A},则集合B用列举法表示是

.

{1,2}解析

由题意知A={-1,0,1},而B={y|y=x2+1,x∈A},所以B={1,2}.1234567891011128.用适当的方法表示下列集合:(1)大于2且小于5的实数组成的集合;(2)24的所有正整数因数组成的集合;(3)平面直角坐标系内与坐标轴的距离相等的点组成的集合.解

(1)用描述法表示为{x|2<x<5,且x∈R}.(2)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}.(3)在平面直角坐标系内,点(x,y)到x轴的距离为|y|,到y轴的距离为|x|,所以该集合用描述法表示为{(x,y)||y|=|x|}.123456789101112B级关键能力提升练9.

已知b是正数,且集合{x|x2-ax+16=0}={b},则a-b=(

)A.0 B.2 C.4 D.8C解析

由题意可知方程x2-ax+16=0有两个相等的正实根,故Δ=a2-64=0.又方程两根之和为正数,即a>0,所以a=8,因此方程变为x2-8x+16=0,且根为4,故b=4,所以a-b=8-4=4.故选C.12345678910111210.定义运算A-B={x